2026年山东省中考临考数学密押卷（适用统考地区）

**基本信息** 2026山东中考数学密押卷，立足统考要求，融合地方政策（如城镇新增就业数据考科学记数法）、文化经典（《九章算术》粟米问题）与科技情境（3D打印零件视图），通过几何旋转、经济应用等梯度题目，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、图形性质、科学记数法等|文化情境（花窗图案轴对称）与地方数据| |填空题|5/15|分式意义、方程根与系数、规律探究等|规律探究（正方形坐标）与方程应用| |解答题|8/75|几何证明、经济应用、统计分析、函数综合等|几何旋转综合（空间观念）、经济模型（应用意识）|

2026山东中考临考密押卷（适用统考地区） 数学 (考试时间:120分钟试卷满分:120分) 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 3．山东省政府部署了2026年重点工作，涉及扩大内需、发展新质生产力、深化改革、对外开放、乡村全面振兴、区域协调发展、美丽中国先行区建设、文化强省建设、保障和改善民生、平安山东建设等十个方面，并提出地区生产总值增长5%以上、城镇新增就业110万人以上等预期目标。将数据110万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（        ） A． B． C． D． 5．如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（       ） A． B． C． D． 6．如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，则的长是（        ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一个“粟米问题”，大意是“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为5:3”．设粟米为斗，稻米为斗，下列所列二元一次方程组正确的是（       ）． A． B． C． D． 8．如图，在 △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．点D是线段BC上一个动点．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则DE的最小值是（        ） A． B． C．2 D． 9．已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点P为对称轴上的任一点，则PB+PC的最小值为．其中正确的有（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在正方形ABCD中，点E在线段DC上，连接AE，BD相交于点F，点G在AE的延长线上，连接DG，若GD=GF，tan∠AFB=4，则的值为（     ） A． B． C． D．1 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11．写出一个能使式子有意义的的值：______． 12．如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，∠EFD的平分线与AB交于点G，过点G作GH⊥EF 于点H，∠1=20°，则 ∠2=______度． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则的值为_____． 14．如图，等腰直角△OAB沿轴正方向平移2个单位得到△CDE，反比例函数的图象经过点D，与DE交于点F，连结AD，若四边形ABED的面积为6，则点F的坐标为______． 15．如图， 正方形ABCD的顶点，，延长DC交轴于点，作正方形 ，延长交轴于点，作正方形…按照这样的规律， 则点的坐标为_________________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算:(本题每小问3分，共6分) (1)； (2)先化简，再求值：，其中. 17．（8分）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，E是BC边上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，且AE=EF，连接BF． (1)求证：四边形ABFC为平行四边形； (2)过点A作AG⊥DC于点G，若AB=AE=5，CG=1，求四边形ABFC的面积． 18．（8分）为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． (1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ (2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 19．（9分）为了调查学生对AI赋能课堂教学的满意度，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89． 九年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94． 八年级所抽取的学生满意度 八、九年级所抽取的学生满意度评分统计表 评分扇形统计图 评分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 82 78 九年级 82 83 (1)上述图表中：________，________，________； (2)根据以上数据判断，对AI赋能课堂教学的满意度更高的是哪个年级？请说明理由； (3)若该校八年级有800人，九年级有1000人，估计该校八、九年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 20．（10分）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时两人的水平距离EC为0.54m，已知教学楼门前台阶斜坡CD的坡比为1：3．（参考数据：，，） (1)请计算台阶DE的高度． (2)求出孔子雕像AB的高度． 21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点O在AC上，⊙O经过点C且与AB相切于点E，过点A作AF∥CD． (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)连接CE，若，DE=1，求⊙O的半径． 22．（12分）已知抛物线(为常数)过点． (1)若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求MN的长． 23．（12分）问题感知 (1)如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，四边形BEGF为矩形，连接DG． ①DG的长为_____． ②如图2，当矩形BEGF绕点B旋转，使点G落到AB上时，连接CF，求CF的长． 拓展延伸 (2)如图3，在▱ABCD中，AB=2，AD=4，∠A=120°，E，F分别是AB，BC的中点，四边形BEGF为平行四边形，把▱BEGF绕点B旋转，连接GC，ED，当点E落在直线BC上时，请直接写出的值． 参考答案： 一、选择题 1.D 解析：∵乘积为1的两个数互为倒数，∴的倒数是，故选D。 2.B 解析： A、C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形；D选项，是中心对称图形，不是轴对称图形；B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选B。 3.C 解析：110万=1100000=，故选C。 4.C 解析： A选项，由于与不是同类项，不能合并，选项错误；B选项，，选项错误；C选项，，选项正确；D选项，，选项错误，故选C。 5.A 解析：主视图为，故选A。 6.B 解析：如图，连接BE， ∵BC是直径，∴∠BEC=90°=∠BEA ∵∠A=70°，∴∠EBA=90°－∠A=20° ∴弧ED的度数为40° 即弧ED所对的圆心角为40° ∵BC=8 ∴半径，∴，故选B。 7.A 解析：设粟米为斗，稻米为斗. 由题意得， ，故选A。 8.C 解析：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，∴△AED是等腰直角三角形； ∴∠AED=45°，∴DE== ∵BC外一点A到BC各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴当⊥BC时，AD最短；∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴△ABC是等腰直角三角形；∴∠ABC=45°,∴==；∴DE= ，故选C。 9.A 解析：∵对称轴为直线，∴，∴，∴，故①错误； ∵对称轴为直线，与轴的一个交点B的坐标为，∴与轴的另一个交点的坐标为如图，∵一元二次方程的两个根分即函数 与轴交点的横坐标∴一元二次方程的两个根分别是和，故②错误；∵当y>0时，即函数图像在轴上方部分，∴由图知，，故③错误；结合函数图象可知，当时，y随的增大而增大；故④正确；当时，则，∴,作点C关于对称的点，,当点B，P，C共线时，PB+PC最小，此时PB+PC=PB+PC=.PB+PC的最小值为.故⑤正确，故选A。 10.B 解析：如图，连接AC交BD于O，过G作GQ⊥BD于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OB=OD， AB= AD=CD，AB∥DC，∴△DEF∽ △BAF，∴，∵tan∠AFB=4=，设OF=，则AO=BO=DO=4，∴DF=3，CD=AD=AB=，∵，∴，∴，∵GF=GD，GQ⊥DF，∴QF=QD= ∵tan∠AFB=tan∠GFQ=，∴GQ=，∴GD=GF ，∴，故选B。 二、填空题 11. 2（答案不唯一） 解析：∵有意义，∴且∴且 12. 50° 解析：∵FG平分∠EFD，∴∠EFD=2∠1=40°，∵AB∥CD，∴∠HEG=∠EFD=40°，∵GH∥EF，∴∠2=90°－∠HEB=90°－40°=50°. 13. 5 解析：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，解得；由韦达定理，，；∵，∴，整理得，即，解得，或；∵，∴不符合题意，舍去，∴. 14. 解析：由平移的性质可知，AD//BE，AD=BE=2，∴四边形ABED为平行四边形， ∵，∴,∴；∵在反比例函数上，∴ ∵，∴OA=3，∵△OAB是等腰三角形，∴OB=OA=3，∴，；设直线AB表达式为，∴，解得，∴直线AB表达式为，∵直线DE是由直线AB向右平移2个单位得到的，∴直线DE表达式为；联立 解得或（舍），∴ 15. 解析：连接，，， ∵，，∴OA=OB=1，∴在Rt△OAB中，，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=90°，∴BD=AB=2，∴；同理，，，；以此类推， ∴点的纵坐标分别为；的横坐标分别为，∴的坐标为 三、解答题 16．计算： (1)； 解：原式 (2)先化简，再求值：，其中. 解：原式 当时，原式 17．证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB// CD, 即AB// CF，∴∠BAE=∠CFE，∵AE=EF，∠AEB= ∠FEC.∴△ AEB≌ △FEC(ASA)，∴AB=FC，∴四边形ABFC为平行四边形; (2)解:由(1)得，CF=AB，EF=AE，∵AB= AE=5，∴AB=AE=EF=CF=5，∴AF=10， FG=CF+CG=6， ∵AG⊥DC，∴在Rt△AFG中，由勾股定理得AG=，∴ . 18．(1)解：设编程机器人的单价为元，则航拍无人机的单价为元; 由题意得，，解得，,经检验是原方程的解，且符合题意，∴850+150=1000; 答:编程机器人价格为850元;航拍无人机价格为1000元; (2)解：设购买编程机器人台，购买两种设备的总费用为元； 由题意得，，整理得；又∵，解得， ∵，∴随的增大而减小，∴当=8时，最小，最小值为元，此时购买航拍无人机为12-8=4(台); 答:购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元. 19．解：(1)八年级20名学生评分在A组中的数据有15%×20=3(人)，在D组中的数据有15%×20=3(人)， 在B组中的数据有8人，在C组中的数据有20-3-3-8=6(人)，将八年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，∴故；， ∴m=30; 九年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故b=86; (2)九年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高，理由如下: 虽然八、九年级的平均数相等，但九年级的中位数和众数均高于八年级的中位数和众数，故九年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高; (3)800×15%+1000×=120+250=370(人) 答：故该校八、九年级所有学生中评分达到“非常满意”(不低于90分)的总人数370人. 20．解：（1）由题意知，CE=0.54，斜坡CD的坡比为1:3 ∴，即，DE=0.18，答：台阶DE的高度为0.18m. （2）作DF⊥AB于F，由题意知，DE= BF，BE=DF. 设AF=，在Rt△ADF中，∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=，∵BF=DE=0.18，CE=0.54，DF=CE，∴AB=AF+BF=+0.18，BC=BE－CE=；在Rt△ABC中，∠ACB=53°，，，解得，∴AB=2.7+0.18=2.88m。答：孔子雕像AB的高度为2.88m. 21．（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE， ∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AB=AD，∴∠CAD= ∠ACD，∵AF//CD，∴∠FAC= ∠ACD， ∴∠FAC= ∠CAD，即AC是∠FAB的平分线，∵OE是⊙O切线，∴OE⊥AB，∵OH⊥AF，∴OH=OE，∵OE是⊙O半径，∴AF是⊙O的切线. （2）解：∵∠CAF= ∠CAD，∴；在Rt△AOE中，，∴设OE=OC=3，OA=5，∴AE=，∵DE=1，∴AD=DE+AE=4+1，∵D是AB中点，∴AB=2AE=2（4+1）=8+2，AC=OC+OA=8；∵∠AEO=∠ACB=90°，∠OAE=∠BAC，∴△OAE∽△BAC，∴，∴，解得，∴OA=5=5，即⊙O的半径为5。 22．（1）解：①将点(2，3)和(0，-1)代入抛物线得，，解得，∴抛物线的解析式为 ②∵，∴，解得；∵抛物线的对称轴为轴，∴关于轴的对称点为；∵抛物线开口向上，∴要使，则点在点的右侧或点在的左侧，∴或，解得或，∵，∴（舍去），∴ （2）解：将点(2，3)代入抛物线得，，∴，代入，得，整理得； ∵对任意实数都成立，∴. ∴，解得，故抛物线解析式为，联立 得，解得，，即抛物线与直线交点的横坐标为和，∴MN=。 22．（1）解：①延长EG交CD于H, ∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴CD=AB=6，∠C=90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE=AB=3， BF=CF=BC=4，∵四边形BEGF为矩形，∴∠BFG=∠EGF=90°，∠HGF=∠GFC=90°，∴四边形CFGH是矩形，∴CH=GF=3，GH=CF=4，∠GHC=90°，∴∠GHD=90°，DH=CD－CH=3，∴; ②过F作FH⊥BC于H, 由①知，∠BFG=90°，BF=4，GF=3，∴,∵∠BGF=∠FBH=90°－∠FBG，∠BFG= ∠FHB=90°，∴△BFG∽ △FHB，∴，∴，∴，， ∵BC=8，∴，∴; （2）解：∵在▱ ABCD中，AB=2，AD=4，∠A=120°，∴CD= AB=2，BC=AD=4， ∠BCD= ∠A=120°，AD∥BC，∴∠ABC=60°,∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE=AB=1 ，BF=BC=2，∵四边形BEGF为平行四边形，∴EG=BF=2，EG//BF，∴∠BEG=180°－∠ABC=120°。 ①当点E在B的左侧时，如图，过G作GM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N. 此时∠GEM=180°－∠GEB=60°，∴，，∴MC=ME+BE+BC=6，∴，同理可求CN=，DN=，∴EN=6, ∴，∴; ②当点E在点B右侧时，如图，过G作GM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N, 此时∠GEM=180° －∠GEB=60°，，，∴MC=BC-ME-BE=2，，同理可求CN=，DN=，∴EN=BC－BE+CN=4，，∴，综上的值为1或。 1 学科网（北京）股份有限公司 $