第06讲 集合与逻辑用语中的参数问题（8大题型）（讲义）-2026年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第06讲 集合与逻辑用语中的参数问题 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：解决集合与逻辑用语有关的参数问题的对策 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：元素与集合关系求参数 4 题型二：集合元素个数求参数 4 题型三：集合包含关系求参数 5 题型四：两集合相等求参数 6 题型五：集合交并补运算求参数 6 题型六：由全称量词命题的真假求参数 7 题型七：由存在量词命题的真假求参数 9 题型八：根据充分必要条件求参数 10 04 过关测试 12 知识点一：解决集合与逻辑用语有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 题型一：元素与集合关系求参数 例1．（2026·高二·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 例2．（2026·高一·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 例3．（2026·高一·全国·期末）已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 变式1．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：集合元素个数求参数 例4．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 例5．（2026·高一·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 例6．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式2．（2026·高一·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 题型三：集合包含关系求参数 例7．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 例8．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 例9．（2026·高一·湖北·阶段检测）已知关于的方程的两根均在集合内． (1)求实数的取值集合； (2)设，满足时，求实数的取值范围． 变式4．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）定 义 运算 ：对 任 意 ，有   .  设集 合，且， 且集合B是集合U的子集. (1)求集合U; (2)求实数m的取值范围. 变式5．已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 题型四：两集合相等求参数 例10．设a，，若集合，则______． 例11．已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 例12．（2026·高一·安徽·期中）若，则_____. 变式6．（2026·高三·北京·阶段检测）已知集合，若 ，则实数的值为_____. 变式7．（2026·高一·福建泉州·期中）设集合，，若，则_____． 题型五：集合交并补运算求参数 例13．（2026·高一·湖南张家界·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 例14．（2026·高一·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 例15．（2026·高一·河北廊坊·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围. 变式8．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 题型六：由全称量词命题的真假求参数 例16．（2026·高三·山东聊城·阶段检测）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 例17．（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知命题，，命题，． (1)当p为假命题时，求实数a的取值范围； (2)若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围． 例18．已知集合，且． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围． (2)若命题是真命题，求实数的取值范围． 变式9．已知命题，都有，命题：，使得成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 变式10．已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 题型七：由存在量词命题的真假求参数 例19．（2026·高一·新疆喀什·阶段检测）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题.求m的取值范围. 例20．（2026·高一·河北·期中）已知，. (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 例21．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式11．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知命题为假命题. (1)求实数的取值集合； (2)已知集合，若“”是“”的必要且不充分条件，求实数的取值范围. 变式12．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围； （2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围. 题型八：根据充分必要条件求参数 例22．（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 例23．（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 例24．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 变式13．（2026·高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 变式14．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 1．（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 2．（2026·高一·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 3．（2026·高一·四川宜宾·阶段检测）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．0或1 4．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 5．（2026·高一·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 6．已知，，若集合，则的值为________． 7．（2026·高一·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则________. 8．（2026·高一·广东广州·期中）设，若，则=__________. 9．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 10．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合 (1)若，用列举法写出集合A，并写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 11．若，当时，；当时，数轴表示如图所示，求实数m的取值范围. 12．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 13．（2026·高一·贵州·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 14．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 15．（2026·高一·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 16．（2026·高一·安徽·期中）已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 18．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 19．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知． (1)若，求的取值范围． (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 20．（2026·高一·山西太原·阶段检测）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 集合与逻辑用语中的参数问题 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：解决集合与逻辑用语有关的参数问题的对策 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：元素与集合关系求参数 4 题型二：集合元素个数求参数 5 题型三：集合包含关系求参数 6 题型四：两集合相等求参数 10 题型五：集合交并补运算求参数 11 题型六：由全称量词命题的真假求参数 13 题型七：由存在量词命题的真假求参数 15 题型八：根据充分必要条件求参数 17 04 过关测试 20 知识点一：解决集合与逻辑用语有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 题型一：元素与集合关系求参数 例1．（2026·高二·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 例2．（2026·高一·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【解析】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述：或1. 故选：B. 例3．（2026·高一·全国·期末）已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以，解得，， 故选：A． 变式1．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又且，则. 故选：D 题型二：集合元素个数求参数 例4．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【解析】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 例5．（2026·高一·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【解析】由条件知，解得. 故选：B 例6．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 变式2．（2026·高一·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 变式3．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【解析】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 题型三：集合包含关系求参数 例7．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 【解析】因为，所以．由题知， 当时，， 即，解得或． 若，则，得到，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 当时，由韦达定理得，同理可得符合题意. 综上所述，实数的值为3． 例8．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 例9．（2026·高一·湖北·阶段检测）已知关于的方程的两根均在集合内． (1)求实数的取值集合； (2)设，满足时，求实数的取值范围． 【解析】（1）由， 或 . （2）集合， 由题，： 当时，，解得：；满足题意， 当时，或， 解得：. 综上所述：. 变式4．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）定 义 运算 ：对 任 意 ，有   .  设集 合，且， 且集合B是集合U的子集. (1)求集合U; (2)求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为对 任 意，有 . 且， 当时， ，所以； 当时， ，所以； 当时， ，所以； 所以集合. （2）由（1）知集合. 对于方程，. 当即时，，满足题意； 当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意； 当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知. 当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意. 综上所述：实数的取值范围是：. 变式5．已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【解析】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得. 综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以. 综上所述，的取值范围为. 题型四：两集合相等求参数 例10．设a，，若集合，则______． 【答案】0 【解析】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 例11．已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【解析】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 例12．（2026·高一·安徽·期中）若，则_____. 【答案】2 【解析】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 变式6．（2026·高三·北京·阶段检测）已知集合，若 ，则实数的值为_____. 【答案】或 【解析】由集合， 因为，则或，解得或， 当时，集合，满足； 当时，集合，满足， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 变式7．（2026·高一·福建泉州·期中）设集合，，若，则_____． 【答案】 【解析】因为集合，，且，故，解得. 故答案为：. 题型五：集合交并补运算求参数 例13．（2026·高一·湖南张家界·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1），，且， ， 故实数的取值范围为 （2）由，得， ， 故实数的取值范围为. 例14．（2026·高一·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 【解析】（1）①当时，，而，所以. ②或，所以或. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. 例15．（2026·高一·河北廊坊·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【解析】（1）当时，则， 故 （2）由可得, 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上可得 变式8．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【解析】（1）因为，或，且， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. （2）因为，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. （3）由题意可得， 因为，则，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 题型六：由全称量词命题的真假求参数 例16．（2026·高三·山东聊城·阶段检测）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 【解析】（1）非空集合，由“”是“”的充分条件，得， 而，则或，解得或， 所以实数b的取值构成的集合为. （2）由“，都有”为真命题，得， 而，，则或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以实数a的取值构成的集合是. 例17．（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知命题，，命题，． (1)当p为假命题时，求实数a的取值范围； (2)若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由为假命题，得为真命题， 即，， 即在时有解， 所以，， 易知当时，， 所以，即实数a的取值范围是． （2）由（1）可知，当为真命题时，；当为假命题时，． 当q为真命题时，方程在上有解， 故，解得；当为假命题时，． 所以当为真命题，为假命题时，； 当为假命题，为真命题时，． 所以当和中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是或． 例18．已知集合，且． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围． (2)若命题是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为命题“”是真命题,则 , 所以，解得， 所以实数 的取值范围为 . （2）由题意知，得 . 因为命题是真命题，所以 . 若，则 或 ，且，即. 故若，则， 故实数的取值范围为 . 变式9．已知命题，都有，命题：，使得成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围． 【解析】当时，的最小值为2，因为为真命题，所以； 当时，的最大值为， 若为真命题时，，因为为假命题，所以； 综上，的取值范围为． 变式10．已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 题型七：由存在量词命题的真假求参数 例19．（2026·高一·新疆喀什·阶段检测）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题.求m的取值范围. 【解析】（1）由或，得，. （2）由为假命题，得为真命题，则， 而，， 则当时，，即，； 当时，由，得或，解得， 所以m的取值范围为或. 例20．（2026·高一·河北·期中）已知，. (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若是真命题，则，解得， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 因为，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 例21．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）命题为真命题，，解得， 又； （2）是的必要不充分条件，是的真子集， 解得，故实数的取值范围为 变式11．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知命题为假命题. (1)求实数的取值集合； (2)已知集合，若“”是“”的必要且不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为命题为假命题， 所以命题为真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值集合； （2）因为“”是“”的必要且不充分条件， 所以真包含于； 又， 当，即时，符合题意； 当，则，解得； 综上可得实数的取值范围. 变式12．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围； （2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 即，由题意，， 故t的取值范围 （2），， 因为， 所以当时，即，时，满足题意； 当时，由可得或， 解得， 综上，实数的取值范围或. 题型八：根据充分必要条件求参数 例22．（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 例23．（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，因为，， 所以； （2）因为是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以或，所以， 故实数的取值范围为. 例24．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，， 由可得或， 故或， 故或， ； （2）由，则，故， 由“”是“”的充分不必要条件，故， 则有，解得，故. 变式13．（2026·高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【解析】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 变式14．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 1．（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解析】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 2．（2026·高一·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解析】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 3．（2026·高一·四川宜宾·阶段检测）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．0或1 【答案】B 【解析】若， 则或，解得无解或， 综上，的值为0. 故选：B. 4．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【解析】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 5．（2026·高一·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【解析】当，即时，方程为有唯一解为，集合只有一个元素，则； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 得，解得， 因此或， 所以实数的所有可能值的乘积为3. 故选：C 6．已知，，若集合，则的值为________． 【答案】1 【解析】根据题意，，，所以， 故，则， 故，则，解得． 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以． 故答案为：1 7．（2026·高一·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则________. 【答案】 【解析】由题意，或，所以或， 当时，集合中两个元素均为1，不符合集合中元素的互异性，舍， 当时，，满足题意， 所以. 故答案为： 8．（2026·高一·广东广州·期中）设，若，则=__________. 【答案】 【解析】， 根据集合相等条件可得，. . 故答案为：. 9．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 10．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合 (1)若，用列举法写出集合A，并写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，   集合的所有子集有：、、、. （2），，    或或或，                    ①当时，对于方程，，解得， ②当时，对于方程，满足，得， ③当时，对于方程，满足，得，   ④方法1：当时，对于方程，满足，得， 方法2 ：当时，对于方程，满足，得.         综上所述，实数的取值范围是. 11．若，当时，；当时，数轴表示如图所示，求实数m的取值范围. 【解析】当时，由图， 则解得； 又时，， 综上可知，实数的取值范围是． 12．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以， 又因为或， 所以. （2）因为，所以， 当，即时，，符合题意， 当，即时， 若，则，解得， 综上，的取值范围为. 13．（2026·高一·贵州·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）若，则，则或， ，则或； （2）由，则，解得. 14．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 【解析】（1）当时，集合， 因为，所以. （2）由集合，， 因为，可得， 当时，解得；当时，此时方程组无解， 综上可得，实数的值为. 15．（2026·高一·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 16．（2026·高一·安徽·期中）已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. （2）因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是. 17．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 18．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 19．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知． (1)若，求的取值范围． (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以集合A是集合B的子集，所以，解得：. 所以实数的取值范围是. （2）因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集. 当，即时，，满足集合B是集合A的真子集； 当，即时，，此时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是：． 20．（2026·高一·山西太原·阶段检测）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】选A：若是的充分不必要条件，则是的真子集， 故且等号不同时成立，即，无解， 故不存在实数，使得是的充分不必要条件. 选B：若是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，，此时且等号不同时成立， 解得，故，综上有， 故若是的必要不充分条件，则. 选C：若是的充要条件，则，故，无解， 故不存在实数，使得是的充要条件. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $