专题20.2数据的离散程度、四分位数和箱线图、分组（高效培优讲义，5知识&6题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题20.2数据的离散程度、四分位数和箱线图、分组 教学目标 1.熟练掌握离差平方和、方差的核心概念与计算公式，能够独立准确计算简单数据及实际生活情境数据的离散程度统计量。 2.理解四分位数（第一四分位数Q₁、第二四分位数Q₂即中位数、第三四分位数Q₃）的定义内涵与四分分段原理，熟练掌握数据个数为奇数、偶数两种情况下四分位数的规范计算方法；熟知箱线图五大核心构成要素，能够规范绘制箱线图并精准解读图形信息。 3. 掌握大数据量数据分组整理的完整流程，熟练掌握确定组数、划定组距、处理边界值、制作频数分布表的基本方法，能够独立完成繁杂数据的分组统计，并结合频数分布表、箱线图、离散程度统计量综合分析数据分布特点、集中范围与波动差异。 4. 能够结合实际生活中的成绩统计、产品质量检测、环境数据监测等各类真实情境，灵活选用离散程度统计量、箱线图、分组频数表开展数据分析，做出合理的数据评价与简单统计决策。 教学重难点 教学重点 1.离差平方和 、方差的公式识记与准确运算，不同数据情境下离散程度大小的快速判断与直观比较。 2.熟练精准求取Q₁、Q₂、Q₃，掌握箱线图标准绘制方法，能依托箱线图直观对比多组数据分布、集中趋势与离散差异。 3.掌握组数、组距的合理确定方法，严格遵循分组“不重不漏”原则规范制作频数分布表，并能依据表格精准分析大数据量的整体分布规律。 4. 能结合简单实际问题，选用合适统计方法与图表开展基础数据分析与结果评价。 教学难点 1. 深度理解方差刻画数据波动的核心原理，杜绝单纯死记公式、机械计算，能真正读懂方差数值大小背后的数据波动逻辑。 2. 四分位数精准取值与箱线图深度解读：突破数据奇偶个数不同时Q₁、Q₃的取值易错点，能通过箱线图箱体长度、须线长短精准分析数据离散程度与分布对称特点。 3. 根据数据实际分布情况合理搭配组数与组距，精准处理分组边界值，避免分组过细、过粗或数据重复、遗漏问题。 4. 能结合离散程度、箱线图、分组频数表三类统计工具，综合研判复杂实际问题，结合情境科学选择统计方法，做出合理统计推断与实用决策。 知识点01 离差平方和与方差 1. 定义：设一组数据是， ，…， ，它们的平均数是 ̅ ，我们将( － )² + ( －  ) ² +… + ( － )²称为这组数据的离差平方和，可以简记为 (- ̅)². 将s²=［ ( －) ²+ ( －) ²+…+ (－) ²］称为这组数据的方差. 2.求方差的步骤 3.离差平方和与方差都具有如下性质 (1)最小值为0；(2)数据的离散程度大，它们的值也大. 当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度. 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 【即学即练1】若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【即学即练2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知的方差为5，则的方差为_____ 知识点02 用样本方差估计总体方差 用样本方差估计总体方差：在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差 . 提示： (1)样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据 . (2)一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大 . (3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度 . 【即学即练】工人师傅用车床加工一种直径为20mm的零件，从某天加工的零件中随机抽取了10件，测得直径（单位：mm）如下：20.1，19.9，20.3，20.2，19.8，19.7，19.9，20.3，20.0，19.8． (1)计算样本平均数和样本方差． (2)试估计总体平均数和总体方差． (3)规定当加工零件的方差不超过时，车床生产情况为正常．请判断这台车床的生产情况是否正常． 知识点03 四分位数 1. 百分位数 将一组数据从小到大排列，一个数a，使不大于a 的数据至少占25%，使不小于a 的数据至少占75%，这个数a 就是这组数据的第25 百分位数. 而中位数就是第50 百分位数，它表示不大于中位数的至少占50%，不小于中位数的至少占50% . 根据这种方法，我们还可以找出其他百分位数. 2. 四分位数 一组数据从小到大排列，第25 百分位数(记作)、中位数(记作)、第75 百分位数(记作)把所有的数据等分成四部分，因此，称为四分位数，，，分别称为第一四分位数()、第二四分位数()、第三四分位数() 3. 确定四分位数的方法 (1)将数据从小到大排列，记为， ，…， ． (2)求中位数，并计算=n×25% 和l=n×75%. (3)若不是整数，记j 为大于i 的最小整数，则第25 百分位数为第j 个数据；若是整数，则第25 百分位数为第个和第(+1)个数据的平均数. 同理可求得第75 百分位数. 【即学即练】数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（    ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 知识点04 箱线图 1.箱线图的五要素：一组数据的三个四分位数及最小值和最大值. 2. 箱线图的结构：如图20.4-1. 3.箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接第一四分位数和第三四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，第二四分位数(中位数)在“箱体”中间. 注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的. 【即学即练】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 知识点05 数据分组原则 1. 组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，假设有n 个数据， ，，…，，若将其分成两组，其中前m个数据为一组(称为第一组)，后(n-m)个数据为一组(称为第二组). 这n 个数据的总体离差平方和S² 可以表示为：S²=(-)²+(-)²+… +(-)²，其中， =(++… +) 记(++… +)，(++… +). 则S²=(-)²+(-)²+… +(-)²+(-)²+(-)²+… +(-)²+[m(-)²+(n-m)(-)²]=+. 其中，=(-)²+(-)²+… +(-)²+(-)²+(-)²+...+(-)² 称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度；=m(- )²+(n-m)( -)² 称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异. 2. 数据分组的原则 组内差距最小. 3. 数据分组的根据 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大). 4. 数据分组的步骤 (1)将数据由小到大排列； (2)从m=1 开始，分类讨论所有可能的分组情况； (3)分别计算全部数据和各组数据的平均数； (4)计算两组数据的组内离差平方和或组间离差平方和； (5) 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 【即学即练】某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 题型01 平均数、方差的变化规律 【例1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知一组数据，，，，，的平均数是，则这组数据的方差是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知一组数据5，7，4，m，6，8的平均数为6，则这组数据的方差是（   ） A． B． C．2 D．10 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若数据10， 8， a， 12， 9的平均数是10， 则这组数据的方差是__________． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知样本的平均数为3，方差是2，那么样本的方差是______． 题型02 方差的实际应用 【例2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表． 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 (1)求甲进球的中位数； (2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为，如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？ 【变式2-1】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表(单位：秒)： 类型 编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲种电子钟 4 2 1 2 1 乙种电子钟 2 4 1 1 2 (1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数； (2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；（方差公式： ） (3)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？ 【变式2-2】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识竞赛．为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分．此次竞赛的成绩如下表所示： 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 八年级 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8 九年级 8 7 9 7 8 10 8 7 7 9 (1)若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的______． (2)八年级学生成绩的中位数是多少？ (3)若八年级学生成绩的方差是，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定． 【变式2-3】（2024八年级下·安徽·专题练习）某农民几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽了100棵蜜橘，成活，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他从甲山随意采摘了3棵树上的蜜橘，称得质量（单位：）分别为25，18，20；他从乙山采摘了4棵树上的蜜橘，称得质量（单位：）分别是21，24，19，20．组成一个样本，那么： (1)样本容量是多少？ (2)样本平均数是多少？并估算出甲乙两山蜜橘的总产量？ (3)甲乙两山哪座山上蜜橘挂果更均匀？为什么？ 题型03 平均数、中位数、众数、方差的综应用 【例3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）合肥市包河区大圩镇属北亚热带季风湿润性气候，四季分明，雨量适中，得天独厚的自然条件孕育了大圩葡萄的独特风味．这里的葡萄果穗紧凑，颗粒饱满且大小均匀，果皮色泽鲜艳，果肉多汁，口感酸甜适中，糖酸比例均衡，具有很高的可溶性固形物含量，是理想的鲜食葡萄．果农王亮对甲、乙两个大棚里所种植的“夏黑”葡萄的生长情况进行调查统计，为葡萄园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从甲、乙两个大棚里分别各随机抽取了20串葡萄，称量它们的重量（单位：），作为样本数据进行整理． ①甲大棚20串葡萄的重量分别为： 545，560，414，565，640，560，590，542，425，560， 630，580，466，530，487，625，490，513，508，540， ②将所收集的乙大棚20串葡萄重量（单位：）样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 其中，在组中的数据是：520，545，530，520，533，522． ③乙大棚抽取的葡萄的重量统计图表： ④甲、乙两大棚随机抽取的葡萄的重量数据统计表如表所示： 甲大棚 乙大棚 平均重量 538.5 536.6 中位数 543.5 众数 562 方差 3840.7 3032.5 乙大棚抽取的葡萄重量统计图 【数据分析与运用】 任务1 请直接写出上述统计表中：___________，___________；扇形统计图E组所对应扇形的圆心角度数为___________． 任务2 本次抽取的共40串葡萄中，重量在串及以上的视为“佳品葡萄”．若甲、乙两大棚的葡萄总共有2400串，请你估计甲、乙两大棚“佳品葡萄”共有多少串？ 任务3 请你帮果农王亮对甲、乙甲、乙两大棚葡萄的情况做简要分析． 【变式3-1】（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）某校七、八年级各有200人参加“安全教育知识竞赛”，两年级参赛人员中各随机抽取10名学生的成绩如下： 七年级：73  81  65  82  85  95  81  85  97  85 八年级：72  76  79  83  87  97  76  83  83  95 【整理数据】 成绩 七年级 1 1 a 2 八年级 0 4 4 2 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82.9 b 85 78.49 八年级 83.1 83 c 59.09 【应用数据】 (1)直接写出______，______，______； (2)请结合表格信息，判断样本中______年级学生的竞赛成绩更稳定？（填七或八） (3)请估计该校七、八年级成绩不低于80分的总人数． 【变式3-2】为迎接省运会，芜湖市射击队要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛．两名射击运动员近五次选拔测试成绩条形统计图如图所示（单位：环）    甲、乙五次选拔测试赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 甲 a 8 c 乙 8 b 0.4 (1)已知甲成绩的众数是8环，乙成绩的平均数是8环，则_________，_________，_________； (2)请补全条形统计图； (3)现要从甲、乙两人中选拔一个成绩较为稳定的运动员参加比赛，应选谁？请说明理由． 【变式3-3】为了提高学生的综合体育素养，八（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了8次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 170，175，180 c (1)求a，b，c的值； (2)若八（1）班选一位成绩相对稳定的选手参赛，你认为应该选谁？请说明理由； (3)根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟绳成绩谁优？ 题型04 与四分位数有关综合应用 【例4】（2023·安徽芜湖·三模）四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________． 【变式4-2】2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，某校举行了国家安全知识竞赛，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：）， 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______，七年级抽取的学生成绩的第一四分位数是______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？ 【变式4-3】为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图： 选手 测试成绩／分 总评成绩／分 采访 写作 摄影 小悦 小涵 ▲ ▲    (1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数加下：，，，，，，．这组数据的中位数是___________分，下四分位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分； (2)请你计算小涵的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 题型05 箱线图的应用 【例5】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 【变式5-1】【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 【变式5-2】在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 【变式5-3】某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 题型06 利用分组解决简单的实际问题 【例6】已知有8个苹果，它们的直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81． (1)直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和上四分位数； (2)现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多．下表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理． 分法 第一组苹果直径（mm） 第二组苹果直径（mm） 组内离差平方和 第一种分法 71，72，73，76 78，80，80，81 18．75 第二种分法 71，72，73 76，78，80，80，81 【变式6-1】某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【变式6-2】某小组4名同学的身高（单位：）为140，145，155，160． (1)计算这组数据的平均数． (2)计算分组和的组内离差平方和之和． 【变式6-3】某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 一、单选题 1．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 2．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 3．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为55，64，51，50，61，55，则这组数据的是（    ） A．51 B．55 C．58 D．64 4．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）近年来，电动汽车快速发展．某汽车制造商设计生产一款新型纯电动汽车，现测试该款电动汽车低速工况和高速工况的能耗情况，为了更接近真实的日常用车环境，低速工况的平均时速在左右，包括城市一般道路等路况；高速工况的平均时速保持在左右，路况主要是高速公路．设低速工况时能耗的平均数为，方差为，高速工况时能耗的平均数为，方差为，根据统计图中的数据，可得出正确结论是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）某中学七年级10名同学在学校举行的“请党放心，强国有我”主题演讲比赛中，他们的比赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的比赛成绩，下列说法正确的是（   ） A．众数是90 B．中位数是85 C．平均数是88 D．方差是65 6．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）某排球队6名队员的身高（单位：cm） 是：． 现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（    ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 7．（24-25八年级下·安徽六安·期末）学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，小明统计了7位评委对某参赛选手的评分并制成如下表格．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下表中的数据一定不会发生变化的是（   ） 众数 中位数 平均数 方差 A． B． C． D． 8．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题 9．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 10．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 11．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知一组数据：，小明用计算这一组数据的方差，那么______． 12．已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 三、解答题 13．2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 14．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 15．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 C 根据以上信息，请回答下列问题： (1)   ， ， ； (2)从方差的角度看， （填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； (3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 16．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2数据的离散程度、四分位数和箱线图、分组 教学目标 1.熟练掌握离差平方和、方差的核心概念与计算公式，能够独立准确计算简单数据及实际生活情境数据的离散程度统计量。 2.理解四分位数（第一四分位数Q₁、第二四分位数Q₂即中位数、第三四分位数Q₃）的定义内涵与四分分段原理，熟练掌握数据个数为奇数、偶数两种情况下四分位数的规范计算方法；熟知箱线图五大核心构成要素，能够规范绘制箱线图并精准解读图形信息。 3. 掌握大数据量数据分组整理的完整流程，熟练掌握确定组数、划定组距、处理边界值、制作频数分布表的基本方法，能够独立完成繁杂数据的分组统计，并结合频数分布表、箱线图、离散程度统计量综合分析数据分布特点、集中范围与波动差异。 4. 能够结合实际生活中的成绩统计、产品质量检测、环境数据监测等各类真实情境，灵活选用离散程度统计量、箱线图、分组频数表开展数据分析，做出合理的数据评价与简单统计决策。 教学重难点 教学重点 1.离差平方和 、方差的公式识记与准确运算，不同数据情境下离散程度大小的快速判断与直观比较。 2.熟练精准求取Q₁、Q₂、Q₃，掌握箱线图标准绘制方法，能依托箱线图直观对比多组数据分布、集中趋势与离散差异。 3.掌握组数、组距的合理确定方法，严格遵循分组“不重不漏”原则规范制作频数分布表，并能依据表格精准分析大数据量的整体分布规律。 4. 能结合简单实际问题，选用合适统计方法与图表开展基础数据分析与结果评价。 教学难点 1. 深度理解方差刻画数据波动的核心原理，杜绝单纯死记公式、机械计算，能真正读懂方差数值大小背后的数据波动逻辑。 2. 四分位数精准取值与箱线图深度解读：突破数据奇偶个数不同时Q₁、Q₃的取值易错点，能通过箱线图箱体长度、须线长短精准分析数据离散程度与分布对称特点。 3. 根据数据实际分布情况合理搭配组数与组距，精准处理分组边界值，避免分组过细、过粗或数据重复、遗漏问题。 4. 能结合离散程度、箱线图、分组频数表三类统计工具，综合研判复杂实际问题，结合情境科学选择统计方法，做出合理统计推断与实用决策。 知识点01 离差平方和与方差 1. 定义：设一组数据是， ，…， ，它们的平均数是 ̅ ，我们将( － )² + ( －  ) ² +… + ( － )²称为这组数据的离差平方和，可以简记为 (- ̅)². 将s²=［ ( －) ²+ ( －) ²+…+ (－) ²］称为这组数据的方差. 2.求方差的步骤 3.离差平方和与方差都具有如下性质 (1)最小值为0；(2)数据的离散程度大，它们的值也大. 当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度. 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 【即学即练1】若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【详解】解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 【即学即练2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知的方差为5，则的方差为_____ 【答案】20 【详解】解：设这组数据的平均数为， 则， ， 则另一组新数据的平均数为， ， ∴另一组数据的方差为 ， 故答案为：20． 知识点02 用样本方差估计总体方差 用样本方差估计总体方差：在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差 . 提示： (1)样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据 . (2)一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大 . (3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度 . 【即学即练】工人师傅用车床加工一种直径为20mm的零件，从某天加工的零件中随机抽取了10件，测得直径（单位：mm）如下：20.1，19.9，20.3，20.2，19.8，19.7，19.9，20.3，20.0，19.8． (1)计算样本平均数和样本方差． (2)试估计总体平均数和总体方差． (3)规定当加工零件的方差不超过时，车床生产情况为正常．请判断这台车床的生产情况是否正常． 【答案】(1)样本平均数为20.0mm，样本方差为 (2)总体平均数为20.0mm，总体方差为 (3)这台车床的生产情况正常 【详解】（1）解：样本平均数：（mm）， 样本方差：（）， 即样本平均数为，样本方差为． （2）答：估计总体平均数为，总体方差为． （3）解 ∴这台车床的生产情况正常． 知识点03 四分位数 1. 百分位数 将一组数据从小到大排列，一个数a，使不大于a 的数据至少占25%，使不小于a 的数据至少占75%，这个数a 就是这组数据的第25 百分位数. 而中位数就是第50 百分位数，它表示不大于中位数的至少占50%，不小于中位数的至少占50% . 根据这种方法，我们还可以找出其他百分位数. 2. 四分位数 一组数据从小到大排列，第25 百分位数(记作)、中位数(记作)、第75 百分位数(记作)把所有的数据等分成四部分，因此，称为四分位数，，，分别称为第一四分位数()、第二四分位数()、第三四分位数() 3. 确定四分位数的方法 (1)将数据从小到大排列，记为， ，…， ． (2)求中位数，并计算=n×25% 和l=n×75%. (3)若不是整数，记j 为大于i 的最小整数，则第25 百分位数为第j 个数据；若是整数，则第25 百分位数为第个和第(+1)个数据的平均数. 同理可求得第75 百分位数. 【即学即练】数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（    ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【答案】D 【详解】∵总数据量，将所有数字从小到大排列， 下四分位数位置为 ，故下四分位数取第22、23个数据的平均数， 上四分位数位置为 ，故上四分位数取第67、68个数据的平均数， 计算从小到大的累计频数： 数字0累计频数为7，数字1累计频数为，数字2累计频数为，数字3累计频数为34，数字4累计频数为42，数字5累计频数为49，数字6累计频数为58，数字7累计频数为，数字8累计频数为 ， ∴第22、23个数据均为2，故下四分位数为， 第67、68个数据均为8，故上四分位数为， 故选：D． 知识点04 箱线图 1.箱线图的五要素：一组数据的三个四分位数及最小值和最大值. 2. 箱线图的结构：如图20.4-1. 3.箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接第一四分位数和第三四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，第二四分位数(中位数)在“箱体”中间. 注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的. 【即学即练】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 知识点05 数据分组原则 1. 组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，假设有n 个数据， ，，…，，若将其分成两组，其中前m个数据为一组(称为第一组)，后(n-m)个数据为一组(称为第二组). 这n 个数据的总体离差平方和S² 可以表示为：S²=(-)²+(-)²+… +(-)²，其中， =(++… +) 记(++… +)，(++… +). 则S²=(-)²+(-)²+… +(-)²+(-)²+(-)²+… +(-)²+[m(-)²+(n-m)(-)²]=+. 其中，=(-)²+(-)²+… +(-)²+(-)²+(-)²+...+(-)² 称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度；=m(- )²+(n-m)( -)² 称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异. 2. 数据分组的原则 组内差距最小. 3. 数据分组的根据 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大). 4. 数据分组的步骤 (1)将数据由小到大排列； (2)从m=1 开始，分类讨论所有可能的分组情况； (3)分别计算全部数据和各组数据的平均数； (4)计算两组数据的组内离差平方和或组间离差平方和； (5) 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 【即学即练】某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【答案】B 【详解】解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． 题型01 平均数、方差的变化规律 【例1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知一组数据，，，，，的平均数是，则这组数据的方差是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一组数据，，，，，的平均数是， ∴，解得：， ∴ ， 故选：． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知一组数据5，7，4，m，6，8的平均数为6，则这组数据的方差是（   ） A． B． C．2 D．10 【答案】A 【详解】解：数据5，7，4，m，6，8的平均数为6， 故总和为， ， 解得， 所以这组数据的方差为， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若数据10， 8， a， 12， 9的平均数是10， 则这组数据的方差是__________． 【答案】2 【详解】解：∵数据10， 8， a， 12， 9的平均数是10， ∴，解得：， ∴这组数据的方差是． 故答案为2． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知样本的平均数为3，方差是2，那么样本的方差是______． 【答案】18 【详解】解： ∵的方差是2， ∴的方差是． 故答案为18． 题型02 方差的实际应用 【例2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表． 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 (1)求甲进球的中位数； (2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为，如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？ 【详解】（1）解：将10，6，10，6，8按从小到大的顺序排列：6，6，8，10，10， ∴甲进球的中位数为8； （2）解：乙进球的平均数为：， 乙进球的方差为：； ∵二人的平均数相同，而，， ∴， ∴乙的波动较小，成绩更稳定， ∴应选乙去参加定点投篮比赛． 【变式2-1】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表(单位：秒)： 类型 编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲种电子钟 4 2 1 2 1 乙种电子钟 2 4 1 1 2 (1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数； (2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；（方差公式： ） (3)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？ 【详解】（1）甲种电子钟走时误差的平均数是； 乙种电子钟走时误差的平均数是； （2），； （3）∵ ∴甲电子钟走时稳定性更好 ∴选甲种电子钟． 【变式2-2】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识竞赛．为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分．此次竞赛的成绩如下表所示： 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 八年级 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8 九年级 8 7 9 7 8 10 8 7 7 9 (1)若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的______． (2)八年级学生成绩的中位数是多少？ (3)若八年级学生成绩的方差是，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定． 【答案】(1)8 (2)8 (3)1；九年级学生的成绩更为稳定 【详解】（1）解： 八年级学生的平均成绩是8分， ，解得， 故答案为：8； （2）解：把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为6，7，7，8，8，8，8，9，9，10， 中位数是（分）． （3）解：九年级学生成绩的方差是， 八年级学生成绩的方差是1.2，九年级学生成绩的方差是1， 九年级学生的成绩更为稳定． 【变式2-3】（2024八年级下·安徽·专题练习）某农民几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽了100棵蜜橘，成活，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他从甲山随意采摘了3棵树上的蜜橘，称得质量（单位：）分别为25，18，20；他从乙山采摘了4棵树上的蜜橘，称得质量（单位：）分别是21，24，19，20．组成一个样本，那么： (1)样本容量是多少？ (2)样本平均数是多少？并估算出甲乙两山蜜橘的总产量？ (3)甲乙两山哪座山上蜜橘挂果更均匀？为什么？ 【答案】(1)7 (2)样本平均数是，甲乙两山蜜橘的总产量 (3)乙山上蜜橘挂果均匀．理由见解析 【详解】（1）从甲山随意采摘了3棵树上的蜜橘，称得质量（单位：）分别为25，18，20；他从乙山采摘了4棵树上的蜜橘，称得质量（单位：）分别是21，24，19，20．组成一个样本， 样本容量是7； （2），， 答：样本平均数是，甲乙两山蜜橘的总产量； （3）， ， ， ， ， 乙山上蜜橘挂果均匀． 题型03 平均数、中位数、众数、方差的综应用 【例3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）合肥市包河区大圩镇属北亚热带季风湿润性气候，四季分明，雨量适中，得天独厚的自然条件孕育了大圩葡萄的独特风味．这里的葡萄果穗紧凑，颗粒饱满且大小均匀，果皮色泽鲜艳，果肉多汁，口感酸甜适中，糖酸比例均衡，具有很高的可溶性固形物含量，是理想的鲜食葡萄．果农王亮对甲、乙两个大棚里所种植的“夏黑”葡萄的生长情况进行调查统计，为葡萄园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从甲、乙两个大棚里分别各随机抽取了20串葡萄，称量它们的重量（单位：），作为样本数据进行整理． ①甲大棚20串葡萄的重量分别为： 545，560，414，565，640，560，590，542，425，560， 630，580，466，530，487，625，490，513，508，540， ②将所收集的乙大棚20串葡萄重量（单位：）样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 其中，在组中的数据是：520，545，530，520，533，522． ③乙大棚抽取的葡萄的重量统计图表： ④甲、乙两大棚随机抽取的葡萄的重量数据统计表如表所示： 甲大棚 乙大棚 平均重量 538.5 536.6 中位数 543.5 众数 562 方差 3840.7 3032.5 乙大棚抽取的葡萄重量统计图 【数据分析与运用】 任务1 请直接写出上述统计表中：___________，___________；扇形统计图E组所对应扇形的圆心角度数为___________． 任务2 本次抽取的共40串葡萄中，重量在串及以上的视为“佳品葡萄”．若甲、乙两大棚的葡萄总共有2400串，请你估计甲、乙两大棚“佳品葡萄”共有多少串？ 任务3 请你帮果农王亮对甲、乙甲、乙两大棚葡萄的情况做简要分析． 【详解】解：任务1：甲大棚的出现次数最多的是560，因此众数是560，即． 乙大棚、两组串数为 中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数， 由组中的数据是：可得， 处在第10、11位的两个数的平均数为：， 因此， 故答案为： 任务2：乙大棚重量在600克（含600克）以上的葡萄有：（串）， 甲大棚重量在600克（含600克）以上的葡萄有共3串， 甲，乙两大棚共有重量在600克（含600克）以上的葡萄：（串）． 答：由此可以估计甲，乙两大棚“佳品葡萄”共有360串. 任务3：从平均重量和中位数来看，甲大棚好于乙大棚，从众数来看乙大棚好于甲大棚，从方差来看，甲大棚的方差大于于乙大棚的方差，即乙大棚更均匀一些． 【变式3-1】（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）某校七、八年级各有200人参加“安全教育知识竞赛”，两年级参赛人员中各随机抽取10名学生的成绩如下： 七年级：73  81  65  82  85  95  81  85  97  85 八年级：72  76  79  83  87  97  76  83  83  95 【整理数据】 成绩 七年级 1 1 a 2 八年级 0 4 4 2 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82.9 b 85 78.49 八年级 83.1 83 c 59.09 【应用数据】 (1)直接写出______，______，______； (2)请结合表格信息，判断样本中______年级学生的竞赛成绩更稳定？（填七或八） (3)请估计该校七、八年级成绩不低于80分的总人数． 【答案】(1)6；；83 (2)八 (3)估计该校七、八年级成绩不低于80分的总人数约为280人． 【详解】（1）解：； 将七年级学生的成绩从小到大进行排序为65、73、81、81、82、85、85、85、95、97， 排在第5的是82，第6的都是85，因此中位数； 八年级学生成绩中出现最多的数为83，因此众数． 故答案为：6；；83． （2）解：∵， ∴八年级学生的竞赛成绩更稳定． 故答案为：八； （3）解：（人）， （人）， ∴该校七、八年级成绩大于80分的总人数为：（人）． 答：估计该校七、八年级成绩不低于80分的总人数约为280人． 【变式3-2】为迎接省运会，芜湖市射击队要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛．两名射击运动员近五次选拔测试成绩条形统计图如图所示（单位：环）    甲、乙五次选拔测试赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 甲 a 8 c 乙 8 b 0.4 (1)已知甲成绩的众数是8环，乙成绩的平均数是8环，则_________，_________，_________； (2)请补全条形统计图； (3)现要从甲、乙两人中选拔一个成绩较为稳定的运动员参加比赛，应选谁？请说明理由． 【详解】（1）∵甲成绩的众数是8环， ∴甲的五次选拔测试成绩为：5、8、8、9、10， ∴甲成绩的平均数为：， ∴甲成绩的方差为：， ∵乙成绩的平均数是8环，设第三次射击测试成绩为x， 则， 解得：， ∴乙成绩的众数为． 故答案为：； （2）补全的图形如下：    （3）应选乙运动员， 理由如下： 两人的平均成绩相等，说明实力相当； 但甲成绩的方差是2.8，乙成绩的方差是0.4，， 说明乙运动员发挥较为稳定， 故推荐乙运动员参加比赛更合适． 【变式3-3】为了提高学生的综合体育素养，八（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了8次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 170，175，180 c (1)求a，b，c的值； (2)若八（1）班选一位成绩相对稳定的选手参赛，你认为应该选谁？请说明理由； (3)根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟绳成绩谁优？ 【详解】（1）解：甲的成绩：，，，，，，，， 从小到大排列为：，，，，，，，， 则中位数，众数， 乙的成绩：，，，，，，，175， 则乙的平均数为 则乙的方差； （2）解：选择乙，理由如下： ∵甲的方差是93.75，乙的方差是37.5， ∴乙相对来说更为稳定， ∴选择乙； （3）①从中位数来看，甲的中位数是177.5，乙的中位数是175，甲成绩更优；②从众数来看，甲的众数是185，乙的众数有三个170、175、180，甲成绩更优虽然甲的成绩相对于乙来说不够稳定，但跳绳比赛取的是最好成绩，所以甲成绩更优．（根据的甲、乙的平均数、众数、中位数和方差数据，结合数据的大小进行比较及评价，答案不唯一，合理即可．） 题型04 与四分位数有关综合应用 【例4】（2023·安徽芜湖·三模）四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为： ， 则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即． 故选：C． 【变式4-1】某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________． 【答案】 【详解】解：将数据从小到大排序为：，，，，，，，，计算得，因此上四分位数为第个数与第个数的平均数，即． 【变式4-2】2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，某校举行了国家安全知识竞赛，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：）， 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______，七年级抽取的学生成绩的第一四分位数是______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？ 【详解】（1）解：八年级共抽取20名学生， 由扇形图得：A组人数，B组人数，已知C组共5人， 因此D组人数为，占比，故． 八年级中位数是第10、11个数据的平均数：前组共人，因此第10、11个数据都在C组，分别为83、85，中位数． 七年级成绩中，85出现次数最多（3次），因此众数． 七年级共20个数据，第一四分位数位置为，即第5、6个数据的平均数，排序后第5、6个数据都是72，因此第一四分位数为． （2）解：八年级学生竞赛成绩较好， 理由：七、八年级成绩平均数相同，八年级的中位数（84）高于七年级的中位数（83），说明八年级整体成绩更好．（理由合理即可，例如也可说明八年级优秀率更高） （3）解：七年级抽取的20人中，成绩不低于90分的有5人，因此七年级优秀人数约为：名． 八年级D组（不低于90分）占比，因此八年级优秀人数约为：名． 总优秀人数：名． 答：估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有名． 【变式4-3】为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图： 选手 测试成绩／分 总评成绩／分 采访 写作 摄影 小悦 小涵 ▲ ▲    (1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数加下：，，，，，，．这组数据的中位数是___________分，下四分位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分； (2)请你计算小涵的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)小涵能入选，小悦不一定能入选 【详解】（1）解：把，，，，，，按照从小到大排列 可得：、，，，、，， 这组数据中共有个数据，中间的一个数据是， 这组数据的中位数是； ， 这组数据的下四分位数是； 这组数据中出现次数最多的是， 这组数据的众数是； 这组数据的平均数是； 故答案为：，，，； （2）解：由(1)知小涵的摄影成绩为分， 小涵的总评成绩为(分)， （3）解：由条形统计图可知，分以上的共有人， 学校要选名小记者， 小涵一定能入选， 小悦的成绩是分， 小悦不一定能入选． 题型05 箱线图的应用 【例5】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 【详解】（1）解：（分）， ∵，，且， ∴乙的测试更稳定； 故答案为：84，乙； （2）解：将甲的成绩从小到大排列为60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， 所以，， 故答案为：70，90，96； （3）解：绘制甲的箱线图如下： 【变式5-1】【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 【详解】解：（1）， ∵， ∴的成绩略高； ， ∴， ∴的射击水平发挥更稳定， 故答案为：9；；；； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 则中位数为，即， 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：；9；10；； （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【变式5-2】在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 【答案】(1)7；8 (2)乙 (3)A的为7，B的为8，乙的成绩比较好 【详解】（1）解：∵甲的成绩中7环出现的次数最多， ∴甲的众数为7环， 由题意得，乙的平均数为环； （2）解：根据题意得：在图1中乙的成绩波动较小，在图2中，的数据比较集中，故反映乙的成绩； （3）解：根据（2）可知反映乙的成绩，反映甲的成绩， 的； 的， ∵甲的平均数为， ∴甲的平均数小于乙的平均数， ∴乙的成绩比较好． 【变式5-3】某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【答案】(1)，， (2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【详解】（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 题型06 利用分组解决简单的实际问题 【例6】已知有8个苹果，它们的直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81． (1)直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和上四分位数； (2)现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多．下表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理． 分法 第一组苹果直径（mm） 第二组苹果直径（mm） 组内离差平方和 第一种分法 71，72，73，76 78，80，80，81 18．75 第二种分法 71，72，73 76，78，80，80，81 【答案】(1)众数为80，中位数为77，上四分位数为80 (2)按照“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理 【详解】（1）解：苹果直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81， 80出现了两次、次数最多，则众数为80； 处于中间的第4、5两个数据分别是76和78，则中位数为； 第5-8个数据的中间的两个数据为80和80，则上四分位数为． （2）解：在第二种分法中，第一组的平均数， 第二组的平均数． 这两组的组内离差平方和分别为： 第一组的离差平方和， 第二组的离差平方和． ∴第二种分法的组内离差平方和为：． ∵， ∴按照“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理． 【变式6-1】某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【答案】75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组 最小值为62.5 【详解】解：将数据75，80，85，90，95分成两组，共有4种情况， ①，； ②，； ③，； ④，； 分别计算组内离差平方和，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 ① 0 125 125 ② 12.5 50 62.5 ③ 50 12.5 62.5 ④ 125 0 125 由表可知，当75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组时，组内离差平方和最小，最小值为62.5． 【变式6-2】某小组4名同学的身高（单位：）为140，145，155，160． (1)计算这组数据的平均数． (2)计算分组和的组内离差平方和之和． 【答案】(1)150 (2)25 【详解】（1）． （2）解：数据，的平均数为， 数据，的平均数为， 故组内离差平方和为． 【变式6-3】某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 【答案】(1)和 (2)将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性 【详解】（1）解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115． 分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {75}和{78，90，105，110，115} 0 933.2 933.2 {75，78}和{90，105，110，115} 4.5 350 354.5 {75，78，90}和{105，110，115} 126 50 176 {75，78，90，105}和{110，115} 558 12.5 570.5 {75，78，90，105，110}和{115} 981.2 0 981.2 由表可知，当分组为和时，组内离差平方和最小． （2）解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性． 一、单选题 1．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 2．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：箱线图中，甲班分数最大值与最小值的差值以及上四分位数与下四分位数的差值最小，数据最集中，方差最小． 3．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为55，64，51，50，61，55，则这组数据的是（    ） A．51 B．55 C．58 D．64 【答案】A 【详解】解：首先将这组数据从小到大重新排列，得 已知数据个数，即为下四分位数， ，不是整数， 将向上取整得，即第个数据为所求， ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）近年来，电动汽车快速发展．某汽车制造商设计生产一款新型纯电动汽车，现测试该款电动汽车低速工况和高速工况的能耗情况，为了更接近真实的日常用车环境，低速工况的平均时速在左右，包括城市一般道路等路况；高速工况的平均时速保持在左右，路况主要是高速公路．设低速工况时能耗的平均数为，方差为，高速工况时能耗的平均数为，方差为，根据统计图中的数据，可得出正确结论是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：设低速工况时能耗的平均数为， ∴方差为 ， 高速工况时能耗的平均数为， ∴方差为 ， ∴，， 故选：A ． 5．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）某中学七年级10名同学在学校举行的“请党放心，强国有我”主题演讲比赛中，他们的比赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的比赛成绩，下列说法正确的是（   ） A．众数是90 B．中位数是85 C．平均数是88 D．方差是65 【答案】B 【详解】解：10名学生的参赛成绩：75，80，80，85，85，85，85，85，90，90， 平均数是， 众数是85， 中位数是， ， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 6．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）某排球队6名队员的身高（单位：cm） 是：． 现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（    ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 【答案】C 【详解】解：原6名队员身高的平均数为：， 再增加一名身高为的队员，平均数不变； 原6名队员身高的方差为：， ， ， ， 再增加一名身高为的队员，方差为： ， ， ， ， ∵， ∴方差变小． 故选：C． 7．（24-25八年级下·安徽六安·期末）学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，小明统计了7位评委对某参赛选手的评分并制成如下表格．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下表中的数据一定不会发生变化的是（   ） 众数 中位数 平均数 方差 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而方差，众数和平均数均可能发生变化． 故选：B． 8．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 二、填空题 9．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 【答案】295，250 【详解】解：首先将这组数据从小到大排列：188，240，260，284，288，290，300，360， 数据共有个， 第一四分位数的位置为：，当位置为整数时，第一四分位数为排序后第2项与第3项数据的平均值，即， 第三四分位数的位置为：，当位置为整数时，第三四分位数为排序后第6项与第7项数据的平均值，即． 故答案为：295，250． 10．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 11．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知一组数据：，小明用计算这一组数据的方差，那么______． 【答案】40 【详解】解：由， 可知这8个数据的平均数为5， ∴， 故答案为：40． 12．已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【详解】解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． 三、解答题 13．2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 【答案】(1)型号机器人耗时数据的下四分位数为1.22（秒），中位数为1.245（秒），上四分位数为1.28（秒）； (2)型号机器人的动作耗时更稳定，理由见解析. 【详解】（1）解：第一步：将型号数据从小到大排序： 1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31 中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值（秒）， 下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为1.22（秒）， 上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28（秒）； （2）解：①集中趋势对比： 型号中位数为1.245秒，型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当． ②离散程度对比： 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.28－1.22＝0.06秒，极差， 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.27－1.21＝0.06秒，极差， 两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间数据的波动程度一致；但型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，型号机器人的动作耗时更稳定． 14．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【答案】(1)，，，见详解 【详解】（1）解：七年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为85，88，所以中位数为； 八年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为88，90，所以中位数为，并且数据91出现的次数最多，所以众数； （2）解：由七年级积分数据可知下四分位数为，上四分位数为． 据此补全箱线图如图所示． 观察统计图，八年级的箱体比七年级的箱体明显更扁，因此八年级学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 15．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 C 根据以上信息，请回答下列问题： (1)   ， ， ； (2)从方差的角度看， （填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； (3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 【详解】（1）解： 甲公司套餐得分从小到大排列为，中间位置的数是， ∴． 乙公司套餐得分中出现的次数最多， ∴． 故答案为：，，． （2）解：甲公司套餐得分的方差， 乙公司套餐得分的方差， ∴， ∴乙公司套餐的得分较稳定． 故答案为：乙 （3）解：乙公司套餐的品质较好，理由如下： 从平均数看，甲公司套餐平均分，乙公司套餐平均分，两者平均分相同． 从中位数看，甲公司套餐得分中位数，乙公司套餐得分中位数，乙公司中位数更高． 从众数看，甲公司套餐得分众数，乙公司套餐得分众数，甲公司众数更高，但乙公司分出现的频次相对整体数据分布更有优势（结合数据整体情况）． 从方差看，乙公司套餐得分方差更小，说明乙公司套餐得分更稳定． 综合来看，乙公司套餐品质较好．因为乙公司套餐得分的中位数更高且得分更稳定，虽然甲公司有较高众数，但乙公司在整体数据的稳定性和中间水平上表现更优． 16．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $