6.1 平行四边形的性质及判定同步练习 2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

第一节　平行四边形的性质及判定 课时1　平行四边形的性质(1)——边、角 基础过关 1．如图，在▱ABCD中，下列关系不一定正确的是(　　) 第1题图 A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠A＝∠C D．∠A＋∠B＝180° 2．小斌用四根木棒恰好能钉成一个平行四边形木框(接头忽略不计)，若木棒的长度分别为6 cm，a cm，9 cm，9 cm，则a的值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 3．如图，在▱ABCD中，∠ADC＝125°，∠ACB＝21°，则∠BAC的度数为(　　) 第3题图 A．21° B．24° C．34° D．42° 4．如图，▱ABCD的对角线交点是平面直角坐标系的原点，若顶点C的坐标是(5，3)，则顶点A的坐标是________． 第4题图 5．如图，在▱ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.求证：BE＝DF. 第5题图 能力提升 6．如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F.若AD＝3，AB＝5，则CF的长为(　　) 第6题图 A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数． 第7题图 思维拓展 8．【最值问题】如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为________． 第8题图 课时2　平行四边形的性质(2)——对角线 基础过关 1．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是(　　) 第1题图 A．AD＝BC B．OA＝OC C．∠ABC＝∠ADC D．OA＝OD 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O.若AC＝8，BD＝6，则边AB的长的取值范围是________． 第2题图 3．(2025揭阳期末)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36.若△AOB的周长是29，则AB的长是________． 第3题图 4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝6 cm，则梯形ABCD的周长为________cm. 第4题图 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OD和OB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.求证：AE＝CF. 第5题图 能力提升 6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，线段EF经过点O，且分别与边AD，BC交于点E，F. 第6题图 (1)若AB＝3，AD＝4，OF＝1.3，则四边形ABFE的周长为________； (2)若▱ABCD的面积为24，则△AOE和△BOF的面积之和为________． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)求证：BE＝DF； (2)若BD＝2AB，且AB＝8，CF＝5，求DF的长． 第7题图 思维拓展 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为边AB上一动点，以PA，PC为一组邻边作▱PAQC，则对角线PQ长度的最小值为(　　) 第8题图 A．6 B．8 C．2 D．4 课时3　平行四边形的判定(1)——边 基础过关 1．根据图中所标数据，不能说明四边形ABCD是平行四边形的是(　　) 2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝100°，____________，在横线上添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形，该条件可以是(　　) 第2题图 A．∠B＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．AD＝BC D．AD∥BC 3．【尺规作图】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AB，AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形，其依据是________________________________________________________________________． 第3题图 4．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，BE＝DF，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形． 第4题图 能力提升 5．如图，将△ABC向右平移得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中有________个平行四边形． 第5题图 6．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形． 第6题图 思维拓展 7．(2025揭阳期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为________． 第7题图 课时4　平行四边形的判定(2)——对角线 基础过关 1．(2025河源期末)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) 第1题图 A．AB＝CD B．AB∥CD C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD 2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝8 cm，BD＝10 cm，那么当AO＝______cm，DO＝______cm时，四边形ABCD是平行四边形． 第2题图 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O为AC的中点，点E，F在直线AC上，且AE＝CF，BE∥DF.求证：四边形ABCD是平行四边形． 第3题图 能力提升 4．【开放性】在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在对角线AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，小智、小慧两个同学给出了如下两种不同的方案： 小智：分别取AO，CO的中点E，F 小慧：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F (1)请你在两个方案中任选一个证明四边形BEDF为平行四边形； (2)请你给出一种和他们不同的方案，并在下图中标记字母(不必证明)． 第4题图 思维拓展 5．【材料阅读】在平面直角坐标系中，以任意点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为. 【知识运用】已知▱OEFG的对角线相交于点H，O为坐标原点，点F的坐标为(4，3)，则点H的坐标为________． 【能力拓展】在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，则点D的坐标为________． 课时5　平行线之间的距离 基础过关 1．如图，已知直线m∥n，下列可以表示直线m与n之间的距离的是(　　) 第1题图 A．线段AC的长 B．线段AE的长 C．线段AB的长 D．线段CF的长 2．如图，点P在▱ABCD的边AB上，连接CP，DP，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则S1，S2，S3之间的数量关系为(　　) 第2题图 A．S3＝S1＋S2 B．S3>S1＋S2 C．S3<S1＋S2 D．无法确定 3．(新BS八下P159)如图，在▱ABCD中，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数． 第3题图 能力提升 4．【易错题】已知直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2之间的距离是2 cm，直线l2与l3之间的距离是5 cm，那么直线l1与l3之间的距离是________． 5．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，过点P作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则AD与BC之间的距离为________． 第5题图 6．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE∥BD，∠AED＝∠AOD，连接OE. 求证：(1)AE＝OB； (2)四边形CDEO是平行四边形． 第6题图 思维拓展 7．【跨学科】语文中汉语拼音书写的四线三格由等距离、等长度的四条平行横线组成．如图，有四条相互平行的直线，且相邻两条平行线间的距离都是1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为________． 第7题图 第一节　平行四边形的性质及判定 课时1　平行四边形的性质（1）——边、角 1．B　2.B　3.C　4.（－5，－3） 5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）.∴BE＝DF. 6．A 7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AD∥BF.∴∠D＝∠ECF. ∵E为CD的中点，∴DE＝CE. 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（ASA）. （2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC. ∴BC＝FC.∴FB＝FC＋BC＝2BC. 又∵AB＝2BC，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°. ∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 8. 课时2　平行四边形的性质（2）——对角线 1．D　2.1<AB<7　3.11　4.30 5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB. ∵DE＝BF，∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（SAS）.∴AE＝CF. 6．（1）9.6；（2）6 7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC. ∵E，F分别为OA，OC的中点， ∴OE＝OA，OF＝OC.∴OE＝OF. 又∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）.∴BE＝DF. （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BD＝2OD. 又∵BD＝2AB，∴BD＝2OD＝2CD.∴OD＝CD. 又∵F为OC的中点，∴DF⊥OC.∴∠DFC＝90°. 在Rt△CDF中，CD＝8，CF＝5， ∴DF＝＝＝. 8．D 课时3　平行四边形的判定（1）——边 1．D　2.D　3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4．证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△AEB和△CFD中， ∴△AEB≌△CFD（SAS）. ∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 5．3 6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DAB＝∠BCD. ∵△ADE和△CBF都是等边三角形， ∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°. ∴DE＝BF＝AE＝CF，∠DAB－∠DAE＝∠BCD－∠BCF，即∠BAE＝∠DCF. 在△BAE和△DCF中， ∴△BAE≌△DCF（SAS）.∴BE＝DF. 又∵DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形． 7.或 课时4　平行四边形的判定（2）——对角线 1．A　2.4　5 3．证明：∵O为AC的中点，∴OA＝OC. ∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF. ∵BE∥DF，∴∠E＝∠F. 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（ASA）.∴OB＝OD. 又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形． 4．（1）证明：若选择小智的方案： 如答图1，连接BD. 答图1 ∵在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO. ∵E，F分别为AO，CO的中点， ∴EO＝AO，FO＝CO.∴EO＝FO. ∴四边形BEDF为平行四边形． （若选择小慧的方案，可通过证△ABE≌△CDF，得到BE＝DF，BE∥DF，从而得出四边形BEDF为平行四边形．） （2）解：如答图2，在对角线AC上取点E，F，且AE＝CF（答案不唯一）． 答图2 5.　（5，3）或（－3，5）或（1，－1） 课时5　平行线之间的距离 1．C　2.A 3．解：∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝35°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC. ∴∠AEB＝∠EBF＝35°. ∵DF∥BE，∴∠ADF＝∠AEB＝35°. ∴∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝35°. 4．3 cm或7 cm　5.4 6．证明：（1）∵AE∥BD，∴∠AED＋∠EDO＝180°. ∵∠AED＝∠AOD， ∴∠AOD＋∠EDO＝180°.∴AO∥DE. ∴四边形ODEA是平行四边形．∴AE＝OD. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.∴AE＝OB. （2）∵AE＝OB，且AE∥OB，∴四边形ABOE是平行四边形． ∴AB＝OE，AB∥OE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∴OE＝CD，OE∥CD.∴四边形CDEO是平行四边形． 7．5 学科网（北京）股份有限公司 $