精品解析：2026年山东聊城市临清市中考模拟检测（一）九年级下学期数学试题

2026 年中考模拟检测 (一) 九年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 截至2025年12月30日，国家智慧教育平台用户总量突破亿，是世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款电脑支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．若张角，支撑杆 与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点 D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则常数，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 10. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把多项式分解因式的结果是_____． 12. 刘老师带领学生进行临清胡同游，了解家乡历史文化．他打算从“考棚街”“锅市街”“马市街”“竹竿巷”“箍桶巷”这五个著名胡同中任意挑选2个给学生进行深刻讲解．那么刘老师讲解的两个胡同恰好是“考棚街”和“锅市街”的概率是____________． 13. 如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 14. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 15. 如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2）解不等式组： 17. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，． 命题1：若四边形是菱形，则四边形是矩形； 命题2：若四边形是矩形，则四边形是菱形．任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 18. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 甲的得分情况∶ 20， 14， 28， 30， 32， 32； 乙的得分情况∶ 24， 28， 24， 28， 28， 27． 技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 得分方差 甲 26 32 m 9 乙 26.5 n 27.5 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ， ， (填“>”“=”或“<”)； （2）本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好； （3）选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现更好？说明理由． 19. 为测量某建筑物的高度，数学兴趣小组先从与建筑物底部在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得建筑物顶部的俯角为，底部的俯角为，求该建筑物的高度．(参考数据：，，结果保留整数．) 20. 项目学习：认识杆秤 知识背景：我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图1)，杆秤也是中华民族称重的基本量具之一． 材料：如图1，可以用秤砣到绳纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到绳纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是关于x的一次函数．下表为使用一个重1斤的秤砣时，若干次称重所记录的数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： （1）表格中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的，并求出正确的一次函数关系式； （2）当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ （3）由于使用磨损，原重1斤的秤砣变轻了，换用了一个重0.8斤的新秤砣，但商家没有重新标定刻度，仍然使用原来的刻度(即按 (1)中函数关系读数)．经检测发现：用新秤砣称重时，当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡；当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处．现用新秤砣称一个物体秤砣放在距离绳纽10厘米处时秤杆平衡．求这个物体的实际重量，以及按原来刻度读出的示数． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线． （2）过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 22. 已知二次函数 (m为常数)． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求m的取值范围； （3）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B左侧)，顶点为P．是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，等边中，点在射线上不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，取中点，连接． （1）如图1， 当点， ， 三点共线时， 求证； ①点是的中点； ②． （2）如图2，点在线段上任意一点时，猜想与的数量关系，并说明理由．小明同学经过思考，给出一种思路：如图，延长至点，使，连接，，这样可以得到问题答案．按照小明的思路写出解答过程； （3）如图4，当点在射线的延长线上时，（2）中的结论还成立吗？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考模拟检测 (一) 九年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 截至2025年12月30日，国家智慧教育平台用户总量突破亿，是世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将亿转化为计数单位为1的数，再根据科学记数法的定义确定结果即可． 【详解】解：亿． 3. 鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上向下看所得到的图形，看得见的画实线，看不见的画虚线，即可求解． 【详解】解：从上面看到的平面图形是． 故选：A． 4. 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款电脑支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．若张角，支撑杆 与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设过点的水平线交于点，则，则，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，设过点的水平线交于点，则， ∵， ∴， ∴． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式运算与二次根式的性质，根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、二次根式的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：A选项：与不是同类项，不能合并，∴A错误； B选项： ，∴B错误； C选项： ，∴C正确； D选项： ，当时， ，∴D错误. 6. 已知线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点 D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移过程中所有点的平移规律一致，先根据点及其对应点的坐标得到平移规律，再将点按相同规律平移得到对应点的坐标． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到，点的对应点为， ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为． 7. 半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆内接正六边形可以分割为6个全等的等边三角形，且等边三角形的边长等于圆的半径，先计算单个等边三角形面积，再乘以6即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵圆内接正六边形的边长等于其外接圆的半径，已知外接圆半径为， ∴正六边形的边长为，正六边形可被中心与各顶点的连线分为6个全等的边长为的等边三角形． 对单个等边三角形，由勾股定理得高， ∴单个等边三角形的面积， ∴正六边形的面积． 8. 已知，则常数，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出的值即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； 故选A． 9. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 10. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 刘老师带领学生进行临清胡同游，了解家乡历史文化．他打算从“考棚街”“锅市街”“马市街”“竹竿巷”“箍桶巷”这五个著名胡同中任意挑选2个给学生进行深刻讲解．那么刘老师讲解的两个胡同恰好是“考棚街”和“锅市街”的概率是____________． 【答案】 ##0.1 【解析】 【分析】先求出从5个胡同中任选2个的所有等可能结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将“考棚街”“锅市街”“马市街”“竹竿巷”“箍桶巷”分别记为， 从5个胡同中任选2个，所有等可能的结果为：，共种， 其中选出的两个胡同恰好是“考棚街”和“锅市街”的结果有种， 所求概率为 ． 13. 如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 【答案】 ##126度 【解析】 【分析】连接，由直径所对的圆周角为直角得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解．  【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ，  ． 14. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 【答案】3或4． 【解析】 【分析】分等腰三角形的腰长为3和底边为3两种情形求解即可． 【详解】当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴x=3是方程的根， ∴， ∴k=3, ∴， ∴x=3或x=1， ∴等腰三角形的三边为3,3,1，存在， 当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴， ∴k=4, ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边为2,2，3，存在， 综上所述，k=3或k=4， 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与等腰三角形的边长之间的关系，灵活运用分类思想，根的定义，根的判别式是解题的关键． 15. 如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，由旋转的性质可知点的对应点与点关于点对称，即为的中点，即得，可知当 时最短，即最小，再利用等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：，  ，，  ， 是直角三角形，且，  设旋转后点落在上的点为，如图， 由旋转的性质可知，与关于点中心对称，  ∴点与点关于点对称，  为线段的中点，  ， 要使最小，则需最小， ∵点在边上 ， ∴当 时，的值最小，此时，  即，  解得 ，  的最小值为． 三、解答题：本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题根据特殊角三角函数值、立方根、负整数指数幂的运算法则化简各项后，再进行加减运算即可； （2）先分别求解不等式组中两个不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为：． 17. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，． 命题1：若四边形是菱形，则四边形是矩形； 命题2：若四边形是矩形，则四边形是菱形．任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】 解：命题1：真命题，证明如下： 证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴四边形是矩形； 命题2：真命题，证明如下： 证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】命题1：先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，即对角线互相垂直可得，由此证明即可； 命题2：先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，即对角线互相平分且相等可得，由此证明即可． 【详解】略 18. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 甲的得分情况∶ 20， 14， 28， 30， 32， 32； 乙的得分情况∶ 24， 28， 24， 28， 28， 27． 技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 得分方差 甲 26 32 m 9 乙 26.5 n 27.5 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ， ， (填“>”“=”或“<”)； （2）本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好； （3）选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现更好？说明理由． 【答案】（1）；； （2） 解：甲：， 乙：， ， 甲队员表现更好； （3） 乙的表现更好，理由如下： 从得分稳定性来看，乙的表现更好，因为乙的得分方差小于甲的得分方差． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【小问1详解】 甲的得分从小到大排列：，，，，，， 中位数； 乙的得分情况：，，，，，， ； 由题可得： ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 为测量某建筑物的高度，数学兴趣小组先从与建筑物底部在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得建筑物顶部的俯角为，底部的俯角为，求该建筑物的高度．(参考数据：，，结果保留整数．) 【答案】求该建筑物的高度米 【解析】 【分析】过点作于，作于，如图所示，根据坡度定义，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到，根据题意，利用矩形的判定得到四边形是矩形，解求得，解求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：过点作于，作于，如图所示： ∵沿斜面坡度为的斜坡前进到达点， ∴，且， 设， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：或（负值不合题意，舍去）， ， ， 四边形是矩形，则， 在中，， 在中，， 答：求该建筑物的高度米． 20. 项目学习：认识杆秤 知识背景：我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图1)，杆秤也是中华民族称重的基本量具之一． 材料：如图1，可以用秤砣到绳纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到绳纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是关于x的一次函数．下表为使用一个重1斤的秤砣时，若干次称重所记录的数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： （1）表格中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的，并求出正确的一次函数关系式； （2）当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ （3）由于使用磨损，原重1斤的秤砣变轻了，换用了一个重0.8斤的新秤砣，但商家没有重新标定刻度，仍然使用原来的刻度(即按 (1)中函数关系读数)．经检测发现：用新秤砣称重时，当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡；当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处．现用新秤砣称一个物体秤砣放在距离绳纽10厘米处时秤杆平衡．求这个物体的实际重量，以及按原来刻度读出的示数． 【答案】（1） 描点如图所示： （2）7斤 （3）物体的实际重量为2.8斤，按原来刻度读出的示数为6斤． 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断错误的数据，设函数解析式为，使用待定系数法求解即可； （2）将代入函数关系式求解即可； （3）先建立新秤的实际重量与秤砣位置的函数关系式，再根据新的函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，是错误的， 设函数关系式为， 将点与代入函数关系式， 即，解得， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 解：当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时， 即，， 答：当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是7斤； 【小问3详解】 解：设物体实际重量为m斤，秤砣距离绳纽的水平位置为n， 当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡， 即时，； 当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处． 即时，， ∵实际重量与秤砣到3厘米的距离成正比，设关系式为， 将，代入函数关系式可得，，解得， ∴， 当秤砣放在距离绳纽10厘米处时，即时， 则有斤； 由（1）得到的原函数关系式为，当时， 则有斤， 答：物体的实际重量为2.8斤，按原来刻度读出的示数为6斤． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线． （2）过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则可导角证明，据此可证明结论； （2）证明，得到，则，设，则，，证明，得到，则，据此可求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ， ， 的面积是的面积的3倍， ， ， 设， ，， ， ，， ， ， ， ∴． 22. 已知二次函数 (m为常数)． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求m的取值范围； （3）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B左侧)，顶点为P．是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：已知二次函数， 令，得方程， 计算判别式得， ∵任何实数的平方都非负， ∴，即， ∴方程总有实数根， ∴该函数的图象与x轴总有公共点； （2） （3） 存在，的值为或 【解析】 【分析】（1）令，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于0即可． （2）二次函数开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，根据题目给出的增减性得到对称轴的取值范围，解不等式即可得到m的取值范围； （3）先求出抛物线与x轴交点坐标和顶点坐标，结合且，可知是等腰直角三角形，利用斜边的高等于斜边一半列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：二次函数中， 抛物线图象开口向上，对称轴为， ∵函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大， ∴对称轴满足，则有， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 解：令，得， 因式分解得  ，解得 ， ∴的长度为， 顶点P的横坐标为，代入函数解析式得纵坐标：   ， ∴点， ∵抛物线关于对称轴对称， ∴， 若，则是等腰直角三角形， 则斜边上的高等于的一半，且在x轴上， 高的长度为，  因此可得，整理得， 解得或， 当时，，此时，A，B两点重合，不符合题意，舍去； 当时，或，解得或，均符合题意， 因此存在实数m，使得，m的值为0或． 23. 如图，等边中，点在射线上不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，取中点，连接． （1）如图1， 当点， ， 三点共线时， 求证； ①点是的中点； ②． （2）如图2，点在线段上任意一点时，猜想与的数量关系，并说明理由．小明同学经过思考，给出一种思路：如图，延长至点，使，连接，，这样可以得到问题答案．按照小明的思路写出解答过程； （3）如图4，当点在射线的延长线上时，（2）中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】（1） ①证明：∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵点， ， 三点共线 ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴平分 ∴，即是的中点 ②证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2） 证明： 如图，延长至点，使，连接，， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∵是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （3） 解：成立，理由如下， 如图，延长至点，使，连接， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∵是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质可得，，根据等边对等角，三角形内角和定理可得，根据等边三角形的性质结合三线合一可得是的中点； ②根据中位线的性质可得，根据三角形的外角的性质，结合等角对等边证明，等量代换，即可得证； （2）延长至点，使，连接，，证明得出，再根据中位线定理，即可得证； （3）同（2）的方法即可得出结论． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $