专项02 方程（组）与不等式（组）及其应用 9大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项02 方程（组）与不等式（组）及其应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，方程（组）与不等式（组）及其应用是解答题的必考内容，分值约8-16分． 命题趋势：解答题：方程（组）与不等式（组）的实际应用题稳定在中考解答题第二大题（第17题）的位置考查，重点在工程、行程、利润、方案选择等实际问题，通常包括2个小问，第1问以二元一次方程组或分式方程为主，第2问考查不等式（组）的应用，可能会配合一次函数的增减性结合出题。在20题左右的位置也可能会出现一元二次方程的应用题，常考利润问题或面积问题，在后续23题二次函数压轴题里也与解一元二次方程密不可分。 2026年预测：解答题极大可能继续以方程（组）与不等式（组）结合的实际应用单独命题第17题，考查形式稳定；分式方程要注意验根；在解决函数图象或动点问题或表格相关的问题时要注意方案的合理性。同时不排除会单独考查方程（组）或不等式（组）的计算题，作为中考题型不变中的变化，注意解题格式要规范。且后续解答题中仍很大概率会出现一元二次方程应用题及在二次函数问题中的解一元二次方程等。2026年命题将突出“新背景”或“科技时事”或“跨学科”等问题，情境会更加贴近现实生活。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目描述中抽象出问题模型，计算准确，根据题意判断根的合理性，书写步骤规范。 题型01 解一次方程（组） 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）解方程组： 研考点·通技法 1. 一元一次方程：去分母与移项 去分母时，方程两边每一项都乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项，分子是多项式时，记得加括号。移项时，移动的项必须改变符号，并注意合并同类项时系数化为1。 2. 二元一次方程组：巧选消元法 若一个方程中某未知数系数为±1，优先用代入法，解出该变量代入另一方程，代入时用括号整体替换；若相同未知数系数成倍数关系或相等，则用加减法消元，减少分数运算。 3. 整体思想与检验 当方程组结构对称或含有相同结构时，可将整式看作整体，设新元简化计算。解出后务必代入原方程（组）检验，确保解的正确性。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）解方程：． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）解方程组：． 3．（2025·辽宁·一模）解方程：． 题型02 解一元二次方程 析典例·建模型 1．（2025·辽宁抚顺·二模）（1）解方程：； （2）解方程：． 研考点·通技法 1. 首选因式分解法：方程化为一般式后，若能用提公因式、十字相乘法分解，优先采用，避免开方计算。注意移项后右边必须为0。 2. 配方法注意配方步骤：二次项系数化为1，一次项系数一半的平方两边同加。适合二次项系数为1或方程明显可配成完全平方时使用。 3. 公式法需先判别：计算△ = b2-4ac，△≥0时再代公式。若△是完全平方数，解为有理数；若含根号，需化最简。不盲目开方，防止增根。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·一模）解方程：． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）解方程： (1) (2) 3．（2025·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 题型03 解分式方程 析典例·建模型 1．（2025·辽宁锦州·三模）解方程：． 研考点·通技法 1. 去分母乘最简公分母：找出各分母的最简公分母，方程两边每一项都乘它，注意常数项不能漏乘。分子是多项式时，去分母后务必加括号。 2. 解整式方程需规范：去分母后得到整式方程，按常规步骤求解。若出现高次项，先移项再因式分解，避免丢根。 3. 检验是必做步骤：将解代入最简公分母，若为零则为增根，必须舍去；否则为原方程的解。检验写在最后，不可遗漏。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁本溪·二模）解方程：． 2．（2025·辽宁沈阳·三模）解方程： 3．（2025·辽宁鞍山·二模）解方程：． 题型04 解不等式（组） 析典例·建模型 1．（2025·辽宁锦州·三模）解不等式组并写出它的正整数解． 研考点·通技法 1. 分别解每个不等式：按解一元一次不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）逐个求解。注意系数为负数时，不等号方向要改变。 2. 借助数轴找公共部分：在数轴上标出每个不等式的解集，遵循“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的口诀确定交集。 3. 端点取舍要谨慎：根据原不等号是否含等号（≤ 或≥）判断端点是否包含。含等号用实心点，不含等号用空心圈。最后写出不等式组的解集形式。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁铁岭·二模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）解不等式组： 3．（2025·辽宁阜新·二模）解不等式组 题型05 一元一次方程的应用 析典例·建模型 1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 研考点·通技法 1. 找准等量关系：审题时圈出“和、差、倍、分”等关键词，用表格或线段图梳理已知与未知量。设未知数后，直接根据等量关系列出方程，避免引入无关变量。 2. 巧设未知数：优先直接设所求量为未知数；若关系复杂，可设中间变量为未知数（间接设元）。遇到多个未知量时，设其中一个为x，其余用含x的式子表示。 3. 解后双检验：一验方程解是否正确，二验解是否符合实际意义（如人数为正整数、时间非负）。作答时务必带单位，并检查问题是否有多解（如方案选择需分类讨论）。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 2．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 3．（2025·辽宁盘锦·二模）某同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒，请问： (1)该同学冲刺的时间有多长？ (2)如果他想把成绩提高到64秒以内，他至少需要冲刺几秒？ 题型06 二元一次方程组的应用 析典例·建模型 1．（2026·辽宁朝阳·一模）某电商计划购进A、B两种农产品，已知购进2件A产品和3件B产品共需270元，购进3件A产品和2件B产品共需230元． (1)求每件A、B产品的进价分别是多少元？ (2)该电商计划购进A、B两种产品共100件，且A产品的数量不超过B产品数量的3倍，总费用不超过4200元，该电商共有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若每件A产品售价40元，每件B产品售价100元．哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 研考点·通技法 1. 设两个未知数：分析题意，找到两个关键等量关系。通常问什么设什么，如设人数、单价等为x, y，用未知数表示其余相关量。 2. 列方程组要对应：根据等量关系分别列出两个方程，注意单位统一。常见模型：行程问题（s=vt）、配套问题（比例相等）、盈亏问题等。 3. 解后双检验：一验方程解是否正确，二验解是否符合实际意义（如人数为正整数、时间非负）。作答时务必带单位，并检查问题是否有多解（如方案选择需分类讨论）。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性．已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装． (1)求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装． (2)由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备．若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？ 2．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 3．（2026·辽宁·模拟预测）解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 4．（2026·辽宁锦州·一模）东海龙宫里有一家珍珠商店，店主用1200元购进了甲、乙两种珍珠，已知甲种珍珠每颗进价12元，乙种珍珠每颗进价10元，店主将甲种珍珠以每颗15元出售，乙种珍珠以每颗12元出售，全部售完后共获利270元． (1)这家珍珠商店购进甲、乙两种珍珠各多少颗？ (2)店主决定再次进货，进价不变，购进甲种珍珠的数量与第一次相同，而乙种珍珠的数量是第一次购进乙种珍珠的数量的2倍．乙种珍珠仍按原价出售，但甲种珍珠需要降价出售，若希望再次销售完毕后获利不少于340元，甲种珍珠每颗最低售价应为多少元？ 题型07 一元二次方程的应用 析典例·建模型 1．（2026·辽宁锦州·一模）随着城郊乡村休闲游持续升温，不少农户在自家院内打造特色菜园吸引游客体验农事．某农户计划借助自家院内、两面墙（墙长足够），用栅栏围建一块梯形菜园，已知，，． (1)如图1，若段墙的长度为，求此时与间的距离（结果精确到）； (2)如图2，该农户计划购买的栅栏进行围建，并在边上留一个宽的门．若围建的梯形菜园的面积为，求此时的长．（参考数据：，，） 研考点·通技法 1. 设元与建模：根据题意设未知数，找出等量关系（如面积公式、增长率、利润关系）。注意将已知数据转化为代数式，建立一元二次方程。 2. 合理取舍根：解出方程后，根据实际问题筛选根，如边长、人数不能为负或零，增长率通常取正根。若两根都符合，均保留。 3. 检验实际意义：代入原题验证是否满足所有条件（如整数解、不超过限制等）。涉及“互赠照片”等问题需判断是否含顺序（除以2）。最后明确作答。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 2．（2025·辽宁·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 3．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 4．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 题型08 分式方程的应用 析典例·建模型 1．（2026·辽宁·模拟预测）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 研考点·通技法 1. 找出等量关系：根据题意设未知数，利用“工作效率、行程、利润”等基本公式列出分式方程。注意将实际问题中的量表示为分式形式。 2. 去分母求解：方程两边乘最简公分母化为整式方程，按常规步骤求解。注意常数项也要乘公分母，多项式分子要加括号。 3. 双重检验：先检验解是否为增根（代入公分母），再检验是否符合实际意义（如人数、时间不能为负）。最后作答，增根必须舍去并说明。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁盘锦·一模）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ (2)荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)日前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 题型9 不等式（组）的应用 析典例·建模型 1．（2025·辽宁沈阳·一模）陈老师的家乡出产青李，因雪峰山特殊的地形形成特殊的气候，所以青李的品质很高．家乡人成立了雪峰商会，其中有一专项就是青李的销售．去年青李成熟之际，商会收集了大量的青李，用A，B两种型号的货车，分两批装箱运往C市销售，具体运输情况如表： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 8 15 B型货车的辆数（单位：辆） 4 10 累计运输物资的吨数（单位：吨） 44 95 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨青李？ （2）已知A型车满载运往C市一趟的运费为540元，B型车满载运往C市一趟的运费需要740元，商会后续又筹集了40吨青李，现需要10辆货车运送青李．为控制运费不超过6600元，试问有哪几种方案可以一次性将这批青李运往目的地？ 研考点·通技法 1. 抓关键词，列不等式：读题时圈出“至少、至多、不少于、不超过”等词，转化为对应的不等号（≥、≤、>、<）。根据题意设未知数，直接列出不等式，注意单位统一。 2. 结合实际问题取整：涉及人数、车辆数、物品件数时，解集需取整数。若求“至少”，结果向上取整（如 x≥5.2则x=6）；若求“至多”，向下取整（如x≤4.8则x=4）。 3. 方案决策用不等式组：若有多重限制条件，列不等式组求公共解集，结合整数解列出所有可行方案。再通过比较各方案的目标值（如费用、利润），选出最优解，作答时明确方案内容。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲种商品和件乙种商品共需元；购进件甲种商品和件乙种商品共需元．甲种商品每件的售价为元，乙种商品每件的售价为元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价； (2)若该商店计划购进甲、乙两种商品共件，实际出售时甲种商品的售价不变，乙种商品打八折出售，且总利润不超过元，则最多能购进乙种商品多少件 2．（2026·辽宁沈阳·一模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． (1)求排球、足球的单价各为多少？ (2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）为了保护绿水青山，某景区从大门A处仅设置乘环保车、乘船两种交通方式到景点B，乘车需要30分钟到达，乘船需要24分钟到达．已知每隔2分钟发一辆车，每辆车最多坐40人；每隔12分钟发一艘船，每艘船最多坐300人． (1)如果第一辆车与第一艘船同时从大门A出发，设第a辆车到达景点B时，第b艘船恰好也到达景点B，求a与b的关系式； (2)现有3100名游客在大门A处，开始时，车与船同时出发，最后将全部游客送到景点B处时，所需的最短时间是多少分钟？ 4．（2025·辽宁铁岭·三模）某商场新购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价． (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共90件，且购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍．若甲商品按每件160元销售，乙商品按每件90元销售． ①为满足销售完甲、乙两种商品后获得的总利润不低于3300元，则购进甲商品的件数最多为多少件？ ②随着甲商品销量的逐渐增加，以及乙商品销量的逐渐减少，于是总部下达命令：商场要调整销售策略，要求甲商品每件销售利润随销售数量的变化而变化．当购进甲商品n件时，甲每件利润变为元，乙每件利润仍然为30元，求当甲商品购进多少件时，商场获得利润最大？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 方程（组）与不等式（组）及其应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，方程（组）与不等式（组）及其应用是解答题的必考内容，分值约8-16分． 命题趋势：解答题：方程（组）与不等式（组）的实际应用题稳定在中考解答题第二大题（第17题）的位置考查，重点在工程、行程、利润、方案选择等实际问题，通常包括2个小问，第1问以二元一次方程组或分式方程为主，第2问考查不等式（组）的应用，可能会配合一次函数的增减性结合出题。在20题左右的位置也可能会出现一元二次方程的应用题，常考利润问题或面积问题，在后续23题二次函数压轴题里也与解一元二次方程密不可分。 2026年预测：解答题极大可能继续以方程（组）与不等式（组）结合的实际应用单独命题第17题，考查形式稳定；分式方程要注意验根；在解决函数图象或动点问题或表格相关的问题时要注意方案的合理性。同时不排除会单独考查方程（组）或不等式（组）的计算题，作为中考题型不变中的变化，注意解题格式要规范。且后续解答题中仍很大概率会出现一元二次方程应用题及在二次函数问题中的解一元二次方程等。2026年命题将突出“新背景”或“科技时事”或“跨学科”等问题，情境会更加贴近现实生活。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目描述中抽象出问题模型，计算准确，根据题意判断根的合理性，书写步骤规范。 题型01 解一次方程（组） 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）解方程组： 【思路分析】利用代入消元法或加减消元法求解即可． 【规范答题】解：， 由①得③， 将③式代入②得，， 解得， ， 方程组的解为． 研考点·通技法 1. 一元一次方程：去分母与移项 去分母时，方程两边每一项都乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项，分子是多项式时，记得加括号。移项时，移动的项必须改变符号，并注意合并同类项时系数化为1。 2. 二元一次方程组：巧选消元法 若一个方程中某未知数系数为±1，优先用代入法，解出该变量代入另一方程，代入时用括号整体替换；若相同未知数系数成倍数关系或相等，则用加减法消元，减少分数运算。 3. 整体思想与检验 当方程组结构对称或含有相同结构时，可将整式看作整体，设新元简化计算。解出后务必代入原方程（组）检验，确保解的正确性。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的计算，掌握解方程的步骤是解本题的关键；先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】由加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由①②得， 解得； 将代入①得； 原方程组的解为． 3．（2025·辽宁·一模）解方程：． 【答案】 【分析】根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由，得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 题型02 解一元二次方程 析典例·建模型 1．（2025·辽宁抚顺·二模）（1）解方程：； （2）解方程：． 【思路分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 【规范答题】（1）解： ∴ ∴； （2）解： ∴ ∴，或 ∴． 研考点·通技法 1. 首选因式分解法：方程化为一般式后，若能用提公因式、十字相乘法分解，优先采用，避免开方计算。注意移项后右边必须为0。 2. 配方法注意配方步骤：二次项系数化为1，一次项系数一半的平方两边同加。适合二次项系数为1或方程明显可配成完全平方时使用。 3. 公式法需先判别：计算△ = b2-4ac，△≥0时再代公式。若△是完全平方数，解为有理数；若含根号，需化最简。不盲目开方，防止增根。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 移项得，， ∴ 提取公因式得，， ∴或， 解得：，． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握用求根公式和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）用求根公式直接计算即可； （2）用因式分解法整理方程，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：因式分解得， 整理得， ，． 题型03 解分式方程 析典例·建模型 1．（2025·辽宁锦州·三模）解方程：． 【思路分析】把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可，注意解分式方程的书写规范． 【规范答题】解：， 方程两边同时乘以得，， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的即为． 研考点·通技法 1. 去分母乘最简公分母：找出各分母的最简公分母，方程两边每一项都乘它，注意常数项不能漏乘。分子是多项式时，去分母后务必加括号。 2. 解整式方程需规范：去分母后得到整式方程，按常规步骤求解。若出现高次项，先移项再因式分解，避免丢根。 3. 检验是必做步骤：将解代入最简公分母，若为零则为增根，必须舍去；否则为原方程的解。检验写在最后，不可遗漏。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁本溪·二模）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解： ， ， ． 经检验：是原方程解， 原分式方程的根是． 2．（2025·辽宁沈阳·三模）解方程： 【答案】 【分析】先去分母，再移项，最后合并同类项，即可求解。 【详解】解：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 故方程的解为； 3．（2025·辽宁鞍山·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，运用解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的根． 题型04 解不等式（组） 析典例·建模型 1．（2025·辽宁锦州·三模）解不等式组并写出它的正整数解． 【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即可得到不等式组的解集，进而可得正整数解. 【规范答题】解：解得． 解得． 故原不等式组的解集为． 故正整数解为1，2，3，4． 研考点·通技法 1. 分别解每个不等式：按解一元一次不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）逐个求解。注意系数为负数时，不等号方向要改变。 2. 借助数轴找公共部分：在数轴上标出每个不等式的解集，遵循“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的口诀确定交集。 3. 端点取舍要谨慎：根据原不等号是否含等号（≤ 或≥）判断端点是否包含。含等号用实心点，不含等号用空心圈。最后写出不等式组的解集形式。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁铁岭·二模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析； 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是掌握运算法则，按照运算法则依次计算即可．根据一元一次不等式的解法去分母，去括号，移项、合并同类项、系数化1即可得解，然后将得到的解集在数轴上表示即可； 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 将这个不等式的解集在数轴上表示如下， ． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可． 【详解】解：； 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 3．（2025·辽宁阜新·二模）解不等式组 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无法找（空集）”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 题型05 一元一次方程的应用 析典例·建模型 1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【思路分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【规范答题】（1）解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； （2）解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得，， 解得， ∴m得最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 研考点·通技法 1. 找准等量关系：审题时圈出“和、差、倍、分”等关键词，用表格或线段图梳理已知与未知量。设未知数后，直接根据等量关系列出方程，避免引入无关变量。 2. 巧设未知数：优先直接设所求量为未知数；若关系复杂，可设中间变量为未知数（间接设元）。遇到多个未知量时，设其中一个为x，其余用含x的式子表示。 3. 解后双检验：一验方程解是否正确，二验解是否符合实际意义（如人数为正整数、时间非负）。作答时务必带单位，并检查问题是否有多解（如方案选择需分类讨论）。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 【答案】(1)元 (2)件 【分析】（1）先求出甲、乙两种商品各购进多少件，再求出甲、乙两种商品的利润和即可； （2）设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴(元) ． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1970元的利润． （2）解：设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意，得， 解得． 答：该超市最少需要购进100件甲种商品． 2．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1300件 (2)至少需要增加11辆无人车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设需要增加无人车辆，根据题意列出不等式，求出的范围，结合题意得到的最小值即可解答． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件， 由题意得，， 解得， 答：1辆无人车的日均投递量为1300件； （2）解：设需要增加无人车辆， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴的最小值为11， 答：至少需要增加无人车11辆． 3．（2025·辽宁盘锦·二模）某同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒，请问： (1)该同学冲刺的时间有多长？ (2)如果他想把成绩提高到64秒以内，他至少需要冲刺几秒？ 【答案】(1)5秒 (2)8秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）利用路程时间速度及以6米/秒跑过的路程冲刺阶段跑过的路程列出一元一次方程，求解即可； （2）根据64秒的总路程不低于400米列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该同学冲刺的时间为x秒， ， 解得， 答：该同学冲刺的时间为5秒； （2）解：设冲刺的时间为t秒， ， 解得，， 答：至少需要冲刺8秒． 题型06 二元一次方程组的应用 析典例·建模型 1．（2026·辽宁朝阳·一模）某电商计划购进A、B两种农产品，已知购进2件A产品和3件B产品共需270元，购进3件A产品和2件B产品共需230元． (1)求每件A、B产品的进价分别是多少元？ (2)该电商计划购进A、B两种产品共100件，且A产品的数量不超过B产品数量的3倍，总费用不超过4200元，该电商共有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若每件A产品售价40元，每件B产品售价100元．哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【思路分析】（1）设每件A产品的进价为x元，每件B产品的进价为y元，根据题意列出方程组，解方程组可得结果； （2）设该平台计划购进A产品m件，B产品件，根据题意列出不等式组，解不等组，结合是整数，进行解答即可； （3）设利润为元，根据题意，表示出总利润与的关系，利用一次函数的性质求解即可． 【规范答题】（1）解：设每件A产品的进价为x元，每件B产品的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件A产品的进价为30元，每件B产品的进价为70元； （2）解：设该平台计划购进购进A产品m件，B产品件， 根据题意得： 解得：， 为整数， 可以取70，71，72，73，74，75，共6种取值， 即该商场共有6种进货方案； （3）解：设利润为元，根据题意得： ， ， 随的增大而减小， 当m取最小值时，为最大值， 由（2）可知，m的最小值为70，此时件， 最大利润为元， 答：当购进A产品70件、B产品30件时，获利最大，最大利润为1600元． 研考点·通技法 1. 设两个未知数：分析题意，找到两个关键等量关系。通常问什么设什么，如设人数、单价等为x, y，用未知数表示其余相关量。 2. 列方程组要对应：根据等量关系分别列出两个方程，注意单位统一。常见模型：行程问题（s=vt）、配套问题（比例相等）、盈亏问题等。 3. 解后双检验：一验方程解是否正确，二验解是否符合实际意义（如人数为正整数、时间非负）。作答时务必带单位，并检查问题是否有多解（如方案选择需分类讨论）。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性．已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装． (1)求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装． (2)由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备．若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？ 【答案】(1)每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装 (2)3 【分析】（1）设每台A型设备每小时完成x个电芯的组装，每台B型设备每小时完成y个电芯的组装．由题意，得，解方程组求解即可； （2）设同一时间内启动台A型设备，则启动台B型设备．由题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型设备每小时完成x个电芯的组装，每台B型设备每小时完成y个电芯的组装． 由题意，得 解得 答：每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装． （2）解：设同一时间内启动台A型设备，则启动台B型设备． 由题意，得． 解得． 由m是整数，故m的最小值为3． 答：该厂同一时间内至少需要启动3台A型设备． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 3．（2026·辽宁·模拟预测）解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 【答案】(1)插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列方程． （1）设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元， 由题意得，， 解得． 