20.3数据的离散程度（第1课时）教案 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该教案聚焦“数据的离散程度”核心知识点，通过机床生产零件精度比较的情境导入，先计算平均数发现无法区分稳定性，引出需考察数据离散程度，衔接集中趋势知识，构建学习支架。 资料特色在于情境驱动探究，从实际问题培养数学眼光（发现离散程度必要性），通过直观图形到公式推导发展数学思维（推理意识、运算能力），结合计算器和电子表格工具强化数学语言表达（数据处理），思维导图助知识体系化。提升学生分析解决问题能力，为教师提供清晰教学路径。

第二十章 数据的初步分析 20.3 数据的离散程度 第1课时 一、教学目标 1.理解离差平方和与方差概念与作用. 2.理解和掌握离差平方和与方差的计算公式，并能灵活运用方差知识解决问题. 3.会用计算器计算一组数据的离差平方和与方差． 4.通过实验和探索，体会用统计量表示数据波动情形的合理性，并能用它们解决有关实际问题. 二、教学重难点 重点：离差平方和与方差产生的必要性和离差平方和与方差的计算公式. 难点：理解离差平方和与方差公式以及方差的意义. 三、教学过程设计 环节一：创设情境 情境：两台机床生产的零件都是合格的，为了评判哪台机床生产的零件的精度更稳定，从产品中各抽出10个零件进行测量，结果如下表： 预设：先分别计算它们的平均数，再比较两个平均数的大小，就能评估出哪台机床生产的零件的精度大了！ 这种说法对吗？为什么？ 这节课我们就一起研究这个问题！ 设计意图：通过实际问题的解决，引出本节课的学习，调动学生学习的积极性以及对数学知识学习的欲望. 环节二：探究新知 问题1 两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个进行测量，结果如下(单位：mm)： 提出问题：你能根据以上结果评判哪台机床生产的零件的精度更稳定吗？ 要比较两组数据的稳定性，首先想到的是求它们的平均值： 追问：平均值一样，这可怎么比较呢？ 它们的中位数也都是20.0mm，从数据集中趋势这个角度很难区分两台机床生产的零件的精度的稳定性了.这时，就需要考察数据的离散程度了. 把每组零件的直径分别用点来表示，如下图： 图中过20.0且与横轴平行的直线上的点表示与平均数相等都是20.0. 对于机床A：和20.0相等的有2个； 偏离平均数0.2mm的6个，偏离平均数0.1mm的2个； 对于机床B：和20.0相等的有4个； 偏离平均数0.2mm的2个，偏离平均数0.1mm的4个. 对比分析：直观上很容易看出机床B比机床A生产的零件的精度更稳定. 思考：如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？ 统计学中，通常采用离差平方和或方差衡量数据的离散程度. 设一组数据是它们的平均数是我们将称为这组数据的离差平方和，可以简记为. 将称为这组数据的方差. 注意：一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大. 归纳：离差平方和与方差都具有如下性质: (1)最小值为0; (2)数据的离散程度大，它们的值也大. 当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度. 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 你现在知道怎样用数量来比较两台机床生产的零件哪台更稳定了吗？ 前边已经经过计算得到两台机床生产的零件中10个零件的直径的平均值是相等的，都是20.0，下面通过计算离差平方和与方差，来评判哪台机床的精度更稳定： 思考：请根据计算的离差平方和与方差来分析机床A和机床B哪台生产的零件的精度更稳定？ 预设：无论是根据离差平方和还是方差，我们都可以知道机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大.据此，我们可以评判机床B生产的零件精度更稳定. 设计意图：通过探究思考实际问题，让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析，还需要关注数据的离散程度，即它们相对于“平均水平”的偏离程度，从而顺利引入方差的概念以及方差的计算公式. 计算器和电子表格软件可以帮助我们简化计算，以上述问题的数据为例，计算机床A和机床B生产的零件直径的方差. 1.用计算器计算 以计算机床A生产的零件直径的方差为例. (1)设定SD模式：打开计算器后，先按键MODE 2将其设定至开始状态； (2)按键SHIFT CLR 1(SCL) =，清除计算器原先在SD模式下所储存的数据； (3)依次按键：20.0 DT 19.8 DT 20.1 DT 20.2 DT 19.9 DT 20.0 DT 20.2 DT 19.8 DT 20.2 DT 19.8 DT 输入数据； (4)按键SHIFT S-VAR 2 =，显示方差的算术平方为0.161 245 155； (5)按键x² =，显示方程为0.026. 因此，sA2=0.026. 你能用计算器计算机床B生产的零件直径的方差吗? 2.用电子表格软件计算 (1)在电子表格软件中输入机床A，B的数据，如图： (2)如左图,通过“公式”一“插入函数”一选择类别“统计”一“VAR.P”函数计算,得到机床A数据的方差，如右图. (3)类似的操作可得到机床B数据的方差. 练一练： 1：如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为，方差为 s2，那么，另一组数据 a1+2，a2+2，…，an+2 的平均数为 ，方差为 . 2：如果一组数据 b1，b2，…，bn 的平均数为4，方差为，那么另一组数据的平均数为 ，方差为 . 根据方差的公式计算即可. 1.答案：， s2； 2.答案：2， ； 根据计算结果及其计算过程，你能得出什么规律吗？ 总结：将一组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；将一组数据中的每一个数据都变为原来的k倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的k2倍. 设计意图：借助两个思考题，让学生通过观察分析、组内交流，得出计算方差的规律，同时培养学生的观察、分析问题和总结的能力. 环节三：应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 请你分别计算这两组数据的离差平方和与方差，并判断选谁参加比赛？ 分析：根据方差的计算公式可知，先计算每组数据的平均数，然后再根据离差平方和与方差的计算公式计算对应的离差平方和与方差，最后根据离差平方和与方差的大小判断选哪名学生参赛. 解： 乙的成绩比较稳定，故选乙参加比赛. 设计意图：进一步巩固学生对“离差平方和与方差”的认识和理解. 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.已知一个样本的方差，则这个样本的容量为 ，平均数为 . 2.甲、乙两名运动员进行了5次跳远的成绩测试，而且知道= 0.016，= 0.025，那么由此可知 的成绩比 的成绩稳定. 3.如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为，方差为 s2，那么，另一组数据 a1–2，a2–2，…，an–2 的平均数为 ，方差为 . 4. 考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取 10 株苗，测得苗高如下(单位：cm)： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16. 计算甲、乙两组数据的离差平方和与方差，说明哪种小麦长得较整齐. 答案： 1：10 26 2：甲 乙 3： s2 4.解： ,所以甲种小麦长得较整齐. 设计意图：学生通过练习，可以更好地掌握方差的计算以及方差的意义，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力. 环节五：总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 学科网（北京）股份有限公司 $