命卷大赛：广东省汕尾市2025-2026学年高一下学期数学期末模拟测试卷

**基本信息** 高一数学期末卷覆盖复数、向量、立体几何、统计等核心知识，通过数学建模社招新、分层抽样等真实情境及新定义运算题，考查空间观念、推理能力与数据观念，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数象限判断、向量命题辨析、圆锥体积计算、分层抽样|单选基础巩固（如向量平行性质），多选综合应用（如概率独立事件判断）| |填空题|3题/15分|复数模最值、向量垂直坐标运算、方差计算|聚焦数学运算，考查符号意识（如向量坐标关系）| |解答题|5题/77分|复数运算、向量与三角函数综合、正方体线面证明、分层抽样方差、新定义复数运算|注重知识融合（如向量与三角函数结合求面积最值），创新情境（新定义“关联向量”考查抽象能力）|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的概念与四则运算 0.5 2 单选题 5 向量的基本概念（零向量、单位向量、共线向量等） 0.5 3 单选题 5 空间几何体的体积计算 0.55 4 单选题 5 分层随机抽样计算 0.55 5 单选题 5 古典概型的概率计算 0.6 6 单选题 5 向量共线定理及三点共线的向量表示 0.65 7 单选题 5 空间点、线、面的位置关系判断 0.65 8 单选题 5 向量的数量积、投影向量的概念与计算 0.7 9 多选题 6 概率的基本性质、互斥事件与对立事件的辨析 0.65 10 多选题 6 统计图表（频率分布直方图）的识别与数字特征估计 0.7 11 多选题 6 立体几何中的线面平行、垂直判定与性质综合 0.75 12 填空题 5 复数的几何意义及复平面内的点与向量对应关系 0.5 13 填空题 5 平面向量的坐标运算、模的计算及平行垂直的坐标表示 0.55 14 填空题 5 数据的数字特征（方差、标准差）的计算与意义 0.6 15 解答题 13 复数方程的求解、复数模的运算性质及复数相等的条件 0.7 16 解答题 15 三角恒等变换与平面向量的综合应用（坐标运算） 0.85 17 解答题 15 立体几何证明（线面平行、面面平行）及异面直线所成角 0.8 18 解答题 17 统计案例分析：数据的收集整理、方差与标准差的综合计算 0.75 19 解答题 17 复数与向量的综合创新题（复平面内的几何性质应用） 0.9 统一了标点符号，增加了括号内的补充说明，使考点一目了然，符合第二个文件的专业风格。 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/ 高一数学下学期末测试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数 ，则 （的共轭复数）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列关于向量的命题中，真命题的是（    ） A．若 ，则 或 B．若 ，则 与 方向相同 C．单位向量都相等 D．模长为0的向量称为零向量，零向量与任意向量平行 3．已知圆锥的底面半径 ，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．澎湃中学高一、高二、高三学生人数之比为 ，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若从高三学生中抽取12人，则样本容量 （    ） A．36 B．42 C．48 D．54 5．在平面直角坐标系中，从集合 中随机抽取一个数作为横坐标 ，从集合 中随机抽取一个数作为纵坐标 ，构成一个点 .则点 满足 的概率为（ ） A. B. C. D. 6．已知 是平面内两个不共线的向量，且 ， ， 。若 三点共线，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 7．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知 ， 则在 方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．汕尾市华南师大附中“数学建模社”在招新面试环节设置了两个独立的考核项目：项目甲为“逻辑推理”，项目乙为“数据处理”。已知某位候选人在项目甲中合格的概率为 ，在项目乙中合格的概率为 ，且两个项目的考核结果互不影响。记事件 为“该候选人项目甲合格”，事件 为“该候选人项目乙合格”。则下列说法中正确的有（    ） A. 事件 与事件 是相互独立事件 B. 事件 与事件 是互斥事件 C. 该候选人至少在一个项目中合格的概率为 D. 该候选人两个项目均合格的概率为 10．澎湃中学为了解高一年级学生的课外阅读情况，采用分层随机抽样的方法，从男生和女生中按比例共抽取了100名学生，统计他们上周的课外阅读时长（单位：小时），并绘制了频率分布直方图。已知样本中男生与女生的人数之比为 ，且样本数据的平均阅读时长为 小时，方差为 。则下列说法中正确的有（ ） A. 样本中男生的人数为 人 B. 若男生的平均阅读时长为 小时，则女生的平均阅读时长一定为 小时 C. 若男生的方差为 ，女生的方差为 ，则样本总方差一定为 D. 若将样本中每个学生的阅读时长都增加 小时，则新样本数据的方差仍为 11．下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设复数 满足 ，则 最大值为________. 13．已知平面向量 ， .若 ，则 ______. 14．已知一组数据 的平均数为5，方差2，则 组成新数据方差为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数 (1)求 的实部与虚部； (2)若复数 满足，且 ，求复数 . 16．（15分）已知向量 ， ，设函数 . (1) 求函数 的最小正周期及对称轴方程； (2) 若 ，求函数 的值域； (3) 在 中，角 的对边分别为.若 ，且 ，求 面积的最大值. 17．（15分）如图，在正方体 中，为棱的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 18．（17分）分层抽样：男生30人，平均身高175cm，标准差10cm；女生20人，平均身高165cm，标准差8cm. (1)求50人平均身高；(2)利用 求方差（保留1位小数）. 19.（17分）（新定义题）在复平面内，对于任意两个复数 ， （其中 ），定义一种新运算" "如下： 并称运算结果对应的向量 为 与 的 "关联向量" . （1）（4分）若 ， ，求 的模 . （2）（6分）设 ， （ ），且 对应的点落在直线 上，试证明： 与 满足 ，并求 的轨迹方程. （3）（10分）已知 为单位圆上的点（即 ）， ，记 ，求 的取值范围，并求当 取最大值时， 对应的点 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期期末测试 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D B D A B C C ACD ABD ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】：D 【解析】： 已知复数 ，先化简： 则 ，在复平面内对应的点位于第四象限. 2．【答案】：D 【解析】： A．模长相等的向量方向不一定相同或相反，错误 B．平行向量方向可能相同或相反，错误 C．单位向量模长为1，但方向可以不同，错误 D．模长为0的向量是零向量，零向量与任意向量平行，正确 3．【答案】：B 【解析】： 圆锥底面半径 ，侧面展开图为半圆，设母线长为 ，则： 高 体积 4．【答案】：D 【解析】： 高一：高二：高三人数比为 ，总比例为 高三抽取比例为 ，设样本容量为 ，则： 5．【答案】：A 【解析】： 样本空间：总情况数 种. 列举满足 的情况： 当 时， ， 可取 ，共 3 种. 当 时， ， 可取 ，共 2 种. 当 时， ， 可取 ，共 1 种. 计算概率： 满足条件的事件总数为 种. 故所求概率 . 6．【答案】：B 【解析】： 利用向量加法求 ： 根据向量加法的三角形法则，有： 将已知条件代入并合并同类项： 利用三点共线定理建立等式： 因为 三点共线，所以向量 与向量 共线. 根据向量共线定理，存在唯一实数 ，使得： 将 和 的表达式代入： 展开得： 利用基底的不共线性列方程组： 因为 是平面内两个不共线的向量（即它们构成平面的一组基底），所以等式两边 和 的系数必须分别相等，得到方程组： 求解参数 ： 由方程 ① 解得： . 将 代入方程 ②，解得： . 7．【答案】：C 【解析】： A．平行于同一平面的两直线可能平行、相交或异面，错误 B．一直线平行于两平面，两平面可能平行或相交，错误 C．垂直于同一平面的两直线平行，正确（线面垂直性质定理） D．两平面内分别有平行线，两平面可能平行或相交，错误 8．【答案】：C 【解析】： 在 上的投影向量为： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】：ACD 【解析】： 对于选项A、B：题目中明确指出“两个项目的考核结果互不影响”，根据相互独立事件的定义，事件 与事件 是相互独立事件，故选项A正确；同时，候选人完全有可能在两个项目中都合格，即事件 与事件 可以同时发生，因此它们不是互斥事件，故选项B错误. 对于选项C：“至少在一个项目中合格”的对立事件是“两个项目均不合格”.项目甲不合格的概率为 ，项目乙不合格的概率为 .由于两事件独立，两个项目均不合格的概率为 .因此，至少在一个项目中合格的概率为 ，故选项C正确. 对于选项D：根据相互独立事件的概率乘法公式，两个项目均合格的概率为 ，故选项D正确. 10．【答案】：ABD 【解析】： 对于选项A：样本总容量为 ，男生与女生的人数之比为 ，因此男生人数为 人，女生人数为 人.故选项A正确. 对于选项B：根据分层抽样中平均数的加权计算公式，总平均数 = 男生平均数 男生占比 + 女生平均数 女生占比.代入已知数据： ，解得 小时.故选项B正确. 对于选项C：样本总方差不仅与各组内部的方差有关，还与各组平均数与总平均数的偏差有关.总方差的计算公式为： .虽然已知男、女生的方差分别为 和 ，但由于不知道男、女生各自的平均数，无法直接得出总方差就是 .故选项C错误. 对于选项D：方差是衡量数据离散程度的统计量.当一组数据中的每个数值都加上同一个常数时，数据的波动程度（离散程度）不会发生改变，因此方差保持不变，仍为 .故选项D正确. 11．【答案】：ABD 【解析】： 对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】：3 【解析】： 表示以 为圆心，半径为1的圆 表示圆上点到原点的距离，最大值为 13．【答案】： 【解析】： 利用向量平行的坐标表示求参数： 已知 ， ，且 . 根据向量平行的坐标表示公式（ ），可得： 解得： . 因此，向量 利用向量的坐标运算求差向量： 计算 ： 利用向量的模长公式求解： 根据向量模的计算公式 ，可得： 14．【答案】：8 【解析】： 数据线性变换： 方差变换： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知： ， (1) 求 的实部与虚部： （3分） 实部为 ，虚部为 .（6分） (2) 且 ，求复数 ： 设 ，由 得： 得点 z在线段 的中垂线上（9分） 展开化简： 由 得： （12分） 联立(1)(2)解得： 或 （13分） 16．（15分） (1) 求函数 的最小正周期及对称轴方程； 解析： （2分） 最小正周期： .（3分） 对称轴：令 ， 解得 ，即 .（5分） (2) 若 ，求函数 的值域； 解析： 因为 ，所以 ， 进而 .（7分） 由正弦函数的性质可知， 的取值范围是 . 当 ，即 时，取得最大值 . 当 ，即 时，取得最小值 （9分） 所以 的取值范围是： 故值域为 .（10分） (3) 在 中，角 的对边分别为 .若 ，且 ，求 面积的最大值. 解析： 由 得： 因为 是三角形内角，即 ，所以 . 在此范围内，正弦值为 的角有 （注意 取不到，因为是开区间，且若 舍去）. 所以 ，解得 ，即 .（12分） 的面积公式为： 已知 ，根据基本不等式 ： （14分） 当且仅当 时取等号. 所以面积的最大值为： （15分） 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则，（2分） 又平面，平面，所以平面.（4分） （2）由为的中点，为的中点，得，，（6分） 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，（8分） 由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面．（9分） （3）如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，，（11分） 因此，（13分） 所以异面直线与所成角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 分层抽样：男生30人，平均身高175cm，标准差10cm；女生20人，平均身高165cm，标准差8cm. (1) 求50人平均身高： （7分） (2) 求方差： 使用公式： （17分） 19.（17分） （1）【答案】 （1）解答 解： 由 ， ，可得： ， ， （2分） 根据新运算定义： 实部： 虚部： 所以 （4分） 其模为： 答案： （5分） （2）解答 解： 已知 ， ，则： ， ， 计算 ： 实部： 虚部： 所以 对应的点为 由于该点落在直线 上，有： 移项整理得： （7分） 轨迹方程求解： 对 的正负进行分类讨论： 情况一： ， 方程变为： 化简得： ，即 ，所以 此时 （ ），即正半虚轴（含原点） 情况二： ， 方程变为： 化简得： ，恒成立 此时 （ ， ），即第二象限（含负半实轴和正半虚轴） 情况三： ， 方程变为： 化简得： ，即 ，所以 此时 （ ），即负半实轴 情况四： ， 方程变为： 化简得： ，即 由于 ， ，矛盾，无解 综上所述： 的轨迹为复平面内满足 或 的所有点，即除去第四象限（不含坐标轴）的区域.（11分） （3）解答 解： 由于 为单位圆上的点，设 ，则： ， ，所以 ， 计算 ： 实部： 虚部： 所以： 求 的取值范围： 展开化简： 令 ，则 （13分） 所以： 当 时： 当 时： 由于 ，有 ，所以 综上： ，因此 （15分） 求最大值时点 的坐标： 当 时， ，即： 由 ，得 解得： ，即 （ ） 当 为偶数时： ， ， 当 为奇数时： ， ， 答案： 的取值范围为 当 取最大值时，点 的坐标为 或 （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $