新题素养提升卷(2)-【培优小状元】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

新题素养提升卷（二） 培优小状元 时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，关于虚线成轴对称的有 北 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 翩 2.选材新情境自然科技雷达被称为“无线电定位”，是利用电磁波探测目标的电子设备.已知某飞 机的雷达可以发射红外线波，其波长为1.2um,已知1um=0.000001m,则1.2um用科学记 数法表示为 () 长 A.1.2×10-5m B.1.2×105m C.1.2×10-6m D.1.2×106m 3.如图，把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A,B,C,D四个扇形区域，自由转动转盘，停止 毁 后指针落在B区域的概率为 () 架 3 B号 1 D.10 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 州 4.课标新素养几何直观某手工饰品店计划设计一款三角形耳饰，已知该耳饰的两边长分别为 2cm,4cm,当制作完成的三角形耳饰周长是小于10cm的整数时，耳饰是最美观的，则该三角 布 形耳饰的第三边长可能为 () A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 5.如图，AB∥CD∥EF,GH∥BF,则图中与∠F(不包括∠F)相等的角有 崩 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE,OF分别与两腰垂直，等腰三角 丝 形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为 () A.5 B.7.5 C.9 D.10 7.选材新情境数学文化《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组 成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可 通过读取箭尺读数计算时间.某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2h记录一次箭尺读数，得 到数据如下表： 供水时间x/h 0 箭尺读数y/cm 6 18 30 42 下列说法一定错误的是 ( A.箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B.箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为y=6x十6 C.当x=7时，y=48 D.供水时间x每增加1h,箭尺度数y增加12cm 浮箭漏示意图 箭尺 供水壶 箭壶 接水壶 B D 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，在△ABC中，∠CAB和∠CBA的平分线相交于点P,连接PC.若△PAB,△PAC, △PBC的面积分别为S1,S2,S3,则有 A.S1<S2十S3 B.S1=S2+S3 C.S1>S2+S3 D.2S=S2+S3 9.如图，点D在线段BC上，若BC=DE,AC=DC,AB=CE,且∠ACE=180°-∠ABC-2x°， 则下列角中，大小为x的角是 A.∠EFC B.∠ABC C.∠FDC D.∠DFC 10.选材新情境数学文化)如图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律 写出形如(a十b)"(其中n为正整数)展开式的系数，例如：(a十b)=a+ b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,那么(a+b)6 展开式中前四项的系数分别为 A.1,5,6,8 B.1,5,6,10 C.1,6,15,18 D.1,6,15,20 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.计算：a2·a3·a5= .(a≠0) 12.如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°，则∠BOC的度数 为 13.欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔 入，而钱不湿.”如图，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱的直径为4cm,中间有边长为1cm的 正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率 是 E 第12题图 第13题图 第15题图 14.将(mn5)严·（一2mn)的结果化为只含有正整数指数幂的形式，其结果为， 16m,则“米” 处的数是 15.考试新趋势动点问题>如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm,AC=6cm,点E是BC的 中点，动点P从点A出发，先以1cm/s的速度沿A→C运动，然后以2cm/s的速度沿C→B 运动.若设点P运动的时间是ts,则当t= 时，△APE的面积等于6cm. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(8分)已知ax·ay=a5,(ax)y=a. (1)求x2+y2的值； (2)求(x-y)2的值. 17.(8分)如图，AB∥CD. (1)请用圆规和直尺作出∠A的平分线，交CD于点E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)若∠C=124°，求∠EAB的度数. (期末状元卷数学七年级下册 13 18.(9分)小亮在解答“先化简，再求值：(a一b)2+(a+b)(b-a)-(6ab4-3ab2)÷3ab2,其中 a=3,b=一2”时，将a=3,b=一2抄成了a=一3，b=2,但是他的计算结果是正确的，你知道 这是怎么回事吗？ 19.(9分)某橙子种植地为了提高橙子的质量，橙子成熟采摘后在所有橙子中随机抽取若干橙子， 进行坏果统计，并将统计的数据记录在下表中. 总质量m/kg 500 550 600 650 700 750 坏果质量n/kg 70 66 78 78 77 75 坏果概率n/m 0.1400.120 0.1300.1200.1100.100 (1)橙子坏果的概率约为 ;(精确到0.1) (2)当抽取的橙子总质量为2500kg时，橙子坏果的质量最有可能是多少千克？ (3)若种植地将4000kg的橙子售卖出去，种植成本为1.5元/kg,当每千克橙子的出售价格为 多少元时，该种植地可获得利润为3360元？ 20.(9分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A,C,D三点在同一直线上，连接BD, AE,并延长AE交BD于点F. (1)试说明：△ACE≌△BCD; (2)直线AE与BD互相垂直吗？请说明你的结论 14 (期末状元卷数学七年级下册 21.(10分)快车与慢车分别从甲、乙两地同时相向出发，匀速行驶，快车到达乙地后停留1h,然后 按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y(km)与所用 的时间x(h)的关系如图 (1)甲、乙两地之间的路程为 km,快车的速度为 km/h,慢车的速度为 km/h; (2)出发 h后，快、慢两车距各自出发地的路程相等； (3)求快、慢两车出发多久后，两车相距150km. ↑y/km 420 A BE 0 x/h 22.考试新趋势项目式学习(10分)好学的小贤同学在学习多项式乘多项式时发现： 2十4小(2x十5)(3一6)的结果是一个多项式，并且最高次项为分·2·3江=3x,常数项 为4×5×（一6）=一120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系 数.根据尝试和总结，他发现：一次项系数就是2×5×（一6）十2×4×（一6）十3×4×5=一3， 即一次项为一3x. 请你认真领会小贤同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多 项式乘法法则的理解，解决以下问题， (1)计算(x一5)(3x+1)(5x一3)所得多项式的一次项系数为 (2)若计算(x2十x-1)(x2-2x十a)(2x十3)所得多项式的一次项系数为2，求a的值； (3)若(x十1)2024=a0.x2024十a1x2023十a2x2022+…十a20%x十a2024,则a2023= 23.考试新趋势阅读探究(12分)【概念理解】 我们定义：在一个三角形中，如果其中一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形称 之为“完美三角形”.如：三个内角分别为130°，40°，10的三角形是“完美三角形” 【简单应用】 最 在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,问：△ABC是不是“完美三角形”？请说明理由. 【变式训练】 如图1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以点A为 知 端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合). (1)∠ABO= °，△AOB (填“是”或“不是”)“完美三角形”； (2)如果∠ACB=82°，那么△AOC (填“是”或“不是”)“完美三角形”； 邮 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上取 一点F,使∠EFC+∠BDC=180°.若∠DEF=∠B,△BCD是“完美三角形”，求∠B的 度数. o C 图1 图2 为 批 和 指11.随机12.x2十2x13.214.(x-1)(x"十x"-1+x-2+…十x十1)=x+1-115.8 以∠EFG=90°，即EF⊥FG 16.解：(1)原式=2(a2+2a+1)+(a-2a2+1-2a)=2a2十4a十2十a-2a2+1-2a=3a+3.(5分) BE=CG. (2)原式=(-9x2+9xy-2y2)-(6x2-xy-y2)=-15.x2+10xy-y2. (10分) 在△BEF和△CGF中， ∠B=∠C,所以△BEF≌△CGF(SAS),所以EF=FG,所以EF⊥ 17.解：原式=4x2-12x十9-x2十y2-y2=3x2-12x十9. (3分) BF=CF, 因为x2-4x-1=0,所以x2-4x=1, FG,EF=FG. (4分) 所以3x2-12x=3. (6分) (2)①CF十EQ=CP.理由： 当3x2-12x=3时，原式=3x2-12x十9=3十9=12 (8分) 如图，取CD的中点G,连接FG,由(1)知，EF⊥FG,EF=FG 18.解：(1)如图，∠BOC,∠BOC'即为所求. (4分) B 所以∠EFP+∠PFG=90°.又因为∠QFE十∠EFP=90°，所以∠QFE (2)因为∠AOB=60°，∠BOC=∠BOC'=20°，所以∠AOC= (FQ=FP, ∠AOB-∠BOC=40°或∠AOC'=∠AOB+∠BOC'=80°. 4 ∠PFG.在△FQE和△FPG中， ∠QFE=∠PFG,所以△FQE≌ (8分) EF=GF, 19,解：(1)如图，直线1即为所求作. (4分) △FPG(SAS),所以EQ=GP (2)AE=DF.理由如下： 火 B 因为CF=CG,CG十GP=CP,所以CF十EQ=CP, (8分) AB∥CD,∴.∠BAD=∠CDA,EF是线段AD的垂直平分线，∴.OA= ②CF+CP=EQ. (11分) OD,∠AOE=∠DOF=90°，∴.△AOE≌△DOF(ASA),∴.AE=DF 新题素养提升卷（二）】 (9分) 1.B2.C3.C4.B5.B 2.x 20.解：(1)设甲袋中有白球x个，则甲袋中的红球有2x个，所以P(摸出红球)= (3分) x+2x3 6.A【解析】连接AO,如图.因为等腰三角形的面积为15，所以S△Ax=S△A0十 (②设乙袋中原有白球y个，则乙袋中的红球有3y个，依题意得y十10=号（3y十y十10)，解得y=20, S%=号AB0E+号AC.0F=15.为AB=AC=6,所以 2 ABX(OE OF)=15,所以OE+OF=5.故选A. 则3y=60,即乙袋中红球有60个 (6分) 7D【解析】箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，A选项正确，不符合题意；根据表格数据可 2.x十60 (3)由(2)知乙袋中一共有90个球，将乙袋中的球全部倒入甲袋中，P(摸出红球) 2 知，供水时间x每增加2h,箭尺读数y增加12cm,则供水时间x每增加1h,箭尺读数y增加 90+3x3 6cm,则y=6x十6，B选项正确，不符合题意；当x=7时，y=48,C选项正确，不符合题意；D选项 (9分) 错误，符合题意.故选D 21.解：(1)42 (2分) 8.A (2)524Q=42-6t (6分) 9.C【解析】因为BC=ED,AC=CD,AB=CE,所以△ABC≌△CED(SSS),所以∠EDC= 【解析】由图象可知，在行驶了5h时汽车加油，加了36一12=24(L).因为加油前汽车每行驶1h ∠ACB,∠ABC=∠DEC.因为∠ACE=180°-∠ABC-2x°，所以∠ACE十∠ABC=180°-2x°， 耗油6L,所以加油前Q与t之间的表达式为Q=42-6t(0≤t≤5) 所以∠ACE+∠DEC=180°-2x°，所以∠DFC=∠ACE+∠DEC=180°-2x°.因为∠DFC+ ∠FDC十∠FCD=180°，所以∠FDC=x°.故选C. (3)由题意，加油后汽车每行驶1h耗油6L,所以当这辆车行驶了9h时，剩余油量Q=36一6× 10.D【解析】可以发现(a十b)”的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于 (9一5)=12(L),故当这辆汽车行驶了9h时，剩余油量12L. (10分) (a十b)”-1的相邻两个系数的和，则(a十b)1的展开式中各项系数依次为1,4,6,4,1：(a十b)的 22.解：(1)①m-n (1分) 展开式中各项系数依次为1,5,10,10,5,1，则(a十b)5的展开式中各项系数依次为1,6,15,20， ②(-n)2(m十n)2-4n (5分) 15,6,1,故(a十b)5展开式中前四项的系数分别为1,6,15,20.故选D. 【解析】阴影部分正方形的边长为m一n,则面积为(m一n)2;阴影部分正方形的面积等于边长为 11.1 12.140°13.4元 14.-315.3或7或9 m十n的大正方形的面积减去4个长为m、宽为n的小长方形的面积，即(m十n)2一4mn 16.解：因为a·a'=ar+y=a5,所以x十y=5.因为(a)y=a0=a,所以xy=1. ③(m-n)2=(m十n)2-4mn. (7分) (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2×1=23. (4分) (2)因为m十n-6十mn-4=0,所以m十n-6=0,mm-4=0,所以m十n=6,mn=4.由(1) (2)(x-y)2=x2+y2-2xy=23-2X1=21. (8分) 知(-n)2=(m十n)2-4mn,所以(m-n)2=62-4X4=20. (10分) 17.解：(1)如图，AE即为所求. (3分 23.解：(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AB=BC=CD,∠B=∠C=90°.因为点E,F分别是 (2)因为CD∥AB,∠C=124°，所以∠C+∠CAB=180°，所以 边AB,BC的中点，点G是CD的中点，所以BE=BF=CF=CG,所以∠EFB=∠GFC=45°，所 ∠CAB=180°-124°=56°.因为AE平分∠CAB,所以∠EAB= 26 (期末状元卷数学七年级下册 3∠CAB=28, (8分) 【应用拓展】 因为∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，所以∠EFC=∠ADC,所以AD∥EF,所 18.解：原式=a2-2ab+b2-(a十b)(a-b)-(2b2-1)=a2-2ab十b2-a2十b2-2b2+1=-2ab十1. 以∠DEF=∠ADE.因为∠DEF=∠B,所以∠B=∠ADE,所以DE∥BC,所以∠CDE= (5分》 ∠BCD.因为DE平分∠ADC,所以∠ADE=∠CDE,所以∠B=∠BCD.因为△BCD是“完美三 当a=3,b=-2时，原式=-2×3×(-2)十1=13； 角形”，所以∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC.因为∠BDC十∠BCD十∠B=180°，所以∠B=30° 当a=-3,b=2时，原式=-2×(-3)×2十1=13， 或80°. (12分) 所以他的计算结果是正确的. (9分) 新题素养提升卷（三）】 19.解：(1)0.1 (2分) 1.A2.D3.C4.A5.C6.B (2)2500×0.1=250(kg),所以当抽取的橙子总质量为2500kg时，橙子坏果的质量最有可能是 7.C【解析】因为，点O为AC的中，点，所以OA=OC.因为∠AOE=∠COF,所以当①∠A=∠C时， 250kg. (5分) △AOE≌△COF(ASA);当②AB∥CD时，∠A=∠C,所以△AOE≌△COF(ASA);当③AE= (3)设每千克橙子的出售价格为x元，则4000×(1一0.1)x一4000×1.5=3360， CF时，无法判定△AOE≌△COF;当④OE=OF时，△AOE≌△COF(SAS).故选C. 解得x=2.6, 8.C【解析】由图可知，大正方形减四个小正方形的部分面积为α2一4b2.拼成的长方形的面积为 所以当橙子的出售价格为2.6元/kg时，该种植地可获得利润为3360元. (9分) (a十2b)×(a-2b),所以(a十2b)(a-2b)=a2-4b2.故选C. 20.解：(1)因为△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，所以∠ACE=∠BCD=90°，AC=BC,EC= (AB-AE. AC=BC, 9.C【解析】如图，在△ABC和△AEF中，∠B=∠E,所以△ABC≌△AEF DC.在△ACE与△BCD中，∠ACE=∠BCD,所以△ACE≌△BCD(SAS). (4分) BC=EF, EC=DC, (SAS),所以∠5=∠BCA,所以∠1十∠5=∠1十∠BCA=90°，同理∠2十 (2)垂直.理由：由(1)知△ACE≌△BCD,所以∠CAE=∠CBD.因为∠BCD=90°，所以 ∠4=90°，又因为∠3=45°，所以∠1十∠2+∠3+∠4+∠5=90°+45°+ ∠CBD十∠BDC=90°，所以∠CAE+∠BDC=90°，所以∠AFD=90°，所以AE⊥BD. (9分) 90°=225°.故选C. 21.解：(1)42014070 (3分) 10.C【解析】在长方形ABCD中，AD=2,DC=5,.BC=AD=2,AB=DC=5,,AE=3, 2 (5分) 1 六BE=AB-AE=5-3=2.0当点P在BE上时，S=2X2x=I心y=x(0<x≤ (3)设快、慢两车出发th,两车相距150km 1 ①没有相遇前，两车相距150km,140t十70t+150=420,解得t= 2:②当点P在BC上时Sm=Se-Sae-S0m=号2+5)X2-合×5X(2- 7 19 >-&-=计g+01-L=亿-xX时 ②两车相遇后而快车没到达乙地前，两车相距150km,则140t十70t-420=150,解得t= 7 ③快车从乙地返同甲地的过程中，两车相距150km,则701-140：一)=150，解得1-号 圆当点P在DC上时，SaE=2X5-（x-4)]X2=9-xy=9-x(4<x≤9)， 故选C 综上所述，快、慢两车出发号h或号h或号h时，两车相距150km (10分) 11.CD12.③13.314.5 22.解：(1)17 (3分) 【解析】根据题意可知(x一5)(3x十1)(5x一3)的一次项系数为1×1×(-3)十3×（一5）× 15.45 【解折】因为SAm=专Sam,AB_CD,所以点M在直线CD的上方 (-3)+5×(-5)×1=17. 且与直线CD的范离为了AB的直线m上，如图，所以可得m∥CD,且直线n (2)根据题意可知，(x2十x-1)(x2-2x十a)(2x+3)的一次项系数为1×a×3十(-2)× (-1)×3十2×（一1）Xa=a十6.因为(x2十x一1)(x2-2x十a)(2x十3)的一次项系数为2，所以 过AB的中点，作点D关于直线m的对称点E,则DE=2X号AB=AB,连 a十6=2，解得a=-4. (7分) 接EC交直线m于点M,连接MC,MD,此时MC十MD最小.因为AB=CD,DE=AB,所以CD= (3)2024 (10分) DE.因为DE⊥m,m∥CD,所以DE⊥CD,所以∠E=∠ECD=45°，ME=MD,所以 【解析】根据题意可知a2o23即为(x十1)2021的一次项系数，所以a2023为2024个1X1X…X1=1 ∠MDE=∠E=45°，则有∠MDB=90°-∠MDE=45°.故答案为45. 的和，所以a2023=2024, 23.解：【简单应用】△ABC是“完美三角形”理由： 16.解：原式=(x-4y十4y-4r2+y-5y)÷（-2)=（-3x2-4y)÷（-2)=6r+8.因为 因为AB=AC,所以∠B=∠C.因为∠A=120°，所以∠B=∠C=30°.因为30°×4=120°，所以 |x-1|十(y十3)2=0，所以x-1=0,y+3=0,所以x=1,y=-3,所以原式=6-24=-18.(8分) △ABC是“完美三角形”. (3分) 17.解：ADBE两直线平行，内错角相等∠CFE∠CAD∠BAE∠CAD∠BAE等量 【变式训练】(1)18是 (5分) 代换同位角相等，两直线平行 (每空1分，共10分) (2)不是 (6分) 18.解：(1)m十n=14 (2分)