2025-2026学年高一下学期自编数学期末模拟卷（人教A版，广东适用，卷一）

**基本信息** 广东省高一下学期期末数学模拟卷，以复数、立体几何、概率统计等为核心，通过广交会观展统计、巡逻艇航行等真实情境，融合复向量创新题型，考查数学眼光观察、思维思考与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数虚部、分层抽样、圆锥体积、概率事件|基础巩固，如第3题分层抽样计算第40百分位数| |填空题|3题15分|向量投影、圆台体积、解三角形参数范围|能力提升，如第14题结合三角恒等变换求边长最大值| |解答题|5题77分|复数应用、广交会统计分析、巡逻艇解三角形、菱形立体几何、复向量创新|创新应用，广交会统计（数据意识）、复向量定义迁移（创新意识）|

广东省2025−2026学年高一下学期期末考试模拟训练（一） 数　学（解析卷） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 答案速查表 1 2 3 4 5 A A C A D 6 7 8 9 10 A C C ABC ABD 11 12 13 14 15 ABD −1； （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2）78.3；69 （3） （1）北偏东 （2） （1）证明见解析 （2） （3） （1）； （2）成立，证明见解析 （3）2；证明见解析 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.　设（为虚数单位），则的虚部是（ 　　） A. 3 B. 3i C. 4 D. −4 ☆【答案】A 【解析】∵，∴. 则. ∴. 故其虚部为3. 【点拨】本题考查复数的四则运算及共轭复数的概念，注意复数的虚部是一个实数，不包含.☆ 2.　若，，若，则的值是（ 　　） A. B. C. −3 D. 3 ☆【答案】A 【解析】∵，，且， ∴， 解得. 【点拨】本题考查平面向量垂直的坐标表示，两向量垂直的充要条件是它们的数量积为0.☆ 3.　已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（ 　　） A. 15 B. 20 C. 17.5 D. 30 ☆【答案】C 【解析】由题可知分层抽样比为：， 故五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，排序后分别为10，15，20，25，30. 因为，所以该组数据的第40百分位数为. 故选：C. 【点拨】本题考查分层抽样与百分位数的计算.计算百分位数时，务必先将数据从小到大排序，若为整数，则取该项与下一项的平均数.☆ 4.　底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ 　　） A. B. C. D. ☆【答案】A 【解析】由题意知，圆锥的底面直径为2，则底面半径. 又母线长，则圆锥的高. ∴该圆锥的体积. 【点拨】本题考查圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的轴截面性质（母线、高、底面半径构成直角三角形）是解题关键.☆ 5.　现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ 　　） A. B. C. D. ☆【答案】D 【解析】从6道题中任取2道，共有种不同的取法. “所取的2道题都是同一类题”包含两种互斥的情况：“2道都是甲类题”或“2道都是乙类题”. 2道都是甲类题的取法有种； 2道都是乙类题的取法有种. ∴所取的2道题都是同一类题的概率. 【点拨】本题考查古典概型的概率计算，利用分类加法计数原理理清符合条件的事件数是解题的核心.☆ 6.　在中，角所对的边分别为，如果，则一定是（ 　　） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ☆【答案】A 【解析】∵， 由正弦定理可得，， 即，∴. ∵，∴. ∴或， 即或. ∴一定是等腰三角形或直角三角形. 【点拨】本题考查正弦定理在判断三角形形状中的应用.将边化角后，由得出两角相等或互补是易错点，切勿漏解.☆ 7.　已知平面和直线，下列命题正确的是（ 　　） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ☆【答案】C 【解析】对于A，若，，，，当时，与可能相交，故A错误； 对于B，若，，在空间中直线可能平行、相交或异面，故B错误； 对于C，平行于同一个平面的两个平面互相平行，故C正确； 对于D，若，，则直线可能平行于，也可能在平面内，故D错误. 【点拨】本题考查空间中点、线、面位置关系的判定.对于此类命题判断，常借助正方体模型寻找反例进行排除.☆ 8.　已知是单位向量，.若向量满足，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. ☆【答案】C 【解析】∵是单位向量，且， ∴. 由可化为. 设向量的终点为，向量的终点为， 则点在以为圆心，1为半径的圆上运动. 又，即圆心到原点的距离为. ∴的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即. 【点拨】本题考查平面向量模的最值问题.将向量的模转化为平面几何中点到点的距离，利用圆的几何性质求最值是处理此类问题的通用策略.☆ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.　给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ 　　） A. 平均数为3 B. 众数为2和3 C. 方差为 D. 第85百分位数为4.5 ☆【答案】ABC 【解析】将这组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5. 对于A，平均数，故A正确； 对于B，数据中2和3均出现了3次，出现次数最多，故众数为2和3，故B正确； 对于C，方差，故C正确； 对于D，∵，不是整数， ∴第85百分位数为排序后的第9项数据，即5，故D错误. 【点拨】本题考查统计学基本数字特征的计算.计算百分位数时，若不是整数，则向上取整取对应项的值，这是常考易错点.☆ 10.　已知事件发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则事件相互独立 B. 若事件互斥，则 C. 若事件相互独立，则 D. 若事件发生时事件一定发生，则 ☆【答案】ABD 【解析】∵，，∴， ∴事件，相互独立，则，相互独立，A正确； 由A，B互斥，则，B正确； ∵相互独立，则， ∴，C错误； ∵发生时一定发生，∴，则，D正确. 故选：ABD 【点拨】本题考查互斥事件与独立事件的概率计算.理清事件之间的包含、互斥、独立关系，并准确运用对应的概率加法和乘法公式是解题关键.☆ 11.　已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ 　　） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 ☆【答案】ABD 【解析】对于A选项，在正方体中，，，， ，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 为上一动点，， 正方体的棱长为2， ， 四面体的体积为定值，故A正确； 对于B选项，当为中点时，平面，证明如下： 取的中点，的中点，连接， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面， 平面，平面，， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面，平面， 平面，， ，平面，平面， 即存在点，使平面，故B正确； 对于C选项，过作于点，过作于点， 在直角三角形中，，，， ，， 在中，，，， ，， ，， ，点与重合， 是二面角的平面角， ，故C错误； 对于D选项，取的中点，连接， 在直角三角形中，， 又由B选项中可知，平面，平面， ， ，，，为四面体的外接球的球心， 外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 【点拨】本题考查立体几何的综合探究.利用线面平行转化点到平面的距离是求动态四面体体积的常用技巧；寻找外接球球心时，注意观察几何体中隐含的直角三角形.☆ 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.　已知单位向量满足，则＿＿＿＿＿＿，在方向上的投影向量等于＿＿＿＿＿＿（用向量表示）. ☆【答案】−1； 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：；. 【点拨】本题考查向量模的平方运算及投影向量的定义.牢记投影向量的计算公式可快速求解.☆ 13.　已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为＿＿＿＿＿＿. ☆【答案】 【解析】圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为， 由圆台的侧面积公式得，解得， 由勾股定理得， 由圆台的体积公式得， 故答案为：. 【点拨】本题考查圆台的侧面积与体积计算.圆台的轴截面是等腰梯形，利用梯形的高、母线与底面半径之差构成的直角三角形求高是常规思路.☆ 14.　在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. ☆【答案】 【解析】在中，由正弦定理得： ， . ∴. 设，其中. ∵，∴. 要使在上有最大值，必须存在使得，即. ∵，∴. ∴且. 即且. 解得，即. ∴实数的取值范围是. 【点拨】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合.利用正弦定理将边化角，再借助辅助角公式化简，结合自变量的范围探讨最值存在的条件是解题的核心.☆ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.　（13分）已知复数，. （1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； （2）若，求的最小值. ☆【答案】（1） （2） 【解析】解：（1） 依题意有 2 分 解得 3 分 得. 4 分 . 5 分 （2） . 6 分 由得 8 分 消去得 10 分 . 11 分 当时，取最小值，. 13 分 【点拨】本题考查复数的几何意义及复数相等的充要条件.处理第二问时，将复数问题转化为三角函数的最值问题，利用配方法求解是关键.☆ 16.　（15分）2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元.“一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成，，…，五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自观展时间在和的概率. ☆【答案】（1） （2）78.3；69 （3） 【解析】解：（1） 由频率分布直方图可知：，解得. 3 分 （2） 观展时间在区间的频率之和为：， 观展时间在区间的频率之和为：， 所以样本数据的第75百分位数在区间内， 设所求百分位数为分钟，则， 解得，所以估计样本数据的第75百分位数为78.3分钟. 6 分 估计样本的平均数 分钟. 9 分 （3） 由题意知，抽出的5名观展人员中，观展时间在的有人，设为， 观展时间在的有人，设为，先从观展时间在的2人中抽一人，再从观展时间在的3人中抽一人， 10 分 则样本空间为， ， 12 分 设事件“两人分别来自观展时间在和” 则，， 14 分 因为抽取样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 因此， 所以两人分别来自观展时间在和的概率为. 15 分 【点拨】本题考查频率分布直方图的应用及古典概型.计算百分位数时，利用面积等式构建方程；求古典概型概率时，采用列举法可确保不重不漏.☆ 17.　（15分）如图，一艘巡逻艇从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛.小岛与小岛相距海里.三个小岛构成. 其中分别为三角形在顶点处的内角. （1）若满足关系式：，求巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用的方向（以北偏东角度表示）； （2）巡逻艇从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻艇在点抛锚.若从小岛直接前往救援，需行驶2海里到达点.若满足关系式：，求的最大值. ☆【答案】（1）北偏东 （2） 【解析】解：（1）因为，由正弦定理， 1 分 得， 2 分 即， 即， 4 分 因为，故，解得， 5 分 因为，故， 6 分 故巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行. 7 分 （2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有， 8 分 解得， 9 分 又因为 10 分 化简得，， 11 分 因为， 13 分 即，故，当且仅当时取等号， 14 分 的最大值为. 15 分 【点拨】本题考查解三角形在实际问题中的应用.处理中线问题时，利用中线长公式或在两个小三角形中运用余弦定理是常规方法；求最值时，灵活运用基本不等式可简化运算.☆ 18.　（17分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点. （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）若，当二面角的正切值为−2时，求直线与平面所成的角. ☆【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】解：（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 2 分 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 4 分 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以. 6 分 （2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 8 分 所以. 11 分 （3）设点是与的交点，由（1）可知平面， 又，均在平面内，从而有，， 故为二面角的平面角，所以， 13 分 所以， 因为，所以为等边三角形. 不妨设菱形的边长为，. 则在直角中，，，，所以， 15 分 因为平面，所以为直线与平面所成的角. 则，所以直线与平面所成的角为 17 分 【点拨】本题考查空间线面垂直的证明及线面角的计算.证明线线垂直常转化为证明线面垂直；求线面角时，关键是找到平面的垂线，构建直角三角形.☆ 19.　（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似地，我们可以把有序复数对看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：. （1）设，，求和； （2）验证复向量结合律：是否成立； （3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，. ☆【答案】（1）； （2）成立，证明见解析 （3）2；证明见解析 【解析】解：（1）∵，， ∴ 1 分 由新定义加法得： 2 分 ∴ 3 分 （2）设，， 6 分 8 分 ∴成立 9 分 （3）∵，，设，其中 (). 11 分 13 分 当时，取得最小值4， 即的最小值为2 15 分 此时，，. 对于任意的，设. 16 分 ∴ . 得证 17 分 【点拨】本题考查复数与平面向量结合的新定义问题.解题的关键是严格遵循题目给出的“反常规”运算法则（如加法对应坐标相减，数乘对应乘共轭），切忌主观臆断.☆ 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（一） 数　学 一、命题说明 1. 结构与范围 本卷采用19题结构，解答题依次考查复数、统计概率、解三角形、立体几何、向量新定义，100%覆盖必修二核心模块. 2. 难度梯度 选择题前3题、填空题第12题为基础送分题，第8、11、14题为小题压轴，解答题第19题最后一问为探究压轴，整体难度比约4:11:4. 3. 情境与创新 第3、5、16、17题融入抽样调查、展会统计、巡逻救援等真实情境；第19题创设“复向量”反常规运算法则，重点考查即时学习与知识迁移能力. 4. 素养导向 第17题要求学生在航海情境中建立解三角形模型，第11、18题通过截面与翻折探究强化直观想象，第19题深度考查数学抽象与逻辑推理. 二、双向细目表 题号 题型 分值 知识模块 具体考点要求 目标难度系数 备注 1 单选 5 复数 复数的四则运算与共轭复数虚部 0.90 基础送分 2 单选 5 平面向量 向量的坐标表示与垂直条件 0.85 基础送分 3 单选 5 统计 分层抽样与百分位数计算 0.80 真实情境 4 单选 5 立体几何 简单几何体（圆柱/圆锥）的体积计算 0.75 基础达标 5 单选 5 概率 古典概型与互斥事件概率加法 0.70 真实情境 6 单选 5 解三角形 正弦定理与余弦定理的综合应用 0.65 知识交汇 7 单选 5 立体几何 空间点、直线、平面位置关系的判断 0.60 空间想象 8 单选 5 平面向量 向量数量积与模长的最值问题 0.45 小题压轴 9 多选 6 统计 平均数、方差的性质与数据分析 0.70 多维判断 10 多选 6 概率 独立事件与复杂事件的概率计算 0.60 易错辨析 11 多选 6 立体几何 截面问题、外接球或动点轨迹探究 0.35 探究压轴 12 填空 5 平面向量 投影向量或向量夹角的计算 0.80 基础送分 13 填空 5 立体几何 旋转体（圆台/球）的侧面积与体积 0.65 空间计算 14 填空 5 解三角形 结合三角恒等变换的周长/面积最值 0.40 填空压轴 15 解答 13 复数 （1）复数相等求参数(B)；（2）复数模的最值(B) 0.75 基础解答 16 解答 15 统计与概率 （1）频率分布直方图与分层抽样(B)；（2）古典概型(B) 0.70 情境应用 17 解答 15 解三角形 （1）正余弦定理求角/边(B)；（2）实际情境中的距离/角度最值(B) 0.60 情境建模 18 解答 17 立体几何 （1）线面平行/垂直的证明(B)；（2）几何体体积或线面角的计算(B) 0.50 综合推理论证 19 解答 17 平面向量 （1）向量新定义理解(B)；（2）新定义下的最值/范围探究(C) 0.30 创新压轴 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025−2026学年高一下学期期末考试模拟训练（一） 数　学 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.　设（为虚数单位），则的虚部是（ 　　） A. 3 B. 3i C. 4 D. −4 2.　若，，若，则的值是（ 　　） A. B. C. −3 D. 3 3.　已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（ 　　） A. 15 B. 20 C. 17.5 D. 30 4.　底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ 　　） A. B. C. D. 5.　现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ 　　） A. B. C. D. 6.　在中，角所对的边分别为，如果，则一定是（ 　　） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7.　已知平面和直线，下列命题正确的是（ 　　） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8.　已知是单位向量，.若向量满足，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.　给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ 　　） A. 平均数为3 B. 众数为2和3 C. 方差为 D. 第85百分位数为4.5 10.　已知事件发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则事件相互独立 B. 若事件互斥，则 C. 若事件相互独立，则 D. 若事件发生时事件一定发生，则 11.　已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ 　　） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.　已知单位向量满足，则＿＿＿＿＿＿，在方向上的投影向量等于＿＿＿＿＿＿（用向量表示）. 13.　已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为＿＿＿＿＿＿. 14.　在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.　（13分）已知复数，. （1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 16.　（15分）2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元.“一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成，，…，五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自观展时间在和的概率. 17.　（15分）如图，一艘巡逻艇从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛.小岛与小岛相距海里.三个小岛构成. 其中分别为三角形在顶点处的内角. （1）若满足关系式：，求巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用的方向（以北偏东角度表示）； （2）巡逻艇从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻艇在点抛锚.若从小岛直接前往救援，需行驶2海里到达点.若满足关系式：，求的最大值. 18.　（17分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点. （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）若，当二面角的正切值为−2时，求直线与平面所成的角. 19.　（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似地，我们可以把有序复数对看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：. （1）设，，求和； （2）验证复向量结合律：是否成立； （3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $