命题大赛 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟试卷（三）（人教A版）

**基本信息** 整合高考真题与原创情境，覆盖必修一、二核心知识，通过科技（人造太阳模型）、文化（《九章算术》）、社会热点（民宿经济）等载体，考查数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|复数、向量、立体几何表面积、函数图像|融合高考真题（如新课标Ⅰ卷向量题）与新定义（集合运算⊕），考查抽象能力| |多选题|3题18分|样本数据特征、立体几何位置关系|结合统计与立体几何，培养推理意识| |填空题|3题15分|三角函数零点、解三角形（滕王阁高度）|新情境题（滕王阁仰角测量）体现应用意识| |解答题|5题77分|概率、立体几何证明与计算、函数模型（民宿经济）|含探究题（卡尔丹公式解方程），发展创新意识，适配期末综合检测|

浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟试卷 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（原创）已知复数，则在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·二模）某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   5．（2018·全国I卷·高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（   ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东淄博·月考）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图在堑堵中，，，D，E分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体不是鳖臑 B．DE与平面相交 C．若，则AB与DE所成角的正弦值为 D．三棱锥的外接球的体积为定值 8．（新定义题）（25-26高一上·浙江·期中）定义集合运算⊕，A，，，表示集合A中元素的个数，则以下说法不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则的值可能为4 C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 10．（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 11．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 13．（新情境题）（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 14．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为______；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（24-25高一下·浙江宁波·期末）一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为，记，且． (1)求事件“”发生的概率； (2)求事件“”发生的概率． 16．（25-26高三上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，， (1)若为等边三角形，求线段的长度； (2)若，求线段的长度 17．（新情境题）（25-26高一上·安徽宣城·期末）随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． (1)请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； (2)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 18．（25-26高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角； (3)求点到平面的距离. 19．（新情境题、探究题）（23-24高一下·湖南长沙·月考）（1）对实系数的一元二次方程可以用求根公式求复数范围内的解，在复数范围解方程； （2）对一般的实系数一元三次方程（），由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数 学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得于是，方程一个根可以写成． 阅读以上材料，求解方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟试卷（参考答案及详解详析） 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 评分标准：(不选，多选，错选均不得分） 题号 1 2 3 4 答案 B D C B 题号 5 6 7 8 答案 A B D D 1．B 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】复数，则对应的点在第二象限，故选：B 2．D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：．故选：D． 3．C 【难度】0.85 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】借助圆台侧面积公式计算即可得. 【详解】. 4．B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【分析】利用函数的奇偶性及特值法可判定选项. 【详解】令，则， 则为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D； 当时, ，可排除A，从而B正确.故选：B. 5．A 【难度】0.65 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A. 【点睛】该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 6．B 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则，所以.故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 7．D 【难度】0.4 【知识点】判断几何体是否为棱柱、球的体积的有关计算、求异面直线所成的角、判断图形中的线面关系 【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断A；连接相交于点，可得四边形为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可判断B；由B选项知与所成角即与所成角为或其补角，求出，在中由余弦定理得，再求出可得正切值可判断C；由、均为直角三角形可得点是三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径可判断D. 【详解】对于A，在堑堵中，平面，平面， 所以，，，所以、均为直角三角形， 因为，所以为直角三角形， 且，平面，所以平面，平面， 所以，所以为直角三角形，所以四面体为鳖臑，故A错误； 对于B， 如图，连接相交于点，所以点为的中点，连接， 所以，，因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B错误； 对于C，，由B选项知，， 所以与所成角即与所成角或其补角， 因为，所以，连接，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得， 所以为锐角，则， 则与所成角的正切值为，故C错误； 对于D，如下图，连接，由A选项可知，、均为直角三角形， 且，，且点为的中点， 所以， 所以点是三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为， 因为，所以为直角三角形， 所以三棱锥的外接球的体积为，与长度无关，故D正确. 故选：D. 8．D 【难度】0.15 【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、集合新定义 【分析】根据集合B只有一个元素，分析集合A只有2个元素，设，可得，根据条件，分析计算，可求得集合A，即可判断A的正误；设，根据条件，计算可得的最大值为8，当有部分元素重合时，举例分析，可得，即可判断B的正误；根据所给定义，分析可得，，即可判断C的正误；举例时，计算可得，，即可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，只有一个元素，则集合A中只有2个元素， 所以设，则，因为， 不妨设，则，所以， 所以，解得，同理，若，则，所以，解得， 综上，故A正确；选项B：由题意，设， 所以中最多有4个元素，（c，d，e，f均不相同时）， 此时 当与没有共同元素时， ， 当与有部分重复元素时，， 例如时，，， 此时，则，所以的值可能为4，故B正确； 选项C：，当A与B没有交集时取等号， 因为a有种取法，b有种取法，所以， 因为， 所以，故C正确； 选项D：当时，，， 所以，则，， 所以， 此时，故D错误.故选：D 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 评分标准：(不选，错选均不得分）（若答案为两个选项，选对一个选项得3分，选对两个选项得6分）（若答案为三个选项，选对一个选项得2分，选对两个选项得4分，选对三个选项得6分） 题号 9 10 11 答案 BD BD BCD 9．BD 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得；例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD. 10．BD 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误；故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，，则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误；故选：BD. 11．BCD 【难度】0.65 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 13． 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长. 【详解】设，因为，，则， 又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②，因为， 所以由①②两式相加可得：，解得：， 则. 14．；（第一个空2分，第二个空3分） 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求二面角 【分析】根据异面直线以及二面角的定义求解，即可得答案. 【详解】在正方体中，， 故异面直线与BC所成角即为直线与AD所成角， 由于，故异面直线与BC所成角的大小为； 在正方体中，平面， 而平面，故， 又平面，平面， 故为平面与平面ABCD所成的二面角，而, 故平面与平面ABCD所成的二面角的大小为，故答案为：； 四、解答题（本大题共5小题，共77分）（其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由坐标表示向量的数量积结合古典概率求解可得； （2）由坐标表示向量的模长结合古典概率求解可得. 【详解】（1）由题意知，所以或，.......................................................2分 又不放回的依次取出2个球共有 共20种情况，..........................................6分 所以事件“”发生的概率为............................................................................8分 （2），，因为，所以， 所以， 共14种情况符合，....................................................................................................................11分 所以事件“”发生的概率为.......................................................13分 16．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中利用余弦定理可求； （2）利用两角和差的余弦公式求出，再在中利用余弦定理可求. 【详解】（1）依题意，，.......................................................................................2分 故在中由余弦定理得,...................................4分 ，................................................................................................6分 故.......................................................................................................................7分 （2）依题意：，则，..........................................................8分 则，...................................................................................10分 因为，故为等腰直角三角形，故.....................................11分 因此,....................................13分 故在中由余弦定理得 ，......................................14分 即...............................................................................................................................15分 17．(1)， (2)投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元 【难度】0.85 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据利润与成本关系是利用分段函数写出表达式即可； （2）利用二次函数性质以及基本不等式计算可得利润最大化时的民宿栋数. 【详解】（1）由题意可得， 当时，,...................................................2分 当时，,.....................................5分 所以；.....................................................................7分 （2）当时， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为70，..........................9分 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，....................................................................................................12分 因为130>70，所以当时，的最大值为130， 所以投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元．........................................15分 18．(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求点面距离、求线面角 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，据此可得，可完成证明； （2）如图做，由题可得平面，连接，则为与平面所成的角，据此可得答案； （3）如图建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【详解】（1）连接BD交AC于O，连接OE............................................................................1分 易得O为BD中点，又为的中点，则，.........................................................2分 又平面，平面，则平面；..................................................4分 如图作，因平面，平面，则，.......................6分 又平面，，则平面.................................................7分 连接，则为与平面所成的角.....................................................................8分 由题可得，，，则............10分 （3）如图，取CD中点为，连接AH，易得. 则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则. ,....................................................................14分 设平面法向量为，则.....................................15分 令，则，故取.................................................................16分 则点到平面的距离为........................................................17分    19．（1），； （2），，． 【难度】0.4 【知识点】复数范围内方程的根、韦达定理 【分析】（1）利用实系数的一元二次方程求根公式求解此一元二次方程 （2）根据题干所给的求根方法按步骤计算：先进行代换，消去二次项，再根据卡尔丹公式对整理后的三次方程求解. 【详解】（1）在一元二次方程中，，...........................2分 ，..............................................................................................4分 即，．...........................................................................................6分 （2）令，方程化为：，.......................................8分 令，则有， 于是得即，........................................................................................10分 ，是关于的方程的二根， 解得，即或， 而，，因此或，....................................14分 于是得，方程化为， 解得或，因此或， 所以方程的解为，，．......................17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末考试模拟卷 整体难度：适中 考试范围：复数,平面向量,空间向量与立体几何,函数与导数,计数原理与概率统计,三角函数与解三角形,集合与常用逻辑用语,等式与不等式,竞赛知识点 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 容易 6 适中 10 困难 3 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、选择题 1 0.85 共轭复数的概念及计算；判断复数对应的点所在的象限 2 0.85 平面向量线性运算的坐标表示；利用向量垂直求参数；向量垂直的坐标表示 3 0.85 圆台表面积的有关计算 4 0.85 函数奇偶性的定义与判断；函数奇偶性的应用；函数图像的识别 5 0.65 根据扇形统计图解决实际问题 6 0.65 用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；给值求值型问题 7 0.4 判断图形中的线面关系；判断几何体是否为棱柱；球的体积的有关计算；求异面直线所成的角 8 0.15 集合新定义；并集的概念及运算；根据并集结果求集合或参数 二、多选题 9 0.65 计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的中位数 10 0.65 空间位置关系的向量证明；求平面的法向量；证明线面平行；证明线面垂直 11 0.65 对数型函数图象过定点问题；基本不等式“1”的妙用求最值 三、填空题 12 0.65 余弦函数图象的应用；根据函数零点的个数求参数范围 13 0.65 高度测量问题；余弦定理解三角形 14 0.65 求二面角；求异面直线所成的角 四、解答题 15 0.85 写出样本空间；计算古典概型问题的概率 16 0.65 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦；余弦定理解三角形 17 0.85 分段函数模型的应用；基本不等式求和的最小值；利用给定函数模型解决实际问题 18 0.65 求点面距离；求线面角；证明线面平行 19 0.4 复数范围内方程的根；韦达定理 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 复数 1,19 2 平面向量 2 3 空间向量与立体几何 3,7,10,14,18 4 函数与导数 4,11,12,17 5 计数原理与概率统计 5,9,15 6 三角函数与解三角形 6,12,13,16 7 集合与常用逻辑用语 8 8 等式与不等式 11,17 9 竞赛知识点 19 难度分布 容易 适中 困难 26.32 57.89 15.79 学科网（北京）股份有限公司 $