21.3.3 正方形（第2课时）-课件 2025--2026学年人教版八年级 数学下册

该初中数学课件聚焦正方形的判定方法，先通过回顾正方形的定义与性质建立基础，再引导学生从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，通过探究活动推导判定条件，以旧知（矩形、菱形判定）为学习支架构建新知脉络。 其亮点在于通过探究活动引导学生自主构建判定体系，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，例题与证明过程强化数学思维中的推理能力，如通过全等证明四边形EFGH为正方形。练习分层设计兼顾基础与拓展，帮助学生提升数学语言表达与应用意识，教师可借助此资料高效开展教学。

第二十一章 四边形 21.3.3 正方形 （第2课时） 1．掌握正方形的判定方法； 2．能综合运用矩形、菱形的判定定理推导正方形的判定； 3．能解决正方形判定的综合问题． 1．什么是正方形？ 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形． 2．正方形都有哪些性质？ （1）边：四条边相等． （2）角：四个角都是直角． （3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分． （4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线． 要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形． 4 探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论． 添加一组邻边相等 或添加对角线互相垂直 从矩形出发： 方法1：一组邻边相等的矩形是正方形． 方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形． 探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论． 添加一个角是直角 或添加对角线相等 从菱形出发： 方法1：有一个角是直角的菱形是正方形． 方法2：对角线相等的菱形是正方形． 探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论． 添加一组邻边相等且 一个内角为直角 或添加对角线互相垂直且相等 从平行四边形出发： 方法1：一组邻边相等且一个内角为直角的平行四边形是正方形． 方法2：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． 探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论． 添加四条边相等且四个角都是直角 或添加对角线互相平分、垂直且相等 从四边形出发： 方法1：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形． 方法2：对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形． 例：如图所示，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH． 求证：四边形EFGH是正方形． 分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出． 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA． 又AE＝BF＝CG＝DH，∴EB＝FC＝GD＝HA． ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． ∴HE＝EF＝FG＝GH． ∴四边形EFGH是菱形． ∵△AEH≌△BFE，∴∠2＝∠3． 又∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠3＝90°． ∴∠HEF＝180°－（∠1＋∠3）＝90°． ∴四边形EFGH是正方形． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 从四边形出发进行证明 从矩形出发进行证明 从菱形出发进行证明 正方形的判定 从平行四边形出发进行证明 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 证明：（1）由折叠可知，、 、、，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，矩形是正方形；  【综合拓展类作业】 1．下列条件能判断正方形的是（   ） A．对角线互相垂直的菱形 B．对角线相等的菱形 C．对角线互相平分的矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形 B 2．如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 正方形 3．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 证明：∵菱形， ∴， ∵，∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 4．如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（     ） A．若补充“”，则四边形是矩形 B．若补充“”，则四边形是菱形 C．若补充“”，则四边形是矩形 D．若补充“”，则四边形是正方形 B 5．已知：如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷交于点𝑂，分别过点C、D作𝐶𝐹∥𝐵𝐷，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 证明：（1），， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形，，， 在和中，， ； （2）四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 1．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 D 2．四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是______． 正方形 3．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，． 求证：四边形为正方形． 证明：四边形为矩形，四边形为菱形， ， 在和中， ，， ， ， ，四边形为正方形． 4．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 D 5．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． （2）由（1）知，四边形是正方形， 、， ， 设，则， 由折叠的性质知，、， ， 在中，， ， 解得：，． $