考点03 正弦定理与余弦定理 基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理基础应用，通过多样化题型构建从边角关系到综合应用的知识逻辑链，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|1|边角关系条件判断|从概念辨析到定理应用，构建边角互化-解算-综合分析的完整逻辑| |解三角形|2|已知边边角/边角高解三角形| |形状与面积|2|三角形形状判断与面积计算| |综合应用|7|取值范围及综合结论探究|

考点03 正弦定理与余弦定理·基础通关 一、单选题 1. 在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 3. 在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 4. 在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6. 设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，则，且 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 8．已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积为 D． 三、填空题 9．若△ABC中，，则△ABC的周长为___________． 10．已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为______． 四、解答题 11．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的值. 12．记的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 正弦定理与余弦定理·基础通关 一、单选题 1. 在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】充要条件的证明、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正余弦函数的单调性以及大边对大角判断即可得出结论． 【详解】判断： 根据正弦定理，则， 因为，等价于； 根据大边对大角，可得：； 因为，余弦函数在上单调递减， 故；充分性得证； 判断： 因为余弦函数在上单调递减，， 故，根据大角对大边可知； 根据正弦定理，故； 必要性得证； 综上，“”是“”的充要条件． 2. 在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据求出，根据正弦定理求出，结合为锐角可得结果. 【详解】在中，因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以为锐角，所以. 故选：A. 3. 在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由已知结合勾股定理求出，再利用余弦定理求出，再由三角形面积公式，可得. 【详解】∵在中，，边上的高等于， ∴， 由余弦定理得：， 故， ∴. 故选：C 4. 在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误． 【详解】由三角形内角和 ，得 ， 因此原方程等价于 ，即 ， ， 则或，则是等腰或直角三角形． 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理得，再利用余弦定理求出，最后利用面积公式即可. 【详解】由正弦定理化简得， 再由余弦定理结合题干信息可得，， 得，， 则的面积是. 故选：B 6. 设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可. 【详解】在中，由可得， 由正弦定理得： 又为锐角三角形，所以，解得， 令，则， 因为在时单调递增， 所以，则. 故选：C 二、多选题 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，则，且 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BD 【难度】0.68 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、正弦定理判定三角形解的个数、二倍角的正弦公式 【分析】A选项，根据余弦定理，只能判定角为锐角；B选项，移项后，利用正弦函数的单调性和诱导公式即得结论；C选项，由已知条件为两边一夹角，可判定错误；D选项，据正弦定理把等式的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得，进而推断，或，即可判定． 【详解】对于A，若，则，为锐角， 不能判定为锐角三角形，故错； 对于B，若为锐角三角形，有， 则，∴，故正确； 对于C，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C错误； 对于D，因为，所以 ，或即， 为等腰或直角三角形，故正确． 故选：BD． 8．已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】A利用正弦定理化简即可；B在和中利用正弦定理即可；C在中利用余弦定理求得长度即可；D利用即可. 【详解】对于A，由及正弦定理可得，， 则， 所以，又，所以，所以， 解得，又因为，所以，故A错误； 对于B，由选项A可知，，在边上，且平分， 所以，又，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式左右两边分别相除可得，化简得，故B正确； 对于C，由选项B可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 则，故C正确； 对于D，由，得，解得，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．若△ABC中，，则△ABC的周长为___________． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求得，进而求得，从而求得三角形的周长. 【详解】由正弦定理得， 是三角形内角，则或， 当时，，则， 三角形的周长为. 当时，，则, 三角形的周长为. 因此周长为或. 故答案为：或 10．已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理求外接圆半径 【分析】利用正弦定理进行边角互化，进而可得面积之比. 【详解】由， 得， 即， 即， 所以的面积与外接圆的面积之比为， 故答案为：. 四、解答题 11．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题目的比例关系令，，，其中，解出，再利用余弦定理即可求出答案； （2）利用余弦定理求出，进而求出，原式利用正弦定理，结合两角和的正弦公式及诱导公式得到，代入即可求出答案. 【详解】（1）由题意令，，，其中， 联立，解得，其中， 由余弦定理得. （2）由（1）知，，其中， 由余弦定理得， 因为，所以， 因为， 由正弦定理得， 则， 因为，所以 所以， 又因为，所以， 所以，即. 12．记的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用三角恒等变换得，则或，，根据三角形内角关系分析可得； （2）根据正弦定理和三角恒等变换得，再分析得，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 故， 即， 故或，.      而，故不成立，于是，          当时，； 当时，， 故，. （2）由（1）可得，，      由知，即，而又因为，故，于是， 根据正弦定理，          于是， 因为，故的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $