方程、不等式解决问题 专题抢分训练—《中考导航》2026年广东中考数学高分特训专辑

**基本信息** 聚焦方程与不等式实际应用，按考向分层设计，覆盖从单一方程到综合应用的完整知识链，突出建模思想与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程组解决问题|3题|生产效率、采购费用|从实际量关系抽象等量关系，培养模型意识| |分式方程解决问题|4题|销售单价、数量关系|通过分式建模解决比例问题，强化运算能力| |一元二次方程解决问题|2题|增长率、利润最值|结合函数思想分析变化规律，发展推理意识| |不等式解决问题|2题|兑换要求、进货限制|建立不等关系解决取值范围问题，提升应用意识| |方程、不等式、函数结合|6题|成本控制、利润优化|综合运用代数工具解决复杂问题，体现数学思维整体性|

方程、不等式解决问题 专题抢分训练 考向1：二元一次方程组解决问题 1．（2026·广东肇庆·一模）中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 2．（2026·广东深圳·二模）2026年，深圳将在所学校推进学生“舒心躺睡”服务．某校计划采购型普通款和型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买套型课桌椅与套型课桌椅共需元 ②买套型课桌椅比套型课桌椅少花费元 ③买套型课桌椅与套型课桌椅花费相同 （1）请你从上述个条件中任选个作为条件，求出型、型课桌椅的单价分别是多少元？ （2）若该校计划采购型、型课桌椅共套，且总费用不超过元，则采购型课桌椅至多多少套？ 3．（2026·江西景德镇·二模）某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 考向2：分式方程解决问题 4．（2026·广东清远·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 5．（2026·辽宁鞍山·一模）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，每辆B型汽车的售价比A型汽车售价高万元，本周A，B两种型号的新能源汽车的销售数量相同，销售额分别为万元和万元，求每辆A，B两种型号的新能源汽车的售价． 6．（2026·广东汕头·一模）为了做好春季诺如病毒的预防工作，光明中学后勤部门购进了甲、乙两种包装的消毒湿巾．已知甲种消毒湿巾每包的价格比乙种消毒湿巾每包的价格多6元，若用1200元购进甲种消毒湿巾的数量和用750元购进乙种消毒湿巾的数量相同，求这两种包装的消毒湿巾每包的价格各是多少． 7．（2026·重庆·三模）列方程解下列问题： 某服装厂主要生产遮阳帽和恤两种产品，该厂共有台机器，每台机器每天可制作顶遮阳帽或件恤．开学前期，该厂接到幼儿园园服制作订单，每套园服由顶遮阳帽和件恤组成． （1）该服装厂应如何分配机器，能使每天生产的遮阳帽和恤恰好配套？ （2）今年月，该服装厂引进一台新机器，新机器每天生产遮阳帽的数量和每天生产恤的数量较每台旧机器每天生产的数量均有所增加，且这台新机器每天生产恤的增加量是每天生产遮阳帽增加量的倍．已知这台新机器生产顶遮阳帽比生产件恤多用了天，求这台新机器较每台旧机器每天生产遮阳帽的增加量． 考向3：一元二次方程解决问题 8．（2026·广东深圳·二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 （1）任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 9．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 考向4：不等式解决问题 10．（2026·广东清远·二模）《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？ 11．（2026·广东广州·二模）广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． （1）年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ （2）两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 考向5：方程、不等式、函数结合 12．（2026·山西大同·模拟预测）沁州黄小米色泽金黄，圆润如珠，口感绵糯，具有“金珠不换沁州黄”的美誉．某农业合作社生产沁州黄小米精美礼盒与特级礼盒．已知生产1盒精美礼盒和4盒特级礼盒的总成本为660元，生产5盒精美礼盒和2盒特级礼盒的总成本为600元． （1）求生产1盒精美礼盒和1盒特级礼盒的成本分别为多少元． （2）某电商平台委托该合作社生产精美礼盒和特级礼盒共100盒，要求总成本不高于10000元，则最多可生产多少盒特级礼盒？ 13．（2026·广东深圳·三模）首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． （1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； （2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格： 方案一：利润最大 方案二：固定利润率 该店销售A品牌足球的利润最大，单件售价a为多少元，最大利润为多少？ 尽量优惠顾客，该店销售A品牌足球获得固定利润率，单件售价a为多少元，及进货量． 14．（2026·河南·二模）随着油价飙升，某汽车4S店积极转型，计划购进A，B两款新能源汽车进行销售，以满足市场需求．据了解，A款新能源汽车的单价比B款新能源汽车的单价低万元，购买A款新能源汽车2台、B款新能源汽车3台共需费用万元． （1）求A，B两款新能源汽车的单价各是多少万元． （2）该汽车4S店计划购买A，B两款新能源汽车共台，且A款新能源汽车的购买数量不超过B款新能源汽车购买数量的倍，购买A款新能源汽车多少台时，采购费用最少?最少采购费用是多少万元? 15．（2026·广东汕头·一模）某文创公司推出两种毕业纪念礼盒：经典款（A型）和典藏款（B型）．销售1个经典款的利润为80元，销售1个典藏款的利润为120元．公司计划本次共推出两种礼盒120个，受供应链产能限制，典藏款的推出数量不能超过经典款的2倍．设推出经典款礼盒个，销售全部礼盒的总利润为元． （1）求关于的函数解析式（要求写出自变量的取值范围）； （2）如何分配两种礼盒的推出数量才能使总利润最大？总利润最大值是多少？ 16．（2026·广东东莞·二模）根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 该书店准备用不超过16800元购进，两种图书共1000本，且种图书不少于700本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务： （1）探求图书的标价：请运用适当方法，求出，两种图书的标价． （2）确定如何获得最大利润：书店应怎样进货才能获得最大利润？ 17．（2026·广东深圳·二模）为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定．某商店准备购进甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的进货单价； （2）调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个．设甲种头盔降价t元，销售量为个，甲种头盔总利润为y元． ①则y与t的函数关系式为__________； ②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大？最大利润是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 方程、不等式解决问题 专题抢分训练 考向1：二元一次方程组解决问题 1．（2026·广东肇庆·一模）中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 【答案】每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂 【详解】解：设每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂， 由题意得， 解得， 答：每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂． 2．（2026·广东深圳·二模）2026年，深圳将在所学校推进学生“舒心躺睡”服务．某校计划采购型普通款和型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买套型课桌椅与套型课桌椅共需元 ②买套型课桌椅比套型课桌椅少花费元 ③买套型课桌椅与套型课桌椅花费相同 （1）请你从上述个条件中任选个作为条件，求出型、型课桌椅的单价分别是多少元？ （2）若该校计划采购型、型课桌椅共套，且总费用不超过元，则采购型课桌椅至多多少套？ 【答案】(1)型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元 (2)套 【分析】（1）设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元，根据价格信息可列方程组求解即可； （2）设采购型课桌椅套，则采购型课桌椅套，根据总费用不超过元，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：选①②： 设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下： ， 解得； 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 选①③： 设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下： ， 解得， 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 选②③： 设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下： ， 解得， 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； （2）解：设采购型课桌椅套，则采购型课桌椅套， 根据题意可列不等式如下： ， 解得， 答：采购型课桌椅至多套． 3．（2026·江西景德镇·二模）某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 【答案】(1)这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元 (2)厂商补贴最多是600元 【分析】（1）先计算出两件商品的原价总和，再结合降价规则列出二元一次方程组求解即可得到各自原价； （2）根据价格要求列出一元一次不等式，求解即可得到厂商补贴的最大金额． 【详解】（1）解：设这台电视机原价为元，平板电脑原价为元 由题意得， 解得 答：这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元； （2）解：设厂商补贴为元 由题意，国补后再减去厂商补贴的价格不低于2970元， 列不等式得 解得 答：厂商补贴最多是600元． 考向2：分式方程解决问题 4．（2026·广东清远·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【答案】A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元 【分析】设A型号纪念品的单价为元，表示出B型号的单价后，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设A型号纪念品的单价为元，则B型号纪念品的单价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元． 5．（2026·辽宁鞍山·一模）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，每辆B型汽车的售价比A型汽车售价高万元，本周A，B两种型号的新能源汽车的销售数量相同，销售额分别为万元和万元，求每辆A，B两种型号的新能源汽车的售价． 【答案】每辆A型车的售价是16万元，每辆B型车的售价是24万元 【分析】设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是万元，根据“本周A，B两种型号的新能源汽车的销售数量相同，销售额分别为万元和万元”，列方程求解即可． 【详解】解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是万元． 根据题意，得，             解得：． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为．             ．             答：每辆A型车的售价是16万元，每辆B型车的售价是24万元． 6．（2026·广东汕头·一模）为了做好春季诺如病毒的预防工作，光明中学后勤部门购进了甲、乙两种包装的消毒湿巾．已知甲种消毒湿巾每包的价格比乙种消毒湿巾每包的价格多6元，若用1200元购进甲种消毒湿巾的数量和用750元购进乙种消毒湿巾的数量相同，求这两种包装的消毒湿巾每包的价格各是多少． 【答案】甲种消毒湿巾每包价格为16元，乙种消毒湿巾每包价格为10元 【详解】解：设甲种消毒湿巾每包价格为元，则乙种消毒湿巾每包价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：甲种消毒湿巾每包价格为16元，乙种消毒湿巾每包价格为10元． 7．（2026·重庆·三模）列方程解下列问题： 某服装厂主要生产遮阳帽和恤两种产品，该厂共有台机器，每台机器每天可制作顶遮阳帽或件恤．开学前期，该厂接到幼儿园园服制作订单，每套园服由顶遮阳帽和件恤组成． （1）该服装厂应如何分配机器，能使每天生产的遮阳帽和恤恰好配套？ （2）今年月，该服装厂引进一台新机器，新机器每天生产遮阳帽的数量和每天生产恤的数量较每台旧机器每天生产的数量均有所增加，且这台新机器每天生产恤的增加量是每天生产遮阳帽增加量的倍．已知这台新机器生产顶遮阳帽比生产件恤多用了天，求这台新机器较每台旧机器每天生产遮阳帽的增加量． 【答案】(1)安排9台机器生产遮阳帽，6台机器生产T恤 (2)顶 【分析】（1）设服装厂应安排台机器生产遮阳帽，台机器生产T恤，结合每套园服由顶遮阳帽和件恤组成，再建立方程求解即可． （2）设新机器每天生产遮阳帽增加量为顶，则新机器每天生产T恤增加量为件，可得，进一步解方程即可． 【详解】（1）解：设服装厂应安排台机器生产遮阳帽，台机器生产T恤， 根据题意得，， 解得， （台）， ∴该服装厂应该安排9台机器生产遮阳帽，6台机器生产T恤． （2）解：设新机器每天生产遮阳帽增加量为顶，则新机器每天生产T恤增加量为件，则 ， 解得：， 经检验：符合题意， 答：这台新机器较每台旧机器每天生产遮阳帽的增加量为顶． 考向3：一元二次方程解决问题 8．（2026·广东深圳·二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 （1）任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)75元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设每件售价为元，根据单件利润销售量总利润，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为； （2）解：设每件售价为元， 依题意，得， 解得：，； ∵为了尽快减少库存 ， 答：每件售价应为75元． 9．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 考向4：不等式解决问题 10．（2026·广东清远·二模）《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？ 【答案】需要积攒天到天（包含天和天），即天数为满足的正整数 【分析】先设积攒天数为未知数，根据粟米兑换糙米的比例得到糙米总量的表达式，再结合糙米总量的范围要求列出不等式组，求解后结合天数为正整数的实际条件得到结果； 【详解】设需要积攒天，为正整数， 由题意得：每斗粟米，可兑换斗糙米，兑换糙米的比例为，总粟米量为斗， 因此兑换所得糙米总量为， 根据兑换要求列不等式组：， 由得：， ， 由得：， ， 不等式组的解集为， 为正整数， ． 11．（2026·广东广州·二模）广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． （1）年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ （2）两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】(1)A型卖出90个，B型卖出80个． (2)A型最多进30个． 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【详解】（1）解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； （2）解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 考向5：方程、不等式、函数结合 12．（2026·山西大同·模拟预测）沁州黄小米色泽金黄，圆润如珠，口感绵糯，具有“金珠不换沁州黄”的美誉．某农业合作社生产沁州黄小米精美礼盒与特级礼盒．已知生产1盒精美礼盒和4盒特级礼盒的总成本为660元，生产5盒精美礼盒和2盒特级礼盒的总成本为600元． （1）求生产1盒精美礼盒和1盒特级礼盒的成本分别为多少元． （2）某电商平台委托该合作社生产精美礼盒和特级礼盒共100盒，要求总成本不高于10000元，则最多可生产多少盒特级礼盒？ 【答案】(1)生产1盒精美礼盒的成本为60元，生产1盒特级礼盒的成本为150元 (2)最多可生产44盒特级礼盒 【分析】（1）设生产1盒精美礼盒的成本为元，生产1盒特级礼盒的成本为元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）设生产盒特级礼盒，则生产盒精美礼盒，根据题意得出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设生产1盒精美礼盒的成本为元，生产1盒特级礼盒的成本为元． 根据题意，得， 解得． 答：生产1盒精美礼盒的成本为60元，生产1盒特级礼盒的成本为150元． （2）解：设生产盒特级礼盒，则生产盒精美礼盒． 根据题意，得， 解得． 取最大值，且为整数，． 答：最多可生产44盒特级礼盒． 13．（2026·广东深圳·三模）首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． （1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； （2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格： 方案一：利润最大 方案二：固定利润率 该店销售A品牌足球的利润最大，单件售价a为多少元，最大利润为多少？ 尽量优惠顾客，该店销售A品牌足球获得固定利润率，单件售价a为多少元，及进货量． 【答案】(1)A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元 (2)选方案一，当单件售价元时，最大利润为5000元；方案二，，进货量为40 【分析】（1）设B品牌足球的单件进价为x元，根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）方案一，设销售A品牌足球的利润为W元，列出二次函数关系式，求最值即可；方案二，根据题意列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设B品牌足球的单件进价为x元， ，解得， 经检验，是原方程的解． ∴． 答：A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元． （2）解：方案一：A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足， 设销售A品牌足球的利润为W元， 则， 因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当元时，W取得最大值． 答：当单件售价元时，该店销售A品牌足球的利润最大，且最大利润为5000元． 方案二：由题意，， 解得， ∵A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足， ∴， 答：当单件售价元时，该店销售A品牌足球的利润率为，应进货40个． 14．（2026·河南·二模）随着油价飙升，某汽车4S店积极转型，计划购进A，B两款新能源汽车进行销售，以满足市场需求．据了解，A款新能源汽车的单价比B款新能源汽车的单价低万元，购买A款新能源汽车2台、B款新能源汽车3台共需费用万元． （1）求A，B两款新能源汽车的单价各是多少万元． （2）该汽车4S店计划购买A，B两款新能源汽车共台，且A款新能源汽车的购买数量不超过B款新能源汽车购买数量的倍，购买A款新能源汽车多少台时，采购费用最少?最少采购费用是多少万元? 【答案】(1) A款新能源汽车单价为5万元，B款新能源汽车单价为5.6万元 (2) 购买A款新能源汽车15台时采购费用最少，最少采购费用为103万元 【分析】（1）根据A、B单价的关系设未知数，结合购买总费用列方程求解即可得到两款车的单价； （2）设购买A款车的数量为台，根据A数量不超过B数量的3倍列不等式得到自变量的取值范围，再列出总费用关于购买数量的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应的购买数量． 【详解】（1）解：设A款新能源汽车的单价为万元，则B款新能源汽车的单价为万元.， 由题意得， 解得， 则， 答：A款新能源汽车单价为5万元，B款新能源汽车单价为5.6万元； （2）设购买A款新能源汽车台，采购总费用为万元，则购买B款新能源汽车台 由题意得， 解得； 总费用， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 将代入得（万元）； 答：购买A款新能源汽车15台时采购费用最少，最少采购费用是103万元． 15．（2026·广东汕头·一模）某文创公司推出两种毕业纪念礼盒：经典款（A型）和典藏款（B型）．销售1个经典款的利润为80元，销售1个典藏款的利润为120元．公司计划本次共推出两种礼盒120个，受供应链产能限制，典藏款的推出数量不能超过经典款的2倍．设推出经典款礼盒个，销售全部礼盒的总利润为元． （1）求关于的函数解析式（要求写出自变量的取值范围）； （2）如何分配两种礼盒的推出数量才能使总利润最大？总利润最大值是多少？ 【答案】(1)（，且x为正整数） (2)经典款推出40个，典藏款推出80个时总利润最大，最大总利润为12800元 【分析】（1）根据总利润等于两种礼盒的利润和列出函数关系式，再结合题干限制条件与实际意义求出自变量的取值范围； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量范围求出最大总利润，得到两种礼盒的推出数量． 【详解】（1）解：已知推出经典款礼盒个，则推出典藏款礼盒的数量为个 根据题意得 化简得 根据典藏款的推出数量不能超过经典款的2倍，可得 解得 又 解得 为礼盒个数，是正整数， 因此自变量的取值范围是，且为正整数 即关于的函数解析式为（，且为正整数） （2）解：在中， 随的增大而减小 当时，取得最大值 此时典藏款数量为（个） 将代入解析式得（元） 答：推出经典款40个，典藏款80个时总利润最大，总利润最大值是12800元． 16．（2026·广东东莞·二模）根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 该书店准备用不超过16800元购进，两种图书共1000本，且种图书不少于700本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务： （1）探求图书的标价：请运用适当方法，求出，两种图书的标价． （2）确定如何获得最大利润：书店应怎样进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) A种图书标价27元，B种图书标价18元 (2) 购进A种图书700本，B种图书300本时可获得最大利润 【分析】（1）设种图书的标价是元，则种图书的标价是元，根据“顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组求出的取值范围，求出、两种图书的售价，设获得的利润是元，得出关于的关系式，再利用一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设种图书的标价是元，则种图书的标价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴种图书的标价是元，则种图书的标价是元； （2）解：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， 由题意可得：种图书的售价是（元），种图书的售价是元， 设获得的利润是元， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的值最大， （本）， ∴购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大． 17．（2026·广东深圳·二模）为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定．某商店准备购进甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的进货单价； （2）调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个．设甲种头盔降价t元，销售量为个，甲种头盔总利润为y元． ①则y与t的函数关系式为__________； ②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个 (2)① ②当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元 【分析】（1）利用等量关系式“”进行求解； （2）利用等量关系式“总利润（售价进价）数量”以及二次函数求最值解出答案． 【详解】（1）解：设乙种头盔进货单价为x元/个，甲种头盔的进货单价是元/个 则， 解得，经检验是原方程的解， ∴甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个． 答：甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个． （2）①解：总利润（售价进价）数量 ∴， 即或． ②方法1：令 则，， （）， ∵开口向下，∴当时，元 答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元． 方法2： ， ∵，开口向下， ∴在顶点处取得最大值， ∴当时，.元 答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $