专题01 二次根式（6常考2易错7压轴60题）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 以“6常考+2易错+7压轴”构建二次根式专项训练体系，通过分层题型实现从概念理解到综合应用的递进，突出运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|13题|定义辨析/性质应用|从二次根式识别到有意义条件，构建概念认知框架| |运算技巧|14题|分母有理化/平方法/构造对偶式|从乘除、加减到混合运算，形成完整运算体系| |综合应用|33题|规律探究/几何建模/新定义转化|结合勾股定理、函数等知识，实现跨模块迁移应用|

专题01 二次根式（6常考2易错7压轴） 题型1 二次根式有意义的条件（选择/填空常考） 题型9 二次根式化简求值（高频压轴） 题型2 二次根式的识别与性质（选择常考） 题型10 复合二次根式化简（解答压轴） 题型3 最简二次根式（选择/填空常考） 题型11 二次根式规律探究（填空/解答压轴） 题型4 二次根式的乘除运算（解答基础常考） 题型12 二次根式+勾股定理+四边形（几何压轴） 题型5 二次根式的加减运算（解答必考） 题型13 二次根式与一次函数（期末压轴解答） 题型6 二次根式混合运算（解答高频） 题型14 二次根式最值问题（几何/代数压轴） 题型7 分母有理化（分式型根式）（易错） 题型15 二次根式新定义（新考向压轴） 题型8 二次根式大小比较（易错） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二次根式有意义的条件（选择/填空常考）（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若式子有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川凉山·期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是_______． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）若式子在实数范围内有意义，则a可以取的一个整数为_________． 题型2 二次根式的识别与性质（选择常考）（共4小题） 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·期末）在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 题型3 最简二次根式（选择/填空常考）（共4小题） 10．（25-26八年级下·河南信阳·期末）下列式子是最简二次根式的选项是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·湖北·期末）下列二次根式：，，，，中，是最简二次根式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）把化简为最简二次根式，结果是________． 13．（24-25八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 题型4 二次根式的乘除运算（解答基础常考）（共3小题） 14．（24-25八年级下·河南周口·期末）计算： (1)； (2) 15．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 16．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 题型5 二次根式的加减运算（解答必考）（共4小题） 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 18．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）计算：． 19．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 20．（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 题型6 二次根式混合运算（解答高频）（共4小题） 21．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 22．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）计算：． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 24．（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1) (2) 题型7 分母有理化（分式型根式）（易错）（共3小题） 25．（24-25八年级下·广东惠州·期末）化简：_____． 26．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简_______． 27．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）计算：______． 题型8 二次根式大小比较（易错）（共3小题） 28．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 29．（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得_____．（填“”或“”或“”） 30．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 题型9 二次根式化简求值（高频压轴）（共5小题） 31．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 32．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 33．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 34．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 35．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)若，求的值． 题型10 复合二次根式化简（解答压轴）（共3小题） 36．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 37．（24-25八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 38．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 题型11 二次根式规律探究（填空/解答压轴）（共4小题） 39．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律：______． ；；； 40．（24-25八年级下·广西梧州·期末）观察下列各式的规律： ①；        ②；    ③  … (1)针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________； (2)请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性． 41．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 42．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 题型12 二次根式+勾股定理+四边形（几何压轴）（共7小题） 43．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，对角线相交于点O，的平分线与交于点E，的平分线与交于点F．若，，则______． 44．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，菱形与菱形中，E，F在上，，下列结论：①；②；③；④，正确的有______个． 45．（24-25八年级下·福建厦门·期末）我们生活中常见的纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，规格．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准，我们通过折纸活动探究纸的长、宽之比： 方法一：如图1，E是纸边上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，另一张纸的长边恰好与重合． 方法二：如图2，E，N分别是纸边上一点，先将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，再继续沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，发现此时点与点重合． 方法三：如图3，是纸边上的点，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，然后将矩形展开，再将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，然后将矩形展开，折痕与交于点O．如图4，将如图3的纸片沿折叠，发现与重合，与重合…… (1)①通过以上折纸，直接写出纸的长宽比_____； ②如图2，若，直接写出线段的长度为_____； (2)如图4，若点是的中点，求证点在同一条直线上． (3)如图5，一张纸可以裁剪成两张纸，两张纸拼在一起正好是一张纸，两张纸拼在一起，正好是一张纸……系列纸张由共10种不同尺寸的纸张组成，且长宽比几乎不变．请你证明系列纸张的长宽比均相等，并简单说明国际上使用系列纸张的理由． 46．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 47．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上时，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求的长； (3)如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 48．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，直角坐标系中，平行四边形的边，，，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t． (1)求出点C，B的坐标； (2)当t为何值时，？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得点以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；若不存在． 49．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 题型13 二次根式与一次函数（期末压轴解答）（共2小题） 50．（24-25八年级上·福建三明·期末）设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，．    (1)求的面积． (2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 51．（24-25八年级上·广东深圳·期中）材料：如图所示，、、三点在同一条直线上，，，，则有．    (1)【小试牛刀】如图1，在平面直角坐标系中，且，，点、按顺时针顺序排列，则点坐标为_____________； (2)【深入探究】如图2，点，分别在轴、轴上，，点在轴负半轴上，连接，作且，连交轴于，请猜想线段与线段的数量关系并进行证明； (3)【拓展提升】如图3，，轴，在直线上有一动点，连接并在轴上方作且，连接点与点的线段平行于轴，连接交坐标轴于点，当时，直接写出点的坐标． 题型14 二次根式最值问题（几何/代数压轴）（共4小题） 52．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当______时，有最小值，最小值为______． 53．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 54．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 55．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 题型15 二次根式新定义（新考向压轴）（共3小题） 56．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 58．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 59．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 60．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（   ）    ②与（   ）    ③与（   ） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． $专题01 二次根式（6常考2易错7压轴） 题型1 二次根式有意义的条件（选择/填空常考） 题型9 二次根式化简求值（高频压轴） 题型2 二次根式的识别与性质（选择常考） 题型10 复合二次根式化简（解答压轴） 题型3 最简二次根式（选择/填空常考） 题型11 二次根式规律探究（填空/解答压轴） 题型4 二次根式的乘除运算（解答基础常考） 题型12 二次根式+勾股定理+四边形（几何压轴） 题型5 二次根式的加减运算（解答必考） 题型13 二次根式与一次函数（期末压轴解答） 题型6 二次根式混合运算（解答高频） 题型14 二次根式最值问题（几何/代数压轴） 题型7 分母有理化（分式型根式）（易错） 题型15 二次根式新定义（新考向压轴） 题型8 二次根式大小比较（易错） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二次根式有意义的条件（选择/填空常考）（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若式子有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足， 解得． 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项B：分母，当时式子无意义，虽分子中，但为任意实数包含，不符合题意 对选项C：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项D：∵为任意实数，，∴，被开方数始终为正，∴在实数范围内一定有意义，符合题意 故选：D． 4．（24-25八年级下·四川凉山·期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】且 【详解】解：由题意可得：，且， 解得且． 故答案为：且． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）若式子在实数范围内有意义，则a可以取的一个整数为_________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 由①得， 由②得 ∴a的取值范围为：， a的整数解为：，0，1． 故答案为：（答案不唯一）． 题型2 二次根式的识别与性质（选择常考）（共4小题） 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中，被开方数，满足定义，故A是二次根式； 选项B中，被开方数，二次根号下负数无意义，故B不是二次根式； 选项C中，，可得，二次根号下负数无意义，故C不是二次根式； 选项D中，是三次根式，不满足定义，故D不是二次根式． 7．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 8．（25-26八年级下·全国·期末）在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在实数范围内，二次根式中被开方数须是非负数，无意义，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 9．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 题型3 最简二次根式（选择/填空常考）（共4小题） 10．（25-26八年级下·河南信阳·期末）下列式子是最简二次根式的选项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：的被开方数是负数，无意义，不是二次根式，故A选项不符合要求； 选项B：，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B选项不符合要求； 选项C：的被开方数是正整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故C选项符合要求； 选项D：中的是小数，被开方数是小数不是整数，不是最简二次根式，故D选项不符合要求． 11．（25-26八年级下·湖北·期末）下列二次根式：，，，，中，是最简二次根式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：是最简二次根式； 的被开方数含有分母，不是最简二次根式； 的被开方数含有小数，不是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 是最简二次根式， 故最简二次根式为，，一共有2个最简二次根式． 12．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）把化简为最简二次根式，结果是________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∵是最简二次根式，且为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为：3． 题型4 二次根式的乘除运算（解答基础常考）（共3小题） 14．（24-25八年级下·河南周口·期末）计算： (1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5 二次根式的加减运算（解答必考）（共4小题） 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 18．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 19．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型6 二次根式混合运算（解答高频）（共4小题） 21．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【详解】解：原式 ． 22．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）计算：． 【详解】解： ． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 24．（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型7 分母有理化（分式型根式）（易错）（共3小题） 25．（24-25八年级下·广东惠州·期末）化简：_____． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 26．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简_______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 27．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）计算：______． 【答案】45 【详解】解：原式 ； 故答案为：45． 题型8 二次根式大小比较（易错）（共3小题） 28．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 29．（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得_____．（填“”或“”或“”） 【答案】 【详解】解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由三角形三边的关系可得，， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 题型9 二次根式化简求值（高频压轴）（共5小题） 31．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 32．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 33．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴ 34．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ， ． 35．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ∴ ． （3）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型10 复合二次根式化简（解答压轴）（共3小题） 36．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 37．（24-25八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根． （3）解：∵①， 设②， ∴①②得，①②得， ∴③，④， ∴③④得， ③④得， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型11 二次根式规律探究（填空/解答压轴）（共4小题） 39．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律：______． ；；； 【答案】（，且为整数）． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ∴． 故答案为：（，且为整数）． 40．（24-25八年级下·广西梧州·期末）观察下列各式的规律： ①；        ②；    ③  … (1)针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________； (2)请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性． 【详解】（1）解：由题意可得：第④个等式：； （2）解：由题意可得：， 右边左边， 故等式成立． 41．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由前面规律得：； 故答案为：； （3）解： ． 42．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 题型12 二次根式+勾股定理+四边形（几何压轴）（共7小题） 43．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，对角线相交于点O，的平分线与交于点E，的平分线与交于点F．若，，则______． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长交于T，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线与交于点E，的平分线与交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴，， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 44．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，菱形与菱形中，E，F在上，，下列结论：①；②；③；④，正确的有______个． 【答案】4 【详解】解：过点E作于点M，连接交于点O，如图所示： ∵四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，， ∴，， ∴和都是等边三角形， 设菱形的边长为， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 则在中，，则， 那么， ∴， 在中，，则， ∴，故②正确； 那么，则，， ∴， 故③正确； 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：4． 45．（24-25八年级下·福建厦门·期末）我们生活中常见的纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，规格．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准，我们通过折纸活动探究纸的长、宽之比： 方法一：如图1，E是纸边上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，另一张纸的长边恰好与重合． 方法二：如图2，E，N分别是纸边上一点，先将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，再继续沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，发现此时点与点重合． 方法三：如图3，是纸边上的点，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，然后将矩形展开，再将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，然后将矩形展开，折痕与交于点O．如图4，将如图3的纸片沿折叠，发现与重合，与重合…… (1)①通过以上折纸，直接写出纸的长宽比_____； ②如图2，若，直接写出线段的长度为_____； (2)如图4，若点是的中点，求证点在同一条直线上． (3)如图5，一张纸可以裁剪成两张纸，两张纸拼在一起正好是一张纸，两张纸拼在一起，正好是一张纸……系列纸张由共10种不同尺寸的纸张组成，且长宽比几乎不变．请你证明系列纸张的长宽比均相等，并简单说明国际上使用系列纸张的理由． 【详解】（1）解：①由图1折叠可知，，四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， 假设， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； ②由①得，， ， 假设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， ∴线段的长度为， 故答案为：； （2）证明：由翻折的性质可得，，，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为线段的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上； （3）证明：一张纸可以裁剪成两张纸， ∴纸的宽为纸的长，纸的宽为长的一半， 纸的长宽之比为， ∴纸的长宽之比为， 依次类推，纸张的长宽之比都为， ∵两张纸拼在一起正好是一张纸， ∴纸的宽为纸的长，纸的长为宽的2倍， 纸的长宽之比为， ∴纸的长宽之比为， 依次类推，纸张的长宽之比都为； 国际上使用A系列纸张的理由为：比例统一，方便纸张裁剪、拼接（如打印、复印时缩放不失真，不同尺寸纸张搭配使用便捷 ），利于文档标准化流通． 46．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，将沿平移至，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，而， ∴， 由平移可得：，，， ∴共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴. （3）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图，过作于，作于， 设（单位），则， ∴，，， ∴， 解得：，， ∴， 同理可得：，，， 设，， ∴，， 由勾股定理可得：， 整理得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴. 47．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上时，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求的长； (3)如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； （3）解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 48．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，直角坐标系中，平行四边形的边，，，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t． (1)求出点C，B的坐标； (2)当t为何值时，？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得点以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；若不存在． 【详解】（1）解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ； （2）解：如图，当时，， ， ， ， ， 解得； （3）解：存在，理由如下： 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ∵， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：时， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或； 49．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图：    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到的距离为3； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 题型13 二次根式与一次函数（期末压轴解答）（共2小题） 50．（24-25八年级上·福建三明·期末）设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，．    (1)求的面积． (2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 【详解】（1）解：依题意，在中，,,． 根据秦九韶公式，的面积． ． ． 依题意，在中，，，， 则． 根据海伦公式，的面积． ． （2）解：①过作轴，轴的垂线，垂足分别为，． 则的面积．    由（1）知，． ， ． 在Rt中，， ． ∵， ． 又，． ． ，． 延长到点，使得． 则为线段的垂直平分线． ． 又， 为等边三角形． ． ． ②由（2）知，，则． 如图，连接，，．   在的平分线上， 到的距离与到的距离相等． 同理，到的距离与到的距离相等． 即到各边的距离相等． 设到各边的距离为． 则，，的距离分别为，，．则． 又， ． ． 在轴上方，故可设． 设直线的函数表达式为，． 则， ． 直线的函数表达式为． 是的平分线， 点在上， ． 解得． ． 51．（24-25八年级上·广东深圳·期中）材料：如图所示，、、三点在同一条直线上，，，，则有．    (1)【小试牛刀】如图1，在平面直角坐标系中，且，，点、按顺时针顺序排列，则点坐标为_____________； (2)【深入探究】如图2，点，分别在轴、轴上，，点在轴负半轴上，连接，作且，连交轴于，请猜想线段与线段的数量关系并进行证明； (3)【拓展提升】如图3，，轴，在直线上有一动点，连接并在轴上方作且，连接点与点的线段平行于轴，连接交坐标轴于点，当时，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：过点作轴于，过作于点，   ，， ∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点作于点，      同（1）可证：， ，， ， ， ， 又，，， ， ， ， ； （3）解：设与轴交于点， ∵连接点与点的线段平行于轴， ∴，， ∵，轴，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①位于轴上，连接交坐标轴于点，，则，    ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，，得， 解得， ∴； 同理②位于轴上，设，则，    ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，，代入解得， ∴， 综上所述，或． 题型14 二次根式最值问题（几何/代数压轴）（共4小题） 52．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当______时，有最小值，最小值为______． 【详解】解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时最小值，最小值为， 则， 那么，， 故当时，原式取得最小值． 53．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 的最小值为5 此时，． （3）设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为． 54．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【详解】解：（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 55．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 题型15 二次根式新定义（新考向压轴）（共3小题） 56．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 57．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 【答案】 1001 【详解】解：∵是蛟龙数，且M满足， ∴， ∴， ∴， ∵蛟龙数最小， ∴， ∴， ∴当时，蛟龙数最小，为； ∵ ， ∴， ∵式子的结果是整数， ∴为完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0， ∵， ∴最大为9， ∴， ∴， ∴最大的蛟龙数为：； 故答案为：1001，． 58．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 59．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是． 故答案为：，． （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ∴的值为2或． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∴、， 两式相减，得，即， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“整数区间”是． 60．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（   ）    ②与（   ）    ③与（   ） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 【详解】（1）∵， ∴①与互为“差值代数式”， ∵， ∴②与不互为“差值代数式”， ∵， ∴③与互为“差值代数式”， 故答案为：①√    ②×    ③√； （2）由题可知， ∴或， ∴或， 综上所述或； （3）①， ， ， ， ，       互为“差整值代数式”， ，                          ②， ， ， 的最小值为． $