湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知椭圆，则其离心率（ ） A. B. C. D. 2. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 7 B. 14 C. 15 D. 31 3. 的展开式中含的项的系数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（ ） A. 100 B. 150 C. 180 D. 540 7. 已知等差数列，满足，且数列前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（ ） A. 4052 B. 4051 C. 4050 D. 4049 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若成等比数列（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A. 男、女各站在一起，共有24种排法 B. 男生不能排一起，共有54种排法 C. 男生必须排在一起，共有48种排法 D. 男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 10. 袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从二项分布 B. C. D. 记这个球中白球的个数为，则 11. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，，则________. 13. 有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 14. 已知函数，，对任意的，不等式，则a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，其中，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 17. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立. （1）求这批产品通过检验概率； （2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 19. 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】##075 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）分布列见解析；1012.5 【18题答案】 【答案】（1） （2）若，则是减函数；若，则在上单调递减，在上单调递增. （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $