专题强化：动态平衡和临界、极值问题（举一反三讲义）2027年高考物理一轮复习举一反三系列

该高中物理讲义聚焦动态平衡与临界极值问题，按“模型类型—方法体系—考向突破”逻辑架构，覆盖解析法、图解法等五大考点，通过必备知识回顾、重难模型精讲、变式拓展及分层练习，系统构建从知识梳理到解题应用的复习路径。 讲义创新采用“模型识别—动态推理—临界转化”三步教学法，如图解法中“动态三角形”实操训练，培养科学思维与模型建构能力，分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解题能力。

专题强化：动态平衡和临界、极值问题 目录 1 3 考点一 动态平衡问题解析法 3 考点二 图解法的应用 5 考点三 相似三角形法的应用 6 考点四 矢量圆法(正弦定理法)的应用 7 考点五 平衡中的临界极值问题 9 考向1：临界问题 10 考向2：极值问题 10 11 基础巩固练 11 综合提升练 16 核心考点 1.动态平衡的常见模型： “一力恒定、一力方向不变”型：如挡板转动、绳一端固定另一端移动等，用图解法（画动态三角形）分析力的变化。 “一力恒定、两力方向均变”型：如晾衣架挂钩移动、光滑滑轮等，用相似三角形法（力的三角形与几何三角形相似）求解。 多力动态平衡（解析法）：用正交分解法列出方程，分析已知量变化时各力的变化规律（常涉及数学中的极值，如三角函数求最值）。 2.临界问题的典型情境： 静摩擦力的临界：物体“恰好滑动”对应f=fmax=μFN。 弹力的临界：物体“恰好离开”对应弹力FN=0；“绳刚好拉直”对应绳子拉力T=0。 平衡范围的临界：物体处于“将动未动”的平衡边缘。 3.极值问题的常见解法： 数学分析法：利用三角函数、二次函数、均值不等式求极值。 物理分析法：通过分析临界条件来求极值。 考情透析 1.题型与难度：以选择题为主，难度中等，属必考热点和高区分度考点。 2.命题规律：常结合生活实际（如吊灯绳长变化、升降台钢索、公园健身器材）和科技应用（如起重机吊臂、大坝受力调整）为背景。 3.考查方向：侧重力的矢量三角形分析能力（图解法与相似三角形）、临界条件的识别与利用、“缓慢移动”隐含的动态平衡过程分析。近年来，高考将动态平衡与几何图形（如半圆柱、圆环、三角形）结合的题目增多，对几何关系的提取能力要求提高。 素养对接 1.模型建构：将实际物理过程（如挡板缓慢转动、绳一端移动）抽象为“三力动态平衡模型”，识别出恒力、恒向力与变力。 2.科学推理：通过画“动态三角形”或“力的闭合四边形”的形态变化，推理各力大小的增减趋势（体现动态几何推理能力）。 3.临界与极值思维：识别“恰好”、“最大”、“最小”等关键词，建立临界方程，培养量化边界条件的思维。 4.数学与物理融合：灵活运用三角函数、二次函数、相似三角形等数学工具，求解物理极值。 学习目标 1.知识目标：能说出动态平衡“缓动”过程的物理含义（合力始终为零）；能列出三种临界情况（静摩擦、弹力、分离）的条件方程；能用图解法、解析法、相似三角形法分别解决对应题型。 2.能力目标： 模型识别能力：能从题干描述中识别出“动态平衡”、“临界”或“极值”题型，并准确判断该用哪一种解法。 动态分析能力：能画出动态三角形（或闭合四边形），根据边长变化推断各力的大小的增减趋势。 临界条件转化能力：能将文字描述（如“刚要滑动”、“刚离开斜面”）转化为数学等式。 数学求解能力：能正确运用恒等变换、二次函数配方法或均值不等式求出物理量的极值。 备考建议 1.核心方法必须熟练： 图解法（画动态矢量三角形）：是解决“一力恒定、一力方向不变”类动态平衡的标准解，原则是“恒力不变作基线，恒向力画圈靠，变力跟着转到位”。务必亲手在草稿纸上多画几遍，直到熟练。 相似三角形法：当物体受的力构成“力的三角形”，且该三角形与实际几何体（如圆弧、半圆柱、墙壁）中的某三角形相似时，优先用比例关系，不要盲目用正交分解。 2.临界条件要“熟记于心”： 静摩擦临界：f=μFN（“将动未动”状态）。 脱离/弹开临界：FN=0（物块离开斜面或墙面）。 绳松弛临界：T = 0（绳拉力为零）。 这些临界条件往往就是极值问题的“突破口”。 3.强化“关键词”敏感度： 看到“缓慢” → 表示动态平衡，动能视为零。 看到“恰好、刚好、最大、最小” → 表示临界或极值，需要列出对应的临界方程。 4.几何思维要从图形中培养： 多练习“挡板与半圆柱”、“吊篮与圆环”等与几何图形（圆、三角形、半圆柱）结合的动态平衡题目，强化从几何图中提取等量关系和比例关系的能力。 不要停留在“只看不做”——必须动手画图、作辅助线、标角度，才能直观发现关系。 考点一 动态平衡问题解析法 【必备知识回顾】 1．动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”等字眼。 2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 3．解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 【重难模型精讲】 【典例1】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示，一块铁板AB下吸附了一块小磁铁，现将铁板在竖直面内绕A点向上逆时针缓慢转过一个小角度，磁铁始终未滑动，转动过程中，若磁铁对铁板的磁力方向始终垂直AB，大小保持不变，关于磁铁的受力，下列说法正确的是（　　） A．受到铁板的弹力减小 B．受到铁板的摩擦力减小 C．受到铁板的作用力增大 D．受到的吸引力与重力的合力增大 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·湖北襄阳·期中）如图所示，轻质细线一端拴接一个质量为1kg的小球，另一端悬挂于天花板上的点，在外力、重力和细线拉力的作用下处于平衡状态。初始时水平，细线与竖直方向的夹角，与细线的夹角为。某时刻开始保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上，以下分析正确的是（    ） A．初始时的大小为6N，绳子拉力的大小为8N B．缓慢减小角的过程中，外力一直增加 C．缓慢减小角的过程中，外力先减小后增加 D．缓慢减小角的过程中，绳子拉力先增大后减小 【变式2】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）一个空心圆柱形纸筒按如图甲所示的方式水平放置在两摞书所形成的台阶之间，从前往后的示意图如图乙所示。已知空心圆柱左侧所靠的书壁为竖直面，不计纸筒受到的摩擦力。现略微减小两本书之间的距离，关于纸筒所受支持力的变化，下述分析正确的是（   ） A．左侧书对纸筒的支持力变大 B．左侧书对纸筒的支持力变小 C．右侧书对纸筒的支持力变大 D．右侧书对纸筒的支持力不变 【变式3】（2026·河南郑州·期中）如图所示，把顶端装有光滑定滑轮的倾角为30°的粗糙斜面C放在粗糙的水平地面上，A、B两物体通过细绳连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮之间的摩擦），已知A的质量是B的质量的两倍。现用水平向右的力将物体B缓慢地稍稍拉高一定的距离，此过程中斜面C与物体A仍然保持静止。有关此过程中的分析正确的是（　　） A．A、B间细绳的张力变大 B．地面对C的支持力变大 C．地面对C的摩擦力一定变大 D．A受到的摩擦力大小可能不变 考点二 图解法的应用 【必备知识回顾】 图解法：物体受三个力作用而处于平衡状态，一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。 特点：一恒一向定（一力不变，一力方向不变） 【重难模型精讲】 【典例2】（2026·辽宁·模拟预测）武打片中经常有飞檐走壁的镜头，其实这是借助悬绳拍摄产生的效果，某演员（未画出）在下列四种拍摄场景中均在空中做匀速运动，由绳①和绳②连接演员，若忽略绳所受重力，则绳①受力最小的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练与拓展】 【变式4】（2025·云南红河·期中）如图所示，轻质细线一端拴接一质量为的小球，另一端悬挂于天花板上的点，在外力、重力和细线拉力的作用下处于平衡状态。初始时水平，且细线与竖直方向的夹角为，与的夹角为。甲同学保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上；乙同学保持水平，逐渐缓慢增大角。则在两种情况下分析正确的是（　　） A．甲同学的外力一直增大 B．甲同学的外力先增大后减小 C．乙同学的外力逐渐增大，绳子拉力逐渐增大 D．乙同学的外力逐渐增大，绳子拉力逐渐减小 【变式5】（2026高三上·北京西城·期中）如图所示，一个重为的物体，用细线悬挂在点，现在用力拉物体，悬线与竖直方向夹角为，保持不变。物体处于静止状态，已知，，在由水平方向沿逆时针转动过程中（　　） A．越来越小 B．细线受力越来越大 C．最小值为 D．细线受力最大值为 【变式6】（2026高三上·山东潍坊·期中）如图所示，斜面倾角为，用挡板将光滑球挡在斜面上，使之处于静止状态，现使挡板与斜面的夹角从图示位置缓慢增大，直至挡板水平，关于球在此过程中的受力说法正确的是（    ） A．挡板对球的弹力一直变大 B．挡板对球的弹力先变小后变大 C．斜面对球的弹力变小 D．斜面对球的弹力先变小后变大 考点三 相似三角形法的应用 【必备知识回顾】 相似三角形法：物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中的线、杆、壁等围成的几何三角形相似，则可用相似三角形对应边成比例求出力的比例关系，进而求解。注意构建三角形时可能需要画辅助线。 特点：一恒两向变（三个共点力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化） 【重难模型精讲】 【典例3】（2025·浙江·一模）如图甲所示，为杭州亚运吉祥物琮琮演示的攀岩运动。当琮琮处于平衡状态，且岩钉A位置固定时，分析问题可以将该实际情境进行简化处理，得到如图乙所示模型。下列说法正确的是（　　） A．仅缩短主绳长度，绳子对琮琮的拉力不变 B．仅缩短主绳长度，岩壁对琮琮的作用力的大小不变 C．仅增加主绳长度，绳子对琮琮的拉力减小 D．仅增加主绳长度，岩壁对琮琮的作用力增大 【变式训练与拓展】 【变式7】（2025·云南曲靖·阶段检测）如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前（　　）    A．绳子拉力不变 B．绳子拉力减小 C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变 【变式8】如图所示，光滑半球面上的小球（可视为质点）被一绕过光滑小定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析F及半球面对小球的支持力FN的变化情况。 考点四 矢量圆法(正弦定理法)的应用 【必备知识回顾】 1．矢量圆：如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态下的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2．正弦定理：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 【重难模型精讲】 【典例4】（2025·安徽黄山·二模）两个质量分布均匀的圆柱体A、B静置在顶角为60°的“V型”槽中，圆柱体A的截面半径小于B的截面半径，截面图如图所示，不计一切摩擦，下列分析正确的是（　　） A．若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转60°的过程中，圆柱体A对槽壁的压力变大 B．若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转60°的过程中，圆柱体A对B的压力变大 C．若“V型”槽不转动，将A换成质量不变但半径更小的圆柱体，则圆柱体A对槽壁的压力不变 D．若“V型”槽不转动，将A换成质量不变但半径更小的圆柱体，则圆柱体A对B的压力变大 【变式训练与拓展】 【变式9】（2025高三上·湖北·期末）课堂上打瞌睡时头部下倾，其受力可以简化为如图的三力模型：头部重力 mg、颈椎对头部的支持力N、肩颈肌肉对头部的拉力F，设头部倾角（N与竖直方向的夹角）为，颈部肌肉拉力角（F与竖直方向夹角）为，其中，，，若是个定值。下列说法正确的是（  ） A． B． C．越大，则F越小 D．越大，则N越小 【变式10】某物理兴趣小组在研究三力作用下物体平衡问题时，设计了如图所示的方案并进行了分析讨论。将一质量为m的小球系于轻质细线一端，细线另一端固定在O点。小球在外力F、细线拉力和重力mg的作用下处于平衡状态。开始时F水平，细线与F的夹角为。现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变，下列说法正确的是（　　） A．图示位置外力F的大小为 B．图示位置细线拉力的大小为 C．在细线被拉到水平的过程中，外力F一直增大 D．在细线被拉到水平的过程中，细线拉力先增大后减小 【变式11】如图所示，用轻质细线把均质球挂在可绕垂直于纸面的O轴旋转的光滑木板上，现将木板绕O轴从竖直顺时针缓慢旋转到水平，细线与木板的夹角始终为，下列分析正确的是（   ）    A．细线对球的拉力一直减小 B．细线对球的拉力先增大后减小 C．木板对球的支持力一直增大 D．木板对球的支持力先增大后减小 考点五 平衡中的临界极值问题 【必备知识回顾】 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 【重难模型精讲】 考向1：临界问题 【典例5】（2025高二下·浙江温州·期末）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（    ） A．每个手指对球的摩擦力大小为 B．两手指间距L的取值范围为 C．每个手指手对球的压力最小值为 D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍 考向2：极值问题 【典例6】（2025高三上·广西梧州·期末）如图甲为一种门后挂钩的照片，相邻挂钩之间的距离为10cm，图乙挂包的宽度约为30cm，在挂包质量一定的条件下，为了使悬挂时挂包带受力最小，不计包带与挂钩间的摩擦，下列措施正确的是（　　） A．挂包带随意挂在一个钩子上 B．挂包带挂在两个相邻的挂钩上 C．挂包带跨过三个挂钩 D．挂包带跨过四个挂钩 【变式训练与拓展】 【变式12】质量为M的木楔倾角为，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成角的力F拉着木块匀速上升，如图所示。已知重力加速度为g，木楔在整个过程中始终静止。 （1）画出m的受力分析图； （2）木块与木楔斜面间的动摩擦因数； （3）当和满足何种关系时，拉力F有最小值，并求此最小值； （4）当F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力是多大？ 【方法规律】 (1)解析法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。 (2)图解法 根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 (3)极限法 极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。 基础巩固练 1.如图甲，一重物用细绳悬挂于点，用水平绳绑住绳的点，牵引至图示位置保持静止。现保持点的位置不变，改变绳牵引的方向，其拉力随旋转角度的变化如图乙所示，重力加速度取，则重物的重力为() A. B. C. D. 2.如图所示，水平地面固定有倾角为的斜面体，质量为的物体在平行于底边、大小为的水平力作用下静止于斜面上，重力加速度为，则该物体受到的斜面摩擦力大小为() A. B. C. D. 3.质量为的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，为半圆的最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为的小滑块。用推力推动小滑块由点向点缓慢移动，力的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是() A.推力先增大后减小 B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C.墙面对凹槽的压力先增大后减小 D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 4.铲车是常见的生产工具。某次生产过程中，铲车的铲斗中装载一个球形石块，此时的铲斗简化为图，铲斗的板和板内壁视为光滑，顶角为锐角，的角平分线竖直。铲车卸载石块的过程，铲斗缓慢顺时针旋转，直至铲斗的板水平，如图所示。下列说法正确的是() A.板受到的压力一直减小，板受到的压力先增大后减小 B.板受到的压力一直减小，板受到的压力一直增加 C.板受到的压力先增大后减小，板受到的压力一直减小 D.板受到的压力先减小后增大，板受到的压力一直增大 5.如图甲所示，明代倪端画的捕鱼图是一种原始的捕鱼方式，其拉网的原理图如图乙所示，罾渔网和连接罾的四根竹杆可看成是一个重物用不可伸长的轻绳悬挂在轻杆上的点，轻杆可绕点在竖直平面内自由转动，人在点拉动轻绳使轻杆绕点转至竖直方向，从而使重物上升。在轻杆由图乙所示位置缓慢转至竖直的过程中，下列说法正确的是() A.人对轻绳的拉力变大 B.人对轻绳的拉力不变 C.轻杆上的弹力大小不变 D.轻杆上的弹力变小 6.如图所示，墙角上有、、、四个点，一只蜘蛛通过和两根蛛丝将自己悬挂在结点休息，其中虚线沿竖直方向，蛛丝水平，蛛丝与竖直方向的夹角为，蜘蛛的重力为。某时刻蛛丝由于某个原因突然断裂，它需要在墙上之间选一点重新拉一根蛛丝，最后蜘蛛重新挂在点休息并保持点位置不变。下列说法正确的是() A.蛛丝拉力的最小值为 B.蛛丝拉力的最大值为 C.蛛丝拉力的最大值为 D.蛛丝拉力的最小值为 7.如图所示，上表面光滑的半球体放在粗糙水平面上。现用轻绳拉着另一个光滑小球，使其沿球体表面缓慢上滑，拉力始终沿球面切线方向的，并且半球体始终静止。关于在小球上滑到最高点的过程中，下列说法正确的是() A.轻绳拉力逐渐变大 B.地面对半球体的支持力逐渐减小 C.地面对半球体的摩擦力先增大后减小 D.如果剪断轻绳，则在剪断轻绳瞬间，小球对半球体的压力会变大 8.如图，一粗糙的固定斜杆与水平方向成角，一定质量的滑环静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳一端与滑环相连，另一端与小球相连，且轻绳与斜杆垂直。另一轻质细绳沿水平方向拉小球，使小球保持静止。将水平细绳的端沿圆弧缓慢移动到竖直位置，的位置始终不变，则在此过程中() A.轻绳上的拉力先减小后增大 B.轻绳上的拉力先增大后减小 C.斜杆对的支持力一直在减小 D.斜杆对的摩擦力一直在减小 9.沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，为其圆心，，质量为的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“”形槽中。初始时，三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为。在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，下列说法正确的是() A.槽面对木棒的弹力的最大值为 B.槽面对木棒的弹力先增大后减小 C.槽面对木棒的弹力一直增大 D.槽面与槽面对木棒弹力的合力先减小后增大 10.如图所示，粗糙水平面上静止放置一上表面光滑的四分之一圆柱体，光滑轻质小滑轮在圆心的正上方处用轻杆固定。细线一端跨过小滑轮连接一劲度系数的轻质弹簧，另一端固定在点，轻质光滑小滑轮放置在细线上，下面悬挂物块甲，弹簧下端与质量为的小球乙连接，小球乙置于圆柱体上，与竖直方向成角，与竖直方向成角，整个装置处于静止状态。已知长度与圆柱体半径相等，不计细线、滑轮质量，重力加速度取，求： 轻质弹簧的伸长量和物块甲的质量； 地面对四分之一圆柱体摩擦力的大小和杆对滑轮作用力的大小。 11.滑水运动是一项富有挑战性的水上运动，人和滑板在摩托艇的牵引下，短时间内可以达到较大速度。研究表明水对滑板的作用力垂直于板面向上，且，其中为人和滑板的速率水速视为零。某次运动中，人和滑板在水平牵引力作用下由静止开始沿水面做匀加速直线运动，末达到最大速度，前内通过的位移为，而后做匀速直线运动，此时滑板和水面的夹角，已知人和滑板 总质量，忽略空气阻力，取。试求： 前内加速度大小和末的速度大小 匀速直线运动时水平牵引力大小 的值是多少 12.如图所示，质量为的物体压在放于地面上的竖直的劲度系数为轻弹簧上，上端与劲度系数为的轻弹簧相连，轻弹簧上端与质量也为物体相连，物体通过轻绳跨过光滑的定滑轮与轻质小桶相连，、均静止。现缓慢地向小桶内加入细砂，当弹簧恰好恢复原长时，小桶一直未落地求 小桶内所加入的细砂质量； 小桶在此过程中下降的距离。 综合提升练 1．如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是  (   ) A．绳的右端上移到b′，绳子拉力变小 B．绳的两端高度差越小，绳子拉力越大 C．将杆N向右移一些，绳子拉力变大 D．若换挂质量更大的衣服，则衣服架悬挂点右移 2．（2026·山西晋中·三模）先秦《诗经·小雅·斯干》中：“约之阁阁，椓之橐橐。”记载了古人营造宫室的场景，匠人手持绳墨定准方位，用版筑之法夯实土墙。如图所示，古代建筑工地中，绳OP一端连接轻质光滑滑轮，另一端固定在P点，工人抓住跨过滑轮的轻绳一端沿水平地面缓慢向左走动将建材吊起，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳OP上的拉力保持不变 B．绳OP上的拉力逐渐变大 C．地面对人的摩擦力逐渐变大 D．地面对人的支持力逐渐减小 3．（2026·甘肃嘉峪关·三模）如图所示，某同学将一篮球放在光滑的斜坡上用光滑的竖直挡板挡住来探究三力静态平衡和动态平衡。她先挡住篮球让它处于静止状态，然后缓慢地把挡板绕斜坡顶点沿逆时针方向转一个较小角度（小于斜坡的倾角）。已知篮球的重力为G，斜坡的倾角为θ，下列说法正确的是（     ） A．篮球处于静止状态时，挡板对篮球的弹力大小为Gcosθ B．在缓慢转动挡板的过程中，斜坡对篮球的弹力逐渐减小 C．篮球处于静止状态时，斜坡对篮球的弹力大小为Gcosθ D．在缓慢转动挡板的过程中，挡板对篮球的弹力逐渐增大 4．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 5．（2026·四川广元·二模）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B静止于粗糙程度处处相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面，整个过程中B均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某“抬杆游戏”挑战的简化模型如图所示。两个质量分别为5m、4m的小球a、b用一根轻直杆连接，小球b静置于水平桌面上，挑战者用涂抹油的手指将小球a由水平位置缓慢抬至竖直位置，整个过程中小球b未与桌面发生滑动。不考虑手指与球间的摩擦，手指对小球a的作用力F始终垂直于杆，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球b与桌面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 7．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 8．（多选）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N．初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 9．（多选）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 10．（多选）如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则（　　） A．Ff变小 B．Ff不变 C．FN变小 D．FN变大 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化：动态平衡和临界、极值问题 目录 1 3 考点一 动态平衡问题解析法 3 考点二 图解法的应用 6 考点三 相似三角形法的应用 10 考点四 矢量圆法(正弦定理法)的应用 13 考点五 平衡中的临界极值问题 17 考向1：临界问题 18 考向2：极值问题 20 22 基础巩固练 22 综合提升练 31 核心考点 1.动态平衡的常见模型： “一力恒定、一力方向不变”型：如挡板转动、绳一端固定另一端移动等，用图解法（画动态三角形）分析力的变化。 “一力恒定、两力方向均变”型：如晾衣架挂钩移动、光滑滑轮等，用相似三角形法（力的三角形与几何三角形相似）求解。 多力动态平衡（解析法）：用正交分解法列出方程，分析已知量变化时各力的变化规律（常涉及数学中的极值，如三角函数求最值）。 2.临界问题的典型情境： 静摩擦力的临界：物体“恰好滑动”对应f=fmax=μFN。 弹力的临界：物体“恰好离开”对应弹力FN=0；“绳刚好拉直”对应绳子拉力T=0。 平衡范围的临界：物体处于“将动未动”的平衡边缘。 3.极值问题的常见解法： 数学分析法：利用三角函数、二次函数、均值不等式求极值。 物理分析法：通过分析临界条件来求极值。 考情透析 1.题型与难度：以选择题为主，难度中等，属必考热点和高区分度考点。 2.命题规律：常结合生活实际（如吊灯绳长变化、升降台钢索、公园健身器材）和科技应用（如起重机吊臂、大坝受力调整）为背景。 3.考查方向：侧重力的矢量三角形分析能力（图解法与相似三角形）、临界条件的识别与利用、“缓慢移动”隐含的动态平衡过程分析。近年来，高考将动态平衡与几何图形（如半圆柱、圆环、三角形）结合的题目增多，对几何关系的提取能力要求提高。 素养对接 1.模型建构：将实际物理过程（如挡板缓慢转动、绳一端移动）抽象为“三力动态平衡模型”，识别出恒力、恒向力与变力。 2.科学推理：通过画“动态三角形”或“力的闭合四边形”的形态变化，推理各力大小的增减趋势（体现动态几何推理能力）。 3.临界与极值思维：识别“恰好”、“最大”、“最小”等关键词，建立临界方程，培养量化边界条件的思维。 4.数学与物理融合：灵活运用三角函数、二次函数、相似三角形等数学工具，求解物理极值。 学习目标 1.知识目标：能说出动态平衡“缓动”过程的物理含义（合力始终为零）；能列出三种临界情况（静摩擦、弹力、分离）的条件方程；能用图解法、解析法、相似三角形法分别解决对应题型。 2.能力目标： 模型识别能力：能从题干描述中识别出“动态平衡”、“临界”或“极值”题型，并准确判断该用哪一种解法。 动态分析能力：能画出动态三角形（或闭合四边形），根据边长变化推断各力的大小的增减趋势。 临界条件转化能力：能将文字描述（如“刚要滑动”、“刚离开斜面”）转化为数学等式。 数学求解能力：能正确运用恒等变换、二次函数配方法或均值不等式求出物理量的极值。 备考建议 1.核心方法必须熟练： 图解法（画动态矢量三角形）：是解决“一力恒定、一力方向不变”类动态平衡的标准解，原则是“恒力不变作基线，恒向力画圈靠，变力跟着转到位”。务必亲手在草稿纸上多画几遍，直到熟练。 相似三角形法：当物体受的力构成“力的三角形”，且该三角形与实际几何体（如圆弧、半圆柱、墙壁）中的某三角形相似时，优先用比例关系，不要盲目用正交分解。 2.临界条件要“熟记于心”： 静摩擦临界：f=μFN（“将动未动”状态）。 脱离/弹开临界：FN=0（物块离开斜面或墙面）。 绳松弛临界：T = 0（绳拉力为零）。 这些临界条件往往就是极值问题的“突破口”。 3.强化“关键词”敏感度： 看到“缓慢” → 表示动态平衡，动能视为零。 看到“恰好、刚好、最大、最小” → 表示临界或极值，需要列出对应的临界方程。 4.几何思维要从图形中培养： 多练习“挡板与半圆柱”、“吊篮与圆环”等与几何图形（圆、三角形、半圆柱）结合的动态平衡题目，强化从几何图中提取等量关系和比例关系的能力。 不要停留在“只看不做”——必须动手画图、作辅助线、标角度，才能直观发现关系。 考点一 动态平衡问题解析法 【必备知识回顾】 1．动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”等字眼。 2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 3．解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 【重难模型精讲】 【典例1】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示，一块铁板AB下吸附了一块小磁铁，现将铁板在竖直面内绕A点向上逆时针缓慢转过一个小角度，磁铁始终未滑动，转动过程中，若磁铁对铁板的磁力方向始终垂直AB，大小保持不变，关于磁铁的受力，下列说法正确的是（　　） A．受到铁板的弹力减小 B．受到铁板的摩擦力减小 C．受到铁板的作用力增大 D．受到的吸引力与重力的合力增大 【答案】D 【解析】AB．画出磁铁的受力分析图，由图可得 ，倾角增大，则弹力增大，摩擦力也增大，故A、B错误； C．磁铁受到铁板的作用力与重力等大反向，大小不变，故C错误； D．磁铁受到的吸引力和重力大小不变，增大，两个力的夹角减小，合力增大，故D正确。 故选D。 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·湖北襄阳·期中）如图所示，轻质细线一端拴接一个质量为1kg的小球，另一端悬挂于天花板上的点，在外力、重力和细线拉力的作用下处于平衡状态。初始时水平，细线与竖直方向的夹角，与细线的夹角为。某时刻开始保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上，以下分析正确的是（    ） A．初始时的大小为6N，绳子拉力的大小为8N B．缓慢减小角的过程中，外力一直增加 C．缓慢减小角的过程中，外力先减小后增加 D．缓慢减小角的过程中，绳子拉力先增大后减小 【答案】C 【解析】A．初始时对小球受力分析，如图甲所示，竖直方向 水平方向 得，故A错误； BCD．保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上的过程中，根据三角形定则进行动态分析，如图乙所示，先减小后增大，当与绳子垂直时，拉力最小，一直减小，故C正确，BD错误。 故选C。 【变式2】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）一个空心圆柱形纸筒按如图甲所示的方式水平放置在两摞书所形成的台阶之间，从前往后的示意图如图乙所示。已知空心圆柱左侧所靠的书壁为竖直面，不计纸筒受到的摩擦力。现略微减小两本书之间的距离，关于纸筒所受支持力的变化，下述分析正确的是（   ） A．左侧书对纸筒的支持力变大 B．左侧书对纸筒的支持力变小 C．右侧书对纸筒的支持力变大 D．右侧书对纸筒的支持力不变 【答案】B 【解析】纸筒受到重力、左侧书水平向右的弹力与右侧书指向圆心斜向左上方的弹力，作出受力示意图，如图所示 根据平衡条件可得， 当减小两本书之间的距离，减小，变小，则减小；增大，则减小。 故选B。 【变式3】（2026·河南郑州·期中）如图所示，把顶端装有光滑定滑轮的倾角为30°的粗糙斜面C放在粗糙的水平地面上，A、B两物体通过细绳连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮之间的摩擦），已知A的质量是B的质量的两倍。现用水平向右的力将物体B缓慢地稍稍拉高一定的距离，此过程中斜面C与物体A仍然保持静止。有关此过程中的分析正确的是（　　） A．A、B间细绳的张力变大 B．地面对C的支持力变大 C．地面对C的摩擦力一定变大 D．A受到的摩擦力大小可能不变 【答案】AC 【解析】A．B受力如图所示 根据平衡条件有：水平向右的拉力 A、B间细绳的张力 当B缓慢拉高时增大，可知水平拉力F变大，细绳拉力变大，故A正确； BC．以A、B和斜面作为整体分析，地面对斜面的摩擦力与拉力F平衡，则有 当F变大时，地面对C的摩擦力变大； 地面支持力，可知地面对C的支持力不变，故B错误，C正确； D．由题可知，初始时细绳拉力，故初始时物体A所受斜面体的摩擦力为零； 细绳拉力增大，即，则物体A所受斜面体的摩擦力沿斜面向下，根据平衡条件有 可知物体A所受斜面体的摩擦力不断变大，故D错误。 故选AC。 考点二 图解法的应用 【必备知识回顾】 图解法：物体受三个力作用而处于平衡状态，一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。 特点：一恒一向定（一力不变，一力方向不变） 【重难模型精讲】 【典例2】（2026·辽宁·模拟预测）武打片中经常有飞檐走壁的镜头，其实这是借助悬绳拍摄产生的效果，某演员（未画出）在下列四种拍摄场景中均在空中做匀速运动，由绳①和绳②连接演员，若忽略绳所受重力，则绳①受力最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析演员的受力，演员受到自身重力，绳①和绳②的拉力；绳②的拉力方向不变，绳①的拉力方向在变化，三个力使演员处于平衡状态，三个力构成矢量三角形，利用动态三角形进行求解，如图所示 由图可知，当与垂直时最小。 故选A。 【变式训练与拓展】 【变式4】（2025·云南红河·期中）如图所示，轻质细线一端拴接一质量为的小球，另一端悬挂于天花板上的点，在外力、重力和细线拉力的作用下处于平衡状态。初始时水平，且细线与竖直方向的夹角为，与的夹角为。甲同学保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上；乙同学保持水平，逐渐缓慢增大角。则在两种情况下分析正确的是（　　） A．甲同学的外力一直增大 B．甲同学的外力先增大后减小 C．乙同学的外力逐渐增大，绳子拉力逐渐增大 D．乙同学的外力逐渐增大，绳子拉力逐渐减小 【答案】C 【解析】AB．甲同学保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上，根据三角形定则进行动态分析，如图甲所示 由于保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上，先减小后增大，故AB错误； CD．乙同学保持水平，逐渐缓慢增大角，根据三角形定则进行动态分析，如图乙所示 由于保持水平，逐渐缓慢增大角，则逐渐增大，逐渐增大，故C正确，D错误。 故选C。 【变式5】（2026高三上·北京西城·期中）如图所示，一个重为的物体，用细线悬挂在点，现在用力拉物体，悬线与竖直方向夹角为，保持不变。物体处于静止状态，已知，，在由水平方向沿逆时针转动过程中（　　） A．越来越小 B．细线受力越来越大 C．最小值为 D．细线受力最大值为 【答案】C 【解析】AC．以物体为研究对象，根据作图法可知，拉力F先变小后变大，当拉力F与细线垂直时最小，此时最小值为，故A错误，C正确； BD．细线受力越来越小，刚开始时细线拉力最大，为，故BD错误。 故选C。 【变式6】（2026高三上·山东潍坊·期中）如图所示，斜面倾角为，用挡板将光滑球挡在斜面上，使之处于静止状态，现使挡板与斜面的夹角从图示位置缓慢增大，直至挡板水平，关于球在此过程中的受力说法正确的是（    ） A．挡板对球的弹力一直变大 B．挡板对球的弹力先变小后变大 C．斜面对球的弹力变小 D．斜面对球的弹力先变小后变大 【答案】BC 【解析】以球为研究对象，球受到三个力的作用，分别是重力、挡板对球的弹力和斜面对球的弹力，挡板与斜面的夹角在缓慢增大直至水平的过程中，球可看成始终处于平衡状态，根据三角形法则，作图如下 由图可知，球在此过程中，挡板对球的弹力F先变小后变大，斜面对球的弹力N逐渐变小。 故选BC。 考点三 相似三角形法的应用 【必备知识回顾】 相似三角形法：物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中的线、杆、壁等围成的几何三角形相似，则可用相似三角形对应边成比例求出力的比例关系，进而求解。注意构建三角形时可能需要画辅助线。 特点：一恒两向变（三个共点力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化） 【重难模型精讲】 【典例3】（2025·浙江·一模）如图甲所示，为杭州亚运吉祥物琮琮演示的攀岩运动。当琮琮处于平衡状态，且岩钉A位置固定时，分析问题可以将该实际情境进行简化处理，得到如图乙所示模型。下列说法正确的是（　　） A．仅缩短主绳长度，绳子对琮琮的拉力不变 B．仅缩短主绳长度，岩壁对琮琮的作用力的大小不变 C．仅增加主绳长度，绳子对琮琮的拉力减小 D．仅增加主绳长度，岩壁对琮琮的作用力增大 【答案】B 【解析】杆OB为可转动杆，其施加的弹力为沿着杆的支持力，对琮琮受力分析如图所示 因力的三角形与几何三角形相似，有 AC．绳子对琮琮的拉力为 仅缩短主绳长度，则拉力变小；仅增加主绳长度，绳子对琮琮的拉力变大，故AC错误； BD．岩壁对琮琮的作用力为 仅缩短主绳长度，或仅增加主绳长度，可知岩壁对琮琮的作用力的大小不变，故B正确，D错误。 故选B。 【变式训练与拓展】 【变式7】（2025·云南曲靖·阶段检测）如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前（　　）    A．绳子拉力不变 B．绳子拉力减小 C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变 【答案】BD 【解析】AB．以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力T（等于重物的重力G）、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，作出力图如图    由平衡条件得知，N和F的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似可得 又 T=G 解得 ， 使缓慢变小时，AB、AO保持不变，BO变小，则N保持不变，F变小，故A错误，B正确； CD．N保持不变，根据牛顿第三定律，AB杆受力不变，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式8】如图所示，光滑半球面上的小球（可视为质点）被一绕过光滑小定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析F及半球面对小球的支持力FN的变化情况。 【答案】F减小，FN不变 【解析】如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力FN总与球面垂直，从图中可得到相似三角形 设半球面半径为R，定滑轮到球面最高点的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，根据三角形相似得 解得拉力为 半球面对小球的支持力为 由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小，FN不变。 考点四 矢量圆法(正弦定理法)的应用 【必备知识回顾】 1．矢量圆：如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态下的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2．正弦定理：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 【重难模型精讲】 【典例4】（2025·安徽黄山·二模）两个质量分布均匀的圆柱体A、B静置在顶角为60°的“V型”槽中，圆柱体A的截面半径小于B的截面半径，截面图如图所示，不计一切摩擦，下列分析正确的是（　　） A．若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转60°的过程中，圆柱体A对槽壁的压力变大 B．若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转60°的过程中，圆柱体A对B的压力变大 C．若“V型”槽不转动，将A换成质量不变但半径更小的圆柱体，则圆柱体A对槽壁的压力不变 D．若“V型”槽不转动，将A换成质量不变但半径更小的圆柱体，则圆柱体A对B的压力变大 【答案】D 【解析】AB．对A受力分析，A受重力、右侧挡板的支持力和B的支持力，如图所示 作出三力的外接圆，若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转60°的过程中，圆柱体A对槽壁的压力先变大后变小，圆柱体B对A的支持力变小，根据牛顿第三定律可得，圆柱体A对B的压力变小，故AB错误； CD．若“V型”槽不转动，将A换成质量不变但半径更小的圆柱体，小圆柱体受力分析如图所示 由图可知，槽壁对圆柱体A的支持力和B对A的支持力均变大，根据牛顿第三定律可知，A对槽壁的压力和对B的压力均变大，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练与拓展】 【变式9】（2025高三上·湖北·期末）课堂上打瞌睡时头部下倾，其受力可以简化为如图的三力模型：头部重力 mg、颈椎对头部的支持力N、肩颈肌肉对头部的拉力F，设头部倾角（N与竖直方向的夹角）为，颈部肌肉拉力角（F与竖直方向夹角）为，其中，，，若是个定值。下列说法正确的是（  ） A． B． C．越大，则F越小 D．越大，则N越小 【答案】B 【解析】由题可知，F与N的合力与mg平衡，如图所示 根据正弦定理有 解得， 当越大，越小，越大，越大，故N、F都越大。 故选B。 【变式10】某物理兴趣小组在研究三力作用下物体平衡问题时，设计了如图所示的方案并进行了分析讨论。将一质量为m的小球系于轻质细线一端，细线另一端固定在O点。小球在外力F、细线拉力和重力mg的作用下处于平衡状态。开始时F水平，细线与F的夹角为。现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变，下列说法正确的是（　　） A．图示位置外力F的大小为 B．图示位置细线拉力的大小为 C．在细线被拉到水平的过程中，外力F一直增大 D．在细线被拉到水平的过程中，细线拉力先增大后减小 【答案】C 【解析】AB．对小球受力分析如图所示 因此图示位置 ， 故AB错误； CD．对小球受力分析，构建矢量三角形如图所示 由图可知在细线被拉到水平的过程中，外力F一直增大，细线拉力一直减小，故C正确，D错误。 故选C。 【变式11】如图所示，用轻质细线把均质球挂在可绕垂直于纸面的O轴旋转的光滑木板上，现将木板绕O轴从竖直顺时针缓慢旋转到水平，细线与木板的夹角始终为，下列分析正确的是（   ）    A．细线对球的拉力一直减小 B．细线对球的拉力先增大后减小 C．木板对球的支持力一直增大 D．木板对球的支持力先增大后减小 【答案】AD 【解析】小球受向下的重力mg、细绳的拉力T和斜面的支持力N；在木板绕O轴从竖直顺时针缓慢旋转到水平的过程中，T和N两个力的夹角保持不变，三个力的合力始终为零，则根据图可知，细绳的拉力逐渐减小，斜面的支持力先增加后减小。 故选AD。 考点五 平衡中的临界极值问题 【必备知识回顾】 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 【重难模型精讲】 考向1：临界问题 【典例5】（2025高二下·浙江温州·期末）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（    ） A．每个手指对球的摩擦力大小为 B．两手指间距L的取值范围为 C．每个手指手对球的压力最小值为 D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍 【答案】B 【解析】A．对篮球受力分析，如图 竖直方向由平衡条件 则 所以每个手指对球的摩擦力大小 故A错误； C．因为 化简可得 即 故每个手指对球的压力最小值为，故C错误； B．因为 所以 可得 根据几何关系得 由图可知 所以 故两手指间距L的取值范围为 故B正确； D．当篮球受到手的静摩擦力时，，手对球的压力增大2倍时，摩擦力不增大2倍，故D错误。 故选B。 考向2：极值问题 【典例6】（2025高三上·广西梧州·期末）如图甲为一种门后挂钩的照片，相邻挂钩之间的距离为10cm，图乙挂包的宽度约为30cm，在挂包质量一定的条件下，为了使悬挂时挂包带受力最小，不计包带与挂钩间的摩擦，下列措施正确的是（　　） A．挂包带随意挂在一个钩子上 B．挂包带挂在两个相邻的挂钩上 C．挂包带跨过三个挂钩 D．挂包带跨过四个挂钩 【答案】D 【解析】设挂包带与竖直方向的夹角为，挂包带对挂包的拉力为，挂包的质量为，重力加速度为，根据平衡条件有 解得挂包带的拉力 在挂包质量一定的条件下，为了使悬挂时挂包带受力最小，则需最大，由于相邻挂钩之间的距离为10cm，图乙中挂包的宽度约为30cm，故使挂包带跨过四个挂钩时，则，可知此时挂包带受力最小。 故选D。 【变式训练与拓展】 【变式12】质量为M的木楔倾角为，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成角的力F拉着木块匀速上升，如图所示。已知重力加速度为g，木楔在整个过程中始终静止。 （1）画出m的受力分析图； （2）木块与木楔斜面间的动摩擦因数； （3）当和满足何种关系时，拉力F有最小值，并求此最小值； （4）当F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力是多大？ 【答案】（1） ；（2）；（3），；（4） 【解析】（1）对m受力分析，受重力、支持力拉力和摩擦力，如图所示 （2）不受拉力作用，木块在木楔上沿斜面向下匀速滑动时，根据平衡条件可得 解得 （3）木楔在力F作用下匀速上升，根据平衡条件，沿斜面方向上 垂直于斜面方向 滑动摩擦力为 解得 当时，F有最小值，为 （4）由于木楔及木块均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即 当F取最小值时，为 则 【方法规律】 (1)解析法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。 (2)图解法 根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 (3)极限法 极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。 基础巩固练 1.如图甲，一重物用细绳悬挂于点，用水平绳绑住绳的点，牵引至图示位置保持静止。现保持点的位置不变，改变绳牵引的方向，其拉力随旋转角度的变化如图乙所示，重力加速度取，则重物的重力为() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对节点，由于三力平衡，则三个力组成闭合三角形，由于保持点位置不变，由矢量三角形作出力的三角形，如图所示： 由图乙可知，由于当时，拉力最小，此时则有，解得重力，故ACD错误，故B正确。 2.如图所示，水平地面固定有倾角为的斜面体，质量为的物体在平行于底边、大小为的水平力作用下静止于斜面上，重力加速度为，则该物体受到的斜面摩擦力大小为() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对物体受力分析可知，物体受重力、支持力、水平力以及摩擦力的作用而处于平衡状态，将重力分解为垂直于斜面和沿斜面的两个分力，根据平衡条件可知，在沿斜面方向上，重力的分力与水平力以及摩擦力的合力为零，则摩擦力大小等于水平力与重力沿斜面向下的分力的合力，由几何关系可知，该物体受到的摩擦力大小为，故B正确。 3.质量为的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，为半圆的最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为的小滑块。用推力推动小滑块由点向点缓慢移动，力的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是() A.推力先增大后减小 B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C.墙面对凹槽的压力先增大后减小 D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【答案】C 【解答】对滑块受力分析，由平衡条件有，，滑块从缓慢移动点时，越来越大，则推力越来越大，支持力越来越小，故AB错误； C.对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力为，则越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，故C正确； D.水平地面对凹槽的支持力为，则越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，故D错误。 故选C。 4.铲车是常见的生产工具。某次生产过程中，铲车的铲斗中装载一个球形石块，此时的铲斗简化为图，铲斗的板和板内壁视为光滑，顶角为锐角，的角平分线竖直。铲车卸载石块的过程，铲斗缓慢顺时针旋转，直至铲斗的板水平，如图所示。下列说法正确的是() A.板受到的压力一直减小，板受到的压力先增大后减小 B.板受到的压力一直减小，板受到的压力一直增加 C.板受到的压力先增大后减小，板受到的压力一直减小 D.板受到的压力先减小后增大，板受到的压力一直增大 【答案】A 【解析】【解析】对石块，受力分析如图所示，初始时，为锐角。铲斗顺时针转动的过程，不变，逐渐减小到，先增大至，再变为钝角。在辅助圆中，可以得出先增大后减小，一直减小，答案选A。 5.如图甲所示，明代倪端画的捕鱼图是一种原始的捕鱼方式，其拉网的原理图如图乙所示，罾渔网和连接罾的四根竹杆可看成是一个重物用不可伸长的轻绳悬挂在轻杆上的点，轻杆可绕点在竖直平面内自由转动，人在点拉动轻绳使轻杆绕点转至竖直方向，从而使重物上升。在轻杆由图乙所示位置缓慢转至竖直的过程中，下列说法正确的是() A.人对轻绳的拉力变大 B.人对轻绳的拉力不变 C.轻杆上的弹力大小不变 D.轻杆上的弹力变小 【答案】D 【解析】对点受力分析，如图所示： 过点作竖直线交于点，可知点受到、、三个力作用，其中重物的重力，利用平行四边形定则作出、两个力的合力，，由三角形相似，可得，将代入得，，人在点将轻杆拉至竖直方向的过程中，的长度不变，的长度变大，的长度变小，故轻杆的弹力变小，人对轻绳的拉力变小，故ABC错误，D正确。 6.如图所示，墙角上有、、、四个点，一只蜘蛛通过和两根蛛丝将自己悬挂在结点休息，其中虚线沿竖直方向，蛛丝水平，蛛丝与竖直方向的夹角为，蜘蛛的重力为。某时刻蛛丝由于某个原因突然断裂，它需要在墙上之间选一点重新拉一根蛛丝，最后蜘蛛重新挂在点休息并保持点位置不变。下列说法正确的是() A.蛛丝拉力的最小值为 B.蛛丝拉力的最大值为 C.蛛丝拉力的最大值为 D.蛛丝拉力的最小值为 【答案】D 【解析】【解答】对蜘蛛与结点整体进行分析，作出受力图，如图所示 可知，蛛丝拉力的最小值为，蛛丝拉力的最大值为，AB错误； 根据上述动态受力图可知，蛛丝拉力的最大值为 蛛丝拉力的最小值为，C错误，D正确。 故选D。 7.如图所示，上表面光滑的半球体放在粗糙水平面上。现用轻绳拉着另一个光滑小球，使其沿球体表面缓慢上滑，拉力始终沿球面切线方向的，并且半球体始终静止。关于在小球上滑到最高点的过程中，下列说法正确的是() A.轻绳拉力逐渐变大 B.地面对半球体的支持力逐渐减小 C.地面对半球体的摩擦力先增大后减小 D.如果剪断轻绳，则在剪断轻绳瞬间，小球对半球体的压力会变大 【答案】C 【解析】A、设小球的质量为，半球体的质量为。 小球在某位置时受到重力、拉力和支持力，如图所示： 根据图中几何关系可得：拉力，向上拉动过程中变大，减小，故A错误； B、对整体分析，竖直方向地面对半球体的支持力，向上拉动过程中变大，则增大，故B错误 C、对整体分析，水平方向根据平衡条件可得：，可见，当时地面对的摩擦力最大，所以地面对半球体的摩擦力先增大后减小，故C正确； D、如果剪断轻绳，则在剪断轻绳瞬间，小球速度为，向心力为，小球受的支持力仍等于，故球对半球体的压力不变，故D错误。 8.如图，一粗糙的固定斜杆与水平方向成角，一定质量的滑环静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳一端与滑环相连，另一端与小球相连，且轻绳与斜杆垂直。另一轻质细绳沿水平方向拉小球，使小球保持静止。将水平细绳的端沿圆弧缓慢移动到竖直位置，的位置始终不变，则在此过程中() A.轻绳上的拉力先减小后增大 B.轻绳上的拉力先增大后减小 C.斜杆对的支持力一直在减小 D.斜杆对的摩擦力一直在减小 【答案】C 【解析】由题意知，小球处于平衡，对小球受力分析如图甲所示，由水平方向变到竖直方向，由矢量三角形的动态分析可以看出，轻绳上的拉力先减小后增大，轻绳上的拉力一直在减小，故A、B错误；滑环处于静止，对受力分析如图乙所示。 甲 乙 由于绳对的拉力一直在减小，故斜杆对的支持力也一直在减小，斜杆对的摩擦力一直等于，保持不变，故C正确，D错误。 9.沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，为其圆心，，质量为的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“”形槽中。初始时，三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为。在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，下列说法正确的是() A.槽面对木棒的弹力的最大值为 B.槽面对木棒的弹力先增大后减小 C.槽面对木棒的弹力一直增大 D.槽面与槽面对木棒弹力的合力先减小后增大 【答案】A 【解析】A.在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，对均匀圆柱形木棒受力分析，由力的平衡条件可知，重力、槽面对木棒的弹力和槽面对木棒的弹力构成封闭的三角形，即三力的合力是零，如图所示，在转动中两弹力、的夹角不变，可知当由题图示位置逆时针缓慢转过时，槽面对木棒的弹力有最大值，最大值为，A正确； B.由解析图可知，槽面对木棒的弹力一直增大，B错误； C.槽面对木棒的弹力先增大后减小，C错误； D.由力的平衡条件可知，槽面与槽面对木棒弹力的合力大小始终等于木棒的重力，合力大小不变，D错误。 故选A。 10.如图所示，粗糙水平面上静止放置一上表面光滑的四分之一圆柱体，光滑轻质小滑轮在圆心的正上方处用轻杆固定。细线一端跨过小滑轮连接一劲度系数的轻质弹簧，另一端固定在点，轻质光滑小滑轮放置在细线上，下面悬挂物块甲，弹簧下端与质量为的小球乙连接，小球乙置于圆柱体上，与竖直方向成角，与竖直方向成角，整个装置处于静止状态。已知长度与圆柱体半径相等，不计细线、滑轮质量，重力加速度取，求： 轻质弹簧的伸长量和物块甲的质量； 地面对四分之一圆柱体摩擦力的大小和杆对滑轮作用力的大小。 【答案】解对小球乙分析，受拉力、重力、支持力处于平衡状态，根据几何关系和平衡条件可得小球乙受拉力 则根据牛顿第三定律，轻质弹簧受小球乙拉力 根据胡克定律 轻质弹簧的伸长量 对物块甲分析，根据竖直方向平衡条件可得 代入数据解得物块甲质量 对小球乙分析，圆柱体对乙的支持力大小 方向与竖直方向夹角为，则根据牛顿第三定律，乙对圆柱体压力 对圆柱体分析，根据水平方向的平衡条件可得 得 代入数据解得地面对四分之一圆柱体的摩擦力大小 对滑轮分析，根据平衡条件，两绳对滑轮的作用力合力两力大小相等且垂直，则合力为与杆对滑轮作用力大小相等，则杆对滑轮作用力大小 代入数据解得杆对滑轮作用力大小 11.滑水运动是一项富有挑战性的水上运动，人和滑板在摩托艇的牵引下，短时间内可以达到较大速度。研究表明水对滑板的作用力垂直于板面向上，且，其中为人和滑板的速率水速视为零。某次运动中，人和滑板在水平牵引力作用下由静止开始沿水面做匀加速直线运动，末达到最大速度，前内通过的位移为，而后做匀速直线运动，此时滑板和水面的夹角，已知人和滑板 总质量，忽略空气阻力，取。试求： 前内加速度大小和末的速度大小 匀速直线运动时水平牵引力大小 的值是多少 【答案】解：前内人和滑板做匀加速运动，由得， 由解得末的速度。 以滑板和人整体为研究对象，受力分析如图， 解法一：由共点力平衡条件可得：， ， 解得：。 解法二：由共点力平衡条件可得：， 解得：。 由， 解得：， 由， 。 12.如图所示，质量为的物体压在放于地面上的竖直的劲度系数为轻弹簧上，上端与劲度系数为的轻弹簧相连，轻弹簧上端与质量也为物体相连，物体通过轻绳跨过光滑的定滑轮与轻质小桶相连，、均静止。现缓慢地向小桶内加入细砂，当弹簧恰好恢复原长时，小桶一直未落地求 小桶内所加入的细砂质量； 小桶在此过程中下降的距离。 【答案】解：当恢复原长时，对整体分析，绳子的拉力为，即小桶中细砂的质量为。 开始时，对分析，，弹簧的压缩量为：， 对分析，，弹簧的压缩量为：， 当恢复原长时，对分析，，弹簧的伸长量为：， 在此过程中，小桶下降的距离为： 综合提升练 1．如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是  (   ) A．绳的右端上移到b′，绳子拉力变小 B．绳的两端高度差越小，绳子拉力越大 C．将杆N向右移一些，绳子拉力变大 D．若换挂质量更大的衣服，则衣服架悬挂点右移 【答案】C 【解析】AB．因为衣服钩是光滑的，所以绳子两端的拉力大小相同，设两杆间距为d，绳子长为L，左右两端绳子长度分别为L1、L2，绳子拉力为T，两部分与竖直夹角分别为、，根据题意有 因为衣架钩是光滑的，绳子拉力相等，所以 即 所以 绳的右端上移或绳的两端高度差改变，d与L均为定值，所以为定值，为定值，绳子拉力不变，故AB错误； C．杆N向右移一些，d变大 变大，变小，拉力变大，故C正确； D．挂质量更大的衣服，d与L均不变，绳中拉力变大，位置不变，故D错误。 故选C。 2．（2026·山西晋中·三模）先秦《诗经·小雅·斯干》中：“约之阁阁，椓之橐橐。”记载了古人营造宫室的场景，匠人手持绳墨定准方位，用版筑之法夯实土墙。如图所示，古代建筑工地中，绳OP一端连接轻质光滑滑轮，另一端固定在P点，工人抓住跨过滑轮的轻绳一端沿水平地面缓慢向左走动将建材吊起，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳OP上的拉力保持不变 B．绳OP上的拉力逐渐变大 C．地面对人的摩擦力逐渐变大 D．地面对人的支持力逐渐减小 【答案】C 【解析】AB．设滑轮左侧绳子与竖直方向夹角，在此过程中，滑轮两侧的绳子拉力大小T均等于重物重力大小mg，对滑轮，由平衡条件可知，绳OP上的拉力 在此过程中，增大，因此F减小，故AB错误； CD．根据平衡条件，人在水平方向有 竖直方向上有 在此过程中，增大，因此地面对人的摩擦力逐渐变大，地面对人的支持力逐渐增大，故C正确，D错误。 故选C。 3．（2026·甘肃嘉峪关·三模）如图所示，某同学将一篮球放在光滑的斜坡上用光滑的竖直挡板挡住来探究三力静态平衡和动态平衡。她先挡住篮球让它处于静止状态，然后缓慢地把挡板绕斜坡顶点沿逆时针方向转一个较小角度（小于斜坡的倾角）。已知篮球的重力为G，斜坡的倾角为θ，下列说法正确的是（     ） A．篮球处于静止状态时，挡板对篮球的弹力大小为Gcosθ B．在缓慢转动挡板的过程中，斜坡对篮球的弹力逐渐减小 C．篮球处于静止状态时，斜坡对篮球的弹力大小为Gcosθ D．在缓慢转动挡板的过程中，挡板对篮球的弹力逐渐增大 【答案】B 【解析】对篮球受力分析，如图所示 设挡板对篮球的弹力大小为，斜坡对篮球的弹力大小为，根据平衡条件可得， 缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴沿逆时针方向转一个较小角度，挡板和斜坡对篮球的弹力的合力始终与重力G等大反向，如图所示 由图解法可知、均减小，故选B。 4．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【解析】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 5．（2026·四川广元·二模）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B静止于粗糙程度处处相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面，整个过程中B均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设半圆柱体 A、B 的质量为 ，因材料、长度、半径、密度均相同，圆柱体 C 的体积是半圆柱体的 2 倍，故C的质量为 。设C的圆心与 B 的圆心连线与竖直方向夹角为 。对 C 受力分析，由对称性知 A、B对C的支持力大小相等，设为 。竖直方向平衡有 解得 对 B 受力分析，竖直方向地面对 B 的支持力 水平方向 B 受到的静摩擦力 为使 B 保持静止，需满足 即 得 当 C 恰好降到地面时，C 的圆心离地高度为，B的圆心在地面上，两圆心距离为，此时， 在此过程中从增大到， 单调递增，当 时 最大，为 。故 的最小值为 。 故选 C。 6．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某“抬杆游戏”挑战的简化模型如图所示。两个质量分别为5m、4m的小球a、b用一根轻直杆连接，小球b静置于水平桌面上，挑战者用涂抹油的手指将小球a由水平位置缓慢抬至竖直位置，整个过程中小球b未与桌面发生滑动。不考虑手指与球间的摩擦，手指对小球a的作用力F始终垂直于杆，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球b与桌面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设杆与水平桌面夹角为，对小球a、b分别受力分析，如图所示 转动过程中，小球a、b均处于平衡状态，对小球a有 对小球b，水平方向平衡得 竖直方向平衡得 又因为+ 可得+4 小球b不滑动条件为 即 代入化简可得 令 由基本不等式可得 可得 即的最大值为，故动摩擦因数至少为。 故选B。 7．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【解析】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 8．（多选）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N．初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【答案】AD 【解析】以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示， 在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确；B、C错误． 9．（多选）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 【答案】BD 【解析】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大； 对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD． 10．（多选）如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则（　　） A．Ff变小 B．Ff不变 C．FN变小 D．FN变大 【答案】BD 【解析】试题分析：先对三个物体以及支架整体受力分析，受重力，2个静摩擦力，两侧墙壁对整体有一对支持力，根据平衡条件，有：，解得，故静摩擦力不变，故A错误B正确；将细线对O的拉力按照效果正交分解，如图 设两个杆夹角为，则有，再将杆对滑块m的推力按照效果分解，如图 根据几何关系，有，故，若挡板间的距离稍许增大后，角θ变大，变大，故滑块m对墙壁的压力变大，故C错误，D正确； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $