精品解析：2026年山东省菏泽市鄄城县二模数学试题

2025-2026学年度第二次质量监测 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照定义先求出的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果． 【详解】解：的相反数为， 的倒数为， ∴的相反数的倒数是． 2. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：它的俯视图是． 3. 2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 先根据两直线平行的性质，得到，再根据平角的定义，即可得出的度数． 【详解】解：∵，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方，积的乘方法则和完全平方公式逐一判断运算是否正确． 【详解】解：A：，∴此选项错误； B：，∴此选项正确； C：，∴此选项错误； D：，∴此选项错误． 6. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，然后根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形正确，符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意． 7. 如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两次变换后点A的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点C的坐标为（1，0），AC=3， 如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°， 则点A′的坐标为（1，-3）， 再向左平移2个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（-1，-3）， 故选D． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可知，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角相等是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数函数值的计算，函数值比较大小的方法是关键． 根据题意得到，根据成立，得到，，整理得，，令，所以，结合题意即可求解． 【详解】解：二次函数（是实数）化为一般式得， ， ∵函数图象上的两点，， ∴当时，， 当时，， ∵当时，始终有成立， ∴， ∴，整理得，， 令， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； 当时，，当时，， ∵， 即， ∴， 解得，， ∵， ∴， 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到的摸到红球的概率建立方程，求解即可得到白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 故估计口袋中白球有个． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 计算：=________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母有理化及负整数指数幂计算即可． 【详解】原式 故答案为： ． 【点睛】本题考查了分母有理化及二次根式的化简、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 甲 乙 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较方差，方差小的比较稳定，从而得出答案． 【详解】解：甲===12， 乙===12， 甲的方差为=， 乙的方差为=， ∵， 即甲的方差<乙的方差， ∴甲的成绩比较稳定． 故答案为甲． 【点睛】本题考查了方差的定义．一般地，设n个数据，的平均数为，则方差为 ． 16. 如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为_____． 【答案】-3． 【解析】 【分析】因为点D在双曲线y=上，求出点D的坐标即可，根据A（-1，2）和旋转，可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可． 【详解】解：过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB，垂足为E、F，A（﹣1，2） ∵△AOB绕点A顺时针旋转90° ∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝90° 又∵∠C＝∠ABO＝90°， ∴四边形ACEB是矩形， ∴AC＝DF＝EB＝AB＝2，CD＝BC＝AF＝1， ∴DE＝BF＝AB﹣AF＝2﹣1＝1，OE＝OB+BE＝2+1＝3， ∴D（﹣3，1） ∵点D恰好落在双曲线y＝上， ∴k＝（﹣3）×1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及矩形的性质，合理地转化，将线段的长转化为点的坐标是关键所在． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据，再计算． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论． 【详解】证明：在菱形中， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 19. 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． （1）求树的高度； （2）求食堂的高度． 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】（）设，根据直角三角形性质可得，，进而求得，然后依据，解得，即树的高度为米； （）延长交延长线于点，则，由（）知，，则，又，可得，从而求解． 【小问1详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴中，， 即，解得， ∴树的高度为米； 【小问2详解】 解：延长交延长线于点，则， 由（）知，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴食堂的高度为米． 20. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数分布直方图： 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 0.0256 请根据以上信息，完成下列问题： （1）九年级（1）班视力中位数落在扇形统计图的______部分（填A、B、C）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数分布直方图； （3）表中______； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在之间的大约有______人； 【答案】（1）B （2）见解析 （3）4.8 （4）15 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，对数据进行分析即可； （2）根据九年级（2）班数据，可知中的频数，即可补全频数直方图； （3）根据众数的定义，对数据进行分析即可得出结果； （4）由九年级（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在，可知该班50人中视力在的人数． 【小问1详解】 解：将九年级（1）班视力数据排列为： 4.6，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，5.1 ∴中位数为， 即，落在B部分； 【小问2详解】 解：根据九年级（2）班数据，可知中的频数为4， 补全频数直方图如图所示， 【小问3详解】 解：由九年级（2）班视力数据可知，众数为4.8，即； 【小问4详解】 解：由九年级（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在， 故50人中视力在的人数为：（人） 21. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵切圆于， ， ， ， ， ∵， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质以及垂直定义得出直角，证明，然后利用圆周角定理即可得出结论； （2）连接，利用圆周角定理得出，利用锐角三角函数和勾股定理求出，证明，利用对应边成比例得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， （舍去负值）， ， ∵切圆于， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ． 22. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上．且满足．求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点得坐标，求出反比例函数的表达式，再将点的坐标代入到反比例函数的表达式中，求出点的坐标，再用待定系数法求一次函数的表达式； （2）设直线交轴于点，设，则，结合，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入中，得 ， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入中，得 ， ∴． 将点，代入中，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线交轴于点， ， 当时，，时，， ，， ． 设， ． ， ， ， 或， 点的坐标为或． 23. 如图，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方的抛物线上一动点， 连接，，当时，求点的坐标； 设点横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点．当线段的长度随的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）；当时，的长度随的增大而减小． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，解直角三角形，二次函数的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先得出，所以，，过点作轴交抛物线于点，得，过点作于点，设点，在中，，即，然后求出的值即可； 由题意可得，即，则，，所以，然后通过二次函数的性质即可． 【小问1详解】 解：将点，分别代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由抛物线解析式得，当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 过点作轴交抛物线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，设点， 在中，， ∴， ∴，（舍去）， ∴； 如图，点是直线下方的抛物线上一动点， ∴， ∴， ∵点横坐标为，轴， ∴，， ∴ ， ∴时，的长度随的增大而减小， ∴当时，的长度随的增大而减小． 24. 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）将绕点B逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，，，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解； （3）先利用正方形的性质，结合，可得同H为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，，，， ∴，， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②∵，，， ， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为； （2），理由如下： 将绕点B逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）过C作于H，连接，设交于K，如图： ∵四边形是正方形，， ∴H为中点，是等腰直角三角形， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二次质量监测 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解______． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是_______． 14. 计算：=________________． 15. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 甲 乙 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 16. 如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 19. 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． （1）求树的高度； （2）求食堂的高度． 20. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数分布直方图： 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 0.0256 请根据以上信息，完成下列问题： （1）九年级（1）班视力中位数落在扇形统计图的______部分（填A、B、C）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数分布直方图； （3）表中______； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在之间的大约有______人； 21. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上．且满足．求点的坐标． 23. 如图，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方的抛物线上一动点， 连接，，当时，求点的坐标； 设点横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点．当线段的长度随的增大而减小时，求的取值范围． 24. 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $