精品解析：山东聊城市高唐县2025—2026 学年第二学期期中检测 八年级数学试题

2025-2026学年第二学期期中检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 C. 对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 5. 代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如果某函数的图象如图所示，那么y随着x的增大而（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 8. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将两个正方形如图放置（，，共线，，，共线），若，，点在线段上， 以为半径作，点，点都在上， 则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数，当时，函数值_______． 12. 计算的结果为 ____． 13. 已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为_____________． 14. 如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若则的值为_______ 15. 如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④；⑤的最小值为2．其中正确结论有________个． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. 计算下列各小题： （1）； （2）． 17. 如图所示，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，求的度数． 18. 在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 19. 一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AFCE； （2）当∠BAC＝　 　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 20. 阅读下列解题过程： 请你参考上面的化简方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）计算：． 21. 如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，求的长． 22. 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． （2）当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （3）当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （4）请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 23. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、是最简二次根式，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的判断．掌握相关定义即可． 2. 如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，再证，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ，， 四边形是矩形，故A不符合题意； ， ， ∵，， 四边形是矩形，故B不符合题意； ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形，故C不符合题意； ， ，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意； 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算，即可得到答案． 【详解】解：A、和不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 C. 对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，是真命题； B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，是真命题； C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，是真命题； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，是假命题； 故选D． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 6. 如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ． 平分交于点， ． 又四边形是平行四边形， ． 故选：C． 7. 如果某函数的图象如图所示，那么y随着x的增大而（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象可以得到y随x的增大而减小． 【详解】解：由函数图象可得：y随x的增大而减小， 故选：B． 【点睛】本题考查函数的图象，函数增减性的判断，明确题意，利用数形结合的思想解答是关键． 8. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质及中位线定理，求出和的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求解即可 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 9. 如图，将两个正方形如图放置（，，共线，，，共线），若，，点在线段上， 以为半径作，点，点都在上， 则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，勾股定理，正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．连接，，易知，设，则，， 在和中，由勾股定理分别表示出，， 结合列方程可求得的长，在中，再次运用勾股定理可得的长． 【详解】解：如图，连接，， 是的半径， 点在上， ， 四边形，是正方形， ，，， 设，则，， 在和中，，， ，， ， ， 解得，即， 在中，， 故选：B． 10. 如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，函数的图象，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质和通过函数图象获取信息．过点作交于点，设菱形的边长为，求出，结合函数图象得出，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，设菱形的边长为， 在菱形中，，， 在中，， ∴， ∴ 由图2得 解得，（负值已舍去）， 所以，的长度为， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数，当时，函数值_______． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入即可得到答案． 【详解】解：函数，当时， 函数值， 故答案为：1 【点睛】此题考查了函数值，熟练正确进行计算是解题的关键． 12. 计算的结果为 ____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理； 先求出菱形的边长，再根据题意设，，利用勾股定理求出x，进而得到，的长，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， ∵菱形的周长是40， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵，即， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为:， 故答案为：． 14. 如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．连接，由折叠可知，，由可得，进而得到，则，设，则，在中，利用勾定理建立方程，求解即可． 【详解】∵四边形为矩形，， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④；⑤的最小值为2．其中正确结论有________个． 【答案】 3 【解析】 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断；②根据①可知四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断；③延长交于G，延长交于H．先证明，得，由与互余，可得，；⑤当时，即时，的最小值等于，即可判断． 【详解】解：连接， ∵是正方形的对角线，则， 而，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴；故①错误； ∵四边形为矩形， ∴四边形的周长；故②正确； 延长交于G，延长交于H， 在正方形中， ∴， 又∵ ∴； 由②知四边形是矩形， ∴， ∴； 由①知， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，，故④正确 ； 又∵，与互余， ∴与互余， ∴，即，故③正确； 由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于；故⑤错误； 综上，正确的有②③④共3个． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. 计算下列各小题： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用二次根式乘除法则计算各部分后，再进行加减运算即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开原式后，合并化简即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图所示，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】中垂线的性质，得到，证明，得到，进而得到，得到，再利用，进行求解即可． 【详解】解：连接 ∵的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足， ∴， ∵菱形， ∴，，， 又， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考察菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，中垂线的性质，是解题的关键． 18. 在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∵， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，由，可证四边形是平行四边形，由，可得，进而结论得证； （2）由四边形是平行四边形，可得，由四边形是矩形，可得，则，由勾股定理得，，由角平分线与平行线可得，，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 四边形是矩形， ， ， 由勾股定理得，， 平分， ， ∵， ， ， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，角平分线，等角对等边，熟练掌握平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，角平分线，等角对等边是解题的关键． 19. 一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AFCE； （2）当∠BAC＝　 　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴ADBC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA， ∴∠HAF＝∠MCE， ∴AFCE； （2） 解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，ABCD， 由（1）得：AFCE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°． ∴∠ACD＝30°， 由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°， ∴∠HAF＝∠ACD， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； 故答案为：30． 【解析】 【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AFCE； （2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. 阅读下列解题过程： 请你参考上面的化简方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算； （1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意证明，进而将原式转变为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∴ ． 21. 如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再证出平行四边形为菱形，根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 22. 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． （2）当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （3）当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （4）请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 【答案】（1） （2）①4， ②函数的图象如图所示， ； （3）， 函数的图象如图所示， ； （4）当时，时，y随x增大而增大；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案； 【小问1详解】 解：当时， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当时， ， 故答案为：4； ②略 【小问3详解】 解：①当时， ， 故答案为：； ②当时， ， 当时，， 当时，， 当时，； 【小问4详解】 解：由解析式得，当时， ， 当时，时，y随x增大而增大， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，时，y随x增大而增大， 故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． 23. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 证明： ∵是中点， ∴， 由折叠可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由题意可求得，的值，再将其代入A，B的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得， ，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点N的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴， ∴点， 点， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、、、为顶点的四边形是菱形，分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ， ， ， 此时 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $