专题08 空间直线与平面（期末复习讲义，8重难题型+分层验收）高一数学下学期沪教版

专题08 空间直线与平面（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平面基本性质应用（共面、共线、交线问题） 题型02 异面直线判定与夹角计算 题型03线面平行证明（必考基础题型） 题型04面面平行证明 题型05线面垂直证明 题型06面面垂直证明 题型07二面角的概念及辨析 题型08 平行+垂直+空间角综合解答题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面的基本性质 1.能判断点、线共面；能确定平面；会用公理证明简单共面 / 共线问题 2. 会画简单几何体直观图；能识别三视图；纠正 “平面 = 有限图形” 误区 1. 选择题 / 填空题高频；常与 “点线共面、多点共线” 结合； 2. 期末考作图 / 识图；高考偶考三视图还原； 空间直线与直线的位置关系 1.能区分三种位置；会用定义 / 反证法证异面 2.会找角、会解三角形求角；能区分 “异面角” 与 “夹角” 3.能应用定理证角相等；理解空间角的传递性 1. 选择题必考；异面直线判定是易错点； 2. 期末 / 高考高频解答题；常与正方体、长方体结合； 3. 偶考填空； 直线与平面的位置关系 1.能判断位置；会用符号语言表示 2.能证线面平行；能应用性质证线线平行 3.能证线面垂直；理解 “线面垂直→线⊥面内所有线” 4.会找线面角；能计算；区分线面角与异面角 1.解答题高频（证明第一问）；高考必考； 2.核心考点；常与面面垂直结合； 3.期末高频；高考中档题； 平面与平面的位置关系 1.能证面面平行；能应用性质证线线平行 2.能证面面垂直；会用性质找垂线；核心证明工具 3.会找二面角平面角；能计算；区分二面角与线面角 1.解答题常考； 2.高考压轴题高频；与二面角结合； 知识点01 平面的基本性质（4公理+3推论） 平面公理是立体几何证明的根本依据，所有共面、交线、点线面位置证明均由此推导。 1. 公理1（线在面内公理）：若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线上所有点都在该平面内。 符号语言： 核心作用：证明直线在平面内、点在平面内。 2. 公理2（确定平面公理）：不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 三大推论： 推论1：一条直线和直线外一点，唯一确定一个平面； 推论2：两条相交直线，唯一确定一个平面； 推论3：两条平行直线，唯一确定一个平面。 核心作用：证明多点、多线共面，确定立体图形所在平面。 3. 公理3（面面相交公理）：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号语言： 核心作用：找两个平面的交线、证明多点共线。 4. 公理4（平行传递公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行线传递性，不受平面限制）。 符号语言： 知识点02 空间直线的位置关系 空间中两条直线位置关系分为三类，核心区分依据：是否共面、是否有公共点。 相交直线：共面，有且仅有1个公共点； 平行直线：共面，无公共点； 异面直线：不共面、无公共点，不同在任何一个平面内。 异面直线判定结论：平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线为异面直线。 异面直线所成角：将两条异面直线平移至相交，相交形成的锐角或直角即为异面直线所成角，取值范围。 知识点03空间平行关系（线线→线面→面面） 1. 线面平行 判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行。 符号语言： 性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线与交线平行。 符号语言： 2. 面面平行 判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面互相平行。 符号语言： 性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行。 符号语言： 知识点04 空间垂直关系（线线→线面→面面） 1. 线面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。 符号语言： 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 符号语言： 2. 面面垂直 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 符号语言： 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 符号语言： 知识点05 空间角与空间距离核心考点 1. 三类空间角 异面直线所成角：范围，核心方法：平移共面法； 线面角：直线与平面中射影的夹角，范围，直线垂直平面时角为90°，直线平行平面时角为0°； 二面角：两个平面的夹角，范围，核心找平面角。 2. 两类核心距离 点到平面的距离：点到平面垂线段的长度，高频考点，通用方法：等体积法； 异面直线的距离：两条异面直线公垂线段的长度，低频考点。 题型一 平面基本性质应用（共面、共线、交线问题） 解｜题｜技｜巧 1. 线面平行优先找：中位线、平行四边形对边、面面平行的交线； 2. 面面平行核心：两条相交直线是判定底线，平行直线数量不足、不相交均无法判定； 3. 平行传递性可灵活用于空间折线、多线平行推导。 【典例1】．（23-24高一下·上海虹口·期末）下列命题中 ①空间中三个点可以确定一个平面. ②直线和直线外的一点，可以确定一个平面. ③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面. ④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面. ⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合. 真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】．（22-23高一下·上海嘉定·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”：______. 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分． 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域． 【变式3】．（23-24高一下·上海·期中）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 题型二异面直线判定与夹角计算 答｜题｜模｜板 1. 异面直线角：平移异面直线，将空间角转化为平面三角形内角； 2. 线面角：先找平面垂线，再找射影，构造直角三角形求解； 3. 二面角：优先三垂线法，过棱上一点向两面作垂线，构造平面角。 【典例1】．（24-25高一下·上海嘉定·期末）两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是____________. 【典例3】．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 【变式1】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 【变式4】．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 题型三 线面平行证明（必考基础题型） 【典例1】．（24-25高二下·上海徐汇·期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（    ）    A． B． C． D． 【典例2】．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.    【变式1】．（24-25高二·上海·期中）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【变式2】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【变式3】．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 题型四 面面平行证明 答｜题｜模｜板 线面垂直是核心桥梁：所有面面垂直、空间角计算均依赖线面垂直； 【典例1】．（22-23高二下·上海徐汇·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______. 【变式1】．（2024高二上·上海·期末）已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 【变式2】．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①平面//平面DE；②//平面AF；③平面//平面AFN；④平面//平面NCF；其中真命题的个数是______． 【变式3】．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 题型五 线面垂直证明 解｜题｜技｜巧 面面垂直多用性质定理：证完垂直后，作交线垂线即可得到线面垂直，用于后续计算。 【典例1】．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 【变式1】．（24-25高一下·上海·期末）如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 【变式2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）如图，定点A和B都在平面α内，，定点，，是内一动点，且.那么，动点在平面内的轨迹所围成图形的面积为___________． 【变式3】．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 题型六 面面垂直证明 答｜题｜模｜板 线线垂直是基础：可通过勾股定理、等腰三角形三线合一、正方体长方体棱边垂直、三垂线定理证明； 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）下列4个命题正确的个数为（    ） ①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线； ④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（2026·上海·一模）将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 【变式2】．（23-24高二上·上海静安·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 【变式3】．（24-25高一下·上海松江·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型七 距离与二面角 解｜题｜技｜巧 二面角：优先三垂线法，过棱上一点向两面作垂线，构造平面角。 易｜错｜点｜拨 二面角需区分锐角、钝角，根据图形实际形态判断最终角度。 【典例1】．（23-24高三上·上海·期中）在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【典例2】．（24-25高一下·上海·期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 【变式1】．（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【变式2】．（23-24高一下·上海松江·期末）已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为________. 【变式3】．（22-23高一下·上海奉贤·期末）如图，在长方体中，，点E在棱上运动． (1)证明：； (2)当E与A重合时，求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)等于何值时，二面角的大小为？ 【变式4】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点.且， (1)求EF与AD所成的角； (2)求平面EFB与平面ABCD所成锐二面角的大小. 题型八 平行+垂直+空间角综合解答题 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）如图．在正方体中，是的中点． (1)求证：直线与是异面直线. (2)求直线与平面所成角的大小． 【典例2】．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 【典例3】．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，长方体中，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角. 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，，，求异面直线与所成角的大小. 【变式2】．（22-23高一下·上海杨浦·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的大小 【变式3】．（22-23高一下·上海杨浦·期末）如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小． 【变式4】．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 【变式5】．（22-23高一下·上海奉贤·期末）如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.    (1)求异面直线PC与AD所成角的大小 (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（23-24高一下·上海松江·期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（    ） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 3．（23-24高一下·上海嘉定·期末）下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一下·上海·期末）如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期末）平行于同一平面的两直线的位置可能是___________. 6．若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 7．（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 8．（22-23高一下·上海嘉定·期末）下列命题正确的是（    ） A．若直线∥平面，直线∥平面，则∥ B．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥ C．若直线平面，直线平面，则∥ D．直线与平面所成角的取值范围是 9．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 10．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 二、填空题 11．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知两条直线m，n，两个平面，，给出下列四个说法： ①，，； ②，，； ③，； ④，，， 其中正确的序号是______． 12．（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 三、解答题 13．（22-23高一下·上海徐汇·期末）如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．        (1)当点为中点时，求证：平面； (2)求证：无论点在边的何处，都有． 14．（22-23高一下·上海宝山·期末）在长方体中，，，，、分别为线段、上的点，且，． (1)求证：直线与为异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 15．（25-26高一上·上海·期中）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为________． 16．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是_________． 二、解答题 17．（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 18．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 19．（22-23高一下·上海闵行·期末）给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线． (1)请你用异面直线判定定理证明该结论； (2)请你用反证法证明该结论． 20．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求异面直线与所成角的大小. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 空间直线与平面（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平面基本性质应用（共面、共线、交线问题） 题型02 异面直线判定与夹角计算 题型03线面平行证明（必考基础题型） 题型04面面平行证明 题型05线面垂直证明 题型06面面垂直证明 题型07二面角的概念及辨析 题型08 平行+垂直+空间角综合解答题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面的基本性质 1.能判断点、线共面；能确定平面；会用公理证明简单共面 / 共线问题 2. 会画简单几何体直观图；能识别三视图；纠正 “平面 = 有限图形” 误区 1. 选择题 / 填空题高频；常与 “点线共面、多点共线” 结合； 2. 期末考作图 / 识图；高考偶考三视图还原； 空间直线与直线的位置关系 1.能区分三种位置；会用定义 / 反证法证异面 2.会找角、会解三角形求角；能区分 “异面角” 与 “夹角” 3.能应用定理证角相等；理解空间角的传递性 1. 选择题必考；异面直线判定是易错点； 2. 期末 / 高考高频解答题；常与正方体、长方体结合； 3. 偶考填空； 直线与平面的位置关系 1.能判断位置；会用符号语言表示 2.能证线面平行；能应用性质证线线平行 3.能证线面垂直；理解 “线面垂直→线⊥面内所有线” 4.会找线面角；能计算；区分线面角与异面角 1.解答题高频（证明第一问）；高考必考； 2.核心考点；常与面面垂直结合； 3.期末高频；高考中档题； 平面与平面的位置关系 1.能证面面平行；能应用性质证线线平行 2.能证面面垂直；会用性质找垂线；核心证明工具 3.会找二面角平面角；能计算；区分二面角与线面角 1.解答题常考； 2.高考压轴题高频；与二面角结合； 知识点01 平面的基本性质（4公理+3推论） 平面公理是立体几何证明的根本依据，所有共面、交线、点线面位置证明均由此推导。 1. 公理1（线在面内公理）：若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线上所有点都在该平面内。 符号语言： 核心作用：证明直线在平面内、点在平面内。 2. 公理2（确定平面公理）：不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 三大推论： 推论1：一条直线和直线外一点，唯一确定一个平面； 推论2：两条相交直线，唯一确定一个平面； 推论3：两条平行直线，唯一确定一个平面。 核心作用：证明多点、多线共面，确定立体图形所在平面。 3. 公理3（面面相交公理）：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号语言： 核心作用：找两个平面的交线、证明多点共线。 4. 公理4（平行传递公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行线传递性，不受平面限制）。 符号语言： 知识点02 空间直线的位置关系 空间中两条直线位置关系分为三类，核心区分依据：是否共面、是否有公共点。 相交直线：共面，有且仅有1个公共点； 平行直线：共面，无公共点； 异面直线：不共面、无公共点，不同在任何一个平面内。 异面直线判定结论：平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线为异面直线。 异面直线所成角：将两条异面直线平移至相交，相交形成的锐角或直角即为异面直线所成角，取值范围。 知识点03空间平行关系（线线→线面→面面） 1. 线面平行 判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行。 符号语言： 性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线与交线平行。 符号语言： 2. 面面平行 判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面互相平行。 符号语言： 性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行。 符号语言： 知识点04 空间垂直关系（线线→线面→面面） 1. 线面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。 符号语言： 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 符号语言： 2. 面面垂直 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 符号语言： 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 符号语言： 知识点05 空间角与空间距离核心考点 1. 三类空间角 异面直线所成角：范围，核心方法：平移共面法； 线面角：直线与平面中射影的夹角，范围，直线垂直平面时角为90°，直线平行平面时角为0°； 二面角：两个平面的夹角，范围，核心找平面角。 2. 两类核心距离 点到平面的距离：点到平面垂线段的长度，高频考点，通用方法：等体积法； 异面直线的距离：两条异面直线公垂线段的长度，低频考点。 题型一 平面基本性质应用（共面、共线、交线问题） 解｜题｜技｜巧 1. 线面平行优先找：中位线、平行四边形对边、面面平行的交线； 2. 面面平行核心：两条相交直线是判定底线，平行直线数量不足、不相交均无法判定； 3. 平行传递性可灵活用于空间折线、多线平行推导。 【典例1】．（23-24高一下·上海虹口·期末）下列命题中 ①空间中三个点可以确定一个平面. ②直线和直线外的一点，可以确定一个平面. ③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面. ④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面. ⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合. 真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题. 【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确； 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误； 故选：A. 【典例2】．（22-23高一下·上海嘉定·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”：______. 【答案】 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据线面关系可得结果. 【详解】因为平面经过直线AC，则. 故答案为：. 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分． 【答案】或 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】由题意可得，再分分别与相交时，时两种情况讨论即可. 【详解】因为平面与平面将空间分成3部分， 所以， 当分别与相交时，这三个平面可以将空间分成部分； 当时，这三个平面可以将空间分成部分， 综上所述这三个平面可以将空间分成或部分. 故答案为：或. 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域． 【答案】/ 【知识点】图与形中的归纳推理、平面分空间的区域数量 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 【变式3】．（23-24高一下·上海·期中）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）由线段成比例证∥，∥即可； （2）先证四边形EFGH为梯形其腰交于一点，再证该点同属于面BDC和面ABD即可. 【详解】（1）， ∥ ∥ ∥，所以四点共面； （2）∥，且，， ， 四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD , 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面， ， EH，FG，BD三线共点. 题型二异面直线判定与夹角计算 答｜题｜模｜板 1. 异面直线角：平移异面直线，将空间角转化为平面三角形内角； 2. 线面角：先找平面垂线，再找射影，构造直角三角形求解； 3. 二面角：优先三垂线法，过棱上一点向两面作垂线，构造平面角。 【典例1】．（24-25高一下·上海嘉定·期末）两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是. 故选：B. 【典例2】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是____________. 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的直线的夹角的余弦值即可. 【详解】 利用直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条直线都取两条棱所在的直线的时候，有与两种情况， 所成角的度数分别是0或，其余弦值为1或0； 两条直线一条取面对角线与一条取棱所在的直线时，有与两种情况， 所成角的度数分别是或，其余弦值为0或； 两条直线都取面对角线时，有与两种情况， 由为等边三角形，得； 所成角的度数分别是0或，其余弦值为0或； 两条直线一条取体对角线与一条取棱所在的直线时，有这一种情况， 设正方体的边长为1，在中， 可得, 故所成角的余弦值为； 两条直线一条取体对角线与一条取面对角线时，有与两种情况， 由面,可得,可得夹角得余弦值为0， 中，可得, 故夹角的余弦值为，故其余弦值分别是0或； 两条直线都取体对角线时，有这一种情况， 在中，,,, 故夹角的余弦为. 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 故答案为： 【典例3】．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】等角定理的应用、求异面直线所成的角 【分析】（1）连接，分析可知异面直线和所成角为或其补角，设正方体的棱长为，求出的长，即可求得异面直线与所成角的正切值； （2）利用等角定理可证得结论成立. 【详解】（1）连接，因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 所以异面直线和所成角为或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则，， 因为平面，平面，所以， 故，因此异面直线与所成角的正切值为. （2）因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以. 【变式1】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】取的中点，连接，.易证四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成角.在中，根据余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，. ∵点为的中点，点为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角即为异面直线与所成角. 在中，，，， 由余弦定理可知：， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式2】．（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】根据题意，利用异面直线的定义，依次分析4个命题是否正确，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析4个命题： 因为直线平面，所以、、、不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线时，假设直线取，中只有四条直线、、、与直线异面，故②正确； 若直线为底面对角线时，假设直线取，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线只过底面的一个顶点时，假设直线过点，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线不过底面的任何一个顶点时，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 综上所述，中不可能有2条直线与异面，故①错误； 对于③，当直线取点与线段的中点连线时，中除了、、和之外有8条棱均与直线异面，故③正确； 对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确. 故选：C. 【变式3】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 【答案】或 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 【变式4】．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 题型三 线面平行证明（必考基础题型） 【典例1】．（24-25高二下·上海徐汇·期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行公理、异面直线的判定、证明线面平行 【分析】根据正方体的性质，利用线面平行的判断和性质、中位线的性质、异面直线的定义、平面内两直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】连接，正方体中，是线段的中点，所以是线段的中点.    由，平面平面得∥平面所以与不相交，故A不正确； 由、分别是线段、的中点，得∥，故B不正确； 由平面，，平面，得与直线异面，故C不正确； 对于D，因为∥，，所以与直线不平行，又，平面,所以与直线相交，故D正确.    故选：D. 【典例2】．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】先证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判断进行证明即可． 【详解】在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线平面. 【变式1】．（24-25高二·上海·期中）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行 【分析】由成比例得到，由线面平行的判定得到平面，由线面平行的性质得到，再由平行的传递性得到. 【详解】证明：， ， 平面，平面， 平面． ，， 平面平面， 平面，平面，平面平面， ，又， . 【变式2】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，2 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、证明线面平行 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.    【变式3】．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案. 【详解】（1）连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以或其补角即为异面直线与所成角平面角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 题型四 面面平行证明 答｜题｜模｜板 线面垂直是核心桥梁：所有面面垂直、空间角计算均依赖线面垂直； 【典例1】．（22-23高二下·上海徐汇·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______. 【答案】 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】首先连接，，，易证平面平面，从而得到平面，即可得到线段的最小值. 【详解】连接，，，如图所示： 在正方体中， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面. 因为与平面无公共点，所以平面， 当时，取得最小值. 因为 所以的最小值为. 故答案为： 【变式1】．（2024高二上·上海·期末）已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】取DC中点H，联结HM，HN，证平面HNM∥平面PAD即可证明结果． 【详解】证明：取DC中点H，联结HM，HN， 因为H是DC中点，N是PC中点， 所以HN∥DP，因为平面PAD，平面PAD 则平面PAD； 因为是PC中点，ABCD为矩形， 所以HM∥DA， 因为平面PAD，平面PAD，则平面PAD； 又平面HNM，平面HNM， 故平面HNM∥平面PAD， ∵MN⊂平面HNM， ∴MN∥平面PAD． 【变式2】．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①平面//平面DE；②//平面AF；③平面//平面AFN；④平面//平面NCF；其中真命题的个数是______． 【答案】4 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】根据平面展开图还原几何体，结合面面平行，线面平行的判定定理，逐一分析即可判断. 【详解】由正方体的平面展开图还原几何体如下所示： ①：根据正方体的几何特点，平面显然与平面平行，故正确； ②：连接如下所示： 在四边形中，因为//，故四边形为平行四边形， 故//，又面，面，故//面，故正确； ③：连接如下所示： 显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面， 显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面， 又面，故面//面，故正确； ④：连接如下所示： 显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面， 显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面， 又面，故面//面，故正确. 则真命题的个数是4个. 故答案为：. 【变式3】．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题、证明面面平行 【分析】（1）先由正方体中点性质证、,再利用线面平行判定定理证、分别平行于平面,最后由面面平行判定定理证平面平面； （2）依据点与直线、平面的从属关系,推出都在平面与平面的交线上,从而证得三点共线. 【详解】（1）连接，又点分别为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，又点分别为棱的中点，所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以，即三点共线. 题型五 线面垂直证明 解｜题｜技｜巧 面面垂直多用性质定理：证完垂直后，作交线垂线即可得到线面垂直，用于后续计算。 【典例1】．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 【答案】B 【知识点】判断线面平行、证明线面垂直 【分析】对于①，作出辅助线，得到，进而得到平面，故①正确；对于②，先作出，由垂直的判定定理，进行判断即可. 【详解】对于①，取中点，中点，连接，所以， 又为的中点，所以，所以四点共面， 因为平面，平面， 所以平面，故①正确；    对于②，取中点，可证≌，所以， 所以，故. 若平面上存在一条直线，与平面垂直，则一定与垂直， 即与平行，但与不垂直， 故平面上不存在直线，与平面垂直.故②错误.    故选：B． 【变式1】．（24-25高一下·上海·期末）如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)是，定值． 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可判断； （2）根据线面垂直的性质定理及判定定理可得，即可判断. 【详解】（1）当点为的中点时，与平面平行． 在中，分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）因为平面平面， 所以，又， ，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，点是的中点， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面 所以． 即无论点在边的何处，与所成角都是定值． 【变式2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）如图，定点A和B都在平面α内，，定点，，是内一动点，且.那么，动点在平面内的轨迹所围成图形的面积为___________． 【答案】π 【知识点】证明线面垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】连接BC，证明AC⊥平面PBC得AC⊥BC，从而得到C的轨迹形状及其围成图形的面积． 【详解】连接BC． ∵，∴AC⊥PC． ∵PB⊥α，ACα，∴PB⊥AC﹒ 又PB∩PC＝P，PB、PC平面PBC， ∴AC⊥平面PBC，BC平面PBC， ∴AC⊥BC，故C的轨迹是平面α内以AB为直径的圆(去掉A、B两点)， 故动点在平面内的轨迹所围成图形的面积为． 故答案为：π 【变式3】．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，利用勾股定理有，即，最后由线面垂直的判定定理即可得证； （2）将四棱锥放到长方体中，即证，，即为异面直线与所成的角或其补角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又四边形是矩形，，所以，又， 所以，所以，又平面， 所以平面； （2）将四棱锥放到长方体中，如图： 取的中点为，连接，由， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，所以，又， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 又由，所以， 所以，所以， 所以, 由余弦定理有， 所以异面直线与所成的角为. 题型六 面面垂直证明 答｜题｜模｜板 线线垂直是基础：可通过勾股定理、等腰三角形三线合一、正方体长方体棱边垂直、三垂线定理证明； 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）下列4个命题正确的个数为（    ） ①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线； ④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断面面平行、面面垂直证线面垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据面面平行及面面垂直的性质定理等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于①，平面内的两条直线均平行于另一个平面，可能是两条平行线平行于另一个平面，这两个平面可能相交，故①错误. 对于②，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故②正确. 对于③，平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则， 平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线的平行线，故③正确. 对于④，平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则，故④正确. 故选：C. 【变式1】．（2026·上海·一模）将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、线面垂直证明面面平行、平行公理 【分析】将每个选项中的命题进行变换，结合空间中线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，将该选项中的命题变换为：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行， 变换后的命题为真命题，A选项中的命题为“可换命题”； 对于B选项，将选项中的命题变换为：垂直于同一直线的两个平面平行， 根据线面垂直的性质定理可知变换后的命题为真命题，B选项中的命题为“可换命题”； 对于C选项，将选项中的命题变换为：平行于同一个平面的两个平面平行， 根据平面平行的传递性可知变换后的命题为真命题，C选项中的命题为“可换命题”； 对于D选项，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，D选项中的命题为假命题，D选项不满足要求. 【变式2】．（23-24高二上·上海静安·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求线面角、证明面面垂直、证明线面平行 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接、． 为的中点，且． 平面，平面， ，． 又，． 四边形为平行四边形，则． 平面，平面， 平面．    （2）为等边三角形，为的中点，． 平面，平面，． ，所以，， 又，平面， 平面． 平面，平面平面． （3）在平面内，过作于，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面． 为和平面所成的角． 因为，，则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为．    【变式3】．（24-25高一下·上海松江·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）连接，利用几何关系得，，再利用线面垂直的判定定理，即可求解； （2）由（1）知为与平面所成的角，在中，利用，即可求解； （3）在上取点，使，连接，过作交于，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，进而可得平面平面，再由面面平行的性质，即可求解. 【详解】（1）如图，连接，因为，为中点，所以， 又，所以，， 在中，，，则，由余弦定理，， 又，所以，则， 又面，所以平面. （2）由（1）知为与平面所成的角， 在中，，所以， 又，所以， 即与平面所成的角为. （3）存在，且，理由如下， 如图在上取点，使，连接，过作交于，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 由，知， 所以在线段上是否存在点，使得平面，且. 题型七 距离与二面角 解｜题｜技｜巧 二面角：优先三垂线法，过棱上一点向两面作垂线，构造平面角。 易｜错｜点｜拨 二面角需区分锐角、钝角，根据图形实际形态判断最终角度。 【典例1】．（23-24高三上·上海·期中）在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【知识点】求二面角 【分析】由题意根据平面具有延展性可知二面角的大小实质为面与平面所成的二面角判断①；将平面沿直线翻折到平面内，过点做，，此时，的值最小，判断②. 【详解】 对于①，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，①正确; 对于②，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下， 过点做，，此时，的值最小. 由题可知， 则， 故，又故的最小值为，故②正确. 故选：A. 【典例2】．（24-25高一下·上海·期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 【答案】 【知识点】求二面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】画出简图，结合二面角的定义及三角函数关系即可求解. 【详解】 如图所示：二面角为，点，点在平面内的射影点为，过点在平面内作，垂足为点，连接. 因为，，所以， 因为，，，平面，平面，所以平面. 因为平面，，所以即为二面角的平面角，所以. 在中，. 所以这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【答案】2 【知识点】求二面角、由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直 【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到的长度. 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 平面， 可得平面，所以平面 而平面，所以 在中，有勾股定理可得 故答案为：2 【变式2】．（23-24高一下·上海松江·期末）已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为________. 【答案】 【知识点】二面角的概念及辨析、点面距离的概念及性质 【分析】作于，连接，则平面，所以即为二面角的平面角，作于，则在上，作于，则在上，在内求即可. 【详解】如图： 作于，连接，又因为，平面，， 所以平面. 所以即为二面角的平面角，故. 作于，则在上，作于，则在上. 在中，，，，所以； 在中，，，，所以. 由余弦定理：， 所以. 故答案为： 【变式3】．（22-23高一下·上海奉贤·期末）如图，在长方体中，，点E在棱上运动． (1)证明：； (2)当E与A重合时，求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)等于何值时，二面角的大小为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离、求线面角 【分析】（1）证明平面可得； （2）平面即为平面，在平面内过作于，得就是直线与平面所成角，在直角三角形中求解即得； （3）二面角是，则二面角是，作，垂足为，连接，得是二面角的平面角，即，然后求出，，得，从而得． 【详解】（1）连接，， 在正方形中，， 又长方体中平面，平面，所以， ，平面， 所以平面，而平面，所以； （2）如图，平面即为平面，在平面内过作于， 由平面，平面得， ，平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角， 在直角中， ． 所以直线与平面所成角的大小为； （3）如图二面角是，则二面角是， 作，垂足为，连接， 平面，平面，则， ，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角，即， 在直角中，，， ，， 所以， 所以． 【变式4】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点.且， (1)求EF与AD所成的角； (2)求平面EFB与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求二面角、求异面直线所成的角 【分析】（1）若为中点，连接，由矩形及中位线的性质，结合线线角的定义知EF与AD所成角为，由线面垂直的性质有，即可确定EF与AD所成的角； （2）由（1）及二面角的定义确定面与面的夹角大小，根据面面垂直的判定易证面面ABCD，进而可知面EFB与面ABCD所成锐二面角的大小. 【详解】（1）若为中点，连接， 由E，F分别是AB，PC的中点，故且，， 而在矩形ABCD中，则，故EF与AD所成角为， 因为平面ABCD，面ABCD，则，即， 所以，故△为等腰直角三角形，则. （2）由（1）易知：平面ABCD，面ABCD，则， 而，，则， 又，面，故面， 由面，则， 又面面，面，面， 故面与面所成锐角的平面角为， 由平面ABCD，面，则面面ABCD且交线为AB， 综上，面与面ABCD所成锐二面角为. 题型八 平行+垂直+空间角综合解答题 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）如图．在正方体中，是的中点． (1)求证：直线与是异面直线. (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】异面直线的判定、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）利用反证法可证明. （2）取的中点，连接，；先根据正方体的性质及线面所成角的定义确定直线与平面所成角；再结合直角三角形中正切的定义即可求解. 【详解】（1）证明：假设直线与不是异面直线， 则直线与可以确定一个平面，记为平面， 所以点，点，点在平面上. 又根据题意可知：点，点，点在平面上 所以点，点，点三点共线，这与点是的中点相矛盾， 故假设不成立， 所以直线与是异面直线. （2） 取的中点，连接，. 因为是的中点， 所以，且. 由正方体的性质可知：平面， 所以平面， 则是直线与平面所成角. 设正方体的棱长为， 则，， 所以， 因为， 所以. 【典例2】．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明线面平行 【分析】（1）根据中位线得出，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）根据平面，得出就是直线与平面所成角，解三角形即可． 【详解】（1）因为E、F分别是为的中点， 所以，又因为， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）连接， 因为ABCD为菱形，，， 所以三角形为等边三角形， 故， 又，所以， 因为平面， 所以就是直线与平面所成角， 在直角三角形中， ， 所以， 即直线与平面所成角的大小为． 【典例3】．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，长方体中，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）连接AC.运用中位线得到，依据直线与平面平行的判定定理得到平面. （2）运用正方体性质得到，依据直线与平面垂直的判定定理得到平面. （3）通过平移其中一条直线，使它们相交，得到所成角，再结合长方体的棱长等条件进行求解. 【详解】（1） 连接AC.在中，因为、分别是，的中点，可得. 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）在长方体中，底面是正方形，所以. 因为平面，平面，可得. 由于，平面，平面，所以AC⊥平面. （3）由（1）知，在长方体中，，所以就是异面直线EF与所成的角（或其补角）. 因为底面是正方形，，所以是等腰直角三角形，，即异面直线与所成角为. 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，，，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、空间位置关系的画法 【分析】（1）根据点，线，面的位置关系，画出线面的公共点； （2）根据几何关系，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角. 【详解】（1）如图，，点是直线与平面的交点， 理由：平面，， 平面，， 所以点是直线与平面的交点； （2）连结， 因为分别是和的中点，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以 所以异面直线与所成角为和所成的角，即或其补角， 若，，，则，,， 中，, 则, 所以异面直线与所成角为. 【变式2】．（22-23高一下·上海杨浦·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的大小 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、求线面角、证明线面平行 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）过点作，连接，由题意可证得平面，所以是直线和平面所成角，求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 在中，，平面，平面， 所以平面；    （2）因为是正三角形，是的中点，所以， 设的边长为，所以， 因为平面平面，平面平面， 因为四边形是正方形，所以， 所以平面，平面，所以， 所以，， 所以，所以，又因为， ，平面，所以平面， 过点作，连接，平面，所以， 平面，所以平面， 所以是直线和平面所成角， 在，，所以， 所以，所以. 所以，所以直线和平面所成角的大小.    【变式3】．（22-23高一下·上海杨浦·期末）如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、余弦定理解三角形、求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故证明面面垂直； （2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小. 【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD， 所以PA⊥AB， 因为， 所以⊥AD， 因为PAAD=A，平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 因为CFAB，所以CF⊥平面PAD， 因为CF平面CFG， 所以平面CFG⊥平面PAD； （2）平面，AD，AC平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AC， 因为，， 由勾股定理得：，则∠ADB=30°， 同理可得，∠CDB=30°， 故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，， 故，，， 过点B作BE⊥PC于点E，连接DE， 在△BCP中，由余弦定理得：， 则，， 在△CDP中，由余弦定理得：， 在△CDE中，， 因为，所以DE⊥PC， 所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角， 由余弦定理得：， 故平面与平面所成二面角的大小为. 【变式4】．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0.8或1.8 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由圆的性质可得，再由平面，得，可得平面，从而可得，进而可证得结论. （2）过A作于H，可证得是直线与平面所成的角，在中求解即可； （3）为中点，由题意有或，中由余弦定理解出，中勾股定理求的长. 【详解】（1）是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即是直角三角形； （2）过A作于H，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得， 而，所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3） 设为中点，连接，又为的中点，则有， 异面直线与所成角为，则有或， 若，则，，， 当时，中，由余弦定理， 得， 中，； 当时，中，由余弦定理， 得， 中，， 所以的长为0.8或1.8 【变式5】．（22-23高一下·上海奉贤·期末）如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.    (1)求异面直线PC与AD所成角的大小 (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】（1）通过做平行线将异面直线的角转化成求，利用勾股定理和余弦定理即可求出异面直线PC与AD所成角的大小； （2）通过证明，即可证明结论； （3）通过找出二面角，求出其正弦值，进而求出与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意， 在四棱锥中，，， 面，面， ∴， ∵，，， 作且，则即为异面直线PC与AD所成角 ，，      由几何知识得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 解得：， ∴， ， ∴直线PC与AD所成角的大小为. （2）由题意及（1）得， 在四棱锥中， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，平面， ∴平面. （3）由题意及（1）（2）得， 作，垂足为H，连接， 因为平面， 平面， ∴， ∵且平面， ∴平面， ∴为与平面所成的角， 在中，， ， ∴直线与平面所成角的余弦值为：.    期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】公理的应用 【分析】可根据两个平面交线的定义，找出同时属于两个平面的直线即可得出结果. 【详解】点是长方体的顶点，显然平面 且平面， 所以平面平面； 是矩形的对角线交点，则平面，平面， 所以平面平面， 所以平面平面. 故选：C 2．（23-24高一下·上海松江·期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（    ） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 【答案】C 【知识点】判断面面平行、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面垂直的性质判断A；根据面面平行的概念判断B；根据特例判断C；根据线面平行，判断面面平行判断D. 【详解】根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知A正确； 根据平行于同一个平面的两个平面互相平行，可知B正确； 根据墙角模型可知，垂直于同一个平面的两个平面未必平行，故C错误； 作，且相交，则可确定平面， 因为，，所以， 同理，故，故D正确. 故选：C 3．（23-24高一下·上海嘉定·期末）下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面的位置关系逐项判断. 【详解】①若直线l上有无数个点不在平面α内，有可能直线与平面相交，故错误； ②若直线l与平面α平行，有可能直线与平面内的直线异面，故错误； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么有可能另外一条直线在面内，故错误； ④因为直线与平面平行时与平面内直线的位置关系为平行或异面，均没有公共点，正确； 故选：B. 4．（25-26高一下·上海·期末）如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【详解】由直观图得到原图，如图所示， 由可知，且， ，所以， 所以的周长为. 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期末）平行于同一平面的两直线的位置可能是___________. 【答案】平行或相交或异面 【知识点】线面平行的性质、异面直线的概念及辨析 【分析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系． 【详解】若且，则与可能平行，也可能相交，也有可能异面， 故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面， 故答案为：平行或相交或异面． 6．若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【答案】①④⑤ 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【详解】对于①，若，，则，故①正确； 对于②，由，，可以得出 或，故②错误； 对于③，由，，可以得出，,或与相交，故③错误； 对于④，若，，则，故④正确； 对于⑤，若，，则，故⑤正确. 7．（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      【答案】3 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 8．（22-23高一下·上海嘉定·期末）下列命题正确的是（    ） A．若直线∥平面，直线∥平面，则∥ B．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥ C．若直线平面，直线平面，则∥ D．直线与平面所成角的取值范围是 【答案】C 【知识点】线面角的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合平面的基本性质、线面垂直的性质判断A、B、C；由线面角的定义判断角的范围判断D. 【详解】A：两直线同时平行于同一平面时，两直线可能平行、异面或相交，错； B：直线上有两点到一个平面的距离相等，直线可能与平面平行、相交或直线在平面内，错； C：两直线同时垂直于同一平面，根据线面垂直的性质知：两直线平行，对； D：直线与平面所成角的范围为，错. 故选：C 9．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 10．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【知识点】异面直线的判定、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 二、填空题 11．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知两条直线m，n，两个平面，，给出下列四个说法： ①，，； ②，，； ③，； ④，，， 其中正确的序号是______． 【答案】①④ 【知识点】判断线面是否垂直、判断面面平行、判断线面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】对于①：根据线面垂直的性质分析判断；对于②③：根据线面位置关系分析判断；对于④：根据线面垂直分析判断. 【详解】对①，∵，，∴，又，∴，∴①正确； 对②，∵，，，∴或m与n异面，∴②错误； 对③，∵，，∴n与可以成任意角，∴③错误； 对④，∵，，则， 又∵，∴，∴④正确． 故答案为：①④． 12．（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【知识点】求异面直线的距离 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 三、解答题 13．（22-23高一下·上海徐汇·期末）如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．        (1)当点为中点时，求证：平面； (2)求证：无论点在边的何处，都有． 【答案】(1)详见解析. (2)详见解析. 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据中位线平行于底边知，,利用线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明出平面,即可证明出结论. 【详解】（1）点是的中点,当点为中点时， 可得，又平面平面 平面. （2）点是的中点, 又底面，平面,, 又四边形是矩形，又 平面平面, 又平面 又平面, 无论点在边的何处，都有. 14．（22-23高一下·上海宝山·期末）在长方体中，，，，、分别为线段、上的点，且，． (1)求证：直线与为异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线的判定 【分析】（1）根据异面直线的判定定理分析证明；（2）根据异面直线的夹角结合两角差的余弦公式运算求解. 【详解】（1）连接，设， 由题意可得：，，则为平行四边形，即四点共面， ∵平面，平面，， ∴直线与为异面直线. （2）由（1）可得：为平行四边形，则， 由题意可得：，则， ∴， 即为锐角，故异面直线与所成的角为，其余弦值为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 15．（25-26高一上·上海·期中）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为________． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用面积公式，求出直观图的高，求出，然后求出的长，即可得出三角形面积. 【详解】因为轴，所以的中，， 又三角形的面积为16，所以.∴， 所以. 如图作于， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 16．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是_________． 【答案】 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、求线面角 【分析】作出图形，找出直线与平面所成的角，证出平面，得出，得出点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆点除外，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果 【详解】如图， 过点作，交的延长线于点，连接，， 取的中点为，连接，过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，平面，， ，平面，在平面上的射影就是直线， 故就是直线与平面所成的角，即， ，， 又，，，平面， 平面，平面，， 故点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆点除外， ，且，， 设，则，从而， ，如图， 当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值， 取得最大值为：． 故答案为：. 二、解答题 17．（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，所以与的夹角为或其补角，求出的值，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，与的夹角的余弦值为. 18．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【知识点】反三角函数、求线面角、证明面面平行 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行； （2）先由二面角大小得到各边长，作出辅助线，得到线面垂直，进而求出线面角的大小 【详解】（1）因为长方形中，，折叠过程中，， 又平面，平面，故平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面； （2）因为长方形中，点、分别为边、的中点， 故，二面角的平面角为，即， 又，所以，为等边三角形， 同理可得为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 又⊥平面，平面，故⊥， 因为，平面，故⊥平面， 故直线与平面所成角为， ，，故，由勾股定理得， 则， 直线与平面所成角的大小为. 19．（22-23高一下·上海闵行·期末）给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线． (1)请你用异面直线判定定理证明该结论； (2)请你用反证法证明该结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】异面直线的判定 【分析】（1）根据异面直线的判定定理说明即可； （2）假设直线是共面于平面，则四点共面，说明其与已知矛盾即可，即可得证. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，直线， 所以直线与是异面直线， 同理与，与也是异面直线， 所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线； （2）证明：假设直线是共面于平面，即， 则， 四点共面与已知四点不共面矛盾， 所以假设错误，即直线一定是异面直线， 同理与，与也是异面直线， 所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线. 20．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) (3) 【知识点】余弦定理解三角形、反三角函数、求异面直线所成的角、平行公理 【分析】（1）连接、、，证明出，，可知、是梯形的两腰，即可证得结论成立； （2）连接、、，分析可知、所成的角为或其补角，判断出的形状，即可得解； （3）连接、、，由异面直线所成角的定义可知，异面直线与所成角为，结合余弦定理可求得结果. 【详解】（1）连接、、，如下图所示，    因为、分别为、的中点，所以，， 在正方体中，，， 因为、分别是、的中点，所以，， 因为四边形为平行四边形，所以，， 所以，，所以、是梯形的两腰. 因此直线与相交. （2）连接、、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以、所成的角为或其补角， 易知为等边三角形，故， 因此异面直线与所成的角为. （3）取线段的中点，连接、、，如下图所示：      在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角为， 不妨设正方体的棱长为，则， 同理可得，， 由余弦定理可得. 因此，异面直线与所成角为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $