1.3 直角三角形 暑期巩固 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦直角三角形核心素养，以性质-定理-应用为主线，通过分层题型构建"概念理解-技能训练-综合应用"的三阶方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形的性质|5题|互余角计算、平行线性质转化|从角的关系到性质应用| |勾股定理|5题|方程思想、面积法|从边长计算到实际应用| |最短路径问题|5题|立体展开转化平面|空间观念到几何直观| |勾股定理逆定理|6题|三边关系判定|从数量关系到图形性质| |HL全等判定|5题|直角边斜边对应相等|特殊三角形全等判定|

北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 暑期巩固 直角三角形的性质 1、如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　） A.∠1与∠2 B.∠2与∠3 C.∠1与∠3 D.三个角都相等 2、如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（　　） A.100° B.105° C.110° D.120° 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B的度数为（　　） A.25° B.35° C.45° D.55° 4、如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C=90°，则图中∠1+∠2的度数为       ． 5、在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动． （1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数； （2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系； （3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系． 勾股定理 1、如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，PB2﹣PA2的值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 3、如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A. B. C. D. 4、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 　     　． 5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长． 最短路径问题 1、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 2、小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm 3、如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　） A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm 4、一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 5、阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的．” 任务： （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做　  　定理； （2）请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 勾股定理的逆定理 1、下列结论正确的是（　　） A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90° C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17，则该三角形是直角三角形 D.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形 2、已知三角形的三边长为a，b，c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则△ABC是（　　） A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形 3、如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 （　　） A. B. C. D. 4、如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　     　°． 5、如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝9，AC＝BD＝6．CD＝3，则图中阴影部分的面积为 　          　． 6、一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 勾股数 1、下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.32，42，52 B.3，4，7 C.0.5，1.2，1.4 D.9，12，15 2、下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（　　） A.0.3；0.4；0.5 B.1；； C.6；7；8 D.11；60；61 3、观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…） 4、勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，c=，m是大于1的奇数，则b＝　    　（用含m的式子表示）． 5、如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，求证：a，b，c为勾股数． 6、清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 互逆命题与互逆定理 1、下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.若a=b,则a2=b2 B.对顶角相等 C.若a＞b,则a2＞b2 D.两直线平行，同位角相等 2、下列命题为真命题的是（　　） A.相等的角是对顶角 B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C.和为180°的两个角互为邻补角 D.邻补角互补 3、命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是             .这个逆命题是       命题．（填真或假） 4、命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是           命题．（填“真”或“假”） 5、（1）已知，如图在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D，G在AB上，FG∥CD，∠BFG=∠CDE．求证：∠AED=∠ACB； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 6、（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 用HL判定三角形全等 1、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( ) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 2、如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 3、如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 4、如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 5、如图，∠D，∠C为直角，AE=EB，试在图中找出2对全等的三角形，并说出你的理由． 用HL证明边或角相等 1、如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　） A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD 2、如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　) A.55° B.45° C.35° D.65° 3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF．求证：∠B=∠C． 4、如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证： (1)△ABC是等腰三角形； (2)点D在∠BAC的角平分线上． HL的应用 1、如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2、如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　） A.32° B.28° C.58° D.45° 3、如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点． （1）G点一定是AB的中点吗？说明理由； （2）钉这两块木条的作用是什么？ 4、小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C，D为垂足，用三角板作OA，OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释． 求高度或距离 1、如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　） A.5米 B.6米 C.7米 D.8米 2、如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米 B.6米 C.9米 D.10米 3、如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 4、如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 5、如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 暑期巩固（参考答案） 直角三角形的性质 1、如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　） A.∠1与∠2 B.∠2与∠3 C.∠1与∠3 D.三个角都相等 【答案】B 【解析】∵两张长方形卡片叠在一起， ∴∠C=∠D=∠A=∠B=∠AEF， ∵∠CEG+∠DEF=90°，∠CEG+∠CGE=90°， ∴∠CGE=∠DEF， ∵∠3+∠CGE=180°，∠1+∠DFE=180°， ∴∠1与∠3的大小无法判定； ∵∠AHG=∠BHK，∠AGH+∠AHG=90°，∠BHK+∠BKH=90°， ∴∠AGH=∠BKH， ∵∠3+∠AGH=180°，∠2+∠BKH=180°， ∴∠2=∠3． 故选：B． 2、如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（　　） A.100° B.105° C.110° D.120° 【答案】C 【解析】延长BC交直线b于点F，如图所示： ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF=90°， ∵∠1=20°， ∴∠AFC=90°-∠1=70°， ∵直线a∥b, ∴∠DEC+∠AFC=180°， ∴∠DEC=180°-70°=110°， ∴∠2=∠DEC=110°， 故选：C． 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B的度数为（　　） A.25° B.35° C.45° D.55° 【答案】B 【解析】∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠A=55°， ∴∠B=35°， 故选：B． 4、如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C=90°，则图中∠1+∠2的度数为       ． 【答案】270 【解析】∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°， ∴∠1+∠2=360°-90°=270°， 故答案为：270． 5、在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动． （1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数； （2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系； （3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系． 【答案】解 （1）∵AB∥CD， ∴∠1=∠EGD， ∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1， ∴2∠1+60°+∠1=180°， 解得∠1=40°． （2）∠AEF+∠FGC=90°，理由如下： 如图，过点F作FP∥AB， ∵CD∥AB， ∴FP∥AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP， ∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG， ∵∠EFG=90°， ∴∠AEF+∠FGC=90°． （3）∠AEG+∠CFG=300°．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∴∠AEG-∠FEG+∠CFG-∠EFG=180°， ∵∠FEG=30°，∠EFG=90°， ∴∠AEG-30°+∠CFG-90°=180°， ∴∠AEG+∠CFG=300°． 勾股定理 1、如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，PB2﹣PA2的值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】∵△PBC与△PAC是直角三角形，AC＝2，BC＝4， ∴PB2＝PC2+BC2，PA2＝PC2+AC2， ∴PB2﹣PA2＝PC2+BC2﹣PC2﹣AC2＝BC2﹣AC2＝42﹣22＝16﹣4＝12． 故选：D． 2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B 【解析】过点H作HP⊥AB，即HP的长即可为H，P之间的最小距离， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BH平分∠ABC， ∴∠CBH＝∠ABC＝30°，CH＝PH， ∴CH＝PH＝BH＝3，即H，P之间的最小距离为3． 故选：B． 3、如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵数轴上点A对应的数是2，点C对应的数是﹣2， ∴AC＝4， ∵∠ACB＝90°， 由勾股定理得，AB＝＝＝2， ∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D， ∴AD＝AB＝2， ∵点D在原点的左侧， ∴点D表示的数为﹣（2﹣2）＝2﹣2， 故选：D． 4、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 　     　． 【答案】16 【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8， ∴BC＝＝10， ∵DE是边AB的垂直平分线， ∴BD＝AD， ∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16． 故答案为：16． 5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长． 【答案】解 ∵AD平分∠CAB， 又∵DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∵BD＝5， ∴BE＝＝4． 最短路径问题 1、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 【答案】C 【解析】将长方体展开，连接AB′， 则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm， 根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm． 故选：C． 2、小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm 【答案】C 【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点， ∵AB＝12，BC＝18＝9， ∴装饰带的长度＝2AC＝2×＝30（cm）， 故选：C． 3、如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　） A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm 【答案】C 【解析】如图所示，将长方体的侧面展开，AC＝2（5+7）＝24（cm）， BC＝＝10（cm）， 由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm）， ∴所用细线最短为26cm， 故选：C． 4、一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 【答案】13 【解析】如图所示， ∵AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝（m） 答：梯子最短需要13m． 故答案为13． 5、阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的．” 任务： （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做　  　定理； （2）请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】解 （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理．故答案为：勾股． （2）如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3＝15（尺）， 因此葛藤长为＝25（尺）． 答：问题中葛藤的最短长度是25尺． 勾股定理的逆定理 1、下列结论正确的是（　　） A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90° C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17，则该三角形是直角三角形 D.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，故A说法错误，不符合题意； △ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，故B说法错误，不符合题意； 若三角形的三边长之比为8∶16∶17，其三边不符合勾股定理的逆定理，则该三角形不是直角三角形，故C说法错误，不符合题意； 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则∠C＝180°×＝90°，则△ABC是直角三角形，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 2、已知三角形的三边长为a，b，c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则△ABC是（　　） A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形 【答案】C 【解析】∵（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13， ∵52+122＝132， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形． 故选：C． 3、如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，过C作CD⊥AB于D， ∵AB＝6，AC＝8， ∴CD≤8， ∴当CD与AC重合时，CD最长为8， 此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大， ∴BC＝＝10， ∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10， 故选：C． 4、如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　     　°． 【答案】90． 【解析】∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D， ∴AD＝AC＝3， ∴AB＝AD+BD＝3+2＝5， ∵BC＝4， ∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°． 故答案为90． 5、如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝9，AC＝BD＝6．CD＝3，则图中阴影部分的面积为 　          　． 【答案】9﹣9 【解析】∵∠BDC＝90°，BD＝6，CD＝3， ∴BC＝＝＝3， ∵AB＝9，AC＝6， ∴AC2+BC2＝62+（3）2＝36+45＝81＝92＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝×6×3﹣×6×3＝9﹣9． 故答案为：9﹣9． 6、一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】解 ∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15， ∴AB2+AD2＝BD2， BD2+BC2＝DC2． ∴△ABD，△BDC是直角三角形． ∴∠A＝90°，∠DBC＝90°． 故这个零件符合要求． 勾股数 1、下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.32，42，52 B.3，4，7 C.0.5，1.2，1.4 D.9，12，15 【答案】D 【解析】A.∵32＝9，42＝16，52＝25，92+162＜252，故选项错误，不符合题意； B.∵32+42＜72，故选项错误，不符合题意； C.∵0.5，1.2，1.4不符合勾股数定义，故选项错误，不符合题意； D.∵92+122＝81+144＝225＝152，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2、下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（　　） A.0.3；0.4；0.5 B.1；； C.6；7；8 D.11；60；61 【答案】D 【解析】A.0.3，0.4，0.5，不是正整数，不符合勾股数的定义； B.1；；，不是正整数，不符合勾股数的定义； C.62+72≠82，不符合勾股数的定义； D.112+602＝612，符合勾股数的定义． 故选：D． 3、观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…） 【答案】17 【解析】145=， 所以a＝17． 故答案为17． 4、勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，c=，m是大于1的奇数，则b＝　    　（用含m的式子表示）． 【答案】m 【解析】∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a＝m2﹣， c=， ∴b2＝c2﹣a2 ＝（m2+）2﹣（m2﹣）2 ＝m4++m2﹣（m4+﹣m2） ＝m4++m2﹣m4﹣+m2＝m2， ∵m是大于1的奇数， ∴b＝m． 故答案为：m． 5、如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，求证：a，b，c为勾股数． 【答案】证明 a，b，c为勾股数，理由如下： ∵a2+b2 ＝（2m）2+（m2﹣1）2 ＝m4+2m2+1． 又c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1， ∴a2+b2＝c2． 即a，b，c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数． ∴a，b，c为勾股数． 6、清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5． （2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2． 证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2 ＝k2+k4+1﹣k2 ＝k4+k2+1； 右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1． ∴左边＝右边， ∴等式成立． 互逆命题与互逆定理 1、下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.若a=b,则a2=b2 B.对顶角相等 C.若a＞b,则a2＞b2 D.两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】A，若a=b,则a2=b2的逆命题是若a2=b2，则a=b,逆命题是假命题，不符合题意； B，对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； C，若a＞b,则a2＞b2的逆命题是若a2＞b2，则a＞b,逆命题是假命题，不符合题意； D，两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 2、下列命题为真命题的是（　　） A.相等的角是对顶角 B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C.和为180°的两个角互为邻补角 D.邻补角互补 【答案】D 【解析】A.相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意； B.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意； C.和为180°的两个角不一定是互为邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意； D.邻补角互补，是真命题，符合题意； 故选：D． 3、命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是             .这个逆命题是       命题．（填真或假） 【答案】三个角都相等的三角形是等边三角形 真 4、命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是           命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】命题“如a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b, 是假命题， 故答案为：假． 5、（1）已知，如图在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D，G在AB上，FG∥CD，∠BFG=∠CDE．求证：∠AED=∠ACB； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）证明 ∵FG∥CD， ∴∠BFG=∠BCD， ∵∠BFG=∠CDE， ∴∠BCD=∠CDE， ∴DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB． （2）解 在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题是两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行． 6、（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 【答案】解 （1）∵DE∥BC， ∴∠1=∠2， ∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴CD∥FG， ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB． （2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴FG∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2， ∴DE∥BC． 用HL判定三角形全等 1、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( ) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 【答案】C 【解析】①△ABC≌△DCB ∵AB∥EF∥DC ∴∠ABC=∠DCB ∵AB=DC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB； ②△ABE≌△CDE ∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，AB=DC，∴△ABE≌△CDE； ③△BFE≌△CFE，∵BE=EC，EF=EF，∠BEF=∠CEF，∴△BFE≌△CFE． ∴图中的全等三角形共有3对． 2、如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 【答案】D 【解析】条件是AB=CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD=∠AEB=90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选D． 3、如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 【答案】AB=CD 【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等． 4、如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 【答案】证明 ∵BF=EC， ∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 5、如图，∠D，∠C为直角，AE=EB，试在图中找出2对全等的三角形，并说出你的理由． 【答案】解 Rt△ADE≌Rt△BCE，Rt△ADB≌Rt△BCA． 理由如下：∵∠D，∠C为直角，∠AED=∠CEB，AE=EB， ∴△ADE≌△BCE； ∴AD=BC，又AB为公共边， ∴Rt△ADB≌Rt△BCA． 用HL证明边或角相等 1、如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　） A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD 【答案】C 【解析】用HL证明边或角相等. ∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，∴∠A=∠D=90°（A正确）． 又∵AC=DB，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB（B正确）， ∴AB=CD．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴OA=OD（D正确）． C中OD，OB不是对应边，不相等．故选C． 2、如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　) A.55° B.45° C.35° D.65° 【答案】B 【解析】∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝45°， ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CFD中， ∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)， ∴∠BDE＝∠CFD＝45°， ∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝45°. 3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF．求证：∠B=∠C． 【答案】证明 ∵D是BC的中点， ∴BD=CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形， 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD（HL）， ∴∠B=∠C. 4、如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证： (1)△ABC是等腰三角形； (2)点D在∠BAC的角平分线上． 【答案】证明 (1)∵D是BC边上的中点， ∴DB＝DC， 又∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90°， 在Rt△BDF和Rt△CDE中 ∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． (2)∵Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴DF＝DE， 又∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴点D在∠BAC的角平分线上． HL的应用 1、如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 则（1）AB=DE，正确； （2）∠ABC+∠DFE=90°，正确； （3）∠ABC=∠DEF．故选 C． 2、如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　） A.32° B.28° C.58° D.45° 【答案】C 【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠DEF=∠ABC， ∵∠ABC=32°， ∴∠DFE=90°-32°=58°．故选C． 3、如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点． （1）G点一定是AB的中点吗？说明理由； （2）钉这两块木条的作用是什么？ 【答案】解 （1）是，理由：在正方形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE=BF，在Rt△AEG和Rt△BFG中，， ∴△AEG≌△BFG（HL）， ∴AG=GB， 故G点一定是AB的中点； （2）结合图形可知，利用三角形的稳定性，使窗架稳定． 4、小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C，D为垂足，用三角板作OA，OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释． 【答案】解 小明的做法有道理． 理由如下：在Rt△OPC和Rt△OPD中， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴OP就是∠AOB的角平分线． 求高度或距离 1、如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　） A.5米 B.6米 C.7米 D.8米 【答案】C 【解析】∵△ABC是直角三角形，BC＝3米，AB＝5米， ∴AC＝＝4（米）， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米， 故选：C． 2、如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米 B.6米 C.9米 D.10米 【答案】C 【解析】由题意可知，∠ACB＝90°， ∵AB＝15米，BC＝12米， ∴AC＝（米）， 故选：C． 3、如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 【答案】13.6 【解析】∵BD⊥CE， ∴∠BDC＝90°， 由勾股定理得， CD＝＝＝12（米）， ∵四边形BAED是矩形， ∴DE＝AB＝1.6（米）， ∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米）， 故答案为：13.6． 4、如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 【答案】15 【解析】设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得： ∵DE＝CE， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故102+x2＝（25﹣x）2+152， 解得；x＝15． 故答案为：15． 5、如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC=（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC=（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $