10.6 二项分布、超几何分布与正态分布【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二项分布、超几何分布与正态分布三大核心考点，按考向预测、双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练的逻辑架构组织内容，通过考点精析、方法归纳、真题演练等环节，帮助学生构建抽样模型辨析、分布列与数字特征求解的知识体系，突破概率统计应用难点。 资料以现实情境（如健康饮食调查、创业项目抽样）为载体设计问题，培养学生用数学眼光观察实际问题、用数学思维分析模型差异的能力，设置基础自测、题型分层训练及限时综合练习，配合典型例题详解与跟踪训练，有效提升学生数据运算与模型应用能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.6　二项分布、超几何分布与正态分布 【高考考向预测】 二项分布、超几何分布重在区分有放回与不放回抽样模型，熟练求解分布列、数学期望与方差，正态分布侧重利用正态曲线对称性、3σ 原则进行概率估算，三类分布常依托统计数据串联出题；近三年是高考概率大题核心考点，选择填空也频繁涉及，考频很高；预测2027 年命题强化两类离散分布的场景辨析，结合实际生产、抽样背景融入正态分布应用型设问，搭配方案择优计算，着重考查模型判定与数据运算能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.(　　) (2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6，0.1).(　 　) (3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.(　　) (4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.(　 　) 2.已知随机变量ξ~B(4，p)，若E(ξ)=2，则P(ξ=3)等于(　　) A. B. C. D. 3.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为　　　　. 4.已知随机变量X~N(μ，σ2)，若P(X<2)=0.2，P(X<3)=0.5，则P(X<4)的值为　　　　　. 【核心梳理●明考点】 1.二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p). ②若X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p). 2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 3.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； ②曲线在x=μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7； ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5； ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 1.若X~N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)=μ，D(X)=σ2. 2.“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P=pk(1-p)n-k，有指定的k次发生的概率P=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n). 3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【题型突破●明方向】 题型一　二项分布 例1　(2025·大庆模拟)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望. 跟踪训练1　(2026·广州模拟)某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球. (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为X，求X的分布列与数学期望. 题型二　超几何分布 例2　全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用比例分配的分层随机抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望. 跟踪训练2　某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为X，求X的分布列. 题型三　正态分布 例3　(1)(多选)(2025·济南模拟)已知三个正态密度函数fi(x)=(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则(　　) A.μ1>μ2=μ3 B.σ1=σ2>σ3 C.若X~N(1，)，P(X<2)=0.7，则P(X>0)=0.7 D.若Z~N(μ1，)，X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，则存在实数x0，使得P(Z<x0)>P(X<x0)>P(Y<x0) (2)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 跟踪训练3　(2025·洛阳质检)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为=110.据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s； (2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X-10，试估计这20 000名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数. 另：≈2.4； 若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设随机变量X服从二项分布B，则P(X=3)等于(　　) A. B. C. D. 2.若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，P(X≤5)=0.55，则P(X<1)等于(　　) A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.9 3.(2025·江门模拟)一箱苹果共有12个，其中有n(2<n<7，n∈N*)个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个，恰有2个烂果的概率为，则n等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2026·嘉兴模拟)某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分.高二(1)班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下来他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2025·台州模拟)一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球，从中一次性随机摸出3个球，用X表示这3个球中白球的个数，则下列概率中等于的是(　　) A.P(X=1) B.P(X≤1) C.P(X≥1) D.P(X=3) 6.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np，即X~B(n，p)，P(X=i)=(n∈N*).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为(　　) A.99% B.97% C.92% D.74% 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.若随机变量X服从正态分布N(6，4)，且P(2<X<10)=m，P(4<X<8)=n，则(　　) A.P(7<X<9)>P(1<X<3) B.E(2X+1)=13 C.P(4<X<10)= D.D(2X+1)=8 8.(2025·恩施模拟)已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则(　　) A.P(X=0)<P(Y=0) B.当k=2或k=3时，P(X=k)最大 C.E(X)=E(Y) D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=　　　　. 10.(2026·烟台模拟)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束).根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0<p<1)，且各局比赛结果相互独立.若甲以3∶0获胜的概率不低于甲以3∶1获胜的概率，则p的取值范围为　　　　　. 四、解答题(共27分) 11.(13分)某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为p(0<p<1)，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进入第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立. (1)求p的值；(5分) (2)若连续2次进行测试，且2次测试相互独立，记X为合格的次数，求X的分布列及数学期望.(8分) 12.(14分)台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取了100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如表： 疏散时间t(最接近的时间，取整数)单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值和方差；(6分) (2)根据工作安排，需要在疏散时间超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求X的分布列.(8分) [13题5分，14题6分，共11分] 13.设随机变量X~B(n，p)，记pk=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，下列说法正确的是(　　) A.当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B.如果(n+1)p为正整数，当且仅当k=(n+1)p时，pk取最大值 C.如果(n+1)p为非整数，当且仅当k取(n+1)p的整数部分时，pk取最大值 D.E(X)=np(1-p) 14.(多选)(2025·吕梁模拟)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则~N(0，1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　) A.X~N(20，6) B.~N(0，1) C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车 D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.6　二项分布、超几何分布与正态分布 【高考考向预测】 二项分布、超几何分布重在区分有放回与不放回抽样模型，熟练求解分布列、数学期望与方差，正态分布侧重利用正态曲线对称性、3σ 原则进行概率估算，三类分布常依托统计数据串联出题；近三年是高考概率大题核心考点，选择填空也频繁涉及，考频很高；预测2027 年命题强化两类离散分布的场景辨析，结合实际生产、抽样背景融入正态分布应用型设问，搭配方案择优计算，着重考查模型判定与数据运算能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.(　　) (2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6，0.1).(　 　) (3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.(　　) (4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.(　 　) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）× 2.已知随机变量ξ~B(4，p)，若E(ξ)=2，则P(ξ=3)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为随机变量ξ~B(4，p)， 由E(ξ)=2，得4p=2， 解得p=， 所以P(ξ=3)=××=. 3.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为　　　　. 【答案】 【解析】P=+=. 4.已知随机变量X~N(μ，σ2)，若P(X<2)=0.2，P(X<3)=0.5，则P(X<4)的值为　　　　　. 【答案】0.8 【解析】因为X~N(μ，σ2)，P(X<3)=0.5， 所以μ=3，所以P(X>4)=P(X<2)=0.2， 所以P(X<4)=1-0.2=0.8. 【核心梳理●明考点】 1.二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p). ②若X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p). 2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 3.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； ②曲线在x=μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7； ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5； ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 1.若X~N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)=μ，D(X)=σ2. 2.“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P=pk(1-p)n-k，有指定的k次发生的概率P=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n). 3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【题型突破●明方向】 题型一　二项分布 例1　(2025·大庆模拟)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望. 【解析】(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则P(A)=，P()=， 设“学生肥胖”为事件B，则 P(B|A)=，P(B|)=， 由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=， 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为. (2)由题意可知，X~B，且X的可能取值为0，1，2，3，则有 P(X=0)=××=， P(X=1)=××=， P(X=2)=××=， P(X=3)=××=， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望E(X)=3×=. 【思维升华】二项分布问题的解题关键 (1)定型： ①在每一次试验中，事件发生的概率相同. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. 跟踪训练1　(2026·广州模拟)某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球. (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为X，求X的分布列与数学期望. 【解析】(1)记“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B. P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=， 所以P(A|B)===. 故在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为. (2)由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为Y， 则Y~B. 因为四次摸球总得分为X，所以Y=X， 所以X~B. 所以P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， P(X=3)==， P(X=4)==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以X的数学期望E(X)=4×=. 题型二　超几何分布 例2　全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用比例分配的分层随机抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望. 【解析】(1)由频率分布直方图的性质可得，(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1， 解得m=0.012， 由频率分布直方图可知， 前两组频率之和为0.004×10+0.022×10=0.26<0.5， 前三组频率之和为0.004×10+0.022×10+0.030×10=0.56>0.5， 设中位数为a，则a∈[60，70). ∴0.26+(a-60)×0.030=0.5， 解得a=68. 所以估计这50名学生成绩的中位数为68. (2)∵[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组频率之比为0.28∶0.12∶0.04=7∶3∶1， 又∵从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中共抽取11人， ∴从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中分别抽取7人，3人，1人. 由题知，从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，ξ所有可能取值为0，1，2，3， 且P(ξ=0)==， P(ξ=1)==， P(ξ=2)==， P(ξ=3)==. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 【思维升华】(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 跟踪训练2　某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为X，求X的分布列. 【解析】(1)记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件A， P(A)===. (2)由题意，X的可能取值为0，1，2. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 题型三　正态分布 例3　(1)(多选)(2025·济南模拟)已知三个正态密度函数fi(x)=(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则(　　) A.μ1>μ2=μ3 B.σ1=σ2>σ3 C.若X~N(1，)，P(X<2)=0.7，则P(X>0)=0.7 D.若Z~N(μ1，)，X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，则存在实数x0，使得P(Z<x0)>P(X<x0)>P(Y<x0) 【答案】CD 【解析】根据正态曲线关于直线x=μ对称，得μ1<μ2=μ3，故A错误； 又σ越小，数据越集中，正态曲线越“瘦高”，则σ1=σ2<σ3，故B错误； 若X~N(1，)，P(X<2)=0.7， 则P(X>0)=P(X<2)=0.7，故C正确； 由三个正态密度函数的图象可知，存在实数x0>μ3，使得P(Z<x0)>P(X<x0)>P(Y<x0)，故D正确. (2)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 【答案】BC 【解析】依题可知，=2.1，s2=0.01， 所以Y~N(2.1，0.12)， 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误； 因为X~N(1.8，0.12)， 所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7， 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7， 所以B正确，A错误. 【思维升华】解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x=μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 跟踪训练3　(2025·洛阳质检)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为=110.据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s； (2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X-10，试估计这20 000名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数. 另：≈2.4； 若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. 【解析】(1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-110)2×0.22+(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08+(140-110)2×0.02=150. 故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s==5≈5×2.4=12. (2)由(1)知μ可用=110来估计，σ2可用s2=150来估计.故X~N(110，150). σ==5≈12. 又P(μ+σ≤X≤μ+2σ) = ≈=0.135 9， 故P(122≤X≤134)≈0.135 9. 又Y=5X-10， 所以P(600≤Y≤660)=P(600≤5X-10≤660)=P(122≤X≤134)≈0.135 9. 故这20 000名优秀考生中总成绩在[600，660]的人数约为20 000×0.135 9=2 718. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设随机变量X服从二项分布B，则P(X=3)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】P(X=3)=××=. 2.若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，P(X≤5)=0.55，则P(X<1)等于(　　) A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.9 【答案】A 【解析】因为随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，所以P(X≤5)=P(X≥1)=0.55，所以P(X<1)=1-P(X≥1)=1-0.55=0.45. 3.(2025·江门模拟)一箱苹果共有12个，其中有n(2<n<7，n∈N*)个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个，恰有2个烂果的概率为，则n等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】依题意可得=， 即=，整理得n2-13n+36=0， 解得n=4或n=9，因为2<n<7，n∈N*，所以n=4. 4.(2026·嘉兴模拟)某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分.高二(1)班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下来他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】因为甲先投篮6次均投中，即已得6分，接下来的4次投篮，若要使最终得分不低于7分，则至少得1分，甲继续投篮最终得分不低于7分的情况如下： ①仅投篮1次并投中的概率P1==， ②投篮2次均投中的概率P2=×==， ③投篮3次均投中或仅投中2次的概率P3=+××=， ④投篮4次均投中或仅投中3次的概率P4=+××=， 显然甲同学继续投篮3次，得分不低于7分的概率最大. 5.(2025·台州模拟)一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球，从中一次性随机摸出3个球，用X表示这3个球中白球的个数，则下列概率中等于的是(　　) A.P(X=1) B.P(X≤1) C.P(X≥1) D.P(X=3) 【答案】C 【解析】一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球，从中一次性随机摸出3个球， 则表示从这10个球中随机摸出3个球，表示从6个红球中摸出3个球， 则-表示从这10个球中随机摸出3个球，至少有1个白球的摸法种数， 所以=P(X≥1). 6.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np，即X~B(n，p)，P(X=i)=(n∈N*).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为(　　) A.99% B.97% C.92% D.74% 【答案】C 【解析】由题意得n=100，p=0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ=100×0.01=1， 所以P(X=k)=e-1，P(X=0)=e-1=， P(X=1)=e-1=，P(X=2)=e-1=， 正品率大于97%的概率为P=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++≈92%. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.若随机变量X服从正态分布N(6，4)，且P(2<X<10)=m，P(4<X<8)=n，则(　　) A.P(7<X<9)>P(1<X<3) B.E(2X+1)=13 C.P(4<X<10)= D.D(2X+1)=8 【答案】ABC 【解析】随机变量X服从正态分布N(6，4)，则μ=6，σ=2，P(7<X<9)=P(3<X<5)>P(1<X<3)，A正确； E(X)=μ=6，则E(2X+1)=2E(X)+1=13，B正确； 由P(2<X<10)=m，P(4<X<8)=n，得P(6<X<10)=，P(4<X≤6)=，因此P(4<X<10)=P(4<X≤6)+P(6<X<10)=，C正确； D(X)=σ2=4，则D(2X+1)=4D(X)=16，D错误. 8.(2025·恩施模拟)已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则(　　) A.P(X=0)<P(Y=0) B.当k=2或k=3时，P(X=k)最大 C.E(X)=E(Y) D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【解析】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数X~B， ∴P(X=k)==，k=0，1，2，3，4，5. 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则P(Y=k)=，k=0，1，2，3，4，5. 选项A，P(X=0)==，P(Y=0)==，P(X=0)>P(Y=0)，A错误； 选项B，∵P(X=k)=，由于=>=>=，故当k=2或k=3时，P(X=k)最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式得E(X)=5×=，E(Y)===，E(X)=E(Y)，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为=， 方案二中，第三次抽到次品的情况有四种：“正正次”“正次次”“次正次”“次次次”， 其中“正正次”的概率为××=，“正次次”的概率为××=， “次正次”的概率为××=，“次次次”的概率为××=， 故第三次抽到次品的概率为×3+=，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=　　　　. 【答案】0.14 【解析】因为X~N(2，σ2)，所以P(X>2)=0.5，所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 10.(2026·烟台模拟)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束).根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0<p<1)，且各局比赛结果相互独立.若甲以3∶0获胜的概率不低于甲以3∶1获胜的概率，则p的取值范围为　　　　　. 【答案】 【解析】甲以3∶0获胜的概率为p1=p3，甲以3∶1获胜的概率为p2=p3(1-p)=3p3(1-p)， 由题意，p1≥p2，即p3≥3p3(1-p)， 解得p≥， 所以p的取值范围为. 四、解答题(共27分) 11.(13分)某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为p(0<p<1)，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进入第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立. (1)求p的值；(5分) (2)若连续2次进行测试，且2次测试相互独立，记X为合格的次数，求X的分布列及数学期望.(8分) 【解析】(1)设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”， 根据题意，由条件概率公式得P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=p， 已知P(C)=， 则p=，故p=. (2)由(1)知，该产品测试合格的概率为， 因为连续2次测试相互独立， 故X服从二项分布，即X~B， 由二项分布概率公式得 P(X=k)=(k=0，1，2)， 则P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望E(X)=2×=. 12.(14分)台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取了100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如表： 疏散时间t(最接近的时间，取整数)单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值和方差；(6分) (2)根据工作安排，需要在疏散时间超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求X的分布列.(8分) 【解析】(1)∵12×0.04+13×0.05+14×0.25+15×0.35+16×0.18+17×0.10+18×0.03=15， ∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值为15， ∵(12-15)2×0.04+(13-15)2×0.05+(14-15)2×0.25+(15-15)2×0.35+(16-15)2×0.18+(17-15)2×0.10+(18-15)2×0.03=1.66， ∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的方差为1.66. (2)∵疏散时间为17小时，18小时两组的频率之比为10∶3， ∴在疏散时间超过16小时的13个居民点中，疏散时间为17小时的有10个，疏散时间为18小时的有3个， 再从这13个居民点中抽取5个，X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， X可取0，1，2，3. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==， X的分布列为 X 0 1 2 3 P [13题5分，14题6分，共11分] 13.设随机变量X~B(n，p)，记pk=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，下列说法正确的是(　　) A.当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B.如果(n+1)p为正整数，当且仅当k=(n+1)p时，pk取最大值 C.如果(n+1)p为非整数，当且仅当k取(n+1)p的整数部分时，pk取最大值 D.E(X)=np(1-p) 【答案】C 【解析】因为X~B(n，p)，pk=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n， 由 得 解得(n+1)p-1≤k≤(n+1)p， 若(n+1)p为正整数，则当k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时，pk取最大值，故B错误； 若(n+1)p为非整数，则当k取(n+1)p的整数部分时，pk取最大值，故C正确； 综上所述，当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个(或两个)k值处达到最大，故A错误； 因为E(X)=np，故D错误. 14.(多选)(2025·吕梁模拟)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则~N(0，1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　) A.X~N(20，6) B.~N(0，1) C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车 D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车 【答案】BCD 【解析】根据题意知X~N(20，62)，~N(0，1)，故A错误，B正确； 若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和样本标准差为μX，μY，σX，σY， 则P(|Y-24|≤4)=P(|Y-μY|≤2σY)=P(|X-μX|≤2σX)=P(|X-20|≤12)>P(|X-20|≤8)，故P(X≤28)<P(Y≤28)，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确； 若有25 min可用，则 P(X≤25)=P， P(Y≤25)=P， 因为~N(0，1)，~N(0，1)， 故P(X≤25)>P(Y≤25)，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确. / 学科网（北京）股份有限公司 $