21.3.3正方形（第2课时）课件 2025～2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形（第2课时） 八年级　下册 教学目标 重点：正方形的判定方法及其应用. 难点：正方形判定的探究、证明和应用. 1.掌握正方形的判定方法并灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算. 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系. 回顾旧知 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 一组邻边相等 平行四边形 有一个直角 正方形 1.填空. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 有一个直角 一组邻边相等 回顾旧知 平行四边形 2.矩形的判定方法有哪些？ 法①有一个直角 法②对角线相等 矩形 四边形四边形 法③四个角都是直角 四边形 回顾旧知 平行四边形 3.菱形的判定方法有哪些？ 法①有一组邻边相等 法②对角线互相垂直 四边形四边形 法③四条边都相等 四边形 菱形 新课学习 思考：正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形；满足什么条件的矩形是正方形？ 判定方法1：有一组邻边相等 矩形满足什么条件就是正方形呢？ 猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形. 新课学习 猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO . ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB. ∵在矩形ABCD中，AD=AB ∴矩形ABCD是正方形. 已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB. 求证：矩形ABCD是正方形. 新课学习 判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴四边形ABCD是正方形 判定方法1：有一组邻边相等 判定方法2：对角线互相垂直 新课学习 思考：菱形满足什么条件就是正方形？ 判定方法：有一个角是直角 菱形满足什么条件也是正方形？ 猜想：对角线相等的菱形是正方形. 新课学习 猜想：对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD, AC⊥DB. ∵AC=DB ∴ AO=BO=CO=DO ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形 ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° ∴四边形ABCD是正方形. 新课学习 判定方法2：对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形，AC=BD ∴四边形ABCD是正方形 判定方法3：有一个角是直角 判定方法4：对角线相等 新课学习 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 例题精讲 例1(教材P76练习T1∙节选)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？ 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD＝∠B＝90°. 由折叠的性质，得∠AFE＝∠B＝90° ∴四边形ABEF是矩形. 由折叠的性质，得AB＝AF. ∴四边形ABEF是正方形. 要证正方形：原图形是矩形，则证该图形是菱形； 变式训练 变式1　如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G. 求证：矩形ABCD为正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAE＝∠B＝90°. ∵AF⊥DE，∴∠AGD＝∠DAE＝90°. ∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠ADE＋∠DAF＝90°. ∴∠BAF＝∠ADE. 又∵∠B＝∠DAE，AF＝DE， ∴△ABF≌△DAE(AAS). ∴AD＝AB. ∴矩形ABCD是正方形. ∵四边形ABCD是矩形， 14 例题精讲 例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF ∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF. ∵OE＝OA ∴菱形AECF是正方形. ∴四边形AECF是菱形. ∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC. 要证正方形：原图形是菱形，则证该图形是矩形； 变式训练 变式2　如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝90°，BC的 垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝BE. 求证：(1)四边形BECF是菱形；(2)四边形BECF是正方形. 证明：(1)∵EF垂直平分BC ∴BE＝EC，BF＝CF. ∴BE＝EC＝CF＝BF. ∴四边形BECF是菱形. 又∵CF＝BE (2)∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45°. ∵四边形BECF是菱形， ∴∠EBC＝∠FBC＝45°. ∴∠EBF＝2∠EBC＝90°. ∴菱形BECF是正方形. 16 巩固练习 1.如图，已知四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是(　D　) A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BC D. AC⊥BD D 2. 如图，▱ABCD的对角线互相垂直，要使▱ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 ⁠ .(写一个即可) ∠ABC＝90°(答案不唯一) 巩固练习 3. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O. 过 点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于 点E，求证：四边形CODE是正方形. 证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形. ∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O， ∴OD＝OC，∠DOC＝90°. ∴四边形CODE是正方形. 巩固练习 4. (教材P78练习T2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形CEDF是正方形. 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠FCE＝∠CED＝∠DFC＝90°. ∴四边形CEDF是矩形. ∵CD平分∠ACB，∴∠DCE＝45°. 在Rt△CED中，∠CDE＝90°－∠DCE＝45°. ∴∠CDE＝∠DCE. ∴DE＝CE. ∴四边形CEDF是正方形. 运用拓展 5. (教材P77例6∙改编)如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN. 试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论. 解：四边形EFMN是正方形.证明如下： ∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE. ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF(SAS). ∴EN＝NM＝MF＝FE，∠ENA＝∠DMN. ∴四边形EFMN是菱形. 又∵∠DMN＋∠DNM＝90°，∴∠ENA＋∠DNM＝90°. ∴∠ENM＝90°. ∴四边形EFMN是正方形. 20 课堂小结 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 21 布置作业 1.必做题：习题21.3 第14题. 2.探究性作业：习题21.3 第7题. 22 $