高考命题探秘——几何分布 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考几何分布核心考点，涵盖定义、期望、方差及无记忆性，按知识讲解到典例分析的逻辑架构展开。通过考点梳理构建知识网络，方法指导突破期望方差证明等难点，真题训练结合2026全国1卷及教材题，帮助学生系统掌握考点。 资料以数学思维培养为核心，通过推理证明几何分布期望方差，结合投篮、摸球等实际情境建模，发展数学眼光与应用意识。设置基础题到综合题分层练习，配合即时解析，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供实用教学资源。

高考命题探秘——几何分布 一、知识讲解 几何分布与无记忆性 几何分布定义：若随机变量的分布列为，，，… 其中，，则称服从几何分布 因为，可知 几何分布的期望： 证：由于，，，… 所以 记，则 所以 还可以用无穷级数和 ，所以 几何分布的方差， 证：先计算， ，又因为，则 所以 无记忆性：取自然数的随机变量服从几何分布的充要条件是具有无记忆性 ，对任意的自然数 二、典例 1、（2026全国1卷第17题）设整数，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次。当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立。记为停止练习时该同学的投篮次数。 （1） 当，时，求的分布列； （2） 设，均为自然数 当时，求； 当时，证明： （1）解：可取1，2，3，4，令，， 所以的分布列为 1 2 3 4 （2）解：当时，表示“前次都未投中”，所以 证：由，得， 因此 又由知，所以 2、（必修二第267页8）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有3次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止。用表示答对题目，用表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的。 （1） 求李明第二次答题通过面试的概率； （2） 求李明最终通过面试的概率 解：（1） （2） 3、已知袋中装有大小相同的小球10个，其中黑球4个，白球6个，现从袋中有放回抽取，每次抽取一个 （1） 抽中黑球或直到抽到第5次为止，设共抽了次，求的数学期望； （2） 抽中黑球或直到抽到第5次为止，设共抽了个白球，个黑球，求和的数学期望； （3） 直至抽到黑球为止，设共抽了次，求的数学期望 （提示：若数列满足，，则） 解：（1）的可能取值为1，2，3，4，5，则 ，，， ， （2）的可能取值为0，1，2，3，4，5 ，，， ，， 的可能取值为0，1 ，， （3） 因为， 所以 4、（金丽衢十二校25届高三一联8）抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ） A、 大于2 B、小于2 C、等于2 D、与2的大小无法确定 答案：B 解析：的可能取值为1，2，…，99，100 则，当抛掷第100次时，无论硬币是正还是反都已经结束，故抛掷第100次时的概率为，所以 5、（温州25届高三一模8）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家抛掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数。在一次游戏中，飞机距终点只剩3步，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（ ） A、3 B、4 C 、5 D、6 答案：D 解析：法一：由题意，无论飞机在何处，离终点的距离只可能是1，2，3，4，5 也就是无论前面投掷了多少次骰子，只要最后再投掷一次骰子，总有的概率到达终点 即，，…，，即服从几何分布，可知 法二：还可以用期望递推做，假设已经投掷了次骰子都没到达终点，则再投掷1次骰子到达终点的概率为，没到达的概率为，即在第次投掷骰子才能到达，所以，解得 6、（厦门25届高三四检19）在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球，记总的摸球次数为，其期望为 （1） 求与； （2） 求； （3） 证明： 附：①若随机变量的可能取值为1，2，3，…，，…则 ②若随机变量，则 解：（1）表示袋中共两个球，前3次摸出同一个球，第4次才摸出另一个球 所以，表示袋中共3个球，前4次摸出的是两个不同编号的球，第5次才摸出第三个编号的球，则前4次摸球中，另外两个编号球各至少摸到一次，所以 （2）（3）设随机变量表示“在已经摸出了个不同的编号球的情况下，继续摸球直到摸出第个新编号的球所需要的摸球次数，则，其中，，…，” 可知均服从几何分布（可以用期望递推来做） 在已经摸出了个不同的编号球的情况下，再摸1次，摸出与前个不同的编号球的概率为，摸出新编号的概率为，所以， 可以解得，所以 对于（2），令得 对于（3），由，令，可得， 从1到累加可得，所以 7、（24届武汉四调19）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布 （1） 对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为 求； 记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求 解：记为首次出现连续两次成功时所需的试验次数，则，可得 所以，故 期望表示已经有最后的次连续成功，当下一次再成功时即有连续次成功，则总试验次数为，概率为；当下一次不成功时，因为出现试验失败对出现连续次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为，概率为 所以，则①，设②，由①②可得，则，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，则，所以 学科网（北京）股份有限公司 $