考点03 正弦定理与余弦定理 能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理的综合应用，通过多样题型构建从基础到复杂问题的知识逻辑链，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-2题|三角形形状判断、角平分线计算|从边角关系（正弦/余弦定理）到性质应用，构建概念与性质的推导链条| |综合提升|单选3-6题、多选7-8题|面积取值范围、最值问题、向量结合|整合面积公式、不等式与定理应用，形成“定理→公式→综合计算”的逻辑递进| |拓展探究|填空9-10题、解答11-12题|结论判断、函数与三角形综合|关联函数值域、动点轨迹等跨知识，体现“数学思维→问题解决→模型表达”的素养落地|

考点03 正弦定理与余弦定理·能力提升 一、单选题 1. 在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2. 在中，的平分线交AB于点，且，则为（   ） A． B． C． D． 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4. 记的内角的对边分别为，已知的面积为20，且，点在其内部，满足的面积之比为.若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 5. 在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 6. 在斜中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（   ） A． B． C．是钝角三角形 D． 8．已知的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B．是锐角三角形 C．若M是BC上一点，且，则 D．若D是BC上一点，且AD平分，则 3、 填空题 9. 在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤O为平面内一点，若动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的外心．其中所有正确结论的序号______． 四、解答题 11．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 12．函数. (1)求的值域及对称轴方程； (2)锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，，设面积为S，求S的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 正弦定理与余弦定理·能力提升 一、单选题 1. 在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 所以， 即，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以. 故选：C. 2. 在中，的平分线交AB于点，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用证得，在中利用余弦定理可得，最后再在中利用余弦定理可得. 【详解】因为的角平分线，，则， 因，则，即， 设，则， 则在中利用余弦定理可得，， 得， 在中利用余弦定理可得，. 故选：B    3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、辅助角公式 【详解】由，得， 所以，所以， 又因为，所以，所以，解得； 在中，，由余弦定理可得， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 因为，所以， 所以面积的取值范围为. 4. 记的内角的对边分别为，已知的面积为20，且，点在其内部，满足的面积之比为.若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由的面积之比为，得是的中点，且，由余弦定理化简可得，即，在利用面积公式计算即可求解. 【详解】延长交于， 因为的面积之比为， 所以是的中点， 因为面积之和与面积之比为，所以， 又因为， 所以 又因为，求得， 所以， 则，又的面积为20， 所以，解得. 故选：B. 5. 在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、辅助角公式 【分析】设，根据条件得出，再利用余弦定理可得，再结合辅助角公式和三角函数的值域求解. 【详解】设，则由题意可知，，， 则， 由余弦定理可得， ， 则， 即，其中， 则，得， 当时，，得，则，， 故的最小值为. 故选：D 6. 在斜中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】通过正余弦定理转化得，对变形得，两边同平方，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案. 【详解】因为， 由余弦定理得， 又因为是斜三角形，所以，所以， 由正弦定理得，所以， 因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为， 化简得，解得或（舍去）， 所以， 设边的中点为，则， 因为，所以， 即为的中点， 所以. 故选：C. 二、多选题 7．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（   ） A． B． C．是钝角三角形 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、已知弦（切）求切（弦） 【分析】A选项，由三角形面积公式得到方程，求出；B选项，由余弦定理得到方程，求出；C选项，中最大角为，，故为锐角，故为锐角三角形；D选项，计算出，，D正确. 【详解】A选项，由面积公式可得，即，解得，A正确； B选项，由余弦定理得，即，解得，B正确； C选项，由于，故中最大角为， ，故为锐角，故为锐角三角形，C错误； D选项，由于，故，故， 又，故， 故，故，D正确. 故选：ABD 8．已知的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B．是锐角三角形 C．若M是BC上一点，且，则 D．若D是BC上一点，且AD平分，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由余弦定理求出判断A，由余弦定理求出判断B，利用等面积法求高判断C，根据三角形的面积公式求判断D. 【详解】由余弦定理，得，解得，故A正确； 由余弦定理，得，所以为钝角三角形，故B错误； 设BC边上的高长h，则，解得，故C正确； 设BC边上的角平分线为AD，则， 则，即， 解得，故D错误． 故选：AC 3、 填空题 9. 在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 【答案】12 【难度】0.62 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值 【详解】已知， 由正弦定理边化角得. 由于， 因此. 又，，所以，则. 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 因此的最小值为12. 10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤O为平面内一点，若动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的外心．其中所有正确结论的序号______． 【答案】④⑤ 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形 【分析】利用诱导公式求解判断①；利用余弦定理推理判断②；利用向量线性运算判断③；利用三角形心的向量表示判断④；利用向量数量积判断⑤即可得解. 【详解】对于①，在中，由，得或， 即或，则是等腰三角形或直角三角形，故①错误； 对于②，由及余弦定理，得， 又，则为锐角，而是否为锐角不确定，故②错误； 对于③，由，得，即， 则，则的面积是面积的，故③错误； 对于④，记的中点为，则， 由，得，即在中线上， 同理可得点在其他中线上，故是的重心， 由，得是的外心，即的重心、外心重合， 则为等边三角形，故④正确； 对于⑤，记中点为，则， 由， 得， 所以， 所以， 所以， 所以，所以是的垂直平分线，又的外心在的垂直平分线上， 所以动点P的轨迹一定通过的外心，故⑤正确. 故答案为：④⑤. 四、解答题 11．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理及和角公式可得，再结合的范围，即可得到； （2）由正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，根据角的范围可得的范围，进而得到答案． 【详解】（1）由正弦定理可得：， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即； （2）由正弦定理得， 所以， 则 ， 由于为锐角三角形，故，所以， 从而，则，所以， 因此的取值范围是． 12．函数. (1)求的值域及对称轴方程； (2)锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，，设面积为S，求S的取值范围. 【答案】(1)值域，对称轴方程 (2) 【难度】0.63 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据辅助角公式化简，即可利用整体法求解； （2）由已知可求得，利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，由三角函数的性质求解值域即可得解. 【详解】（1）， 所以的值域为， 令，则，所以的对称轴方程为. （2）由，得，即， 所以，得，又为锐角，所以， 又，所以，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，故，则， 所以，所以， 所以，即. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $