21.3.3 第2课时 正方形的判定-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 正方形的判定正方形的判定 一、学习目标 1. 掌握正方形的4种核心判定方法，明确判定与性质的区别与联系，理清正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定关联； 2. 3. 理解每种判定方法的推导过程，能结合矩形、菱形的判定定理灵活推导正方形的判定条件； 4. 5. 能运用正方形的判定方法进行证明、说理和计算，解决与正方形相关的综合问题； 6. 7. 进一步梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系，深化“特殊与一般”的数学思想，提升几何推理与综合应用能力。 8. 二、知识回顾 1. 正方形的核心性质（逆推判定的基础） ① 边：四条边都相等，对边平行；② 角：四个角都是直角；③ 对角线：互相垂直、互相平分且相等，每条对角线平分一组对角。 2. 矩形的核心判定方法 ① 定义：有一个角是直角的平行四边形；② 角：有三个角是直角的四边形；③ 对角线：对角线相等的平行四边形。 3. 菱形的核心判定方法 ① 定义：有一组邻边相等的平行四边形；② 边：四条边都相等的四边形；③ 对角线：对角线互相垂直的平行四边形。 4. 思考：如何判定正方形 正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，因此判定正方形的核心思路的是：先判定为矩形，再补充菱形的特殊条件；或先判定为菱形，再补充矩形的特殊条件；也可直接通过定义判定。 三、正方形的判定方法（核心，4种，重点掌握） 判定方法1：定义判定（最基础，本质是“特殊平行四边形”） 文字语言：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且$$AB=AD$$，$$\angle A=90^\circ$$，∴ 四边形$$ABCD$$是正方形。 关键：三个条件缺一不可——① 是平行四边形；② 有一组邻边相等；③ 有一个角是直角；可理解为“平行四边形+菱形条件+矩形条件”。 判定方法2：矩形基础上判定正方形（先矩后菱） 文字语言：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，且$$AB=AD$$，∴ 四边形$$ABCD$$是正方形。 推导思路：矩形已有“平行四边形+四个角是直角”的条件，补充“一组邻边相等”（菱形的核心条件），即可满足正方形的定义，判定为正方形。 判定方法3：菱形基础上判定正方形（先菱后矩） 文字语言：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，且$$\angle A=90^\circ$$，∴ 四边形$$ABCD$$是正方形。 推导思路：菱形已有“平行四边形+四条边相等”的条件，补充“一个角是直角”（矩形的核心条件），即可满足正方形的定义，判定为正方形。 判定方法4：对角线判定（直接判定，结合矩形、菱形对角线特点） 文字语言：对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$中，$$OA=OC$$，$$OB=OD$$，$$AC=BD$$，$$AC\perp BD$$，∴ 四边形$$ABCD$$是正方形。 推导思路：对角线互相平分→四边形是平行四边形；对角线相等→平行四边形是矩形；对角线互相垂直→平行四边形是菱形；既是矩形又是菱形，即为正方形（可直接使用，无需分步证明）。 四、核心判定方法推导（重点，结合矩形、菱形判定推导） 1. 推导“有一组邻边相等的矩形是正方形” 已知：四边形$$ABCD$$是矩形，且$$AB=AD$$。 求证：四边形$$ABCD$$是正方形。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且$$\angle A=90^\circ$$（矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形）， 又∵ $$AB=AD$$（已知）， ∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且有一组邻边相等、有一个角是直角， ∴ 四边形$$ABCD$$是正方形（正方形的定义判定）。 2. 推导“有一个角是直角的菱形是正方形” 已知：四边形$$ABCD$$是菱形，且$$\angle A=90^\circ$$。 求证：四边形$$ABCD$$是正方形。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且$$AB=AD$$（菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形）， 又∵ $$\angle A=90^\circ$$（已知）， ∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且有一组邻边相等、有一个角是直角， ∴ 四边形$$ABCD$$是正方形（正方形的定义判定）。 3. 推导“对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形” 已知：四边形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，$$OA=OC$$，$$OB=OD$$，$$AC=BD$$，$$AC\perp BD$$。 求证：四边形$$ABCD$$是正方形。 证明：∵ $$OA=OC$$，$$OB=OD$$，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵ $$AC=BD$$，∴ 平行四边形$$ABCD$$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， ∵ $$AC\perp BD$$，∴ 平行四边形$$ABCD$$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）， ∵ 四边形$$ABCD$$既是矩形又是菱形，∴ 四边形$$ABCD$$是正方形。 五、典型例题 例1（基础应用：定义判定） 已知：在平行四边形$$ABCD$$中，$$AB=BC$$，$$\angle ABC=90^\circ$$，求证：四边形$$ABCD$$是正方形。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形， 又∵ $$AB=BC$$（有一组邻边相等），$$\angle ABC=90^\circ$$（有一个角是直角）， ∴ 四边形$$ABCD$$是正方形（有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形）。 例2（进阶应用：矩形/菱形基础上判定） 如图，在矩形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，且$$AC\perp BD$$，求证：四边形$$ABCD$$是正方形。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形， ∵ 矩形$$ABCD$$的对角线$$AC\perp BD$$， ∴ 平行四边形$$ABCD$$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）， ∵ 四边形$$ABCD$$既是矩形又是菱形，∴ 四边形$$ABCD$$是正方形。 例3（综合应用：对角线判定+全等三角形） 已知：在四边形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，$$OA=OB=OC=OD$$，且$$AC\perp BD$$，求证：四边形$$ABCD$$是正方形。 解： ∵ $$OA=OB=OC=OD$$，∴ $$OA=OC$$，$$OB=OD$$（对角线互相平分），且$$AC=BD$$（$$AC=OA+OC=2OA$$，$$BD=OB+OD=2OB$$，$$OA=OB$$）， 又∵ $$AC\perp BD$$， ∴ 四边形$$ABCD$$是对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形， ∴ 四边形$$ABCD$$是正方形（对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形）。 六、易错提醒 1. 遗漏判定条件：用定义判定时，忘记“平行四边形”这个前提，直接由“一组邻边相等+一个角是直角”判定为正方形； 2. 3. 混淆判定逻辑：误认为“矩形一定是正方形”或“菱形一定是正方形”，牢记正方形需同时满足矩形和菱形的条件，缺一不可； 4. 5. 误用对角线判定：仅“对角线相等且垂直”不能判定为正方形，必须补充“对角线互相平分”（保证是平行四边形）； 6. 7. 选择判定方法不灵活：已知“平行四边形”，优先用定义判定；已知“矩形”，补充“一组邻边相等”；已知“菱形”，补充“一个角是直角”；已知“普通四边形”，优先用对角线判定。 8. 七、课堂练习 1. 下列四边形中，能判定为正方形的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形 B. 有一个角是直角的菱形 C. 对角线相等的矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形 2. 3. 在菱形$$ABCD$$中，若$$\angle A=90^\circ$$，则四边形$$ABCD$$________（填“是”或“不是”）正方形。 4. 5. 如图，在平行四边形$$ABCD$$中，对角线$$AC=BD$$，且$$AC\perp BD$$，求证：四边形$$ABCD$$是正方形。 6. 八、课堂小结 1. 核心判定方法（4种）： ① 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形； ② 矩形基础：有一组邻边相等的矩形； ③ 菱形基础：有一个角是直角的菱形； ④ 对角线：对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形。 2. 关键思路：判定正方形的核心是“既满足矩形的条件，又满足菱形的条件”，可根据已知条件灵活选择判定方法； 3. 易错点：牢记判定的前提条件，区分正方形与矩形、菱形的判定差异，避免遗漏任何一个关键条件； 4. 从属关系：平行四边形⊃矩形⊃正方形，平行四边形⊃菱形⊃正方形； 5. 应用：结合平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，解决与正方形相关的证明、计算问题，提升几何推理能力。 教学设计 教学目标 课题 21.3.3 第 2课时 正方形的判定 授课人 素养目标 1.掌握正方形的判定方法. 2.巩固对各种特殊平行四边形性质与判定的掌握，培养对知识的综合运用能力. 教学重点 正方形的判定. 教学难点 选择合适的方法判定四边形为正方形. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，引入新知 【情境引入】 (教材P78练习第3题)王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折(如图所示)，让王芳看丝巾是否完全重合，见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合.王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾.你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗?为什么? 让我们带着这个问题开始今天的学习吧. 【教学建议】 让学生先结合生活经验尝试回答，然后从数学角度认真思考. 设计意图 通过生活场景引出课题，激发学生的学习兴趣. 活动二：问题引入，探究新知 探究点 正方形的判定 要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形. (教材P77探究) 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论. 方法不唯一，只要能判定四边形既是矩形又是菱形即可. 例1 (教材 P77 例6)如图,E,F,G,H 分别是正方形ABCD 四条边上的点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH 是正方形. 分析：要证明四边形EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由 △AEH，△BFE,△CGF,△DHG全等得出. 【教学建议】 让学生自行归纳， 汇集学生意见后，教师再进行系统性总结. 设计意图 总结正方形的判定方法，培养全面归纳的能力. 八年级数学下册 87 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=DA. 又 AE=BF=CG=DH, ∴EB=FC=GD=HA. ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°, ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴HE=EF=FG=GH.∴四边形 EFGH 是菱形. ∵△AEH≌△BFE,∴∠2=∠3. 又∠1+∠2=90°,∴∠1+∠3=90°. ∴四边形 EFGH 是正方形. 【对应训练】 教材P78练习第1,2题. 活动三：典例精讲，升华提高 例2 如图,EG,FH 经过正方形ABCD 的对角线的交点O,且 EG⊥FH.求证：四边形 EFGH 为正方形. 证明:∵四边形 ABCD 为正方形,∴易得 OC = OB,∠BCO=∠ABO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO(ASA),∴OH=OE. 同理可证OE=OF=OG, ∴OE=OF=OG=OH,∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又 EG⊥FH,∴四边形 EFGH 为菱形. ∵OE+OG=OF+OH,即EG=FH, ∴四边形 EFGH 为正方形. 【对应训练】 如图,点 E 在正方形ABCD 的边BC 上, 且 AE=EF,过点 F 作FM⊥BC,垂足为M. (1)求证:BE=CM; (2)延长CD 至点N,使得DN=BE,连接AN,FN.求证:四边形AEFN 是正方形. 证明:(1)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=90°,AB=BC,∴∠BAE+∠BEA=90°. ∵∠AEF=90°,∴∠BEA+∠FEM=90°,∠AEF=∠B, ∴∠BAE=∠FEM. ∵AE=EF,∴△ABE≌△EMF(AAS),∴AB=EM. ∴BC=EM,∴BC-EC=EM-EC,即BE=CM. (2)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠ADN=90°,AB=AD. ∵DN=BE,∴△ABE≌△ADN(SAS),∴AE=AN,∠BAE=∠DAN. ∵AE=EF,∴EF=AN. ∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°, ∴∠EAN+∠AEF=180°,∴AN∥EF, ∴四边形 AEFN 是平行四边形. ∵AE=EF,∴四边形 AEFN 是菱形. ∵∠AEF=90°,∴四边形 AEFN 是正方形. 【教学建议】 给学生说明，正方形的性质和判定结合考查时，往往先由正方形的性质得到等线段、等角等条件，再将这些条件通过全等三角形、等腰三角形等几何知识进行转化，进而得到判定正方形的条件. 设计意图 巩固正方形的性质和判定方法，培养解决问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 判定四边形是正方形的两种基本思路是什么?你能分别说说，从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，怎样判定正方形吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P79习题21.3第 7 题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 21.3.3 正方形 第2课时 正方形的判定 1.判定正方形的基本思路. 2.从不同的四边形出发判定正方形. 教学反思 本节课借助生活情境引出课题，学习正方形的判定.课题内容涉及以前学过的各种几何知识，对学生的综合能力要求较高.部分学生在学习时不能熟练运用以前学过的知识，或掌握不牢，或不能灵活运用.对此应采取循序渐进的方式，从易到难，从简单到复杂，逐步培养学生的信心.总的来说本课时内容较难，今后还应通过适当的训练加强学生解决问题的能力. 备课素材 解题大招 解题大招 正方形的判定 注意：由于正方形的判定方法一般都是在平行四边形、矩形、菱形的基础上判定的，所以在判定正方形时，一定要仔细考虑题目中的条件，灵活选择适当的判定方法来分析问题和解决问题. 例1 如图,在矩形ABCD 中,∠ABC的平分线交对角线AC于点E,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别是F,G.判断四边形 EFBG 的形状，并证明你的结论. 解：四边形 EFBG 是正方形. 证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°. 又EF⊥AB,EG⊥BC,∴∠BFE=∠BGE=90°,∴四边形EFBG 是矩形. ∵BE 为∠ABC 的平分线,∴EF=EG,∴四边形EFBG 是正方形. 例2 如图,菱形AECF 的对角线AC,EF 交于点O,点 D,B是对角线EF 所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°.求证:四边形ABCD 是正方形. 证明:∵四边形AECF 是菱形,∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF. ∵DE=BF,∴OE+DE=OF+BF,即DO=BO,∴四边形ABCD是平行四边形. 又AC⊥BD,∴四边形ABCD 是菱形. ∵∠ADO=45°,∴易得∠DAO=∠ADO=45°.∴AO=DO,∴AC=BD. ∴四边形ABCD是正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $