新题素养提升卷(4)-【培优小状元】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

新题素养提升卷（四） 培优小状元 时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图所示的图形中，两个角互为补角的是 北 30° ,90° 60° 150° ① ③ ③ ④ 啟 A.①和② B.①和③ C.①和④ D.②和④ 2.某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则 定价/元 100 110 120 130 140 150 K 销量/台 80 100 110 100 80 60 A.定价是常量 B.销量是自变量 C.定价是自变量 D.定价是因变量 毁 3.下面是某同学在一次作业中的计算摘录：①3a+2b=5ab;②4m3n一5mm3=一m3n;③4x3· 郫 (-2x2)=-6.x5;④4a3b÷(-2a2b)= 2a;⑤(a3)2=a5;⑥(-a)3÷(-a)=-a2.其中正确的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1,2，x这三个号码，这些球除号码外其他都相同，搅 匀后任意摸出一个球，摸出的球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是 () 蟹 州 A.4 B.5 C.6 D.7 5.选材新情境生活情境)小亮探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行 线，如图是小亮画平行线α，b的作法，则小亮这样画的依据是 () 布 A.同位角相等，两直线平行 B.同旁内角互补，两直线平行 C.内错角相等，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线平行 总 亦 第5题图 第6题图 6.如图，△DEF的3个顶点分别在正方形网格的格点上，这样的三角形叫作格点三角形.选取图 中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（除△DEF外）的三角形有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，已知P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°.若△AOP为钝角三角形，则 ∠A的取值范围是 () A.0°<∠A<60 B.90°<∠A<180° C.0°<∠A<30°或90°<∠A<130 D.0°<∠A<60°或90°<∠A<150° e b 第7题图 第8题图 8.课标新素养数形结合)如图，有A类、B类、C类三种规格的卡片若干张.若要拼成一个长为(2a+ 3b),宽为(a十2b)的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为 () A.2,8,5 B.3,8,6 C.3,7,5 D.2,6,7 9.如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然 后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图3中的 () ◇>≤X ① ② ④ 图1 图2 图3 A.①② B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 10.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE.以下四个结论：①BD=CE; ②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°；④BC=BD.其中结论正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.计算：(-3)°- 2 12.考试新趋势开放性试题举一个不可能事件的例子： 13.对于非零的两个有理数a,b定义一种新运算，规定a◎b=a.若(2◎m)×(4◎n)=32,则 m+2n的值为 14.已知线段a,∠a,∠3，求作△ABC,使BC=a,∠ABC=∠a,∠ACB=∠3，则正确的作图顺 序为 .(填序号) ①以点C为顶点，BC为一边，作∠BCN=∠B;②作一条线段BC,使BC=a;③以点B为顶点， BC为一边，作∠CBM=∠a,BM与CN相交于点A;④则△ABC就是所要求作的三角形. 15.甲、乙两人在一条直线道路上分别从相距1500m的A,B两点同时 1500m 出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点B前进（甲到达点B时 停止运动)，乙也立即向点B返回.在整个运动过程中，甲、乙均保持 匀速运动.甲、乙两人之间的距离y(m)与乙运动的时间x(s)之间的 200375x/s 关系如图所示.则甲到达点B时，乙距离点B m. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.跨学科语文(8分)清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小， 也学牡丹开.”若苔花的花粉直径为640nm.(1nm=109m) (1)用科学记数法表示苔花的花粉直径约为 m; (2)多少个这样的花粉首尾连接起来能达到1m? 17.(8分)如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AB=6. (1)根据要求用尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点D;(不写作法，只保留作图痕迹) (2)根据要求用尺规作图：作出点D到边AB的距离DE;(不写作法，只保留作图痕迹) (3)在(1)(2)的条件下，CD=2,求△ABD的面积. B 期末状元卷数学七年级下册 17 18.(9分)一只不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅 匀，从中任意摸出1个球， (1) (填“能”或“不能”)事先确定摸到的这个球的颜色； (2)摸到哪种颜色的球的可能性最大？摸到哪种颜色的球的可能性最小？ (3)怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？（要求： 只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小) 19.(9分)如图，△ABC是等边三角形，D,E,F分别是AB,BC,AC上的一点，且∠DEF=60°. (1)若∠1=50°，求∠2的度数； (2)连接DF,若DF∥BC,试说明：∠1=∠3. 2 18勺期末状元卷数学七年级下册 20.(10分)周末，小明骑自行车从家出发到野外郊游.从家出发0.5h后到达甲地，游玩一段时间 后按原速前往乙地，小明离家h后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地.如图是他们离家的路程 y(km)与小明离家时间x(h)的图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍. (1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间； (2)妈妈驾车的速度为 km/h;设小明离开家到与妈妈相遇的时间为th(t>1),则小 明骑车的路程为 km(用含t的式子表示)，妈妈驾车的路程为 km(用含t 的式子表示)，并求出t的值； (3)若妈妈比小明早l0min到达乙地，求从家到乙地的路程. y/km EC AB/ 10 D 00.514 x/h 21.(10分)如果两个角的差的绝对值等于90°，那么称这两个角互为反余角，其中一个角叫作另一 个角的反余角.例如：∠1=120°，∠2=30°，|∠1-∠2=90°，则∠1和∠2互为反余角，其中 ∠1是∠2的反余角，∠2也是∠1的反余角 (1)如图，点O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O,OE⊥OD于点O,则∠AOE的反余角是 ,∠BOE的反余角是 (2)若一个角的反余角是它的补角的？，求这个角的度数. 22.课标新素养规律探究)(10分)【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B= ∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,探究图中∠BAE,∠FAD, ∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是延长FD至点G,使DG=BE,连接 AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应 是 【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B十∠D=180°，点E,F分别是BC, CD上的点，且EF=BE十FD,上述结论是否仍然成立？并说明理由. 如 D 邮 C B E 图1 图2 不 g 23.考试新趋势新定义(11分)对有理数a,b,c定义一种新运算，规定F(a,b,c)=a2十b2+2c, 区 例如：F(1,2,3)=12+22十2×3=11. (1)求F(2,3,1); (2)如图，在长方形ABFG和长方形BCDE中，AB=2x,AG=4x,BC=2y,CD=y.若2x十 的 y=5,F(3x十y,x一3y,一x2-6y2)=0,连接AF和AD,求图中阴影部分的面积； (3)若F(x,2y,3y+xy)=一3，求2x+y的值. 和(2)①随机 (4分) 【解析】当点E在线段BD上时，如图.因为∠BEF=180°-∠DEF,∠DBC十 ②因为P(盒中混人1支HD”铅笔)-需子所以m=5因为m十a=14,所以m=11一m ∠BEF+∠EFB=180°，所以28°+(180°-∠DEF)+∠EFB=180°，整理得 ∠DEF-∠EFB=28. 14-5=9 (8分) (3)∠DPF=90°十 之∠DEF (12分 19.解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求作的三角形. (2分) 【解析】根据题意作出示意图，因为∠DBC=28°，∠EBF十∠BEF十∠BFE (2)如图2，作点C关于MN的对称点D,连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P. 180°，∠EFQ+∠BFE=180°，所以∠EFQ=∠EBC十∠DEF=28°+∠DEF.B (5分) (3)如图3，先作点A关于直线MN的对称点A',连接BA'并延长交MN于一点，该点即为点Q 因为FP平分∠EFQ,所以∠PFM=14°十之∠DEF.因为直线DH平分∠ADE,所以 QB-QA的最大值为A'B=3. (8分) ∠ADH= F∠ADE= 2X(180°-28)=76°.因为AD∥BC,所以∠PMF=∠ADH=76°.因为 ∠PFM+∠PMF+∠MPF=180°，∠DPF+∠MPF=180°，所以∠DPF=∠PFM+∠PMF= 14°+号∠DEF+76°，即∠DPF=90+2∠DEF 新题素养提升卷（四）】 图1 图2 图3 1.C2.C3.A4.A5.C6.C7.D8.D9.C 20.解：(1)因为△OAC与△OPC关于OC所在直线对称，△OBD与△OPD关于OD所在直线对称 10.C【解析】，∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD 所以AC=PC,BD=PD,所以CAPD=PC+CD+PD=AC十CD十BD=AB (AB =AC. 因为AB=15,所以△PCD的周长为15. (4分) ∠CAE.在△BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS),∴.BD=CE, (2)因为∠AOB=110°， AD=AE, 所以∠A十∠B=180°-∠AOB=70° 故①正确：△BAD≌△CAE,.∠ABD=∠ACE.:∠BAC=90°，AB=AC,.∠ABC= 由(1)易知，∠OPC=∠A,∠OPD=∠B, ∠ACB=45'∠ABD十∠DBC=45°，∴.∠ACE+∠DBC=45°，.∠DBC+∠DCB= 所以∠CPD=∠OPC+∠OPD=∠A+∠B=70 (9分) ∠DBC十∠ACE+∠ACB=90°，∴.BD⊥CE,故②③正确；BD⊥CE,.∠BDC=90°， 21.解：(1)由题意得，方案1中y与x的表达式为y=20×4十8×(x-4),整理得y=8x十48. .∠BCD≠90°，.BD≠BC,故④错误.故选C (3分) 11.-112.水中捞月13.514.②①③④ 方案2中y与x的表达式为y=(20×4十8x)×80%,整理得y=6.4x十64 (6分) 15.87.5【解析】由题可得，甲从点A到达，点B运动的时间为375s,所以甲的速度为1500÷375= (2)当x=12时，选择方案1需付款8×12十48=144（元）.选择方案2需付款6.4×12十64= 4(m/s).又因为甲、乙两人从出发到相遇的时间为200s,所以乙的速度为1500÷200一4 140.8(元).因为144>140.8，所以选择方案2更优惠 (10分) 3.5(m/s).又因为甲从相遇的地，点到达，点B所走的路程为(375一200)×4=700(m),乙在两人相 22.解：(1)因为x十y=8,所以(x十y)2=82,即x2+2xy十y2=64.又因为x2+y2=40,所以2xy= 遇后向点B走的路程为(375-200)×3.5=612.5(m),所以甲到达，点B时，乙距离点B700-612. 64-40=24,所以xy=12. (3分) 5=87.5(m).故答案为87.5. (2)①26 (5分) 16.解：(1)6.4×10-7 (4分) 【解析】因为(x-4)-x=一4，所以[(x-4)-x]2=16,即(x-4)2-2(x一4)x+x2=16,所以 (2)1÷(6.4×10-7)=1.5625×105. (x-4)2十x2=16十2×5=26. 所以1.5625×10°个这样的花粉首尾连接起来能达到1m. (8分) ②17 (7分) 17.解：(1)如图，射线AD即为所求作 (2分) 【解析】因为(4-x)-(5-x)=-1,所以[(4-x)-(5-x)]2=(4-x)2-2(4-x)(5-x)十 (2)如图，线段DE即为所求作. (5分) (5-x)2=(-1)2=1.又因为(4-x)(5-x)=8,所以(4-x)2十(5-x)2=1十2(4-x)(5-x)= (3)由(1)(2)知DE⊥AB,AD平分∠BAC,又∠C=90°，.DE= 1+2×8=17. DC=2,六Sam=子·AB·DE= 1 1 ×6×2=6. (8分) (3)由题意可得AC+BC=6,AC2十BC2=18.因为(AC十BC)2=62,即AC2+2AC·BC+ 18.解：(1)不能 (2分) BC2=36,所以2AC·BC=36-(AC2+BC2)=36-18=18,所以AC·BC=9.因为CF=BC,所 (2)因为白球的数量最多，红球的数量最少，所以摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小. 以SAm-号AC·CF-号，所以图中阴影部分的面积为 9 (10分) (5分) 23.解：(1)∠EFB十∠DEF=152°，是定值.理由：因为AD∥BC,∠ADB=28°，所以∠DBC= (3)因为这三种颜色的球的个数相等时，摸到这三种颜色的球的概率相等，所以拿出1个黄球和2 ∠ADB=28°.因为∠DBC+∠EFB十∠DEF=180°，所以∠EFB+∠DEF=180°-∠DBC= 个白球后，摸到这三种颜色的球的概率相等 (9分) 152°，是定值. (4分) 19.解：(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠A=∠C=60°.因为∠B十∠1十∠DEB=180°， (2)∠DEF-∠EFB=28 (8分) ∠DEB+∠DEF+∠2=180°，∠DEF=∠B=∠60°，所以∠2=∠1=50. (4分) (2)因为DF∥BC,所以∠FDE=∠DEB.因为∠B十∠1十∠DEB=180°，∠FDE十∠3+ △DCE(SAS),故①正确.因为△ABE≌△DCE,所以BE=CE,故②正确.因为△ABE≌△DCE, ∠DEF=180°，∠B=∠DEF=60°，所以∠1=∠3. (9分) 所以∠AEB=∠DEC.又因为∠AEB十∠BED=90°，所以∠DEC十∠BED=90°，所以BEI 20.解：(1)小明骑车的速度为0后 ,10 =20(km/h),小明在甲地游玩的时间为1-0.5=0.5(h).(2分) EC,故③正确.故选D. 11.6×10-612.>13.(2a2+4ab+b2)14.53 (2)6020(t-0.5) 60(-专) 15.36°【解析】由题意可得AD∥BC,.∠DEF=∠BFE,∠DEF+∠EFC=180°.：∠DEF= 由题意，得201-0.5)=60(：-号），解得1=子 (6分) 72°，∴.∠BFE=72°，∠EFC=108°.由折叠的性质可得∠EFC=∠EFH=108°，∠MFN= ∠MFH.:∠MFH=∠EFH-∠BFE=108°-72°=36°，∠MFN=36°，∠EFN= (3)10min=6h,设小明从家到乙地的时间为mh. ∠EFM-∠MFN=72°-36°=36.故答案为36°， 则由题意，得20(m一05)=60(0一专一合），解得风=2， 16.解：原式=4a2-20a十25-a2+5a-6+3a-12=3a2-12a十7.因为a2-4a十2=0，所以a2 4a=-2,所以3a2-12a=3(a2-4a)=3×(-2)=-6,所以原式=-6十7=1. (8分) 则从家到乙地的路程为20×(2-0.5)=30(km). 17.解：如图， (8分) 答：从家到乙地的路程为30km. (10分) 21.解：(1)∠AOD∠EOC和∠DOB (4分) (2)设这个角的度数为x.若这个角是锐角，则它的反余角为(90°十x),由题意，得90°十x= 号180°-x),解得x=18,若这个角是钝角，则它的反余角为(x一90)，由题意，得x一90 号180°-)，解得=125综上所述，这个角的度数为18或126 (10分) 22.解：【初步探索】∠BAE十∠FAD=∠EAF (3分) 18.解：BC AB AC三边分别相等的两个三角形全等（或SSS或边边边）D米 【灵活运用】仍然成立，理由：如图，延长FD至点G,使DG=BE,连 G (6分) 接AG.因为∠B+∠ADF=180°，∠ADG十∠ADF=180°，所以∠B= 如图，△DEF即为所求作 (9分) ∠ADG.又因为AB=AD,BE=DG,所以△ABE≌△ADG(SAS),所 19.解：(1)由题可得，白球有3a个，黄球有4a个，所以一共有7a个球， 以∠BAE=∠DAG,AE=AG.又因为EF=BE十FD=DG十FD= GF,AF=AF,所以△AEF≌△AGF(SSS),所以∠EAF=∠GAF= 所以P(换尚白球)一治-号P(摸出黄球)一岩-手 ∠DAG十∠FAD=∠BAE十∠FAD. (10分) 23.解：(1)根据定义，F(2,3,1)=22十32十2×1=4十9十2=15. (2分 因为号>，所以这个游戏不公平。 (4分) (2)因为F(3x+y,x-3y,-x2-6y2)=0,所以(3x十y)2十(x-3y)2+2(-x2-6y2)=0,所 以4z2-y2=0,即(2x十y)(2x-y)=0.因为2x十y=5,所以2x-y=0,即y=2x,可得2x十 (2)拿出2个黄球后，白球有3a个，黄球有(4a一2)个.因为要让摸出黄球和白球的概率相等，所 24=5,解得x=号则y=2x=号，所以AB=2x=号 5 以3a=4a一2，解得a=2,即当a=2时，小晨和弟弟去演奏会的可能性相等，此时游戏是公平的. ,AG=4x=5,BC=2y=5,CD=y=2, (9分) 因为ABFG是长方形，所以FG=AB=号，所以阴影部分的面积为AB·AG+BC·CD-合AG· 1 20.解：(1)因为CE∥BF,所以∠ACE=∠DBF.因为AB=CD,所以AB十BC=CD十BC,即AC= PG-AB+B0cD=号×8+5xg-×6x号×（层9）×营- (7分) (CE=BF, BD.在△AEC和△DFB中， ∠ACE=∠DBF,所以△AEC≌△DFB(SAS),所以∠EAC= (3)因为F(x,2y,3y十xy)=-3,所以x2+(2y)2+2(3y十xy)=-3,所以x2+4y2+6y十 2xy+3=0,所以(x十y)2+3(y十1)2=0，所以x十y=0,y十1=0，解得y=-1,x=-y=1,所 AC=DB, 以2.x+y=2×1-1=1. (11分) ∠FDB,所以AE∥DF. (4分) 名师原创预测卷（一） (2)由(1)知AE∥DF,所以∠EAF十∠AFD=180°.因为∠EAF=80°，所以∠AFD=180° 1.D2.C3.B4.B5.C6.A7.D8.B9.B ∠EAF=100.因为△AEC≌△DFB,所以∠BFD=∠E=85°，所以∠AFB=∠AFD 10.D【解析】因为AC=2AB,点D是AC的中点，所以CD=2AC=AB.因为△ADE是等腰直角 ∠BFD=100°-85°=15. (10分) 三角形，所以AE=DE,∠EAD=∠ADE=45°，所以∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°- 21.解：(1)12603 (2分) AB=CD. (2)1490 (4分) 45°=135°，所以∠BAE=∠CDE.在△ABE和△DCE中， ∠BAE=∠CDE,所以△ABE≌ (3)设动车的速度为mkm/h,由题意得3(90十m)=1260,解得m=330,所以动车的速度为 AE=DE, 330km/h. (7分) (期末状元卷数学七年级下册 27