答：插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元． （2）解：设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车， 由题意得，， 解得． 答：该公司在黄金周至少售出10台纯电式汽车． 4．（2026·辽宁锦州·一模）东海龙宫里有一家珍珠商店，店主用1200元购进了甲、乙两种珍珠，已知甲种珍珠每颗进价12元，乙种珍珠每颗进价10元，店主将甲种珍珠以每颗15元出售，乙种珍珠以每颗12元出售，全部售完后共获利270元． (1)这家珍珠商店购进甲、乙两种珍珠各多少颗？ (2)店主决定再次进货，进价不变，购进甲种珍珠的数量与第一次相同，而乙种珍珠的数量是第一次购进乙种珍珠的数量的2倍．乙种珍珠仍按原价出售，但甲种珍珠需要降价出售，若希望再次销售完毕后获利不少于340元，甲种珍珠每颗最低售价应为多少元？ 【答案】(1)珍珠商店购进甲种珍珠50颗，乙种珍珠60颗 (2)甲种珍珠每颗的最低售价为14元 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题的方法和步骤，列一元一次不等式及解一元一次不等式的方法和过程．在解答的过程中建立等量与不等量关系式是关键． （1）设珍珠商店购进甲种珍珠颗，乙种珍珠颗，根据其进价和利润建立等量关系列出方程组求出其解即可． （2）设甲种珍珠每颗的售价为元，就可以求出甲种珍珠每颗的利润，表示出甲种珍珠的总利润再加上乙种珍珠的总利润就是两种珍珠销售完后的总利润，由题意就可以建立不等式．从而求出其解． 【详解】（1）解：设珍珠商店购进甲种珍珠颗，乙种珍珠颗，由题意，得 ， 解得． 答：珍珠商店购进甲种珍珠50颗，乙种珍珠60颗； （2）解：设甲甲种珍珠每颗的售价为元，由题意得， ， 解得：． 答：甲种珍珠每颗的最低售价为14元． 题型07 一元二次方程的应用 析典例·建模型 1．（2026·辽宁锦州·一模）随着城郊乡村休闲游持续升温，不少农户在自家院内打造特色菜园吸引游客体验农事．某农户计划借助自家院内、两面墙（墙长足够），用栅栏围建一块梯形菜园，已知，，． (1)如图1，若段墙的长度为，求此时与间的距离（结果精确到）； (2)如图2，该农户计划购买的栅栏进行围建，并在边上留一个宽的门．若围建的梯形菜园的面积为，求此时的长．（参考数据：，，） 【思路分析】（1）过点作于点，求出，再利用余弦值求解即可； （2）过点作于点，连接．证明四边形是矩形．设，利用正切值得到，再根据梯形面积列方程求解即可． 【规范答题】（1）解：如图1，过点作于点， ， ， ， 在中，， ， 答：此时与间的距离约为． （2）解：如图2，过点作于点，连接， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， ， ， 整理得，， 解得， 答：当围建的梯形菜园的面积为时，的长约为． 研考点·通技法 1. 设元与建模：根据题意设未知数，找出等量关系（如面积公式、增长率、利润关系）。注意将已知数据转化为代数式，建立一元二次方程。 2. 合理取舍根：解出方程后，根据实际问题筛选根，如边长、人数不能为负或零，增长率通常取正根。若两根都符合，均保留。 3. 检验实际意义：代入原题验证是否满足所有条件（如整数解、不超过限制等）。涉及“互赠照片”等问题需判断是否含顺序（除以2）。最后明确作答。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 【答案】(1)①；② (2)当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元 【分析】（1）根据题意列出表达式即可； （2）由题意，得即可得到答案． 【详解】（1）解：①每个帆布包的销售利润为（元）； ②每天的销售量为（个）； （2）解：由题意，得 解得， (元)，（元）． 答：当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元． 2．（2025·辽宁·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)小红的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键． （1）设其中较短一段长为，则另一段长为，就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于，建立方程求出其解即可； （2）根据题意，判断方程解的情况即可． 【详解】（1）解：其中较短一段长为，则另一段长为， 依题意得， 解得， 因为是较短的一段， 所以，即， 故不合题意，舍去， 答：的值为时，围成的两个正方形面积之和为； （2）解：小红的说法正确 ， 整理得，， ，原方程无实数根， 两个正方形的面积之和不可能等于， 答：小红的说法正确． 4．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)自行车车棚的长为，宽为 (3)自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． （3）解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 题型08 分式方程的应用 析典例·建模型 1．（2026·辽宁·模拟预测）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【思路分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据题意列不等式即可解答． 【规范答题】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）解：设无人机的速度提高到千米/时，则 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 研考点·通技法 1. 找出等量关系：根据题意设未知数，利用“工作效率、行程、利润”等基本公式列出分式方程。注意将实际问题中的量表示为分式形式。 2. 去分母求解：方程两边乘最简公分母化为整式方程，按常规步骤求解。注意常数项也要乘公分母，多项式分子要加括号。 3. 双重检验：先检验解是否为增根（代入公分母），再检验是否符合实际意义（如人数、时间不能为负）。最后作答，增根必须舍去并说明。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁盘锦·一模）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ (2)荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 【答案】(1)购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元 (2)荣庆公司最多可购买18个该品牌台灯 【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可； （2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数是个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元． 根据题意 得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 所以． 答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元； （2）解：设公司购买a个该品牌台灯，则还需要购买个手电筒，由题意得 解得， 答：荣庆公司最多可购买18个该品牌的台灯． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)日前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 【答案】(1)新设备每天生产125件产品 (2)至少需要12天完成任务 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键。 （1）设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品．根据旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天建立方程求解即可； （2）设该企业需要y天完成任务，根据新旧设备生产总量要不少于8000件建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品． 根据题意，得． 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴． 答：新设备每天生产125件产品． （2）解：设该企业需要y天完成任务． 根据题意，得． 解得． ∵y是正整数， ∴y的最小值为12． 答：至少需要12天完成任务． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)，； (2)每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【分析】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． （1）根据方程形式，可判断变量表示的含义； （2）根据表示的含义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 题型9 不等式（组）的应用 析典例·建模型 1．（2025·辽宁沈阳·一模）陈老师的家乡出产青李，因雪峰山特殊的地形形成特殊的气候，所以青李的品质很高．家乡人成立了雪峰商会，其中有一专项就是青李的销售．去年青李成熟之际，商会收集了大量的青李，用A，B两种型号的货车，分两批装箱运往C市销售，具体运输情况如表： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 8 15 B型货车的辆数（单位：辆） 4 10 累计运输物资的吨数（单位：吨） 44 95 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨青李？ （2）已知A型车满载运往C市一趟的运费为540元，B型车满载运往C市一趟的运费需要740元，商会后续又筹集了40吨青李，现需要10辆货车运送青李．为控制运费不超过6600元，试问有哪几种方案可以一次性将这批青李运往目的地？ 【思路分析】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨青李，B种型号货车每辆满载能运y吨青李，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需m辆A种型号货车，（10-m）辆B种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地，由题意列出一元一次不等式组可得出答案． 【规范答题】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨青李，B种型号货车每辆满载能运y吨青李， 依题意，得： 解得： 答：A种型号货车每辆满载能运3吨青李，B种型号货车每辆满载能运5吨青李． （2）设需m辆A种型号货车，（10-m）辆B种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地， 依题意，得： 解得：4≤m≤5， 又∵m为正整数， ∴m=4或5， ∴运输方案有两种：①4辆A种型号货车，6辆B种型号货车； ②5辆A种型号货车，5辆B种型号货车． 研考点·通技法 1. 抓关键词，列不等式：读题时圈出“至少、至多、不少于、不超过”等词，转化为对应的不等号（≥、≤、>、<）。根据题意设未知数，直接列出不等式，注意单位统一。 2. 结合实际问题取整：涉及人数、车辆数、物品件数时，解集需取整数。若求“至少”，结果向上取整（如 x≥5.2则x=6）；若求“至多”，向下取整（如x≤4.8则x=4）。 3. 方案决策用不等式组：若有多重限制条件，列不等式组求公共解集，结合整数解列出所有可行方案。再通过比较各方案的目标值（如费用、利润），选出最优解，作答时明确方案内容。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲种商品和件乙种商品共需元；购进件甲种商品和件乙种商品共需元．甲种商品每件的售价为元，乙种商品每件的售价为元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价； (2)若该商店计划购进甲、乙两种商品共件，实际出售时甲种商品的售价不变，乙种商品打八折出售，且总利润不超过元，则最多能购进乙种商品多少件 【答案】(1)甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元 (2)最多能购进乙种商品件 【分析】（1）设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，列方程组求出、的值即为甲、乙两种商品的进价； （2）设购进乙种商品件，则购进甲种商品件，根据总利润不超过元，列一元一次不等式求出的取值范围，再根据是整数，确定的最大值． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元； （2）解：设购进乙种商品件，则购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得：， 是整数， 的最大值为， 答：最多能购进乙种商品件． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． (1)求排球、足球的单价各为多少？ (2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 【答案】(1)排球的单价为元，足球的单价为元； (2)张老师带的钱不够，最少还差元． 【分析】（）设排球的单价为元，则足球的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设学校购买个足球，则购买个排球，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，设费用为元，再求出与的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解答； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，则足球的单价为元， 依题意得，， 解得（不符合题意，舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为元，足球的单价为元； （2）解：设学校购买个足球，则购买个排球， 依题意得，， 解得， 设费用为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，， ∵，， ∴张老师带的钱不够，最少还差元， 答：张老师带的钱不够，最少还差元． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）为了保护绿水青山，某景区从大门A处仅设置乘环保车、乘船两种交通方式到景点B，乘车需要30分钟到达，乘船需要24分钟到达．已知每隔2分钟发一辆车，每辆车最多坐40人；每隔12分钟发一艘船，每艘船最多坐300人． (1)如果第一辆车与第一艘船同时从大门A出发，设第a辆车到达景点B时，第b艘船恰好也到达景点B，求a与b的关系式； (2)现有3100名游客在大门A处，开始时，车与船同时出发，最后将全部游客送到景点B处时，所需的最短时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)94分钟 【分析】（1）根据第辆车到达景点B时，第b艘船恰好也到达景点B，列出等量关系式，然后化简即可； （2）设需要x艘船，根据题意列出不等式组，求出解集，选出合适的整数值，最后计算出剩下的人分别用车和船的费用，比较大小即可； 【详解】（1）解：由题意可得 ， 化简，得， 即a与b的关系式是． （2）解：设需要x艘船， 由（1）知，当所需要的车的辆数为时，车与船同时到达景点B， 则 解得， ∵x为整数， ∴， ∴， 此时剩余游客的人数为． ∵， ∴若用船送剩余游客，则船的数量为（艘），所需时间为（分钟）， 若用车送剩余游客，则车的数量为（辆），所需时间为（分钟）． ∵， ∴用6艘船和33辆车送全部游客到达景点B所需时间最短，最短为94分钟． 【点睛】本题考查了列代数式、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意列出关系式是解题关键． 4．（2025·辽宁铁岭·三模）某商场新购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价． (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共90件，且购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍．若甲商品按每件160元销售，乙商品按每件90元销售． ①为满足销售完甲、乙两种商品后获得的总利润不低于3300元，则购进甲商品的件数最多为多少件？ ②随着甲商品销量的逐渐增加，以及乙商品销量的逐渐减少，于是总部下达命令：商场要调整销售策略，要求甲商品每件销售利润随销售数量的变化而变化．当购进甲商品n件时，甲每件利润变为元，乙每件利润仍然为30元，求当甲商品购进多少件时，商场获得利润最大？ 【答案】(1)甲商品每件进价为100元，乙商品每件进价为60元 (2)①购进甲商品的件数最多为30件；②当甲商品购进90件时，商场获得利润最大，最大利润为4590元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是： （1）设甲商品的进价是x元/件，乙商品的进价是y元/件，根据“购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元”列方程组求解即可； （2）①设购进m件甲商品，则购进件乙商品，根据“购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍；总利润不低于3300元”列不等式组求解即可； ②设总利润为 W 元，根据总利润=甲的利润+乙的利润求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲商品的进价是x元/件，乙商品的进价是y元/件， 根据题意，得：， 解得， 答：甲商品每件进价为100元，乙商品每件进价为60元； （2）解：①设购进m件甲商品，则购进件乙商品． 根据题意，得：， 解得：， 所以m的最大值为30． 答：购进甲商品的件数最多为30件； ②设总利润为 W 元， 则． ∴． ∵，，，又， ∴开口向下，W有最大值． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 但因为总共购进90件， ∴n的取值范围是． ∵当时，W随n的增大而增大， ∴当时，W的值最大，即 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $