第六单元 长方体和正方体（期末知识清单）五年级数学下学期（苏教版）

第六单元 长方体和正方体 期末知识清单讲义 知识点一：长方体和正方体的认识 1、长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2、正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 3、正方体、长方体的展开图 （1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 知识点二：长方体和正方体的表面积 1、长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 2、正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 3、利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 知识点三：体积和容积及单位的认识及换算 1、体积的意义。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 2、容积的意义。 能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3、体积单位。 计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 4、容积单位。 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 5、相邻体积单位间的进率。 每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 6、高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 7、体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 知识点四：长方体和正方体的体积 1、长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2、正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3、运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4、体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 题型1：长方体和正方体的认识 【例1】一个长方体物品的长、宽、高分别是24cm、10cm、4cm（如下图所示），这个物品有可能是（    ）。 A．信封 B．书柜 C．铅笔盒 【练1】团建活动中，同学们用同样大小的小正方体积木搭建一个新的正方体，至少需要（    ）个。 A．4 B．8 C．16 【练2】（ ）图是长方体，（ ）图是正方体。 题型2：长方体和正方体棱长的应用 【例2】一个长方体有两个相对的面是正方形，正方形的边长是6cm，这个长方体的棱长总和是96cm，它的长是（    ）厘米。 A．16 B．12 C．8 D．10 【练3】用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 【练4】一根铁丝正好可以做一个棱长6分米的正方体框架，如果用同样长的铁丝做一个长12分米，宽5分米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少厘米？ 题型3：长方体和正方体的展开图 【例3】下图是一个长方体纸盒拆开后的图形，这个长方体纸盒是（    ）。（填序号） A． B． C． 【练5】马年将至，贝贝工艺厂设计了很多形状的挂坠，如图展示的是一款正方体形状的展开图，和“如”字面相对的面是（    ）字面。 A．事 B．万 C．如 D．意 【练6】一个写有字母的正方体盒子分别按图①、图②所示的方式摆放。仔细观察，把它拆开后，每个面上分别是哪个字母？填一填。 题型4：长方体和正方体的表面积 【例4】计算下面长方体和正方体的表面积和体积。 【练7】计算下列图形的表面积和体积。 【练8】计算下列图形的表面积和体积。 题型5：长方体和正方体表面积的应用 【例5】红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？ 【练9】儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 【练10】欢欢家进行装潢，需要粉刷家里所有的屋顶和墙壁。她量出自己卧室长4.5米，宽4米，高3米，算出卧室里门窗和衣柜的面积一共有12.3平方米，那她卧室粉刷的面积有多少平方米？ 题型6：无盖型长方体和正方体 【例6】手工课上，丽丽用卡纸制作一个无盖的正方体笔筒，棱长是10厘米，至少需要多少平方厘米卡纸？ 【练11】张老师做一个棱长是80厘米的正方体无盖鱼缸，每平方米的费用是160元，一共需要付多少元？ 【练12】当今社会中，在家中养鱼已成为一种越来越流行的爱好和消遣方式。蕾蕾家有一个正方体玻璃鱼缸，它的棱长为3.2分米。制作这个正方体鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖） 题型7：组合图形的表面积 【例7】把两个长是9厘米、宽是6厘米、高是4厘米的礼品盒包装在一起，至少要用（    ）平方厘米的包装纸。 A．408 B．348 C．384 D．248 【练13】把一根长4米、宽30厘米、高30厘米的长方体木料截成完全相同的两段，表面积最少增加（ ）平方米。 【练14】有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 题型8：立体图形的切拼（表面积） 【例8】东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 【练15】如下图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的6个面的正中心各挖去一个边长1厘米的正方形的孔和对面打通，做成一个零件，它的表面积是（ ）。 【练16】如下图所示的是一个领奖台。把这个领奖台露在外面的部分刷上油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 题型9：体积和容积的认识 【例9】东东将新买的一瓶饮料（净含量：625毫升）浸没在一个装满水的盆中，盆中溢出的水（    ）。 A．正好625毫升 B．大于625毫升 C．不足625毫升 D．无法确定 【练17】一瓶碳素墨水的外包装盒上印有“净含量：60毫升”的字样。这里的“60毫升”指的是（    ）。 A．包装盒的体积 B．包装盒的容积 C．墨水瓶的体积 D．瓶内所装墨水的体积 【练18】一只纯净水桶里面装了12L的水，12L是（    ）。 A．水的体积 B．水桶的体积 C．水桶的容积 D．水的容积 题型10：体积和容积单位的认识及选择 【例10】在括号里填上适当的单位。 一瓶矿泉水约500（ ）；一个集装箱的容积约40（ ）。 【练19】在下面括号内填上合适的数或单位。 一个水壶的容积约为3（ ）    一块香皂的体积大约是200（ ） 一个鞋盒的体积约为4（ ）    一瓶眼药水的容积是16（ ） 一个书柜所占的空间是1.32（ ）    教室的占地面积是80（ ） 【练20】在下面括号里填上合适的单位。 （1）一间教室所占空间大约240（ ）。 （2）一瓶酱油大约500（ ）。 （3）一辆小汽车油箱容积是50（ ）。 （4）一张床的占地面积大约是3.2（ ）。 题型11：体积容积的大小比较 【例11】下面（    ）的体积最接近1立方厘米。 A．1个西瓜 B．1个鸡蛋 C．1粒花生米 D．1粒黄豆 【练21】把两块石头分别放在甲、乙两个相同的杯子中，若注满水，则甲杯里的水和乙杯里的水相比，（    ）。 A．甲杯里的多 B．乙杯里的多 C．一样多 D．无法确定 【练22】观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（    ）。    A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定 题型12：长方体和正方体的体积 【例12】计算下面图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 【练23】计算下面图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 【练24】计算下面图形的表面积和体积。          题型13：长方体和正方体体积的应用 【例13】他们在长隆欢乐世界游玩时，看到一位魔术师把一个棱长为30厘米的正方体冰块，放进一个密闭的盒子里，瞬间变成了一个底面积是20平方厘米的长方体冰条，你知道长方体的冰条高多少米吗？ 【练25】一个花坛（如图），底面是边长1.5米的正方形，四周用木条围成，高0.8米。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米的泥土？（木条的厚度忽略不计） 【练26】石雕，指用各种可雕、可刻的石头，创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象，是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长6分米的正方体石料制作石雕，如果1立方分米的石料重2.5千克，这块石料重多少千克？ 题型14：长方体和正方体的容积 【例14】计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【练27】一个长方体保温箱从外面量的尺寸为长6分米，宽4分米，高3分米。如果保温板厚5厘米，那么这个保温箱的容积是多少升？ 【练28】一辆汽车的油箱是一个长方体，从里面量，长为5分米，宽为3.2分米，高为4分米。 （1）做这个油箱至少需要多少平方分米铁皮？（接缝处所用材料略去不计） （2）如果每升油重0.85千克，这个油箱最多能装油多少千克？ 题型15：体积容积的单位间的换算 【例15】6500立方厘米＝（ ）立方分米＝（ ）升   10.6立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米 （ ）毫升＝（ ）立方分米＝5.3升 【练29】7.02立方米＝（ ）立方分米    700毫升＝（ ）升 3400立方厘米＝（ ）立方分米    1.2升＝（ ）立方厘米 【练30】8500＝（ ）    6.42L＝（ ）mL （ ）＝225    3080＝（ ）L（ ）mL 题型16：立体图形的切拼（体积） 【例16】将一个长15厘米、宽9厘米、高6厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，截成的正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．3375 B．810 C．729 D．216 【练31】下图是一个长3厘米、宽和高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积和体积发生什么变化（    ）。 A．表面积变大，体积变小 B．表面积变小，体积变小 C．表面积变大，体积变大 D．表面积变小，体积变大 【练32】如图，把3个棱长是5cm的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）cm3，这时表面积比原来减少（ ）cm2。 题型17：组合图形的体积 【例17】一个长方体高减少2cm之后，表面积减少了40cm2，剩下的部分正好是个正方体（如图所示），原来长方体的体积是（    ）。 A．175cm3 B．125cm3 C．190cm3 D．无法确定 【练33】如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【练34】如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 题型18：不规则物体的体积 【例18】小明用实验来测量一个土豆的体积。先在量杯中装入600毫升水，然后将土豆浸没在量杯中，此时量杯液面上升至800毫升，则土豆的体积是（    ）。 A．600立方厘米 B．1400立方厘米 C．800立方厘米 D．200立方厘米 【练35】一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是（ ）。 【练36】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入60升水，水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 题型19：体积的等积变形 【例19】一个棱长6厘米的正方体容器装满水，将水全部倒入一个长9厘米、宽8厘米的长方体空容器中，水深（    ）厘米。 A．2 B．3 C．4.5 D．6 【练37】将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为（ ）平方厘米。 【练38】如图，有长方体容器A和B，容器A是空的，容器B中有水，水深24厘米。若将容器B中的水倒一部分给A，使得两个容器内的水深相等；这时两个容器内的水深是多少厘米？ 一、选择题 1．数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 2．某小区安装了一部电梯，从里面量，长1.4米，宽1米，高2.2米，如果一个人乘电梯平均占地约0.14平方米，这部电梯一次最多能容纳（    ）人。 A．10 B．12 C．14 D．24 3．小丽制作了一个正方形礼品盒（如图），相对的面图案相同。如果将这个礼品盒展开，可能是（    ）。 A．B．C．D． 4．下面说法正确的是（    ）。 A．微波炉的容积就是微波炉的体积 B．用钢笔吸一次墨水，大约能吸1～2mL C．3.78＝3.78L D．棱长是6cm的正方体的表面积和体积相等 5．下图是一个无盖的长方体，计算它的表面积错误的是（    ）。 A．12×8×2＋8×5×2＋12×5 B．（12＋5）×2×8＋12×5 C．（12×5＋12×8＋8×5）×2 D．（12×5＋12×8＋8×5）×2－12×5 6．用几个体积为1立方厘米的正方体摆成一个物体。下面是从不同的方向看到物体的图形。这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．5 B．6 C．7 D．8 7．一盒果汁的包装盒从外面量，长10厘米，宽4厘米，高12厘米，这盒果汁的净含量可能是（    ）毫升。 A．120 B．400 C．470 D．600 8．如图，一个边长为12dm的正方体，从顶点挖去一个棱长为3dm的小正方体，以下结论正确的是（    ）。 A．表面积不变，体积变小 B．表面积不变，体积不变 C．表面积变小，体积变小 D．表面积变小，体积不变 二、填空题 9．用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要（ ）个棱长是1厘米的小正方体。 10．小云从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面，展开后如图所示。这个长方体纸盒的底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 11．一个底面是正方形的长方体，高20厘米，侧面展开是正方形，这个长方体的容积是（ ）立方厘米。 12．有一块边长1米的正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长2分米的小正方形，做成了一个无盖长方体水槽（如图）。这个水槽的占地面积是（ ）平方分米，能盛水（ ）升。 13．在（    ）里填上合适的数或单位名称。 一台洗衣机的容积约是150（ ）      一间教室的占地面积约是70（ ） 0.65立方分米＝（ ）立方厘米       450（ ）＝4.5（ ） 14．用一根铁丝刚好围成一个长9分米、宽7分米、高8分米的长方体灯箱框架，如果把它改围成一个正方体框架（接头处忽略不计且铁丝没有剩余），那么这个正方体的棱长是（ ）分米，表面积是（ ）平方分米。 15．把长方体纸盒沿着边剪开并平铺在桌面上，且剪开后要保证所有的面连在一起。如图1的长方体纸盒，需要剪开（ ）条边。若是图2中的长方体纸盒，需要剪开（ ）条边。 16．乐乐和爸爸一起做了一个木质的玩具收纳箱（无盖），长10分米，宽8分米，高7分米。他们制作这个收纳箱至少需要（ ）平方分米的木板；能收纳玩具的空间大约是（ ）立方分米。 三、计算题 17．计算下面长方体的表面积和正方体的体积。 18．求下面立体图形的表面积和体积。（单位：m） 四、作图题 19．如图每小格的边长表示1厘米，请在图中画出棱长是2厘米的无盖正方体展开图。 五、解答题 20．科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 21．有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7.2厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 22．一种牛奶采用长方体盒密封包装，从外面测量，长7厘米，宽4厘米，高10厘米。盒子外标签标注“净含量是280毫升”，请判断净含量的标注是否虚假，用计算说明原因。 23．如图，一个长方体玻璃缸中水深5分米，将一块棱长是6分米的正方体铁块投入水中，玻璃缸里的水会溢出多少立方分米？ 24．王大伯家要修建一个长8米，宽5米，深2米的蓄水池，现在要给这个蓄水池的内壁和底部贴上瓷砖，至少需要多少平方米瓷砖？贴好瓷砖后，要往蓄水池里注入多少立方米的水才能使水深达1.2米？ 25．夏叔叔有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，他想做一个高5厘米的无盖长方体容器。（焊接处和铁皮厚度忽略不计）。 （1）图1是他想出的方案，按这个方案设计出的长方体容器容积是多少？ （2）请你设计出高不变，但容积比它大的方案。在图2中画一画，并算出它的容积。 26．小敏家汽车的油箱是一个近似的长方体。从里面量长大约是50厘米，宽大约是40厘米，高大约是30厘米。92号无铅汽油每升7.25元。 （1）如果给这个油箱加满92号无铅汽油，带600元够吗？ （2）这辆车每行100千米大约耗油8升，这一箱油能从小敏家开到800千米外的南京吗？ 27．做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽40厘米，高50厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ （2）鱼缸内装有30厘米深的水，现在放入一个珊瑚后，水深35厘米，这个珊瑚的体积是多少立方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 长方体和正方体 期末知识清单讲义 知识点一：长方体和正方体的认识 1、长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2、正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 3、正方体、长方体的展开图 （1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 知识点二：长方体和正方体的表面积 1、长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 2、正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 3、利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 知识点三：体积和容积及单位的认识及换算 1、体积的意义。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 2、容积的意义。 能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3、体积单位。 计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 4、容积单位。 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 5、相邻体积单位间的进率。 每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 6、高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 7、体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 知识点四：长方体和正方体的体积 1、长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2、正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3、运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4、体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 题型1：长方体和正方体的认识 【例1】一个长方体物品的长、宽、高分别是24cm、10cm、4cm（如下图所示），这个物品有可能是（    ）。 A．信封 B．书柜 C．铅笔盒 【答案】C 【分析】1cm大约为食指的宽度，24厘米大约2拃长，10cm大约手掌宽度多一些，根据生活常识分析各选项。 【解答】A．信封非常薄，高度可以忽略不计，所以不会是信封； B．书柜的长、宽、高都在1－2米，与题干长度相差较远，所以不会是书柜； C．铅笔盒长24cm，宽10cm，高4cm符合生活实际，所以可能是铅笔盒。 即这个物品有可能是铅笔盒。 【练1】团建活动中，同学们用同样大小的小正方体积木搭建一个新的正方体，至少需要（    ）个。 A．4 B．8 C．16 【答案】B 【分析】同样大小的小正方体搭建新的正方体，每排至少搭2个，搭同样的2排，第一层需要2×2，也就是4个，搭这样的2层，4再乘2即可。 【解答】2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 【练2】（ ）图是长方体，（ ）图是正方体。 【答案】A，D C 【分析】长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。观察四个选项的立体图形，如果图形的6个面都是完全相同的正方形，那么它就是正方体；如果图形的面是长方形或有两个相对面是正方形的长方形组合，那么它就是长方体。 【解答】图A是由6个长方形围成的立体图形，它是长方体； 图B有两个面是梯形，不是长方体，也不是正方体； 图C是由6个正方形围成的立体图形，它是正方体； 图D是由4个长方形，2个正方形围成立体图形，它是长方体； 所以图A，图D是长方体，图C是正方体。 题型2：长方体和正方体棱长的应用 【例2】一个长方体有两个相对的面是正方形，正方形的边长是6cm，这个长方体的棱长总和是96cm，它的长是（    ）厘米。 A．16 B．12 C．8 D．10 【答案】B 【分析】因为长方体有两个相对的面是正方形，正方形边长6cm，所以长方体的高和宽都是6cm。长方体棱长总和（长＋宽＋高），已知棱长总和，可以反求出长。 【解答】 （厘米） 它的长是厘米。 【练3】用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 【答案】10 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出铁丝的总长，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，再求出高。 【解答】10×12＝120（厘米） 120÷4－12－8 ＝30－12－8 ＝10（厘米） 【练4】一根铁丝正好可以做一个棱长6分米的正方体框架，如果用同样长的铁丝做一个长12分米，宽5分米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】先根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，得到铁丝的总长度。这根铁丝的长度不变，正方体的棱长总和就是长方体的棱长总和，再根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用铁丝总长÷4，求出长、宽、高的和。最后用长、宽、高的和减去长和宽，得到高，注意单位的转化。据此解答。 【解答】6×12＝72（分米） 72÷4＝18（分米） 18－12－5＝1（分米） 1分米＝10厘米 答：这个长方体框架的高是10厘米。 题型3：长方体和正方体的展开图 【例3】下图是一个长方体纸盒拆开后的图形，这个长方体纸盒是（    ）。（填序号） A． B． C． 【答案】B 【分析】观察展开图的形状，能发现它的长、宽、高的比例关系：有一组面的面积较大，另外两组面的面积相对较小，且整体的“长”明显大于“宽”和“高”。据此进行分析。 【解答】根据分析： A.选项中的长方体每个面的面积都相差不大，和展开图的比例不一致； B.选项中的长方体的长明显大于宽和高，和展开图的比例一致； C.选项中的长方体有两组面的面积较大，另外一组面的面积相对较小，和展开图的比例不一致。 故答案为：B 【练5】马年将至，贝贝工艺厂设计了很多形状的挂坠，如图展示的是一款正方体形状的展开图，和“如”字面相对的面是（    ）字面。 A．事 B．万 C．如 D．意 【答案】B 【分析】先将展开图还原为正方体，或者直接观察展开图中面的位置关系，确定出“如”字面相对的面是什么。 【解答】以“万”字为底面，“年”字在后面立起来，“意”字在前面立起来，“马”字在左面，“事”字在右面，“如”字在上面，所以“如”字面相对的面是“万”。 【练6】一个写有字母的正方体盒子分别按图①、图②所示的方式摆放。仔细观察，把它拆开后，每个面上分别是哪个字母？填一填。 【答案】 【分析】正方体有 6 个面，每个面都与 4 个面相邻，与 1 个面相对。在正方体中，若两个面是相邻面，则它们不可能是相对面；反之，若排除所有相邻面，剩下的唯一面就是相对面。 【解答】从题目给出的立体图（图①、图②）中，提取每个可见面的相邻面信息，例如： 从图①得 A 与 B、C 相邻； 从图②得 B 与 D、E 相邻。 那么B就填在中心位置，那么右边空填A。 题型4：长方体和正方体的表面积 【例4】计算下面长方体和正方体的表面积和体积。 【答案】1360m2； 3200m3 150cm2；125cm3 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出它的表面积和体积。 根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出它的表面积和体积。 【解答】长方体的表面积： （20×10＋20×16＋10×16）×2 ＝（200＋320＋160）×2 ＝680×2 ＝1360（m2） 长方体的体积： 20×16×10 ＝320×10 ＝3200（m3） 正方体的表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 正方体的体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 所以，长方体的表面积是1360m2，它的体积是3200m3。正方体的表面积是150cm2；它的体积是125cm3。 【练7】计算下列图形的表面积和体积。 【答案】长方体的表面积：112cm2；体积：64cm3 正方体的表面积：294 cm2；体积：343cm3 【分析】根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），长方体的体积公式V＝abh，正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【解答】长方体的表面积： （8×4＋8×2＋2×4）×2 ＝（32＋16＋8）×2 ＝56×2 ＝112（cm2） 长方体的体积： 8×4×2 ＝32×2 ＝64（cm3） 所以，长方体的表面积是112cm2，长方体的体积是64cm3。 正方体的表面积： 7×7×6 ＝49×6 ＝294（cm2） 正方体的体积： 7×7×7 ＝49×7 ＝343（cm3） 所以，正方体的表面积是294 cm2，正方体的体积是343cm3。 【练8】计算下列图形的表面积和体积。 【答案】350cm2；375cm3；96 dm2；64 dm3 【分析】长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（a、b、h分别为长、宽、高）、体积公式V ＝abh； 正方体表面积公式S＝6（a为棱长）、体积公式V＝。结合图形给出的边长数据，代入公式计算。 【解答】S＝（ab＋ah＋bh）×2 ＝（5×5＋5×15＋5×15）×2 ＝（25＋75＋75）×2 ＝175×2 ＝ 350（cm2） V＝abh ＝ 5×5×15 ＝375（cm3） S＝6 ＝ 6× ＝ 6×16 ＝96（dm2） V＝ ＝ ＝4×4×4 ＝64（dm3） 题型5：长方体和正方体表面积的应用 【例5】红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】宽：4分米，卡纸：88平方分米 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可以先求出一组长、宽、高的和，已知长和高，即可求出宽。给长方体框架表面贴卡纸，求卡纸的面积就是求长方体的表面积，利用长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【解答】长、宽、高的和为：48÷4＝12（分米），则宽为：12－6－2＝4（分米）； 表面积为： （6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝44×2 ＝88（平方分米） 答：宽是4分米，至少需要88平方分米的卡纸。 【练9】儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 【答案】576平方厘米 【分析】正方体饼干盒的上下面不贴，需要贴彩纸的面只有4个。计算正方体棱长×棱长×4即可计算得出答案。 【解答】一个饼干盒至少需要彩纸的面积为： 12×12×4 ＝144×4 ＝576（平方厘米） 答：一个饼干盒至少需要彩纸576平方厘米。 【练10】欢欢家进行装潢，需要粉刷家里所有的屋顶和墙壁。她量出自己卧室长4.5米，宽4米，高3米，算出卧室里门窗和衣柜的面积一共有12.3平方米，那她卧室粉刷的面积有多少平方米？ 【答案】56.7平方米 【分析】卧室粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和衣柜的面积。 【解答】4.5×4＋4.5×3×2＋4×3×2－12.3 ＝18＋27＋24－12.3 ＝56.7（平方米） 答：她卧室粉刷的面积有56.7平方米。 题型6：无盖型长方体和正方体 【例6】手工课上，丽丽用卡纸制作一个无盖的正方体笔筒，棱长是10厘米，至少需要多少平方厘米卡纸？ 【答案】500平方厘米 【分析】这道题中已知丽丽用卡纸制作一个无盖的正方体笔筒，棱长是10厘米，则这个正方体笔筒的表面积计算方法为：棱长×棱长×5。将棱长是10厘米代入计算即可。 【解答】 （平方厘米） 答：至少需要500平方厘米卡纸。 【练11】张老师做一个棱长是80厘米的正方体无盖鱼缸，每平方米的费用是160元，一共需要付多少元？ 【答案】512元 【分析】做一个棱长是80cm的正方体无盖鱼缸，所以其表面积为5个面的面积之和，正方体一个面的面积为：S＝a×a（a表示棱长），即无盖鱼缸面积为：S＝a×a×5，棱长是80厘米，把数据代入计算即可得出做这个无盖鱼缸所需要的面积，把计算得出的结果单位换算成平方米，然后再与160相乘，即可得出做这个无盖鱼缸所需要的费用。 【解答】80×80×5＝32000（平方厘米） 1平方米＝10000平方厘米 32000÷10000＝3.2（平方米） 160×3.2＝512（元） 答：一共需要付512元。 【练12】当今社会中，在家中养鱼已成为一种越来越流行的爱好和消遣方式。蕾蕾家有一个正方体玻璃鱼缸，它的棱长为3.2分米。制作这个正方体鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖） 【答案】51.2平方分米 【分析】正方体鱼缸上面没有盖，所以求制作正方体鱼缸需要的玻璃面积就是求正方体5个面的面积之和。根据正方形面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘5即可得到总面积。 【解答】一个面的面积：3.2×3.2＝10.24（平方分米） 5个面的面积：10.24×5＝51.2（平方分米） 答：制作这个正方体鱼缸至少需要51.2平方分米的玻璃。 题型7：组合图形的表面积 【例7】把两个长是9厘米、宽是6厘米、高是4厘米的礼品盒包装在一起，至少要用（    ）平方厘米的包装纸。 A．408 B．348 C．384 D．248 【答案】B 【分析】要使包装纸最少，就要把两个礼品盒最大的面（9×6）叠在一起，这样减少的表面积最大，此时长方体包装纸长9厘米、宽6厘米、高4×2＝8厘米，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”即可求出需要包装纸的面积。据此解答。 【解答】4×2＝8（厘米） （9×6＋9×8＋6×8）×2 ＝（54＋72＋48）×2 ＝（126＋48）×2 ＝174×2 ＝348（平方厘米） 所以至少要用348平方厘米的包装纸。 【练13】把一根长4米、宽30厘米、高30厘米的长方体木料截成完全相同的两段，表面积最少增加（ ）平方米。 【答案】0.18 【分析】根据题意，要使表面积增加最少，那么从长的中间垂直于长截成两段，求出增加的两个截面的面积即可。1米＝100厘米。 【解答】30厘米＝0.3米 0.3×0.3×2＝0.18（平方米） 【练14】有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】1064平方厘米 【分析】本题要求计算长方体切割成小正方体后表面积的增加量。 首先，根据长方体的尺寸和小正方体的棱长，计算可切割的小正方体数量。 其次，计算每个小正方体的表面积和总表面积。然后，计算原长方体表面积。 最后，求差。 据此列式解答即可。 【解答】计算小正方体的数量： 长方向：10 ÷ 2 ＝ 5（个） 宽方向：8 ÷ 2 ＝ 4（个） 高方向：6 ÷ 2 ＝ 3（个） 小正方体总数：5 × 4 × 3 ＝20×3 ＝ 60（个） 计算每个小正方体的表面积： （平方厘米） 计算所有小正方体的总表面积： （平方厘米） 计算原长方体的表面积： （平方厘米） 计算增加的表面积： （平方厘米） 答：这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了1064平方厘米。 【点睛】增加的原因是切割后内部面暴露，增加了表面积。 切1次增2个面，小正方体总表面积减原长方体表面积，即得增量。 题型8：立体图形的切拼（表面积） 【例8】东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 【答案】B 【分析】分别计算出剩下部分的表面积，比较即可。正方体表面积＝棱长×棱长×6。 A．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积－边长1厘米的正方形面积×2； B．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积＋长5厘米宽1厘米的长方形面积×4－边长1厘米的正方形面积×2； C．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积＋长5厘米宽1厘米的长方形面积×2－边长1厘米的正方形面积×2； 【解答】A．5×5×6－1×1×2 ＝150－2 ＝148（平方厘米） B．5×5×6＋5×1×4－1×1×2 ＝150＋20－2 ＝168（平方厘米） C．5×5×6＋5×1×2－1×1×2 ＝150＋10－2 ＝158（平方厘米） 168＞158＞148 在图的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 故答案为：B 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，能看明白图示中剩下部分的表面积的组成。 【练15】如下图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的6个面的正中心各挖去一个边长1厘米的正方形的孔和对面打通，做成一个零件，它的表面积是（ ）。 【答案】72平方厘米/72cm2 【分析】根据题干分析可得，这个零件的表面积＝棱长3厘米的正方体的表面积＋正方体内部6个长、宽、高分别为1厘米、1厘米、（3－1）÷2厘米的长方体的侧面积的和，再减去6个正方体面上的边长为1厘米的6个面的面积，据此列式计算。 【解答】（3－1）×2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3×3×6＋1×1×4×6－1×1×6 ＝54＋24－6 ＝72（平方厘米） 它的表面积是72平方厘米。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用正方体和长方体表面积公式。 【练16】如下图所示的是一个领奖台。把这个领奖台露在外面的部分刷上油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 【答案】4.88平方米 【分析】领奖台上面由3个长为0.8米，宽为0.5米的长方形组成，根据长方形面积公式 S＝长×宽，上面的总面积为1.2平方米； 前面由3个长方形组成，高度分别为0.6米，（0.4＋0.4）米，0.4米，宽度均为0.8米；后面与前面面积相等，前面（或后面）的总面积为2.88平方米； 左面和右面的面积相同由高度为0.8米、宽度为0.5米的长方形组成，左右面总面积为0.8平方米； 将上面，前面（后面），左面（右面）的面积相加，得到刷油漆的总面积为5.2平方米。 【解答】前后面： （平方米） 左面和右面：（平方米） 上面：（平方米） 总面积：（平方米） 答：刷油漆的面积是4.88平方米。 题型9：体积和容积的认识 【例9】东东将新买的一瓶饮料（净含量：625毫升）浸没在一个装满水的盆中，盆中溢出的水（    ）。 A．正好625毫升 B．大于625毫升 C．不足625毫升 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意可知，625毫升是这瓶饮料的净含量，所以饮料瓶的体积大于625毫升； 然后根据盆里溢出的水等于饮料瓶的体积，可得盆里溢出的水比625毫升多。 【解答】根据分析可知： 东东将新买的一瓶饮料（净含量：625毫升）浸没在一个装满水的盆中，盆中溢出的水大于625毫升。 故答案为：B 【练17】一瓶碳素墨水的外包装盒上印有“净含量：60毫升”的字样。这里的“60毫升”指的是（    ）。 A．包装盒的体积 B．包装盒的容积 C．墨水瓶的体积 D．瓶内所装墨水的体积 【答案】D 【分析】“净含量”指包装内实际容纳物品的体积。体积是物体所占空间的大小，容积是容器能容纳的体积。碳素墨水的外包装盒上标注的“净含量：60毫升”是墨水瓶内所装墨水的体积是60毫升，据此逐项分析，进行解答。 【解答】A．“包装盒的体积”指整个盒子占据的空间，包含包装材料，数值应大于60毫升，不符合题意。 B．“包装盒的容积”是包装盒能容纳物体的体积，包装盒里还有墨水瓶以及其它空间，不是墨水的净含量，数值应大于60毫升，不符合题意。 C．“墨水瓶的体积”，是指墨水瓶所占的空间，不是墨水的净含量，数值应大于60毫升，不符合题意。 D．“瓶内所装墨水的体积”是指装的墨水的净含量，符合题意。 故答案为：D 【练18】一只纯净水桶里面装了12L的水，12L是（    ）。 A．水的体积 B．水桶的体积 C．水桶的容积 D．水的容积 【答案】A 【分析】体积是物体所占空间的大小，用于描述“物体本身的量”。容积是容器所能容纳物体的体积，用于描述“容器的容纳能力”。 【解答】A．水是物体，12L表示水所占空间的大小，即水的体积，该选项正确。 B．水桶的体积是水桶本身所占空间的大小，与桶内水的体积无关，该选项错误。 C．水桶的容积是水桶能容纳物体的最大体积，题目未表明装满，12L不是水桶的容积，该选项错误。 D．容积是容器的属性，不能说水的容积，该选项错误。 所以12L是水的体积。 故答案为：A 题型10：体积和容积单位的认识及选择 【例10】在括号里填上适当的单位。 一瓶矿泉水约500（ ）；一个集装箱的容积约40（ ）。 【答案】毫升/mL 立方米/m3 【分析】1毫升大概是1立方厘米的容量，约等于20滴水的体积，1立方米大概是一个边长1米的正方体的体积，据此解答。 【解答】一瓶矿泉水约500毫升；一个集装箱的容积约40立方米。 【练19】在下面括号内填上合适的数或单位。 一个水壶的容积约为3（ ）    一块香皂的体积大约是200（ ） 一个鞋盒的体积约为4（ ）    一瓶眼药水的容积是16（ ） 一个书柜所占的空间是1.32（ ）    教室的占地面积是80（ ） 【答案】升/L 立方厘米/cm3 立方分米/dm3 毫升/mL 立方米/m3 平方米/m2 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，一个课桌的体积大约是1立方米；常见的容积单位有升和毫升，计量液体的体积常用容积单位，一盒牛奶大约是250毫升，一瓶矿泉水大约是500毫升，一桶食用油大约是5升；“平方米”用于建筑或室内面积，1平方米大约是桌面的大小，据此联系生活实际和题目中的数据选择合适的单位。 【解答】分析可知，一个水壶的容积约为3升；一块香皂的体积大约是200立方厘米； 一个鞋盒的体积约为4立方分米；一瓶眼药水的容积是16毫升； 一个书柜所占的空间是1.32立方米；教室的占地面积是80平方米。 【练20】在下面括号里填上合适的单位。 （1）一间教室所占空间大约240（ ）。 （2）一瓶酱油大约500（ ）。 （3）一辆小汽车油箱容积是50（ ）。 （4）一张床的占地面积大约是3.2（ ）。 【答案】（1）立方米/m3 （2）毫升/mL （3）升/L （4）平方米/m2 【解答】（1）一间教室是一个长方体，长、宽、高分别用米作为单位，则得到的空间大约占240立方米。 （2）一瓶普通矿泉水的容积大概是500毫升，一瓶酱油的容积与矿泉水相当，则一瓶酱油大约500毫升。 （3）一般家用车的油箱容积在50升左右，则一辆小汽车油箱容积是50升。 （4）一张床的占地面积是一个长方形，则长、宽所用单位是米，则一张床的占地面积大约是3.2平方米。 题型11：体积容积的大小比较 【例11】下面（    ）的体积最接近1立方厘米。 A．1个西瓜 B．1个鸡蛋 C．1粒花生米 D．1粒黄豆 【答案】C 【分析】棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米。生活中，手指尖的大小，一颗小骰子的大小或者一颗蚕豆的大小，大约都是1立方厘米。 【解答】A．1个西瓜的体积非常大，通常以立方分米或立方厘米的几千倍来计算，远远大于1立方厘米。 B．1个鸡蛋的体积大约是50立方厘米左右，比1立方厘米大得多。 C．1粒花生米的体积大约是1立方厘米左右，与1立方厘米比较接近。 D．1粒黄豆的体积非常小，大约是0.1立方厘米左右，比1立方厘米小得多。 即1粒花生米的体积最接近1立方厘米。 【练21】把两块石头分别放在甲、乙两个相同的杯子中，若注满水，则甲杯里的水和乙杯里的水相比，（    ）。 A．甲杯里的多 B．乙杯里的多 C．一样多 D．无法确定 【答案】A 【分析】两个杯子是相同的，也就是说杯子的容积一样。当往杯子里注满水时，水的体积＝杯子容积－石头的体积。甲杯子里的石头小，乙杯子里的石头大。因为杯子容积相同，那么石头体积越小，剩下能装水的体积就越大，甲杯石头体积小。甲杯里水的体积＝杯子容积－小石头体积；乙杯里水的体积＝杯子容积－大石头体积。 【解答】水的体积＝杯子容积－石头的体积 甲杯子里的石头小，乙杯子里的石头大。 甲杯里水的体积＝杯子容积－小石头体积 乙杯里水的体积＝杯子容积－大石头体积 所以甲杯里的水比乙杯里的水多。 故答案为：A 【练22】观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（    ）。    A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】水面升高的体积就是浸入水中物体的体积，容器相同，比较水面升高的高度即可。 【解答】放入小球水面升高：9.5－8＝1.5 放入珊瑚水面升高：12－9.5＝2.5 2.5＞1.5，珊瑚大。 故答案为：B 【点睛】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为长方体进行分析。 题型12：长方体和正方体的体积 【例12】计算下面图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 【答案】224平方厘米；192立方厘米 【分析】由图知长方体的长、宽、高分别为12厘米、4厘米、4厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，将长、宽、高的数值代入公式，即可解答。 【解答】表面积：（12×4＋12×4＋4×4）×2 ＝（48＋48＋16）×2 ＝（96＋16）×2 ＝112×2 ＝224（平方厘米） 体积：12×4×4 ＝48×4 ＝192（立方厘米） 表面积是224平方厘米，体积是192立方厘米。 【练23】计算下面图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 【答案】表面积150dm2；体积125dm3 【分析】已知正方体的棱长是5dm，根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出它的表面积和体积。 【解答】表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 正方体的表面积是150dm2，体积是125dm3。 【练24】计算下面图形的表面积和体积。          【答案】长方体的表面积为392平方厘米，体积为480立方厘米； 正方体的表面积为96平方分米，体积为64立方分米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积＝长×宽×高；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，体积＝棱长×棱长×棱长，代入计算即可。 【解答】长方体的表面积 （12×5＋12×8＋5×8）×2 ＝（60＋96＋40）×2 ＝196×2 ＝392（平方厘米） 长方体的体积 12×5×8 ＝60×8 ＝480（立方厘米） 正方体的表面积 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 正方体的体积 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 题型13：长方体和正方体体积的应用 【例13】他们在长隆欢乐世界游玩时，看到一位魔术师把一个棱长为30厘米的正方体冰块，放进一个密闭的盒子里，瞬间变成了一个底面积是20平方厘米的长方体冰条，你知道长方体的冰条高多少米吗？ 【答案】13.5米 【分析】先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出冰块的体积，再根据长方体的体积公式：体积＝底面积×高，用总体积除以底面积求出长方体的高，最后将求出的厘米单位换算成题目要求的米单位。 【解答】30×30×30＝27000（立方厘米） 27000÷20＝1350（厘米） 1350厘米＝13.5米 答：长方体的冰条高是13.5米。 【练25】一个花坛（如图），底面是边长1.5米的正方形，四周用木条围成，高0.8米。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米的泥土？（木条的厚度忽略不计） 【答案】（1）2.25平方米 （2）1.8立方米 【分析】（1）花坛的占地面积就是它底面正方形的面积。已知底面是边长为1.5米的正方形，根据正方形面积公式“面积＝边长×边长”，直接计算即可。 （2）因为木条厚度忽略不计，泥土的体积就等于这个长方体花坛的容积。根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”，用第一步算出的底面积乘花坛的高度0.8米，就能得到需要的泥土体积。 【解答】（1）1.5×1.5＝2.25（平方米） 答：这个花坛占地2.25平方米。 （2）2.25×0.8＝1.8（立方米） 答：大约需要1.8立方米的泥土。 【练26】石雕，指用各种可雕、可刻的石头，创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象，是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长6分米的正方体石料制作石雕，如果1立方分米的石料重2.5千克，这块石料重多少千克？ 【答案】540千克 【分析】解答这道题需明确：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，物体的总重量＝单位体积的重量×物体的体积。这道题已知正方体的棱长为6分米，需先利用正方体的体积公式求出正方体石料的体积，再利用1立方分米石料的重量乘石料体积计算即可。据此解答。 【解答】根据分析： 求正方体的体积： （立方分米） 求石料的重量： （千克） 答：这块石料重540千克。 题型14：长方体和正方体的容积 【例14】计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【答案】不合理 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出包装盒的外部体积，再将体积单位换算为容积单位，最后与标注的净含量进行比较。根据常识，对于同一个容器，由于包装材料有厚度，其外部体积一定大于内部容积，而净含量应小于或等于容积。若计算出的外部体积小于标注的净含量，则说明标注不合理。 【解答】长方体包装盒的体积：6×4×10＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 240＜250，即包装盒的体积小于标注的净含量。 又因为包装盒有一定的厚度，包装盒的体积应大于容积，容积应大于或等于净含量。 答：这个标注不合理。 【练27】一个长方体保温箱从外面量的尺寸为长6分米，宽4分米，高3分米。如果保温板厚5厘米，那么这个保温箱的容积是多少升？ 【答案】30升 【分析】保温板有厚度，首先要将保温板厚度的单位统一为分米，保证单位一致。长方体保温箱从内部量的长、宽、高需要扣除两侧的保温板厚度，所以分别用外部的长、宽、高减去2倍的保温板厚度，得到内部的长、宽、高。因为长方体容积公式为V＝长×宽×高，所以将内部的长、宽、高代入公式计算容积，最后将单位转换为升。 【解答】5厘米＝0.5分米 6－0.5×2 ＝6－1 ＝5（分米）    4－0.5×2 ＝4－1 ＝3（分米）    3－0.5×2 ＝3－1 ＝2（分米） 5×2×3 ＝103 ＝30（立方分米）    30立方分米＝30升 答：这个保温箱的容积是30升。 【练28】一辆汽车的油箱是一个长方体，从里面量，长为5分米，宽为3.2分米，高为4分米。 （1）做这个油箱至少需要多少平方分米铁皮？（接缝处所用材料略去不计） （2）如果每升油重0.85千克，这个油箱最多能装油多少千克？ 【答案】（1）97.6平方分米 （2）54.4千克 【分析】（1）求铁皮面积相当于求长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可； （2）1立方分米＝1升。根据长方体体积＝长×宽×高，求出这个油箱的容积，油箱容积×每升油的重量＝这个油箱能装油的重量，据此列式解答。 【解答】（1）（5×3.2＋5×4＋3.2×4）×2 ＝（16＋20＋12.8）×2 ＝48.8×2 ＝97.6（平方分米） 答：做这个油箱至少需要97.6平方分米铁皮。 （2）5×3.2×4＝64（立方分米） 64立方分米＝64升 64×0.85＝54.4（千克） 答：这个油箱最多能装油54.4千克。 题型15：体积容积的单位间的换算 【例15】6500立方厘米＝（ ）立方分米＝（ ）升   10.6立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米 （ ）毫升＝（ ）立方分米＝5.3升 【答案】6.5 6.5 10 600 5300 5.3 【分析】低级单位换算成高级单位，要除以进率；高级单位换算成低级单位，要乘进率。 立方厘米和立方分米之间的进率是1000，立方分米和立方米之间的进率是1000，1立方分米＝1升，1000毫升＝1升。单名数改写成复名数，要把整数部分和小数部分分开计算。 【解答】6500÷1000＝6.5，所以6500立方厘米＝6.5立方分米＝6.5升；   10.6＝10＋0.6，0.6×1000＝600，所以10.6立方米＝10立方米600立方分米； 5.3×1000＝5300，所以5300毫升＝5.3升＝5.3立方分米。 【练29】7.02立方米＝（ ）立方分米    700毫升＝（ ）升 3400立方厘米＝（ ）立方分米    1.2升＝（ ）立方厘米 【答案】7020 0.7 3.4 1200 【分析】（1）1立方米＝1000立方分米，从大单位换算成小单位，乘进率； （2）1升＝1000毫升，从小单位换算成大单位，除以进率； （3）1立方分米＝1000立方厘米，从小单位换算成大单位，除以进率； （4）1升＝1立方分米＝1000立方厘米，从大单位换算成小单位，乘进率。 【解答】（1）7.02×1000＝7020（立方分米），因此7.02立方米＝7020立方分米。 （2）700÷1000＝0.7（升），因此700毫升＝0.7升。 （3）3400÷1000＝3.4（立方分米），因此3400立方厘米＝3.4立方分米。 （4）1.2升＝1.2立方分米 1.2×1000＝1200（立方厘米） 因此，1.2升＝1200立方厘米。 【练30】8500＝（ ）    6.42L＝（ ）mL （ ）＝225    3080＝（ ）L（ ）mL 【答案】0.0085 6420 2025 3 80 【分析】，，，。高级单位换算成低级单位，需要乘进率，小数点向右移动一位、两位、三位……，相当于乘10、100、1000……；低级单位换算成高级单位，需要除以进率，小数点向左移动一位、两位、三位……，相当于除以10、100、1000……。 【解答】因为8500÷1000000＝0.0085，所以； 因为6.42×1000＝6420，所以； 因为2×1000＝2000，2000＋25＝2025，所以； 因为3080＝3000＋80，3000÷1000＝3，，所以。 题型16：立体图形的切拼（体积） 【例16】将一个长15厘米、宽9厘米、高6厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，截成的正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．3375 B．810 C．729 D．216 【答案】D 【分析】解答这道题需明确：长方体截成一个体积最大的正方体，必须以长方体最短的棱长作为正方体的棱长。题目中已知长方体的长是15厘米、宽是9厘米、高是6厘米，则6厘米就是这个体积最大的正方体的棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，将6厘米代入公式计算即可。 【解答】根据分析： （立方厘米） 所以，截成的正方体的体积是216立方厘米。 故答案为：D 【练31】下图是一个长3厘米、宽和高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积和体积发生什么变化（    ）。 A．表面积变大，体积变小 B．表面积变小，体积变小 C．表面积变大，体积变大 D．表面积变小，体积变大 【答案】A 【分析】挖掉小正方体后，原本被小正方体遮挡的面会暴露出来：挖去小正方体时，会减少1个面，但同时会增加3个面，整体表面积净增加了2个边长为1厘米的正方形的面积，因此表面积变大。长方体挖掉一个棱长1厘米的小正方体，整体的体积会减少小正方体的体积，因此体积变小。据此解答。 【解答】根据分析可知：将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积变大，体积变小。 故答案为：A 【练32】如图，把3个棱长是5cm的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）cm3，这时表面积比原来减少（ ）cm2。 【答案】375 100 【分析】3个正方体粘合成一个长方体，总体积不变，等于3个正方体的体积之和。已知正方体的棱长是5cm，根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，先求出单个正方体的体积，再用单个正方体体积乘3，求出长方体的体积。 每两个正方体拼接一次，会有2个面重合。3个正方体拼接需要拼接2次，所以总共减少的面的数量是2×2＝4个。根据正方形面积公式＝正方形面积＝边长×边长，求出单个正方形的面积，再用单个面的面积乘减少的面的数量，求出减少的表面积。 【解答】5×5×5×3 ＝25×5×3 ＝125×3 ＝375（cm3） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 所以把3个棱长是5cm的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是375cm3，这时表面积比原来减少100cm2。 题型17：组合图形的体积 【例17】一个长方体高减少2cm之后，表面积减少了40cm2，剩下的部分正好是个正方体（如图所示），原来长方体的体积是（    ）。 A．175cm3 B．125cm3 C．190cm3 D．无法确定 【答案】A 【分析】如果高减少2cm，就成为一个正方体，说明原来的长方体上下两面是正方形，而且原来长方体的高比长或宽多2厘米；减少的表面积40cm2就是原来长方体中高2厘米那部分的侧面积，是四个大小一样的长方形。算出一个长方形的面积，这个长方形的宽是2 cm，可以求出长（正方体的边长），长方体的高是边长加上2cm，最后再求体积即可。 【解答】40÷4＝10（cm） 10÷2＝5（cm） 5＋2＝7（cm） 5×5×7＝175（cm3） 原来长方体的体积是175cm3 故答案为：A 【练33】如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】464 584 【分析】根据图可知，模型的表面积＝棱长是8厘米正方体表面积＋棱长是4厘米正方体的侧面积＋棱长是2厘米的正方体的侧面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出表面积； 模型的体积＝棱长是8厘米正方体体积＋棱长是4厘米正方体的体积＋棱长是2厘米的正方体的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【解答】8×8×6＋4×4×4＋4×2×4 ＝64×6＋16×4＋4×4 ＝384＋64＋16 ＝448＋16 ＝464（平方厘米） 8×8×8＋4×4×4＋2×2×2 ＝64×8＋16×4＋4×2 ＝512＋64＋8 ＝576＋8 ＝584（立方厘米） 这个模型的表面积是464平方厘米，体积是584立方厘米。 【练34】如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 【答案】表面积：2800平方厘米 体积：7040立方厘米 【分析】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。 【解答】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。 题型18：不规则物体的体积 【例18】小明用实验来测量一个土豆的体积。先在量杯中装入600毫升水，然后将土豆浸没在量杯中，此时量杯液面上升至800毫升，则土豆的体积是（    ）。 A．600立方厘米 B．1400立方厘米 C．800立方厘米 D．200立方厘米 【答案】D 【分析】土豆浸没在水中，水位上升，上升的这部分的体积就是土豆的体积。已知先在量杯中装入600毫升水，然后将土豆浸没在量杯中，此时量杯液面上升至800毫升，那么上升的体积为800－600＝200毫升，因为1毫升＝1立方厘米，所以200毫升也就是200立方厘米，即土豆的体积是200立方厘米。据此解答。 【解答】800－600＝200（毫升） 200毫升＝200立方厘米 所以土豆的体积是200立方厘米。 故答案为：D 【练35】一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是（ ）。 【答案】45 【分析】石块放入水中且完全浸没，石块的体积等于水上升的体积，水在长方体容器中，所以水上升的体积可以用长方体容器的长乘宽再乘水位上升的高度即可求出石块的体积。 【解答】    （dm³） 一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是（45）。 【练36】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入60升水，水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）144平方分米 （2）1.5分米 （3）16立方分米 【分析】（1）所需的玻璃面积就是长方体五个面的面积，即一个底面和四个侧面。计算公式为：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）1升＝1立方分米，60升＝60立方分米。根据长方体的容积＝长×宽×高，水的体积除以鱼缸的长与宽的积即可求出水深； （3）鹅卵石的体积相当于上升的水的体积，水的体积是长为8分米，宽为5分米，高为0.4分米的长方体体积，长方体体积＝长×宽×高。 【解答】（1）8×5＋（8×4＋5×4）×2 ＝8×5＋（32＋20）×2 ＝8×5＋52×2 ＝40＋104 ＝144（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃144平方分米. （2）60升＝60立方分米 60÷（8×5） ＝60÷40 ＝1.5（分米） 答：水深1.5分米。 （3）8×5×0.4 ＝40×0.4 ＝16（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是16立方分米。 题型19：体积的等积变形 【例19】一个棱长6厘米的正方体容器装满水，将水全部倒入一个长9厘米、宽8厘米的长方体空容器中，水深（    ）厘米。 A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】已知正方体容器的棱长是6厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出容器内水的体积；又已知长方体容器长9厘米、宽8厘米，根据“长方形面积＝长×宽”求出长方体容器的底面积，将这些水倒入长方体容器中，水的体积保持不变，最后用这个体积除以长方体容器的底面积，即可求出水在长方体容器中的深度。 【解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 216÷（9×8） ＝216÷72 ＝3（厘米） 所以水深3厘米。 故答案为：B 【练37】将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为（ ）平方厘米。 【答案】216 【分析】首先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长，再分别计算每个小正方体的体积（正方体体积＝棱长×棱长×棱长），再将它们相加得到大正方体的体积，最后根据大正方体的体积求出大正方体的棱长并计算表面积。 【解答】第一个：54÷6＝9，因为9＝3×3，所以棱长为3厘米； 第二个：96÷6＝16，因为16＝4×4，所以棱长为4厘米； 第三个：150÷6＝25，因为25＝5×5，所以棱长为5厘米。 第一个体积：3×3×3＝27（立方厘米）； 第二个体积：4×4×4＝64（立方厘米）； 第三个体积：5×5×5＝125（立方厘米）； 大正方体的体积： 27＋64＋125 ＝91＋125 ＝216（立方厘米） 因为216＝6×6×6，所以大正方体的棱长为6厘米。 大正方体的表面积： （6×6）×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 因此，将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为216平方厘米。 【点睛】本题核心是通过小正方体的表面积求出棱长，再结合体积关系确定大正方体棱长，最终利用表面积公式求解。关键在于熟练运用正方体的表面积与体积公式，把握“体积不变”这一隐含条件。 【练38】如图，有长方体容器A和B，容器A是空的，容器B中有水，水深24厘米。若将容器B中的水倒一部分给A，使得两个容器内的水深相等；这时两个容器内的水深是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】水的体积始终不变，因此后来A、B两个容器中水的总体积等于原来B容器中水的体积，其底面积是两个容器的底面积之和，高度就是A、B两个容器中相同的水深，根据水的深度＝水的总体积÷A、B两个容器底面积之和，求出水深。 【解答】水的体积：30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 底面积之和：40×30＋30×20 ＝1200＋600 ＝1800（平方厘米） 水深：14400÷1800＝8（厘米） 答：这时两个容器内的水深是8厘米。 一、选择题 1．数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般情况下长方体六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。决定长方体形状和大小的是长、宽、高，三根学具棒能确定长、宽、高即可，据此分析。 【解答】A．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； B．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； C．三根学具棒分别是长方体的长、宽、高，能决定这个长方体的形状与大小； D．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除。 能决定这个长方体的形状与大小的是。 故答案为：C 2．某小区安装了一部电梯，从里面量，长1.4米，宽1米，高2.2米，如果一个人乘电梯平均占地约0.14平方米，这部电梯一次最多能容纳（    ）人。 A．10 B．12 C．14 D．24 【答案】A 【分析】根据电梯的长宽高，电梯站人用到的是长宽，所以用长宽求出电梯的地面的面积，再除以一个人乘电梯平均占地约0.14平方米，即可求出这部电梯一次最多能容纳多少人。 【解答】1.4×1＝1.4（平方米） 1.4÷0.14＝10（人） 所以这部电梯一次最多能容纳10人。 3．小丽制作了一个正方形礼品盒（如图），相对的面图案相同。如果将这个礼品盒展开，可能是（    ）。 A．B．C．D． 【答案】A 【分析】已知礼品盒相对的面图案相同，且相对的面之间会被其他面隔开，不会出现相邻的情况；据此判断并选择。 【解答】 A．此展开图中，相同的图案分别相对，没有相邻的情况，符合题意； B．此展开图中，相同的图案有相邻的情况，不符合题意； C．此展开图中，相同的图案有相邻的情况，不符合题意； D．此展开图中，相同的图案有相邻的情况，不符合题意。 所以，如果将这个礼品盒展开，可能是。 故答案为：A 4．下面说法正确的是（    ）。 A．微波炉的容积就是微波炉的体积 B．用钢笔吸一次墨水，大约能吸1～2mL C．3.78＝3.78L D．棱长是6cm的正方体的表面积和体积相等 【答案】B 【分析】容积是指物体能容纳的体积。 1mL大约20滴水，用钢笔吸一次墨水，大约能吸1～2mL。 1m3＝1000dm3，1 dm3＝1L，所以3.78 m3＝3780L 表面积和体积的单位不同，定义也不同，表面积指物体表面总面积，体积指物体所占空间大小，所以棱长是6cm的正方体的表面积和体积无法比较。 【解答】A．微波炉的容积小于微波炉的体积，原题干说法错误。 B．用钢笔吸一次墨水，大约能吸1～2mL，说法正确。 C．3.78 m3＝3780L，则3.78＝3.78L说法错误。 D．棱长是6cm的正方体的表面积和体积无法比较，原题干说法错误。 故答案为：B 5．下图是一个无盖的长方体，计算它的表面积错误的是（    ）。 A．12×8×2＋8×5×2＋12×5 B．（12＋5）×2×8＋12×5 C．（12×5＋12×8＋8×5）×2 D．（12×5＋12×8＋8×5）×2－12×5 【答案】C 【分析】由图可知，无盖长方体的长为12厘米，宽为5厘米，高为8厘米，根据无盖长方体表面积公式：面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，所以需要少算一个长×宽的面积，据此分析各选项。 【解答】无盖长方体表面积：12×5＋（12×8＋5×8）×2 A．12×5＋（12×8＋5×8）×2可以变式为12×8×2＋8×5×2＋12×5，计算正确。 B．是先计算底面周长乘高得出侧面积，再加上底面积，计算正确。 C．多计算了一个长×宽的面积，计算错误。 D．是先计算完整长方体的表面积再减一个长×宽的面积，计算正确。 错误的计算是“（12×5＋12×8＋8×5）×2”。 故答案为：C 6．用几个体积为1立方厘米的正方体摆成一个物体。下面是从不同的方向看到物体的图形。这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】这个物体用了几个1立方厘米的正方体，体积就是几立方厘米，确定小正方体的个数即可。根据从上面看到的形状，可以确定底层摆了一行3个小正方体；根据从前面和侧面看到的形状，可以确定摆了2层，上层摆了2个小正方体，据此确定小正方体的个数。 【解答】 如图，这个物体的体积是5立方厘米。 故答案为：A 7．一盒果汁的包装盒从外面量，长10厘米，宽4厘米，高12厘米，这盒果汁的净含量可能是（    ）毫升。 A．120 B．400 C．470 D．600 【答案】C 【分析】根据长方体的体积公式体积＝长×宽×高求出包装盒的体积，因为包装盒有一定的厚度，所以这盒果汁的净含量应该小于包装盒的体积，据此解答即可。 【解答】10×4×12 ＝40×12 ＝480（立方厘米） ＝480（毫升） 所以这盒果汁的净含量应小于480毫升。 A．120毫升与480毫升差距过大，不符合实际，错误； B．400毫升与480毫升差距较大，错误； C．470毫升小于480毫升且更接近480毫升，正确； D．600毫升大于480毫升，错误； 故答案为：C 8．如图，一个边长为12dm的正方体，从顶点挖去一个棱长为3dm的小正方体，以下结论正确的是（    ）。 A．表面积不变，体积变小 B．表面积不变，体积不变 C．表面积变小，体积变小 D．表面积变小，体积不变 【答案】A 【分析】从顶点挖去一个小正方体，少了原来露在外面的3个面，但是新增了相同的3个面，所以表面积不变； 原来大正方体的体积是其本身所占空间的大小，当挖去一个小正方体后，整体所占空间就减少了小正方体的体积。所以挖去小正方体后，原正方体的体积变小了。 据此判断。 【解答】根据分析可知： 一个边长为12dm的正方体，从顶点挖去一个棱长为3dm的小正方体，表面积不变，体积变小。 故答案为：A 二、填空题 9．用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要（ ）个棱长是1厘米的小正方体。 【答案】91 【分析】先根据正方体体积公式V＝a×a×a，求出棱长6厘米的大正方体体积，再除以棱长1厘米的小正方体体积，求出拼成棱长6厘米大正方体需要的小正方体总个数，最后用总个数减去已有的125个，即可求出还需要的数量。 【解答】（6×6×6）÷（1×1×1） ＝216÷1 ＝216（个） 216－125＝91（个） 10．小云从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面，展开后如图所示。这个长方体纸盒的底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【答案】32 320 【分析】先根据长方体相邻面的特征，确定长方体的长、宽、高，长方体的前面由长和高组成，右面由宽和高组成，相邻的两个面共用高这条棱，由此确定长方体的长、宽、高；再利用长方形面积公式，用长乘宽计算长方体的底面积；最后利用长方体体积公式，用长乘宽乘高计算体积。 【解答】长方体的长为8cm，宽为4 cm，高为10 cm 底面积：8×4＝32（cm2） 体积： 8×4×10 ＝32×10 ＝320（cm3） 11．一个底面是正方形的长方体，高20厘米，侧面展开是正方形，这个长方体的容积是（ ）立方厘米。 【答案】500 【分析】因为长方体的侧面展开是正方形，所以底面正方形的周长和高相等，都是20厘米。用20除以4算出底面正方形的边长。再根据长×宽×高，代入计算出它的容积。 【解答】20÷4＝5（厘米） 5×5×20 ＝25×20 ＝500（立方厘米） 12．有一块边长1米的正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长2分米的小正方形，做成了一个无盖长方体水槽（如图）。这个水槽的占地面积是（ ）平方分米，能盛水（ ）升。 【答案】36 72 【分析】先统一单位，将1米换算成10分米。用正方形铁皮的边长减去2个2分米求出长方体水槽的长和宽，长和宽相等。高为2分米。长宽所在的面的面积就是长方体的占地面积，用长乘宽计算。长方体的容积＝长×宽×高。 【解答】1米＝10分米 （分米） （平方分米） 这个水槽的占地面积是36平方分米。 （立方分米） 立方分米升 这个水槽能盛水72升。 13．在（    ）里填上合适的数或单位名称。 一台洗衣机的容积约是150（ ）      一间教室的占地面积约是70（ ） 0.65立方分米＝（ ）立方厘米       450（ ）＝4.5（ ） 【答案】升/L 平方米 650 平方分米 平方米 【分析】根据题意，结合生活经验举个例子，一个水桶的容积约为10升；所以判断洗衣机容积单位一般都用升来表示，教室一般是8米长，7米宽，教室的面积约是56平方米，所以教室的面积一般都用平方米表示； 依据体积单位间的进率（1立方分米＝1000立方厘米）完成换算，最后根据数值从450变为4.5，即缩小为原来的，确定合适的单位换算关系，据此解答。 【解答】一台洗衣机的容积约是150升。 一间教室的占地面积约是70平方米。 0.65×1000＝650立方厘米，0.65立方分米＝650立方厘米。 450平方分米＝4.5平方米（答案不唯一） 14．用一根铁丝刚好围成一个长9分米、宽7分米、高8分米的长方体灯箱框架，如果把它改围成一个正方体框架（接头处忽略不计且铁丝没有剩余），那么这个正方体的棱长是（ ）分米，表面积是（ ）平方分米。 【答案】8 384 【分析】铁丝的总长度是不变的，也就是长方体的棱长总和与正方体的棱长总和相等。 先计算长方体的棱长总和，长方体有4组“长、宽、高”，所以棱长总和：（长＋宽＋高）×4，因为正方体有12条长度相等的棱，所以棱长＝总长度÷12，再根据正方体的表面积公式计算出正方体的表面积。 【解答】（9＋7＋8）×4 ＝（16＋8）×4 ＝24×4 ＝96（分米） 棱长：96÷12＝8（分米） ＝＝＝384（平方分米） 所以，这个正方体的棱长是8分米，表面积是384平方分米。 【点睛】抓住铁丝总长度不变的特点，完成两种立体图形棱长的转换。 15．把长方体纸盒沿着边剪开并平铺在桌面上，且剪开后要保证所有的面连在一起。如图1的长方体纸盒，需要剪开（ ）条边。若是图2中的长方体纸盒，需要剪开（ ）条边。 【答案】 4 7 【分析】根据题意，长方体纸盒展开时需要剪开连接不同面的边，使其平铺成平面图形。长方体原有12条边，上面开口后（没有顶面）只剩8条边，其中4条是底与侧面相连的边，若要整体展开并保持与底面相连，这4条不能剪；此时剩下连接各侧面的4条竖直边必须全部剪开才能使纸盒平铺在桌面上。因此需剪4条边； 长方体共有12条边，展开成平面图形时，需剪开部分边保证所有的面连在一起。展开图通常保留5条边作为连接边，因此需要剪开条边，据此解答。 【解答】由分析可知： 把长方体纸盒沿着边剪开并平铺在桌面上，且剪开后要保证所有的面连在一起。如图1的长方体纸盒，需要剪开4条边。若是图2中的长方体纸盒，需要剪开7条边。 16．乐乐和爸爸一起做了一个木质的玩具收纳箱（无盖），长10分米，宽8分米，高7分米。他们制作这个收纳箱至少需要（ ）平方分米的木板；能收纳玩具的空间大约是（ ）立方分米。 【答案】332 560 【分析】①根据无盖的木质的玩具收纳箱的表面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽即可求出至少需要多少平方分米的木板。 ②根据长方体的体积＝长×宽×高即可求出收纳玩具的空间。 【解答】①（10×7＋8×7）×2＋10×8 ＝（70＋56）×2＋80 ＝126×2＋80 ＝252＋80 ＝332（平方分米） 即他们制作这个收纳箱至少需要332平方分米的木板 ②10×8×7＝560（立方分米） 即能收纳玩具的空间大约是560立方分米。 三、计算题 17．计算下面长方体的表面积和正方体的体积。 【答案】72cm2；64dm3 【分析】根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据计算，求出长方体的表面积； 根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出正方体的体积。 【解答】（3×2＋3×6＋2×6）×2 ＝（6＋18＋12）×2 ＝36×2 ＝72（cm2） 长方体的表面积是72cm2。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（dm3） 正方体的体积是64dm3。 18．求下面立体图形的表面积和体积。（单位：m） 【答案】表面积：248平方米；体积：232立方米 【分析】由图可知，一个长方体，切去一个小正方体，上面、前面、右面少了3个正方形的面，但是又露出3个小正方形的面，则表面积没变，只需求完整的长方体表面积即可；切去一个正方体，体积减少，求实际体积，只需用长方体的体积减去小正方体的体积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求解即可。 【解答】（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝（100＋24）×2 ＝124×2 ＝248（平方米） 10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方米） 240－8＝232（立方米） 四、作图题 19．如图每小格的边长表示1厘米，请在图中画出棱长是2厘米的无盖正方体展开图。 【答案】见详解 【分析】无盖正方体有5个面，每个面都是边长为2厘米（占据2×2的格子）的正方形。正方体展开图一共有11种情况，见下图，选择下图中的一种去掉一个面画出图形即可。 “1－4－1”型，共有6种类型： “1－3－2”型，共有3种类型：         “2－2－2”型，共有1种类型： “3－3”型，共有1种类型： 【解答】 （画法不唯一） 五、解答题 20．科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 【答案】300毫升 【分析】容器注满水，溢出水的体积等于铁棒浸没在水中的体积。正方体容器棱长25厘米，即水深25厘米。铁棒长50厘米，大于水深，所以浸没部分的高度为25厘米。根据长方体体积公式：体积＝底面积×高求出浸没体积，再将立方厘米换算为毫升。 【解答】12×25＝300（立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 答：会溢出300毫升水。 21．有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7.2厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 【答案】14.4厘米 【分析】平放时容器装7.2厘米的水，用长×宽×水的高可以算出水的体积，容器竖起来放的时候容器的底面积改变，用之前算出的水的体积除以竖起容器的底面积可算出水的高度。 【解答】20×16×7.2 ＝320×7.2 ＝2304（立方厘米） 2304÷（10×16） ＝2304÷160 ＝14.4（厘米） 答：水的高度是14.4厘米。 22．一种牛奶采用长方体盒密封包装，从外面测量，长7厘米，宽4厘米，高10厘米。盒子外标签标注“净含量是280毫升”，请判断净含量的标注是否虚假，用计算说明原因。 【答案】标注是虚假的；原因见详解 【分析】长方体盒从外面测量，长7厘米，宽4厘米，高10厘米。根据长方体体积＝长×宽×高，把数据代入计算，再根据1立方厘米＝1毫升，把单位换算成毫升。因为包装盒本身有厚度，因此它的内部容积（即能容纳牛奶的实际体积）一定小于外部体积，据此比较即可。 【解答】7×4×10＝280立方厘米 280立方厘米＝280毫升 内部容积一定小于外部体积，所以牛奶的净含量不可能达到280毫升。 答：净含量的标注是虚假的。 23．如图，一个长方体玻璃缸中水深5分米，将一块棱长是6分米的正方体铁块投入水中，玻璃缸里的水会溢出多少立方分米？ 【答案】104立方分米 【分析】看图可知，长方体玻璃缸的长8分米，宽和高都是7分米，长方体玻璃缸的长×宽×空余部分的高度＝空余部分的容积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体体积－长方体玻璃缸空余部分的容积＝溢出的水的体积，据此列式解答。 【解答】6×6×6－8×7×（7－5） ＝6×6×6－8×7×2 ＝216－112 ＝104（立方分米） 答：玻璃缸里的水会溢出104立方分米。 24．王大伯家要修建一个长8米，宽5米，深2米的蓄水池，现在要给这个蓄水池的内壁和底部贴上瓷砖，至少需要多少平方米瓷砖？贴好瓷砖后，要往蓄水池里注入多少立方米的水才能使水深达1.2米？ 【答案】92平方米；48立方米 【分析】已知长方体蓄水池长8米、宽5米、深2米，现在要给这个蓄水池的内壁和底部贴上瓷砖，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出瓷砖的面积； 注入的水形成一个长方体，其长和宽与蓄水池一致，高度是水深1.2米，根据“长方体体积＝长×宽×高”，用蓄水池的长乘宽，再乘水深1.2米，即可得到需要注入水的体积。据此解答。 【解答】8×5＋8×2×2＋5×2×2 ＝40＋16×2＋10×2 ＝40＋32＋20 ＝72＋20 ＝92（平方米） 8×5×1.2 ＝40×1.2 ＝48（立方米） 答：至少需要92平方米瓷砖，要往蓄水池里注入48立方米的水才能使水深达1.2米。 25．夏叔叔有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，他想做一个高5厘米的无盖长方体容器。（焊接处和铁皮厚度忽略不计）。 （1）图1是他想出的方案，按这个方案设计出的长方体容器容积是多少？ （2）请你设计出高不变，但容积比它大的方案。在图2中画一画，并算出它的容积。 【答案】（1）1500立方厘米； （2）图见详解；2000立方厘米 【分析】（1）根据题意可知，用这张长方形铁皮做成一个高是5厘米的长方体容器，这个长方体容器的长是（40－5×2）厘米，宽是（20－5×2）厘米，根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 （2）长方形铁皮的长是宽的2倍，且宽是高的4倍，把长方形剪成两个相等的正方形，一块用作长方体的底，一块平均分成4块，每一块长是20厘米，宽是5厘米，组成一个长方体，长方体的长是20厘米，宽是20厘米，高是5厘米，根据长方体容积＝长×宽×高，求出容积（答案不唯一）。 【解答】（1）（40－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（40－10）×（20－10）×5 ＝30×10×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 答：按这个方案设计出的长方体容器容积是1500立方厘米。 （2）如图： 长是20厘米，宽是20厘米，高是5厘米 20×20×5 ＝400×5 ＝2000（立方厘米） 答：这个长方体容器的容积是2000立方厘米。 26．小敏家汽车的油箱是一个近似的长方体。从里面量长大约是50厘米，宽大约是40厘米，高大约是30厘米。92号无铅汽油每升7.25元。 （1）如果给这个油箱加满92号无铅汽油，带600元够吗？ （2）这辆车每行100千米大约耗油8升，这一箱油能从小敏家开到800千米外的南京吗？ 【答案】（1）够用 （2）不能 【分析】（1）用长×宽×高算出油箱的容积，根据1000立方厘米＝1升进行单位换算，再乘无铅汽油每升的价格可知加满需要多少钱，与600元比较可知够不够； （2）每行100千米大约耗油8升，用800千米除以100千米可算出800千米里有几个100千米，再乘8可算出需要消耗多少升油，与油箱容积比较可知能不能。 【解答】（1）50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） ＝60（升） 7.25×60＝435（元） 600＞435 答：带的钱够用。 （2）8×（800÷100） ＝8×8 ＝64（升） 64＞60 答：这一箱油不能从小敏家开到南京。 27．做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽40厘米，高50厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ （2）鱼缸内装有30厘米深的水，现在放入一个珊瑚后，水深35厘米，这个珊瑚的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）152平方分米 （2）16000立方厘米 【分析】（1）求制作无盖鱼缸所需玻璃面积，即求无盖长方体5个面（缺少上面）的面积之和，即：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，已知长8分米，宽40厘米，高50厘米，先根据1分米＝10厘米，统一单位后把数据代入计算即可。 （2）放入珊瑚前水深30厘米，放入后水深35厘米，因此水面上升的高度为35－30＝5厘米。先统一单位，长8分米转化为80厘米，宽为40厘米，根据“底面积＝长×宽”，求出鱼缸的底面积；用底面积乘上升的高度，得到珊瑚体积。据此解答。 【解答】（1）40厘米＝4分米 50厘米＝5分米 8×4＋（8×5＋4×5）×2 ＝32＋（40＋20）×2 ＝32＋60×2 ＝32＋120 ＝152（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要152平方分米玻璃。 （2）水面上升高度：35－30＝5（厘米） 8分米＝80厘米 鱼缸底面积：80×40＝3200（平方厘米） 珊瑚体积：3200×5＝16000（立方厘米） 答：这个珊瑚的体积是16000立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $