精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市金凤区银川唐徕回民中学西校区二模数学试题

银川市唐徕中学西校区2025-2026学年第二学期第二次模拟考试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 甲和乙一起练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，设他们这10次射击成绩的方差为，则与之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 4. 如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 5. 以下四种沿折叠的方法中，若，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第20个图案中三角形的个数是（ ） A. 88 B. 78 C. 68 D. 58 8. 在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( ) A. 1 B. 2 C. 6 D. 8 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 要使代数式有意义，则x的取值范围为______． 10. 分解因式：=_______． 11. 如图，如果小球在用七巧板拼成的正方形中自由地滚动，并随机地停留在某区域，它最终停留在号区域的概率为__________． 12. 已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 13. 如图，双曲线（，）经过平行四边形的对角线交点，已知边在轴上，且于点，若平行四边形的面积是3，则的值是__________． AI 14. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为_______． 15. 如图，将边长为2的正六边形ABCDEF绕顶点A顺时针旋转60°，则旋转后所得图形与正六边形ABCDEF重叠部分的面积为______． 16. “黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是________厘米． 三、解答题（共72分） 17. 先化简，再从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 18. 解不等式组：． 下面是某同学解不等式①的过程，请你阅读解题过程并完成相应任务． 解：去括号，得……第一步 移项，得……第二步 合并同类项，得……第三步 系数化为1，得．……第四步 （1）任务一：该同学的解答过程中第__________步出现了错误，错误原因是：______________________________． 不等式①的正确解集是：______________________________． （2）任务二：解不等式②，写出原不等式组的解集． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形． 20. 阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． （1）图1中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是________________； （2）图2中，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得．（保留作图痕迹）； （3）图3中，求作线段的三等分点，使．（保留作图痕迹）； 21. 今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨、某物流公司现有吨物资，计划同时租用型和型车，一次运完，且恰好每辆车都装满． （1）辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； 22. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了______名学生； （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 23. 在一次数学实践活动中，某兴趣小组测量一幢建筑物的高度，如图所示，测得斜坡的坡度，坡面的长为26米，在B处测得建筑物顶部D的仰角为，在E处测得建筑物顶部D的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：，，） 24. 如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点、，与相切于点．于点，连接交于点． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 25. 综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． （3）点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学西校区2025-2026学年第二学期第二次模拟考试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 甲和乙一起练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，设他们这10次射击成绩的方差为，则与之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，乙的成绩波动比较大，则波动大的方差就大． 【详解】解：从图看出：甲选手的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定，乙的波动较大，则其方差大， 故选：C． 【点睛】此题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 3. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x， 所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC=， 故选A. 4. 如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 5. 以下四种沿折叠的方法中，若，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，折叠的性质，熟练掌握平行线的判定定理，是解题的关键．根据平行线的判定定理和折叠的性质，进行分析，即可解答． 【详解】解：A．根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， ∴无法判断a，b互相平行，故A不符合题意； B．根据折叠可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行，故B符合题意； C．延长， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴不能判定纸带两条边线a，b互相平行，故C不符合题意； D．延长，如图所示： 根据折叠可知：， ， ∴， ∴，故D符合题意； 故选：D． 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 7. 如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第20个图案中三角形的个数是（ ） A. 88 B. 78 C. 68 D. 58 【答案】B 【解析】 【分析】先根据前几个图案中三角形的个数，找出其变化规律，推导出第个图案中三角形的个数与n的关系，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图案有个三角形， 第②个图案有个三角形， 第③个图案有个三角形， ∴第个图案中三角形的个数为个． 将代入，得： ， ， （个）． 8. 在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( ) A. 1 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 要使代数式有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键． 10. 分解因式：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否符合完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】解：． 故答案为：. 11. 如图，如果小球在用七巧板拼成的正方形中自由地滚动，并随机地停留在某区域，它最终停留在号区域的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，设号七巧板的面积为，根据七巧板拼成的正方形的几何性质得到正方形的面积是，然后利用概率的概念计算即可. 【详解】解：由题知：设号七巧板的面积为， 由七巧板的性质可得：号七巧板的面积为号七巧板的面积的倍：； 号七巧板的面积与号七巧板的面积相同为：； 同理可得：号和号七巧板面积的和为：； 又由七巧板的性质可得：号七巧板与号、号、号、号、号拼在一起的三角形相似，相似比为：，面积比为：； ∴号七巧板的面积为：； ∴号、号、号、号、号拼在一起的七巧板面积和为， ∵利用对称可得：号和号七巧板面积的和为：； ∴ 七巧板拼成的正方形的面积为：； ∴小球停留在号区域的概率为：. 12. 已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】原方程有两个实数根，故为一元二次方程，二次项系数不为，由两根互为相反数得两根之和为，利用根与系数的关系求出，再验证判别式大于，即可得到的值． 【详解】解：原方程有两个互为相反数的实数根， 原方程为一元二次方程，即； 设方程的两根为，由两根互为相反数得， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得 ， ． ， ，解得 由， 将代入得，满足方程有两个实数根的条件，符合题意． 13. 如图，双曲线（，）经过平行四边形的对角线交点，已知边在轴上，且于点，若平行四边形的面积是3，则的值是__________． AI 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的面积是3， ∴， ∵双曲线（，）经过平行四边形的对角线交点，， ∴， 解得：， ∵函数图象位于第二象限， ∴． 14. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质得到，利用角平分线的定义得出，从而得到是黄金三角形，利用底与腰的比值为，得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即：是黄金三角形， ∴， 解得：． 15. 如图，将边长为2的正六边形ABCDEF绕顶点A顺时针旋转60°，则旋转后所得图形与正六边形ABCDEF重叠部分的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得出旋转后所得图形与正六边形ABCDEF重叠部分是一个菱形，由边长为2的两个等边三角形组成，由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】解：如图所示： 将边长为2的正六边形ABCDEF绕顶点A顺时针旋转60°， 则旋转后所得图形与正六边形ABCDEF重叠部分是一个菱形，由边长为2的两个等边三角形组成， ∴重叠部分的面积=2××2×=2； 故答案为2． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质以及三角形面积公式；熟练掌握旋转的性质，熟记正六边形的性质是解题关键． 16. “黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形的弧长以及图形规律，先找出每一步的半径，再运用扇形弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵“黄金螺旋线”是半径大小不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的， 第一步中的扇形的半径是1厘米， ∴（厘米）， ∴它的弧线长是厘米； 结合图形，得第二步中所画的弧线长也是厘米； 第三步，半径是（厘米）， ∴第三步中所画的弧线长为（厘米）； 第四步，半径是（厘米）， ∴第四步中所画的弧线长为（厘米）； 第五步，半径是（厘米）， ∴第五步中所画的弧线长为（厘米）； ∴画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 先化简，再从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，然后将符合题意的数值代入可得答案． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， 当时，原式． 18. 解不等式组：． 下面是某同学解不等式①的过程，请你阅读解题过程并完成相应任务． 解：去括号，得……第一步 移项，得……第二步 合并同类项，得……第三步 系数化为1，得．……第四步 （1）任务一：该同学的解答过程中第__________步出现了错误，错误原因是：______________________________． 不等式①的正确解集是：______________________________． （2）任务二：解不等式②，写出原不等式组的解集． 【答案】（1）四；不等式两边除以负数时，不等号方向未改变； （2）；原不等式组的解集为 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， ∴原不等式组的解集为． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形． 【答案】（1）证明：∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF， ∴BF=CE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC． 在△ABF和△DCE中， ∵AB=DC，BF=CE，AF=DE， ∴△ABF≌△DCE． （2）证明：∵△ABF≌△DCE， ∴∠B=∠C． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠B+∠C=180°． ∴∠B=∠C=90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据等量代换得到BE=CF，根据平行四边形的性质得AB=DC．利用“SSS”得△ABF≌△DCE． （2）平行四边形的性质得到两边平行，从而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C，从而得到一个直角，问题得证. 【详解】（1）略 （2）略 20. 阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． （1）图1中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是________________； （2）图2中，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得．（保留作图痕迹）； （3）图3中，求作线段的三等分点，使．（保留作图痕迹）； 【答案】（1）平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 （2）如图， （3）如图， 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案； （2）如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接交线段于，则即为所求； （3）如图，取格点，且，连接交于，则，即为所求； 【小问1详解】 解：图1中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是：平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例； 【小问2详解】 解：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接交线段于，则即为所求； 证明：由平移可得：理由， 又∵， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，取格点，且，连接交于，则，即为所求； 证明：∵， ， ∵， ， ． 21. 今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨、某物流公司现有吨物资，计划同时租用型和型车，一次运完，且恰好每辆车都装满． （1）辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； 【答案】（1） 辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨 （2） 共有种租车方案：①租用型车辆，型车辆；②租用型车辆，型车辆 【解析】 【分析】（1）设辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意，该物流公司现有吨物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：设辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨， 由题意得：， 解得：， 答：辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨； 【小问2详解】 解：设租用型车辆，型车辆， 由题意得：， ∵均为正整数， ∴或 ． 答：共有种租车方案：①租用型车辆，型车辆；②租用型车辆，型车辆． 22. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了______名学生； （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数即可； （2）总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数，1减去其它项所占的百分比，求出D项所占的百分比即可，再补全图形即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴一共调查了20人； 【小问2详解】 解：∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为， ∴组人数为：（人）， ∴组男生有：（人）； 补全图形如下： 【小问3详解】 解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 23. 在一次数学实践活动中，某兴趣小组测量一幢建筑物的高度，如图所示，测得斜坡的坡度，坡面的长为26米，在B处测得建筑物顶部D的仰角为，在E处测得建筑物顶部D的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：，，） 【答案】68米 【解析】 【分析】过作于，则四边形是矩形，得出，， 根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理得出，结合米，得出，则米，米，米，设建筑物高度米，则，在和中解直角三角形即可求解． 【详解】解：过作于， 则四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴， 设，， 由勾股定理得：， ∵米， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 设建筑物高度米， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， 在中，，， ∴ ， 解得：， 综上，建筑物的高度为米． 24. 如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点、，与相切于点．于点，连接交于点． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴直线与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接．证明．由是的半径，即可得到结论； （2）设的半径为，连接，证明四边形是正方形，得到，在中，，即，解得，利用进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，连接． ∵与相切于点， ， ，且， ∴四边形是正方形， ∴， ， ， 在中，，即， 解得（负值舍去）． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 25. 综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． （3）点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式； （ 2 ）过点作轴于点，交于点．设，则，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，的值，进而求得点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得的坐标进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于两点， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：二次函数与轴交于点， 当时，得：， ， 设直线的表达式为， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 如图1，过点作轴于点，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：设． ∵， 如图2，①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：或， 或； ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ． 综上所述，在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或． 26. 【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $