2026年广东中考数学冲刺卷2

**基本信息** 聚焦广东中考三轮冲刺，融合新能源汽车、人工智能等科技热点与赵爽弦图、托勒密定理等文化元素，梯度覆盖代数几何统计核心知识，强化综合应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|倒数、科学记数法、整式运算、视图、四边形关系、统计|结合2025新能源汽车产销量考科学记数法，体现数据意识| |填空题|5/15|因式分解、圆锥侧面积、平行四边形与概率、方程根与系数|平行四边形中点分线段成比例求阴影概率，考查几何直观| |解答题|8/75|分式方程纠错、尺规作图、利润函数、圆切线、统计图表、解直角三角形、抛物线综合、托勒密定理|人工智能项目化学习统计分析（题20），托勒密定理解决动态几何最值（题23），契合中考压轴趋势|

2026广东中考冲刺卷（Ⅱ） 时间120分钟，满分120分 一、单选题（每题3分） 1. 2026的倒数是（ ） A. 2026 B. -2026 C. D. - 2. 2025年，中国新能源汽车产销量继续保持全球第一，全年产销量均突破1600万辆。将数据“1600万”用科学记数法表示为（ ） A. 1.6×10⁶ B. 1.6×10⁷ C. 16×10⁶ D. 0.16×10⁸ 3. 下列运算错误的是（ ） A. a2 + a3 = a⁵ B. ( a2)3 = a6 C. a6 ÷ a2= a4 D. (-2a)2 = 4a2 4. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 5．小轩同学在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（3）处可填DC＝CB B．（2）处可填AD＝AB C．（1）处可填∠A＝90° D．（4）处可填∠B＝∠D 6. 某校开展“劳动最光荣”实践活动，记录了10名同学一周做家务的时间（单位：小时）：3, 2, 2, 4, 2, 3, 5, 4, 7, 6。这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 2, 3.5 B. 2, 2.5 C. 3, 3 D. 3, 4 7.随着人工智能技术的飞速发展，深圳某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．300（1+x）2＝363 B．300（1+x2）＝363 C．300+300（1+x）2＝363 D．300（1+2x）＝363 8．快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系，下列说法正确的是（　　） ①快车的速度为；②慢车的速度；③E点坐标为；④线段的函数关系式为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 9．如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，作轴于点，点为上任意一点，当时，与轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分） 11.因式分解多项式：_____________． 12．若一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，则该圆锥的侧面展开图的面积为__________． 13．如图平行四边形中，E为的中点，交与点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 14．已知，是方程的两个实数根，则的值是________. 15. 已知抛物线的对称轴为直线，其图像如图所示，下列结论正确的有____________ ①． ②． ③．若，，在抛物线上，则 ④．若m、n（）为方程的两根，则 三、解答题（共85分） 16.解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 17.（7分）数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： (1)连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ①      ②      ③     ④ (2)若，的面积为，过点作于点，求的长． 18. （7分）东莞某智能制造企业引进了新型数控机床，用于生产精密零件。已知该机床在连续工作过程中，每小时的能耗费用与工作时间的平方成正比，比例系数为0.5元/小时³。同时，每台机床每小时可生产80个零件，每个零件的售价为15元，生产成本为8元（不含能耗费用）。 （1）若该机床连续工作t小时，求这段时间内的总利润P(t)（单位：元）的函数表达式； （2）为保证生产效率，该企业规定单次连续工作时间不超过10小时。问：该机床单次连续工作多少小时时，平均每小时的利润最大？最大值是多少？ 19.（9分）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F. (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积. 20.（9分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.海口市某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A.决策类人工智能、B.人工智能机器人、C.语音类人工智能、D.视觉类人工智能.每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机抽样调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A.决策类人工智能 B.人工智能机器人 C.语音类人工智能 D.视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A.决策类人工智能 8 a B.人工智能机器人 b 0.25 C.语音类人工智能 28 c D.视觉类人工智能 24 0.3 (1)填空：本次抽样调查的样本容量是_____，______；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为_____°； (2)若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”项目意向的学生有____人； (3)已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从这4人中选2人到华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率. 21. 实践与探究： 【主题】汕头市小公园中山亭亭高测量及底座面积的计算． 【素材】如图所示：     ①一底座为正八边形的八角形攒尖顶建筑汕头市小公园中山亭； ②一架80厘米高的测量仪 ． 【实践操作】 步骤1：在距离中山亭底座中心29米处立一个测量仪； 步骤2：利用测量仪（仪高）测得中山亭顶部A的仰角为，通过测量得知底座正八边形的外接圆半径为4米； 步骤3：对测量数据进行分析与计算． 【实践探索】（；；） (1)求中山亭的高度．（结果保留整数） (2)求中山亭底座正八边形的面积；（结果保留根号） 22（13分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 23.（14分）【定理感知】 克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论． 【定理理解】 如图，在四边形中，有，特别地，当时，有． 【定理运用】 请直接运用该定理解决下列问题： (1)如图（1），四边形为的内接四边形，为直径，，，且，则的长为 ． (2)如图（2），半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上的一点，以为一边作等边三角形，求的最大值及此时的长． (3)如图（3），已知四边形中，，，，求的最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026广东中考冲刺卷（Ⅱ）解析 1. C【解析】2026的倒数是。 2. B【解析】1600万 = 16000000 = 1.6 × 10⁷。 3. A【解析】A不能合并，错误。 4.【答案】A 【详解】从前面看可得到从左到右第1列有1个正方形，第2列有2个正方形，第3列 有2个正方形，故选A. 5．【答案】D 【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， ∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 6. A【解析】排序：2,2,3,3,3,4,4,5,6,7。众数2，中位数(3+4)÷2=3.5。 7【答案】A 【分析】根据2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：300（1+x）2＝363． 故选：A． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量 8.【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，利用一次函数的性质和数形结合思想是解题的关键． 根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度以及E点坐标；设线段所表示的y与x之间的函数表达式是，利用待定系数法解答即可求出线段的函数关系式． 【详解】快车的速度为：（千米/小时），故①说法正确； 慢车的速度为：（千米/小时），故②说法正确； 点E的横坐标为：，则点E的坐标为，故③说法正确； 快车从点E到点C用的时间为：（小时）， 则点C的坐标为，设线段所表示的y与x之间的函数表达式是， ，解得， 即线段所表示的y与x之间的函数表达式是，故④说法正确； 故选：D． 9.【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，先求出，结合题意可得，令交轴于点，求出从而可得点的纵坐标为，求出，待定系数法求出直线解析式为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，整理得：， 解得，， ，， 轴于点， ， 如图：令交轴于点， ， ∵，，， ， ， ， 在中，当时，， ， 轴于点， ∴轴， ∵， ∴轴，即点的纵坐标为， 在反比例函数中，当时，， ， 设直线的解析式为，代入点坐标得：， 解得， 直线解析式为：， 当时，， 与轴交点坐标为． 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，求得，再证明，设，，利用相似三角形的性质得到，设，即，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，，则，则，即， 设，∴，即，解得或（舍）， 经检验是原方程的解，∴． 【答案】C 【分析】证明，求得，再证明，设，，利用相似三角形的性质得到，设，即，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，，则，则，即， 设，∴，即，解得或（舍）， 经检验是原方程的解，∴． 11.答案： 解析：， 故答案为：． 12.【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长除以2，代入已知的底面半径和母线长，即可计算出侧面展开图的面积. 【详解】解：圆锥底面周长，圆锥侧面积. 13.【答案】 【分析】 根据平行四边形的性质得到，推出，证得，整理得到，由，得到，即可得到米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴，即米粒落在图中阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，求几何概率，正确掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键． 14.【答案】2023 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系和一元二次方程的解． 利用一元二次方程根的定义得到，则，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：2023． 15. 已知抛物线的对称轴为直线，其图像如图所示，下列结论正确的有__________ ①． ②． ③．若，，在抛物线上，则 ④．若m、n（）为方程的两根，则 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，系数、式子的符号等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 利用抛物线开口向下得到，利用抛物线的对称轴方程得，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则时，，可对B选项进行判断；利用二次函数的性质和A、B、C点到对称轴的距离大小可对C选项进行判断；把m、n看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图像可对D选项进行判断． 【详解】解：A选项：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∴，故A选项错误； B选项：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴时，， ∴，故B选项正确； C选项：∵，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∵抛物线开口向下，图像上离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∴．故C选项正确； D选项：∵m，n（）为方程的两个根， ∴把m、n看作二次函数与直线的交点的横坐标， ∴，故D选项正确． 16.【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17.【答案】(1)④ (2) 【详解】（1）解：如图，连接， 由作图可知，，， ∵， ∴， ∴证明的依据是； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ． 18.（1）（1）总利润 = 总收入 - 总成本 - 能耗费用 总收入 = 80t × 15 = 1200t（元） 总成本 = 80t × 8 = 640t（元） 能耗费用 = 0.5t²（元） ∴ P(t) = 1200t - 640t - 0.5t² = 560t - 0.5t² （2）平均每小时利润 = P(t)÷t = 560 - 0.5t 这是一个关于t的一次函数，在0＜t≤10递减 ∴ 当t=10时，平均每小时利润最大，最大值为560 - 0.5×10 = 555元/小时 19.答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：如图，连接， 以为直径的交于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线. (2)如图，过点O作，垂足为点G， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ∴，，， 四边形是矩形， ， ， ， . 20.答案：(1)80；0.1；126 (2)180 (3) 解析：(1)由题意得，样本容量为（人）， ， 扇形统计图中C（语音类人工智能）所对应的圆心角的度数为； 故答案为：80；0.1；126. (2)（人）， 估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”专业意向的学生约有180人. 故答案为：180. (3)列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果， 由于甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”， 因此两位同学选的项目一样的结果有：甲，乙；乙，甲，共2种， 这两位同学选的项目一样的概率为. 21【答案】(1)14米 (2) 【分析】（1）过点作于点F，由题意得米，、，易证明四边形为矩形，进而得到、，根据平行线的性质得到，在中，，利用求解即可； （2）连接和，过点作于点M，根据题意得、，在中，，进而得到，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点F， 由题意得米，、， 、、， ， 四边形为矩形， 、、， ， 在中，， ， 答：中山亭的高度AB约为14米； （2）解：如图，连接和，过点作于点M， 由题意得：、， 在中，， ， ， 答：中山亭底座正八边形的面积为． 22【答案】（1）； （2）存在，F（﹣2，2）或（﹣2，4）； （3）（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【分析】（1）由题意得出A（﹣6，0），C（0，6）．结合轴对称的性质得出B（2，0），再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．设点F（﹣2，t），则．当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上，由圆周角定理得出此时∠BFC为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点F（﹣2，t）．则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2），再分两种情况：当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键. 23【答案】(1) (2)的最大值为3， (3)最大值为5 【分析】（1）根据圆周角定理，结合含特殊角的直角三角形，求出的长，利用托勒密定理，求出的长即可； （2）设，利用托勒密定理求出的最大值，过点B作，利用勾股定理求出的长即可； （3）勾股定理，求出的长，利用托勒密定理得到，进而求出的最大值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是内接四边形， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由托勒密定理得：， ∴， ∴． （2）解：由题得，， ∵是等边三角形， ∴设， 在四边形中，由托勒密定理得： ， ∴， ∴， 当且仅当时，等号成立， 又∵， ∴， 如图（4），过点B作， ∴在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最大值为3，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆，在四边形中，由托勒密定理得： ， ∴， ∴， 又∵A，B，C，D四点共圆，且为直径， ∴， 如图（5），当且仅当为直径时，等号成立 ∴， ∴的最大值为5． 学科网（北京）股份有限公司 $2026广东中考冲刺卷（Ⅱ) 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认 真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形 码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mmm黑色 签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清 晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写 的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7IA][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11 12、 13、 14、 15、 三、解答题：本题共8小题，共7巧分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(7分) ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) A M D 和 B 18.(7分) ■ ■ 请套晒格腰致城等超超形宝格藻家效： 19. (9分) F A E 0 B D C 20.(9分) ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) B H 0 250 E D ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) F A B A B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) 图(1) 图(2) 图(3)