6.1 平行四边形的性质及判定 暑期巩固 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形性质判定及梯形综合应用，以分层题型构建从概念到计算证明的逻辑链，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|15题|含折叠/平移变换，结合坐标与几何计算|从边、角、对角线性质逐步过渡到综合计算| |判定证明|8题|以动态点/几何变换为背景的判定应用|性质与判定互逆推导，构建逻辑闭环| |梯形综合|7题|涉及分类讨论与辅助线添加|从平行四边形自然延伸至梯形性质计算|

北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 暑期巩固 求边长或坐标 1、如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　) A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH 2、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　) A.4 B.3 C. D.2 3、如图，▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________. 4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)， (5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________． 5、如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 6、如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 求周长或面积 1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(　　) A.m＋n B.mn C.2(m＋n) D.2(n－m) 2、如图，在平行四边形ABCD中，AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为（　　） A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm 3、如图，平行四边形ABCD周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC长(　　) A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm 4、▱ABCD中，AB＝8，周长等于24，则AD＝__________. 5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 平行四边形的对角相等 1、在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　) A.135° B.120° C.115° D.100° 2、如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　) A.66° B.104° C.114° D.124° 3、若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是(　　) A.120° B.90° C.60° D.45° 4、如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______. 5、如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D，∠BAD的度数． 平行四边形的对角线互相平分 1、如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 2、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则AB＋AD的值是(　　) A.10 B.15 C.25 D.30 3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于一点O，AB＝11，△OCD的周长为27，则AC＋BD＝________. 4、已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝. (1)求平行四边形ABCD的面积S▱ABCD； (2)求对角线BD的长． 平行四边形的判定 1、在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是(　　) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边相等，一组对角相等 C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 2、在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A.∠A＝∠B，∠C＝∠D B.AB∥CD，AD＝BC C.AB＝BC，AD＝DC D.AB∥CD，∠B＝∠D 3、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1 cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2 cm/s的速度移动，若AB＝7 cm，CD＝9 cm，则________s时四边形ADFE是平行四边形． 4、如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)当t＝__________ s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形． 平行四边形性质与判定的综合 1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DF∥AC交AB于点F，过点C作CE∥AB交FD的延长线于点E.则下列结论正确的是(　　) A.DC＋DF＝AB B.BD＋DC＝DF C.CE＋DF＝AB D.CE＋DC＝BD 3、如图，△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边上，过点D作DE∥BA交AC于点E，过点D作DF∥CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是(　　) A.30 B.25 C.20 D.15 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于点E.△ABE的周长是25 cm，四边形ABCD的周长是37 cm，那么AD＝________ cm. 5、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E，F. (1)求证：AE＝CF； (2)连接ED，FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由． 平行线之间的距离 1、如图所示，M是▱ABCD的边AB上任意一点，若△CMD的面积为S，△CBM的面积为S1，△ADM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是(　　) A.S＞S1＋S2 B.S＝S1＋S2 C.S＜S1＋S2 D.S与S1＋S2的大小关系无法确定 2、如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n.则下列说法正确的是(　　) A.AC＝BP B.△ABC的周长等于△BCP的周长 C.△ABC的面积等于△ABP的面积 D.△ABC的面积等于△PBC的面积 3、如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段(　　) A.PQ的长度 B.PM的长度 C.PN的长度 D.以上都不对 4、如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________． 5、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值. 梯形的分类 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF∥BC，则图形等腰梯形有（ ）个. A.1 B.2 C.3 D.4 2、下列梯形，是等腰梯形的是（ ）. A. B. C. D. 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF⊥BC.则图中的等腰梯形为   ，直角梯形为                    . 4、已知平行四边形ABCD，以点D为圆心，以DC长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证： （1）△DCE为等腰三角形； （2）四边形ABED为等腰梯形. 梯形的计算及相关证明 1、如图，四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是（1，2）（3，0），则B点坐标是（　　） A.（3，2）    B.（2，3）    C.（2，2）    D.无法确定 2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E为CD中点，联结AE，作AF⊥AE交BC于点F．如果，，且∠DAE＝30°，那么BF的长为（　　） A.      B.      C.      D. 3、如图在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝5，BC＝4，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A.      B.    C.3    D.4 4、如图，将梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A'B'C'D'的位置，其中AD∥BC，∠ABC＝90°，D′C′交BC于点M．若BM＝5cm，CM＝1cm，BB'＝2cm，则图中阴影部分的面积为 　  　 cm2． 5、已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝5，那么梯形ABCD的周长为　    　 ． 6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 暑期巩固（参考答案） 求边长或坐标 1、如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　) A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH 【答案】D 【解析】根据作图的方法可得AG平分∠DAB， ∴∠DAH＝∠BAH， ∵CD∥AB， ∴∠DHA＝∠BAH， ∴∠DAH＝∠DHA， ∴AD＝DH， ∴BC＝DH，故选D. 2、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　) A.4 B.3 C. D.2 【答案】B 【解析】∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E， ∴AD∥BC，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC＝AB， ∵AD＝7，AE＝4， ∴AB=DE＝3. 故选B. 3、如图，▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________. 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE＝BF， ∴AD－DE＝BC－BF， ∴AE＝CF， ∵AE＝3， ∴CF＝3. 4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)， (5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________． 【答案】(7,3) 【解析】因为CD∥AB， 所以C点纵坐标与D点相同，为3， 又因为AB＝CD＝5， 故可得C点横坐标为7.故答案为(7,3)． 5、如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. 又∵F是AD的中点， ∴FD＝AD.∵CE＝BC， ∴FD＝CE. 又∵FD∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形． ∴DE＝CF. (2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6. ∴∠DCE＝∠B＝60°. 在Rt△CDG中，∠DGC＝90°， ∴∠CDG＝30°， ∴CG＝CD＝2. 由勾股定理得DG＝＝2. ∵CE＝BC＝3， ∴GE＝1. 在Rt△DEG中，∠DGE＝90°， ∴DE＝＝. ∴AF∥CE. 6、如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∵AF⊥BE， ∴BE=2BF， ∴BF=12， ∴AB===13， ∴AE=AB=13， ∴BC=AD=AE+DE=13+5=18. 求周长或面积 1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(　　) A.m＋n B.mn C.2(m＋n) D.2(n－m) 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝m，AD＝BC＝n， ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝CE， ∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝m＋n， 故选A. 2、如图，在平行四边形ABCD中，AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为（　　） A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm 【答案】D 【解析】∵AC=4 cm,△ADC的周长为13 cm, ∴AD+DC=13-4=9（cm）， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴平行四边形的周长为2（AD+DC）=18（cm）. 故选：D． 3、如图，平行四边形ABCD周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC长(　　) A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm 【答案】D 【解析】∵▱ABCD的周长是28 cm， ∴AB＋BC＝14 (cm)， ∵△ABC的周长是22 cm， ∴AC＝22－(AB＋BC)＝8(cm)， 故选D. 4、▱ABCD中，AB＝8，周长等于24，则AD＝__________. 【答案】4 【解析】∵▱ABCD中，AB＝8，周长等于24， ∴AB＋AD＝12， ∴AD＝12－8＝4. 5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，∴BE＝CD. (2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝4， ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝2， ∴BF＝＝＝2， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E， 在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF， ∴△ADF≌△ECF(AAS)， ∴△ADF的面积＝△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4. 平行四边形的对角相等 1、在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　) A.135° B.120° C.115° D.100° 【答案】C 【解析】由折叠可得∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE， ∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝130°， ∴∠FEC＝65°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFE＋∠FEC＝180°， ∴∠DFE＝115°， ∴∠GFE＝115°， 故选C. 2、如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　) A.66° B.104° C.114° D.124° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°， ∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°. 故选C. 3、若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是(　　) A.120° B.90° C.60° D.45° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°， ∵∠B∶∠C＝1∶2， ∴∠B＝×180°＝60°， 故选C. 4、如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______. 【答案】70° 【解析】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°， ∴∠BCD＝∠A＝110°， ∴∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°. 5、如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D，∠BAD的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD， ∵EA平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝∠AEB， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°. 平行四边形的对角线互相平分 1、如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD， ∵▱ABCD的周长为26， ∴BC＋AB＝13，① ∵△BOC与△AOB的周长之差为3， ∴(OB＋OC＋BC)－(OA＋OB＋AB)＝3，即BC－AB＝3，② 由①＋②，得2BC＝16， ∴BC＝8. 故选D. 2、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则AB＋AD的值是(　　) A.10 B.15 C.25 D.30 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， ∵OE⊥BD，∴BE＝DE， ∵△CDE的周长为10，即CD＋DE＋EC＝10， ∴AB＋AD＝BC＋CD＝BE＋EC＋CD＝DE＋EC＋CD＝10. 故选A. 3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于一点O，AB＝11，△OCD的周长为27，则AC＋BD＝________. 【答案】32 【解析】∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于一点O，AB＝11， ∴CD＝11， ∵△OCD的周长为27， ∴CO＋DO＝27－11＝16， ∴AC＋BD＝32. 4、已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝. (1)求平行四边形ABCD的面积S▱ABCD； (2)求对角线BD的长． 【答案】解：(1)在Rt△ABC中，AC＝＝2， 则S▱ABCD＝AB· AC＝2. (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC=AC=1，BO＝OD， 在Rt△ABO中，BO＝＝， ∴BD＝2. 平行四边形的判定 1、在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是(　　) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边相等，一组对角相等 C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 【答案】C 【解析】A．错误，这个四边形有可能是等腰梯形； B．错误，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行； C．正确，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，故是平行四边形； D．错误，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行． 故选C. 2、在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A.∠A＝∠B，∠C＝∠D B.AB∥CD，AD＝BC C.AB＝BC，AD＝DC D.AB∥CD，∠B＝∠D 【答案】D 【解析】A．∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴2∠B＋2∠C＝360°，∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD，但不能推出其他条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； B．根据AB∥CD，AD＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； C．根据AB＝BC，AD＝DC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； D．由AB∥CD，∠B＝∠D可以推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确. 故选D. 3、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1 cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2 cm/s的速度移动，若AB＝7 cm，CD＝9 cm，则________s时四边形ADFE是平行四边形． 【答案】3 【解析】设t s时四边形ADFE是平行四边形，当四边形ADFE是平行四边形时，AE＝DF，即t＝9－2t，解得t＝3，故3 s时四边形ADFE是平行四边形． 4、如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)当t＝__________ s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或6 【解析】①当点F在C的左侧时， 根据题意得AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC－BF＝(6－2t) cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6－2t，解得t＝2； ②当点F在C的右侧时， 根据题意得AE＝t cm，BF＝2t cm，则CF＝BF－BC＝(2t－6)cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t－6，解得t＝6. 综上可得当t＝2或6时，以A, C, E, F为顶点的四边形是平行四边形． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠EAD＝∠FCB＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， 在Rt△AED和Rt△CFB中， ∵∠ADE＝∠CBF，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF， ∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 平行四边形性质与判定的综合 1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【解析】由平行四边形的判定方法可知，若是四边形的对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以. 故选B. 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DF∥AC交AB于点F，过点C作CE∥AB交FD的延长线于点E.则下列结论正确的是(　　) A.DC＋DF＝AB B.BD＋DC＝DF C.CE＋DF＝AB D.CE＋DC＝BD 【答案】C 【解析】∵DF∥AC，CE∥AB， ∴四边形AFEC为平行四边形， ∴AC＝EF， ∵AB＝AC，∴EF＝AB， ∵CE∥AB， ∴∠B＝∠BCE， ∵DF∥AC， ∴∠ACB＝∠FDB， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠FDB＝∠BCE， ∵∠FDB＝∠CDE， ∴∠BCE＝∠CDE， ∴ED＝EC，∵EF＝DE＋DF， ∴AB＝EC＋DF. 故选C. 3、如图，△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边上，过点D作DE∥BA交AC于点E，过点D作DF∥CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是(　　) A.30 B.25 C.20 D.15 【答案】A 【解析】∵AB＝AC＝15，∴∠B＝∠C，由DF∥AC，得∠FDB＝∠C＝∠B，∴FD＝FB，同理，得DE＝EC.∴四边形AFDE的周长＝AF＋AE＋FD＋DE＝AF＋FB＋AE＋EC＝AB＋AC＝15＋15＝30. 故选A. 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于点E.△ABE的周长是25 cm，四边形ABCD的周长是37 cm，那么AD＝________ cm. 【答案】6 【解析】∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，AD＝EC，又∵△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝25 cm，四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝37 cm，∴AD＝(四边形ABCD的周长－△ABE的周长)＝6(cm). 5、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E，F. (1)求证：AE＝CF； (2)连接ED，FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∴∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF (ASA)， ∴AE＝CF. (2)解：是平行四边形；连接BD交AC于点O，如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴AO－AE＝CO－CF.即EO＝FO. ∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)． 平行线之间的距离 1、如图所示，M是▱ABCD的边AB上任意一点，若△CMD的面积为S，△CBM的面积为S1，△ADM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是(　　) A.S＞S1＋S2 B.S＝S1＋S2 C.S＜S1＋S2 D.S与S1＋S2的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， 设AB边上的高为h,△CMD，△CBM，△ADM的高都等于平行四边形的高h, ∵△CMD的面积为S＝CD·h， △CBM的面积为S1＝BM·h， △ADM的面积为S2＝AM·h，AB=CD, ∴S1＋S2＝BM·h＋AM·h＝(BM＋AM)·h＝AB·h＝CD·h＝S， 则S，S1，S2的大小关系是S＝S1＋S2. 故选B. 2、如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n.则下列说法正确的是(　　) A.AC＝BP B.△ABC的周长等于△BCP的周长 C.△ABC的面积等于△ABP的面积 D.△ABC的面积等于△PBC的面积 【答案】D 【解析】∵A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，根据平行线之间的距离相等可得△ABC与△PBC是同底等高的三角形， 故△ABC的面积等于△PBC的面积． 故选D. 3、如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段(　　) A.PQ的长度 B.PM的长度 C.PN的长度 D.以上都不对 【答案】D 【解析】∵不能确定直线AB，CD的位置关系，∴无法确定直线AB，CD之间距离. 故选D. 4、如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________． 【答案】10 【解析】过点A作AF⊥BD于点F， ∵△ABD的面积为16，BD＝8， ∴BD·AF＝×8AF＝16， 解得AF＝4， ∵AE∥BD， ∴AF的长是△ACE的高的长， ∴S△ACE＝×4AE＝×4×5＝10. 5、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且△ADB ≌△CBD， ∴S△ABD=S△CBD=S平行四边形ABCD， ∵点E为AB边中点， ∴S△ADE=S△BDE=S平行四边形ABCD， ∵FB=2DF， ∴S△DEF=S△BDE=S平行四边形ABCD， ∵AB∥CD， ∴S△CDE=S△DBC=S平行四边形ABCD， ∴S△DEF∶S△CDE=S平行四边形ABCD∶S平行四边形ABCD=1∶6． 梯形的分类 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF∥BC，则图形等腰梯形有（ ）个. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形.图中符合题意的等腰梯形为梯形ABCD和梯形AEFD和梯形BEFC. 故选C 2、下列梯形，是等腰梯形的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.从图中可看出，符合题意是选项C. 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF⊥BC.则图中的等腰梯形为   ，直角梯形为                    . 【答案】 四边形ABCD；四边形ABFE和四边形EFCD. 【解析】 解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形.图中符合题意的等腰梯形为四边形ABCD；根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.图中符合题意的直角梯形有两个，它们四边形ABFE和四边形EFCD. 故答案为四边形ABCD；四边形ABFE和四边形EFCD. 4、已知平行四边形ABCD，以点D为圆心，以DC长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证： （1）△DCE为等腰三角形； （2）四边形ABED为等腰梯形. 【答案】 证明：（1）由作图可知，DE=DC ∴△DCE为等腰三角形.（有两边相等的三角形叫等腰三角形）. （2）∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD∥BC，即AD∥BE，AB=DC ∴四边形ABED为梯形（梯形的定义） ∵DE=DC，AB=DC ∴AB=DE ∴梯形ABED为等腰梯形.（等腰梯形的定义） 梯形的计算及相关证明 1、如图，四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是（1，2）（3，0），则B点坐标是（　　） A.（3，2）    B.（2，3）    C.（2，2）    D.无法确定 【答案】C 【解析】 解：∵四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是（1，2）（3，0）， ∴OA＝BC，AB∥OC， ∴B（2，2）， 故选：C． 2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E为CD中点，联结AE，作AF⊥AE交BC于点F．如果，，且∠DAE＝30°，那么BF的长为（　　） A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：延长AE交BC的延长线于M， ∵点E为CD中点， ∴DE＝CE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠CME＝30°，∠ADE＝∠ECM， ∴△ADE≌△MCE（AAS）， ∴CM＝AD，AE＝EM＝2， ∴AM＝4， 过A作AG⊥BC于G，过D作DH⊥BC于H， 则∠AGM＝90°，AG＝DH，GH＝AD， ∴AGAM＝2， ∴GM6， ∴CH＝GM﹣GH﹣CM＝6﹣2， ∵AB＝CD，AG＝DH， ∴Rt△ABG≌Rt△DCH（HL）， ∴BG＝CH＝6﹣2， ∴∠FAM＝90°， ∵AF⊥AE， ∴AFFM， ∵AF2+AM2＝FM2， ∴（FM2， ∴FM＝8， ∴FG＝FM﹣GM＝2， ∴BF＝BG﹣FG＝4﹣2， 故选：D． 3、如图在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝5，BC＝4，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A.      B.    C.3    D.4 【答案】A 【解析】 解：如图，连接FC， 由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上， ∴EO垂直平分AC， ∴AF＝FC， ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠BCO， 在△FOA与△BOC中， ， ∴△FOA≌△BOC（ASA）， ∴AF＝BC＝4， ∴FC＝AF＝4，FD＝AD﹣AF＝1． 在△FDC中，∠D＝90°， ∴CD2+DF2＝FC2， 即CD2+12＝42， 解得CD． 故选：A． 4、如图，将梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A'B'C'D'的位置，其中AD∥BC，∠ABC＝90°，D′C′交BC于点M．若BM＝5cm，CM＝1cm，BB'＝2cm，则图中阴影部分的面积为 　  　 cm2． 【答案】 11． 【解析】 解：∵D′C′交BC于点M．BM＝5cm，CM＝1cm， ∴BC＝6cm， ∵梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A′B′C′D′的位置，BB′＝2cm， ∴B′C′＝BC＝6cm， ∴S阴影＝S梯形BB′C′M （6+5）×2 ＝11（cm2）， 故答案为：11． 5、已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝5，那么梯形ABCD的周长为　    　 ． 【答案】 7+3． 【解析】 解：过D作DH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠BHD＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD＝2，DH＝AB， ∵BC＝5， ∴CH＝3， ∵∠CHD＝90°，∠C＝30°， ∴DH＝CH•tan30°＝3， ∴CD＝2DH＝2， ∴梯形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD5+22＝7+3， 故答案为：7+3． 6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 【答案】 （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）； （2）解：在Rt△BEC中，∠DBC＝50°， 则∠BCE＝90°﹣50°＝40°， 由（1）可知，△ABD≌△ECB， ∴BD＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣50°）＝65°， ∴∠DCE＝65°﹣40°＝25°． 学科网（北京）股份有限公司 $