21.3.3 第2课时 正方形的判定 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.3 正方形 第2课时 正方形的判定 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 从矩形出发判定正方形 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 从菱形出发判定正方形 1. 经历正方形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握正方形的判定定理. 2. 能应用正方形的判定解决简单的证明题和计算题. 学习目标 知识回顾 正方形的定义是什么？ 有一组邻边相等,而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 正方形有哪些性质？ 边：两组对边平行，四条边都相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 正方形与菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？ 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形也是特殊的矩形、菱形. 新课导入 定义法: 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵ AB=BC，∠A=90°， ∴平行四边形ABCD是正方形. 正方形的定义既是正方形的性质，又是正方形的判定方法. 有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ A D C B 新课讲解 知识点1 从矩形出发判定正方形 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 猜想 新课讲解 证明：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC. 求证：四边形ABCD是正方形. A D C B 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°. 又∵ AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）. 新课讲解 证明： 对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB . 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形. ∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB， ∴AD=AB, ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 新课讲解 从矩形出发： (1) 有一组邻边相等的矩形是正方形； (2) 对角线互相垂直的矩形是正方形. 一组邻边相等 对角线互相垂直 新课讲解 例 1. 如图，在直角三角形中，∠C=90〫，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB. 求证：四边形CEDF 为正方形. 证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∴∠DEC=∠DFC=90〫. ∵∠C=90〫， ∴四边形CEDF为矩形. A B C E F D G ∵DE⊥AC，DF⊥CB， ∵AD是∠CAB的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB， ∴DE=DG. ∴四边形CEDF为正方形. 同理可得：DG=DF， ∴ED=DF， 新课讲解 练一练 0.5 新课讲解 练一练 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为M ，N. (1) 求证：∠ADB=∠CDB. (2) 若∠ADC=90〫，求证：四边形PMDN是正方形. C A B D M N P 证明：(1) ∵ AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD. ∵在△ABD和△CBD中， AB=BC， ∠ABD=∠CBD， BD=BD， ∴△ABD≌△CBD（SAS），∴ ∠ADB=∠CDB. (2) ∵∠ADC=90〫， PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90〫.∴四边形PMDN是矩形. ∵ ∠ADB=∠CDB=45〫，∴∠MPD=∠NPD=45〫， ∴DM=PM，DN=PN，∴四边形PMDN是正方形. 新课讲解 知识点2 从菱形出发判定正方形 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 菱形 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 活动2 猜想 新课讲解 证明： 有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形， ∠A=90°. 求证：四边形ABCD 是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC. 又∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）. A D C B 新课讲解 证明： 对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图，在菱形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形. ∴AB=BC，AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴AO=BO=CO, ∴△AOB,△BOC是等腰直角三角形. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 新课讲解 从菱形出发： (1) 有一个角是直角的菱形是正方形； (2) 对角线相等的菱形是正方形. 有一个角是直角 对角线相等 新课讲解 例 2. 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点， 且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是正方形． A B C D H G F E 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA. 又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA. ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3. 又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴∠HEF=180(∠1+∠3)=90°， ∴四边形EFGH是正方形. 新课讲解 练一练 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 在对角线BD 上，且BE＝DF，OE＝OA． 求证：四边形AECF 是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF，∴OE＝OF. ∴四边形AECF是菱形． ∵OE＝OA， ∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC. ∴四边形AECF是正方形． 新课讲解 练一练 解：①②组合：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， 又∵AC=BD， ∴菱形ABCD是正方形.(对角线相等的菱形是正方形) 2. 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是___________(只需填一种组合即可). ①③组合：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. 又∵∠ADC=90°， ∴菱形ABCD是正方形.(有一个角是直角的菱形是正方形) ①②或①③ 新课讲解 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 新课讲解 归纳 判定正方形的常见思路： 1. 从边上证明. 矩形正方形； 2. 从角上证明. 菱形正方形； 3. 从对角线上证明. (1)矩形正方形； (2)菱形正方形； (3)平行四边形正方形； (4)四边形正方形. 课堂小结 正方形的判定 从平行四边形出发 从矩形出发 从菱形出发 一组邻边相等 + 一个角是直角 矩形+一组邻边相等 矩形+对角线互相垂直 菱形+有一个角是直角 菱形+对角线相等 当堂小练 1. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ (1) 对角线互相垂直且相等的平行四边形； (2) 对角线互相垂直的矩形； (3) 对角线相等的菱形； (4) 对角线互相垂直平分且相等的四边形. 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是(　　) A．BD⊥AC B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．∠AOB＝60° 当堂小练 D 当堂小练 3. 如图，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，AC为高，O是AE的中点，延长CO到点D，使OD＝OC，连接AD，DE，求证：四边形ACED是正方形． 当堂小练 证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OB＝OD. ∵OE＝OF＝OB， ∴OE＝OF＝OB＝OD， ∴四边形BFDE是矩形． 又∵BD⊥EF， ∴四边形BFDE是正方形． 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形． 5. 如图是用尺规过点P作直线l的垂线的两种方法，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形 B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形 C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形 D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形 当堂小练 C 当堂小练 6. 如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE 为等边三角形. 若AB＝2，则OE的长度为(　　) A． B． C．2 D．2 B 对接中考 1. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E，F 分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF 与DE交于点O，M 是DF 的中点，G 是边AB 上的点， AG＝2GB，则OM＋FG的最小值是(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 B 对接中考 2. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为( ) A. B. C. D. 解：如图，连接GE. ∵四边形ABCD是正方形，边长为2， ∴ ∠ B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90 °， AB＝BC＝CD＝DA＝2. ∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1. ∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE， ∴∠EFD＝ ∠C＝90，CE＝FE＝BE＝1， DC＝DF＝2. ∴∠GFE＝GBE＝90°. ∵GE＝GE，∴Rt△EFG≌Rt△EBG. (HL) ∴GF＝GB. A 设GB＝GF＝x， 则AG＝2－x，DG＝2＋x. 根据勾股定理可得 AG2＋AD2＝DG2， 即(2－x)2＋22＝(2＋x)2， 解得x＝. ∴DG＝ ，AG＝ . ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等. ∴ S△GDH＝·S△ADG＝× × ×2＝ . 拓展与延伸 1. 如图，在菱形ABCD中，E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状． 拓展与延伸 2. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点． (1) 如图①，过点E分别作垂线EF，EG，交BC，CD于点F，G， 求证：四边形EFCG是正方形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°. ∵EF⊥BC，EG⊥CD， ∴四边形EFCG是矩形， 易得∠FEC＝45°＝∠ACB， ∴EF＝CF，∴四边形EFCG是正方形． 拓展与延伸 2. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点． (2) 如图②，连接DE，过点E作EM⊥DE，交BC于点M，以DE，EM为邻边作矩形DEMN，连接CN．在点E移动过程中． ① 求证：矩形DEMN是正方形． ② 四边形DECN的面积是定值吗？若是，请直接写出定值是多少； 若不是，请说明理由． ① 证明：过E作EF⊥BC于F点，过E作EG⊥CD于G点， 由(1)知四边形EFCG是正方形， ∴∠GEF＝90°，EF＝EG，∵四边形DEMN是矩形， ∴∠DEM＝90°，∴∠DEG＝90°－∠MEG＝∠MEF. 又∵∠EFM＝90°＝∠EGD， ∴△EMF≌△EDG，∴EM＝ED， ∴矩形DEMN是正方形． 1．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC． 若AC＝，则点E到边CD的距离为________． 解：如图，连接EO，交CD于点H. ∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形． 在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC， ∴∠COD＝90°.∴四边形OCED是正方形． ∴EH＝CD，OE⊥CD. ∵AC＝，∴AB＝BC＝CD＝1. ∴EH＝CD＝0.5，即点E到边CD的距离为0.5. 证明：∵O是AE的中点，∴OA＝OE. 又∵OD＝OC，∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，AC为△ABE底边BE上的高， ∴BC＝CE，∠ACE＝90°. 又∵△ABE为等腰直角三角形， ∴AC＝BE＝CE. ∴四边形ACED是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD. ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴BE＝AB，DF＝AD， ∴BE＝DF， ∴△BCE≌△DCF(SAS)． (2) 由(1)知AB＝BC＝DC＝AD， ∵E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴AE＝AB，AF＝AD，OF＝DC， OE＝BC，OE∥BC， ∴AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形． ∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB， ∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形． ② 解：四边形DECN的面积是定值，为AD2. $