精品解析：2026年山东临沂市河东区中考二模考试数学试题

九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年1月，“中国卫星互联网星座”项目已完成第一阶段部署．该阶段共发射了168颗低轨通信卫星，平均每颗卫星的造价约为12000000元，数12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体是（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，为反比例函数图象上的两个不同的点，，则的值为（    ） A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 非负数 6. 如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ）． A. 图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 D. 图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 9. 小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四边形“直立”为正方形（图1），再将其向左“推倒”为含角的菱形（图2），则该四边形从正方形变成菱形后描述正确的是（ ） A. 内角和增加 B. 周长变大 C. 面积不变 D. 两条对角线的和变小 10. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 13. 如图，、是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且，则的度数是______． 14. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0，则该点向下平移1个单位；若余数为1，则向右平移1个单位；若余数为2，则向上平移1个单位；若余数为3，则向左平移1个单位；若余数为4，则不动．已知整点满足，连续平移4次后恰好落在直线上，则点平移前的横坐标为__________． 15. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成各题 （1）解不等式组：； （2）若、、为三个连续的正整数，，先化简，再求值：． 17. 为激发同学们的创新意识，某校开展了科技作品制作活动，学校组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行作品评分（满分10分，分数取整数），分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下： 甲组成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 2 （1）将乙组成绩条形统计图补充完整，并求甲组成绩统计表中的值； （2）求甲组学生成绩的平均分和中位数； （3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分． 18. 学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示平行四边形），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． （1）尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 19. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如下表： （分钟） 0 2 5 7 10 14 17 20 … 30 50 80 100 70 50 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 20. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． （1）如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 21. 某数学小组使用量角器探究圆的相关性质，如图所示，将两块量角器完全重合在一起（量角器的直径为，圆心为），保持下面一块不动，上面的一块沿所在的直线向左平移，当圆心与点重合时，量角器停止平移，此时半圆与半圆交于点，连接． （1）与半圆有怎样的位置关系？请说明理由； （2）在半圆的量角器上，当、点的读数分别为、时，问点在这块量角器上的读数是多少？ （3）若量角器的直径，求图中阴影部分的面积． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过和． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记点与点之间的距离为，当与重合时，． ①若，求的值； ②若对于，都有，求的取值范围． 23. 手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： （1）动手操作一：将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请判断四边形是什么特殊四边形？ （2）动手操作二：为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2，其中，． ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； （3）动手操作三：大家在第三张卡纸的一边上任取动点，始终沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接．如图3，，．当线段长度取得最小值时，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，比较各数绝对值的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴的绝对值最小，即对应的点与原点距离最近． 2. 2026年1月，“中国卫星互联网星座”项目已完成第一阶段部署．该阶段共发射了168颗低轨通信卫星，平均每颗卫星的造价约为12000000元，数12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：. 3. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵俯视图为“凸”字形， ∴ 该几何体的底面为“凸”字形， ∵ 主视图为长方形且中间有两条虚线， ∴ 该几何体正面平整，后方有两条不可见棱， ∵左视图为长方形且中间有一条实线， ∴ 该几何体侧面中间有一条可见棱， 综上，符合条件的这个物体是选项． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是因式分解，因此选项不符合题意； B．，因式分解正确，因此选项符合题意； C．，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项不符合题意； D．，因此选项不符合题意． 5. 已知点，为反比例函数图象上的两个不同的点，，则的值为（    ） A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 非负数 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数解析式得到，的表达式，代入所求分式化简，再根据已知判断化简结果的符号即可． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴，即原式的值为负数． 6. 如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式解答即可． 本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ①两次都向左移动，则“”落在E处； ②先向左再向右，则“”回到格子A； ③先向右再向左，则“”回到格子A； ④两次都向右移动，则“”落在C处； 所以当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 故选：D． 7. 如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设矩形的长为，宽为，则小正方形的边长为，根据大正方形的边长相等列出方程求出与的关系，利用勾股定理求出矩形对角线长，根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则小正方形的边长为， 由图可知，大正方形的边长，边长， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∴矩形的对角线长为， ∵是矩形对角线与长边的夹角， ∴． 8. 数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ）． A. 图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 D. 图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中编号为1的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； D．图（4）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意． 9. 小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四边形“直立”为正方形（图1），再将其向左“推倒”为含角的菱形（图2），则该四边形从正方形变成菱形后描述正确的是（ ） A. 内角和增加 B. 周长变大 C. 面积不变 D. 两条对角线的和变小 【答案】D 【解析】 【分析】设1根木棒的长度为，如图①，连接，，再分别计算正方形，菱形的周长，面积，对角线的长，再逐一判断即可. 【详解】解：设1根木棒的长度为，如图①，连接，， ∴正方形的内角和为，周长为4a， 面积为； ， 如图②，菱形的内角和为，周长为4a， 连接与交于点， ∵四边形是菱形，， 是等边三角形， 和是菱形的对角线， 与互相垂直且平分， 在中，， ， ，， ，， ， ∴菱形的面积小于正方形的面积， ， ∴菱形对角线的和小于正方形对角线的和. 10. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得3个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可． 【详解】解：根据题意得：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场， 每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负）， 所以6场后各队的得分之和不超过18分， ①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线， ②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故选B． 【点睛】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根”进行求解即可． 【详解】解：由关于x的方程有两个不相等的实数根，可知： ， 解得：． 13. 如图，、是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且，则的度数是______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题；根据圆周角定理可得，进而求得，然后利用等腰三角形求得，则的度数可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0，则该点向下平移1个单位；若余数为1，则向右平移1个单位；若余数为2，则向上平移1个单位；若余数为3，则向左平移1个单位；若余数为4，则不动．已知整点满足，连续平移4次后恰好落在直线上，则点平移前的横坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移规则依次推导次平移后点的坐标表达式，再结合平移后点在已知直线上，联立二元一次方程组求解即可得到平移前的横坐标. 【详解】解：记第次平移后点的坐标为，为横纵坐标之和， 则，，， 余数为，因此第次向右平移个单位， 得，； ，余数为，因此第次向上平移个单位， 得，； ，余数为，因此第次向左平移个单位， 得，； ，余数为，因此第次向上平移个单位， 得，， 因为平移次后点落在直线上，所以满足， 代入得：，整理得， 联立方程组， 得，解得． 15. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由为等边三角形，，可得，，，再由，可得，证明，可得，则当时，最小，在中，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，最小， ∴在中，，，， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成各题 （1）解不等式组：； （2）若、、为三个连续的正整数，，先化简，再求值：． 【答案】（1） （2），4 【解析】 【分析】（1）先求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为该不等式组的解集； （2）先根据分式的加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴该不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， ∵、、为三个连续的正整数， ∴，，又， ∴， ∴， ∴原式． 17. 为激发同学们的创新意识，某校开展了科技作品制作活动，学校组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行作品评分（满分10分，分数取整数），分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下： 甲组成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 2 （1）将乙组成绩条形统计图补充完整，并求甲组成绩统计表中的值； （2）求甲组学生成绩的平均分和中位数； （3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分． 【答案】（1），7 （2）甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用部分的实际数据除以占比得出总数，即可求得结果； （2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，利用中位数的公式求得中位数； （3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得，10分圆心角度数为，所以占比为， 所以乙组人数为：，则8分人数为： 乙组成绩条形统计图略． 则甲组人数也为20，， 所以，的值为7； 【小问2详解】 解：甲组学生成绩的平均分为：， 甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：， 所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为； 【小问3详解】 解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：， 甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为， 所以，这名学生至少增加2分． 18. 学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示平行四边形），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． （1）尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 【答案】（1）如图，线段即为所求， （2）水渠的长度为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，为线段的中点，作出线段的垂直平分线，交于点，连接，即可； （2）过作，根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理求得，的长度，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如下图： 由平行四边形的性质可得，， ∵为线段的中点， ∴， 即菜地两部分的面积比为； 【小问2详解】 解：过作，如下图： 若，， 根据题意可得，， 在中，，， ∴，， ∴，， 由勾股定理可得，． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是根据平行四边形的性质以及中线正确确定出点的位置． 19. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如下表： （分钟） 0 2 5 7 10 14 17 20 … 30 50 80 100 70 50 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）第一次加热的函数关系式为；第一次降温的函数关系式为； （3）解：同学们能喝到不超过的水，说明如下： 由题意得，8时45分时20分小时25分钟分钟， ∵饮水机一个完整工作（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟内完成的工作次数为， ∴经过3次完整工作后，剩余15分钟， 此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【解析】 【分析】（1）根据表格中每组的数值，在平面直角坐标系逐个标注对应坐标点即可； （2）升温阶段水温匀速上涨，选用一次函数，代入数据求解即可；降温时，选用反比例函数，代入数据求解即可； （3）先换算时间：分钟，单个工作时间长分钟，根据可得温度为15分钟时的温度，进而即可求解判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察数据可得，加热时水温随时间均匀上升，符合一次函数关系， ∴设函数关系式为， 将、代入， 得， 解得， ∴第一次加热的函数关系式为， 观察降温数据可得，，，，，水温与时间的乘积几乎为定值，符合反比例函数关系， ∴设函数关系式为， 将代入得， 解得， 当水温回落至时，自动重启加热， ∴令，则 解得， ∴第一次降温的函数关系式为； 【小问3详解】 略 20. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． （1）如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）先证明，再利用三角函数的意义进行计算即可； （2）如图3中，作交的延长线于点，解直角三角形得出是，进一步相减可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可得：窗户旋转角时，测得， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图3中，作交的延长线于点， 在中，， ， ∴， ， 在中，， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为：． 21. 某数学小组使用量角器探究圆的相关性质，如图所示，将两块量角器完全重合在一起（量角器的直径为，圆心为），保持下面一块不动，上面的一块沿所在的直线向左平移，当圆心与点重合时，量角器停止平移，此时半圆与半圆交于点，连接． （1）与半圆有怎样的位置关系？请说明理由； （2）在半圆的量角器上，当、点的读数分别为、时，问点在这块量角器上的读数是多少？ （3）若量角器的直径，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）解：与半圆相切，理由如下： 连接，如图， ∵为圆的直径， ∴，即， ∵为圆的半径， ∴与半圆相切； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角可得，由此可得位置关系； （2）得到为等边三角形，由此可得度数； （3）根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，，为半圆的半径，即， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在这块量角器上的读数是； 【小问3详解】 解：∵量角器的直径， ∴半径， 由（2）可知，为等边三角形， ∴，， ∴， 过点P作于点D，如图， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过和． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记点与点之间的距离为，当与重合时，． ①若，求的值； ②若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）①或；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握二次函数的图象性质，分情况讨论绝对值函数的最值是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意求出点M、N的坐标，利用当与重合时，纵坐标相同，列方程求解即可； ②先求出的表达式，再利用二次函数的性质分情况讨论，求出该绝对值函数在给定区间内的最大值，结合恒成立的条件，列关于a的不等式，求解a的范围． 【小问1详解】 解：将点和代入得： 解得：； 【小问2详解】 解：①由（1）得抛物线解析式为， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 、， ， 与重合， ， ， ， 整理得：， 解得：或； ②由①知，、， ， 令， 函数的对称轴为， 令得：， 解得：或， 当时，， ， 此时随的增大而减小，在处有最大值， 当时，， 由题意恒有知，， ， 解得：， 当时，， ， 令，其对称轴为， 在顶点处，有最大值， 当时，， ， ， 解得：， ， ． 23. 手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： （1）动手操作一：将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请判断四边形是什么特殊四边形？ （2）动手操作二：为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2，其中，． ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； （3）动手操作三：大家在第三张卡纸的一边上任取动点，始终沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接．如图3，，．当线段长度取得最小值时，求此时的长． 【答案】（1）四边形是菱形； （2）解：①位置关系：，理由如下： 连接交于点，如图， 由翻折可知：垂直平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，即； ②线段的长为； （3）的长为 【解析】 【分析】（1）连接，，设与交于点，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②根据①可求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）连接，由勾股定理可得，，得出当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，最后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：②由①可知：，， 在矩形纸片中，，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， 在矩形中，，， ∴， ∵， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小， 此时， 设，则， 由翻折可知，，， ∴ 解得， 即． 【点睛】本题核心是折叠问题的全等不变性，学会利用折叠必产生全等三角形，折痕是对应点连线的垂直平分线；线段长度计算优先勾股定理，斜边上的高用等面积法等性质解题．常见错误为忽略折叠后直角的传递，误判最值时三点共线的位置，列方程时混淆线段对应关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $