2025-2026学年浙教版数学八年级下册期末复习专题四： 尺规作图

**基本信息** 以经典几何图解为载体，融合尺规作图操作与几何性质应用，覆盖选择、作图、证明等多元题型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |经典图解应用|3|结合一元二次方程的几何图解，如欧几里得《原本》方法|尺规作图操作→几何图形性质→代数关系转化，体现空间观念与推理意识| |特殊四边形作图与判定|5|平行四边形、菱形、矩形的尺规作图及判定条件|从基本作图到特殊图形判定，构建“操作-性质-判定”逻辑链| |综合作图与计算|3|作图与角度、长度计算结合，如中位线、角度证明|融合几何直观与运算能力，强化数学思维的严谨性|

2025学年八年级第二学期期末复习专题四：尺规作图 【例】古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的 问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里 得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是：如图1，以 为两直角边作Rt△ABC,再在斜边上截取BD,则AD的长就是所盛 2 根，若关于x的一元二次方程x2+2mx=36,按照图1，构造图2，在Rt△ABC中， ∠4C公-0，法接C0,为则m的微方( B D D 图1 图2 A.8 B.5 C.2.5 D. 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线 段4B于点D:以点A为圆心，4D长为半径画弧，交线段AC于点E.则怒的值是() A. B.5 c. D.型 2.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC,使 1CB=90°，BC?,4C=,再在斜边AB上截取BD=,则该方程的一个正 A.AC的长B.AD的长C.BC的长 D.CD的长 1 3.欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax=b2的方法，类似地我们可 以用折纸的方法求方程x2+x-1=0的一个正根.如图，一张边长为1的正方形的纸片 ABCD,先折出AD、BC的中点G、H,再折出线段AW,然后通过沿线段AW折叠使AD落在 线段AH上，得到点D的新位置P,并连接NP、NH,此时，在下列四个选项中，有一条线 段的长度恰好是方程x2+x-1=0的一个正根，则这条线段是() G A.线段BH B.线段DN C.线段CN D.线段NH 4如图，在矩形ABCD中，AB>BC,BC=2,分别以点A,点C为圆心，大于】AC的长为 半径画弧，两弧交于点M,N,直线MN交AD和CB的延长线于点E,F,连结AF,CE.若 AB平分∠FAC,则四边形AFCE的面积为() B A.12B.6V5 C.16D.8V5 5,如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,尺规作图操作步骤如下：①以点C为 圆心，OC长为半径画弧，②以点D为圆心，OD长为半径画弧；③两弧交于点E,连结 DE,CE.则下列说法一定正确的是() A.若AC⊥BD,则四边形OCED是矩形 B.若AC=BD,则四边形OCED 是菱形 C.若AD⊥CD,则四边形OCED是矩形 D.若AD=CD,则四边形OCED 是菱形 2 6.如图，在平行四边形ABCD中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕 迹)· (1)在BD上作出点0，使OB=OD; (2)若点E是AD上一点，连结CE,请过点A作线段CE的平行线段AF,并交BC于点 F. 3 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点 D;以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E,连结CD. 的 ND (1)若∠A=28°，求∠ACD的度数 (2)设BC=a,AC=b ①线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由， ②若AD=EC,求a的值 b 8.如图，矩形ABCD中，M是BC上一点，且MC=2BM,连接DM· A D B M (1)尺规作图：作△MCD的中位线EF,分别交DM,DC于点E,F;(不写作法，保 留作图痕迹) (2)连接BE,MF,求证：四边形BMFE为平行四边形. 9.在边长为1的菱形ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线BD于点E. A E D C (1)若AE=DE时，求∠ABD的度数： (2)设AB=k·AE, ①当k=2时，求BD的长； DE ②用含k的代数式表示 BE 10.己知BD是·ABCD的对角线.小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形： 9 N D M B E B 图1 图2 (1)小滨：如图1作BD的中垂线，分别交BC,AD,BD于点E,F,O,连结BF,DE ,则得到的四边形BEDF是菱形.请问小滨的作法是否正确？若正确，请证明；若不正 确，请说明理由 (2)小江：如图2，过BD中点O作直线MQ,分别交AB,CD于点M,Q.以点O为 圆心，OM长为半径画弧，与边AD交于点N,连结NO并延长NO交BC于点P,连结 MN,NQ,QP,PM,则得到的四边形MPQN是矩形.请问小江的作法是否正确？若正 确，请证明；若不正确，请说明理由 7 11.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分 别交BC,CD于点F,E,连接AE,AF,EF,BD, (1)求∠EAF度数； (2)求证：BD∥EF. A D B 2025学年八年级第二学期期末复习专题四：尺规作图 【例】古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ） A. 8 B. 5 C. 2.5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．则的值是（　　） A． B． C． D． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力． 【分析】设BC＝m，可得 AC＝2m，利用勾股定理可得，可得，再代入进行计算即可． 【解答】解：∵AC＝2BC，设BC＝m，则AC＝2m， ∵∠ACB＝90°， ∴， ∵BD＝BC＝m， ∴， ∵AD＝AE， ∴AE＝AD＝（1）m， ∴， 故选：B． 2.欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 3.欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（　　） A. 线段BH B. 线段DN C. 线段CN D. 线段NH 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BH=0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DN=m，则NC=1-m，从而可以用m表示等式进行求解． 【详解】解：解方程得， ∴取正值为． 设DN=m，则NC=1-m． 由题意可知：H是BC的中点，DN=PN=m，∠APN=∠D=90°（折叠的性质），BH=CH=0.5． 在Rt△ABH中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这条线段是线段DN． 故选：B． 4.如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，BC＝2，分别以点A，点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN交AD和CB的延长线于点E，F，连结AF，CE．若AB平分∠FAC，则四边形AFCE的面积为（ ） A．12 B． C．16 D． 【答案】D 5，如图,平行四边形 的对角线相交于点 ,尺规作图操作步骤如下: ①以点 为圆心, 长为半径画弧; ②以点 为圆心, 长为半径画弧; ③两弧交于点 ,连结 . 则下列说法一定正确的是 A. 若 ,则四边形 是矩形 B. 若 ,则四边形 是菱形 C. 若 ,则四边形 是矩形 D. 若 ,则四边形 是菱形 【答案】B 6.如图，在平行四边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在上作出点，使； （2）若点是上一点，连结，请过点作线段的平行线段，并交于点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定； （1）连接交于点，点即为所求； （2）连接，并延长交于点，连接即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴， 【小问2详解】 如图，线段即为所求． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 7.如图，在中，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD. （1）若，求的度数. （2）设，. ①线段AD的长是方程的一个根吗？说明理由. ②若，求的值. 【答案】解：（1）∵，，∴， ∵，∴， ∴； （2）①由勾股定理得，，∴， 解方程得，， ∴线段的长是方程的一个根； ②∵，∴， 由勾股定理得，，则， ∴，∴. 8.如图，矩形中，M是上一点，且，连接． （1）尺规作图：作的中位线，分别交，于点E，F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，三角形中位线定理，平行四边形的判定； （1）分别作出、的垂直平分线得到、的中点、，即可求解； （2）由三角形的中位线定理得，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证； 掌握线段垂直平分线的作法及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 线段为所求作； 【小问2详解】 证明：如图， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形平行四边形． 9.在边长为1的菱形中，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点． （1）若时，求的度数： （2）设， ①当时，求的长； ②用含的代数式表示． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，则，根据菱形的性质，又，，设，根据三角形的内角和即可求出x，进而作答即可； （2）①过点B作于点M，连接交于点O，根据菱形性质，根据，在直角三角形中，根据勾股定理求出，根据等面积求出的长，再根据勾股定理求出的长，根据，即可作答； ②过点B作于点M，连接交于点O，根据菱形性质，在直角三角形中，根据勾股定理求出，根据等面积求出的长，再根据勾股定理求出和的长，根据，即可作答； 【小问1详解】 解：∵以点B为圆心，长为半径画弧，交对角线于点E， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， 又， ∴， 设， 则， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为； 【小问2详解】 ①过点B作于点M，连接交于点O， ∵和是菱形对角线， ∴，且， ∵，，， ， 又∵， ， 在直角三角形中，， ， ， 即， ， 在中，， ， ， 的长为； ②过点B作于点M，连接交于点O， ∵和是菱形对角线， ∴，且， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ， 即， ， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ． 10.已知BD是▫ABCD的对角线．小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形： （1）小滨：如图1作BD的中垂线，分别交BC，AD，BD于点E，F，O，连结BF，DE，则得到的四边形BEDF是菱形．请问小滨的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由． （2）小江：如图2，过BD中点O作直线MQ，分别交AB，CD于点M，Q．以点O为圆心，OM长为半径画弧，与边AD交于点N，连结NO并延长NO交BC于点P，连结MN，NQ，QP，PM，则得到的四边形MPQN是矩形．请问小江的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由． 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【分析】（1）作法正确，根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可； （2）作法正确，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【解答】解：（1）小滨的作法正确． 理由：由作图可知EF垂直平分线段BD， ∴OB＝OD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ODF＝∠OBE， ∵∠DOF＝∠BOE， ∴△DOF≌△BOE（ASA）， ∴DF＝BE， ∵DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形； （2）作法正确． 理由：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠OBM＝∠ODQ， ∵∠BOM＝∠DOQ，OB＝OD， ∴△BOM≌△DOQ（ASA）， ∴OM＝OQ， 同法可证ON＝OP， ∴四边形MNQP是平行四边形， ∵ON＝OM， ∴MQ＝PN， ∴四边形MNQP是矩形． 11.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD． （1）求∠EAF度数； （2）求证：BD∥EF． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】（1）由菱形的性质推出AB＝AD，AD∥BC，∠ADC＝∠ABF＝72°，由等腰三角形的性质推出∠AFB＝∠ABF＝72°，由三角形内角和定理求出∠BAF＝36°，同理：∠DAE＝36°，由平行线的性质求出∠BAD＝108°，即可得到∠EAF的度数； （2）由等腰三角形的性质得到∠AFE＝∠AEF＝72°，由菱形的性质推出∠ABM∠ABC＝36°，由三角形的外角性质得到∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝72°，因此∠AMN＝∠AFE，推出BD∥EF． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC，∠ADC＝∠ABF＝72°， 由题意得到AF＝AE＝AB， ∴∠AFB＝∠ABF＝72°， ∴∠BAF＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 同理：∠DAE＝36°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝108°， ∴∠EAF＝108°﹣36°﹣36°＝36°； （2）证明：∵AE＝AF，∠EAF＝36°， ∴∠AFE＝∠AEF（180°﹣36°）＝72°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABM∠ABC72°＝36°， ∵∠BAF＝36°， ∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝72°， ∴∠AMN＝∠AFE， ∴BD∥EF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $