21.3.3 正方形（第2课时） 教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该教案聚焦正方形判定方法这一核心知识点，通过复习正方形定义与性质，衔接矩形、菱形判定旧知，搭建从已知到未知的学习支架，梳理从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发的四类判定思路。 特色在于整合特殊四边形知识体系，借助小组合作探究和例题拆解（如证明EFGH是正方形），培养学生推理能力与模型意识，帮助学生掌握分步证明逻辑，提升综合运用能力，为教师提供清晰教学路径和分层练习设计。

教学设计 《21.3.3 正方形（第2课时）》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课承接平行四边形、矩形、菱形的判定与正方形的性质，是前面各类判定知识的汇总融合．正方形判定依托矩形、菱形的判定推导而来，实现从矩形加邻边相等、菱形加直角两条路径判定正方形，完善特殊四边形完整知识链条．本课既巩固了矩形、菱形的判定定理，又搭建起四类特殊四边形判定的内在逻辑，为几何综合证明、动点题型、中考几何大题奠定基础．通过探究不同起点的判定思路，学生深化从一般到特殊的几何探究方法，内化类比、转化思想，在本章四边形知识体系中起到整合收尾、融会贯通的关键作用． 学习者分析 学生已熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定与正方形性质，明晰四类四边形的从属关系，具备全等三角形证明的基础能力．但学生容易混淆正方形不同判定路径的前提条件，分不清判定起点是四边形、平行四边形、矩形还是菱形，综合证明时难以灵活拆分为先证菱形再证矩形（或反之）的两步逻辑，解题时常出现条件遗漏、判定顺序错乱的问题，需要依托例题拆解证明步骤，通过分类梳理判定方法突破认知误区． 教学目标 1．掌握正方形的判定方法； 2．能综合运用矩形、菱形的判定定理推导正方形的判定； 3．能解决正方形判定的综合问题． 教学重点 掌握从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发的四种正方形判定思路，能用判定定理完成几何证明． 教学难点 根据题干条件灵活选择判定路径，分步完成“先证菱形再证矩形”或“先证矩形再证菱形”的综合证明． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握正方形的判定方法； 2．能综合运用矩形、菱形的判定定理推导正方形的判定； 3．能解决正方形判定的综合问题． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性． 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1．什么是正方形？ 答案：对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形． 2．正方形都有哪些性质？ 答案：（1）边：四条边相等． （2）角：四个角都是直角． （3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分． （4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线． 导言：要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形． 学生活动2： 学生积极回答问题 活动意图说明： 复习正方形定义与性质，依托性质逆向思考判定思路，衔接矩形、菱形已有判定知识，自然引出正方形两种判定路径，搭建新旧知识桥梁，启发学生理解“矩形+菱形条件=正方形”的逻辑，激发探究多种判定方法的学习兴趣． 环节三：新知讲解 教师活动3： 探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论． 预设： （1）从矩形出发： 方法1：一组邻边相等的矩形是正方形． 方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形． （2）从菱形出发： 方法1：有一个角是直角的菱形是正方形． 方法2：对角线相等的菱形是正方形． （3）从平行四边形出发： 方法1：一组邻边相等且一个内角为直角的平行四边形是正方形． 方法2：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （4）从四边形出发： 方法1：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形． 方法2：对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形． 例：如图所示，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH． 求证：四边形EFGH是正方形． 分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA． 又AE＝BF＝CG＝DH， ∴EB＝FC＝GD＝HA． ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． ∴HE＝EF＝FG＝GH． ∴四边形EFGH是菱形． ∵△AEH≌△BFE， ∴∠2＝∠3． 又∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°． ∴∠HEF＝180°－（∠1＋∠3）＝90°． ∴四边形EFGH是正方形． 学生活动3： 学生小组合作探究后认真听老师的讲解 活动意图说明： 依托矩形、菱形判定推导正方形判定方法，梳理不同判定路径，完善特殊四边形知识体系；例题借助全等证明，落实“先证菱形再证矩形”的判定思路，锻炼学生综合推理能力，渗透转化与类比的数学思想． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系． 板书设计 课题：21.3.3正方形（第2课时） 一、从矩形出发进行证明 二、从菱形出发进行证明 三、从平行四边形出发进行证明 四、从四边形出发进行证明 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列条件能判断正方形的是（   ） A．对角线互相垂直的菱形 B．对角线相等的菱形 C．对角线互相平分的矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形 答案：B 2．如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 答案：正方形 3．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 选做题： 4．如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（     ） A．若补充“”，则四边形是矩形 B．若补充“”，则四边形是菱形 C．若补充“”，则四边形是矩形 D．若补充“”，则四边形是正方形 答案：B 【综合拓展类练习】 5．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 证明：（1），， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 答案：D 2．四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是______． 答案：正方形 3．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 证明：四边形为矩形，四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为正方形． 选做题： 4．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 证明：（1）由折叠可知，、、、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形； （2）由（1）知，四边形是正方形， 、， ， 设，则， 由折叠的性质知，、， ， 在中，， ， 解得：， ． 教学反思 本课依托矩形、菱形旧知引出正方形判定，多数学生可以识记判定方法，但部分学生不能灵活选用判定路径，证明综合题时步骤逻辑混乱．后续教学需增设判定方法分类表格，对比不同判定的前置条件，补充分层变式练习，引导学生审题先找准判定起点，规范分步书写证明过程，强化知识的融会应用． 学科网（北京）股份有限公司 $