精品解析：甘肃白银市2025年九年级中考三模数学试卷

白银市2025年九年级毕业会考综合练习 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列各数中，最小的是（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，在上，是劣弧的中点.若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方形，E是对角线上的中点，F是边的中点，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小张对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（ ） A. 小张一共抽样调查了74人 B. 样本中当月使用“共享单车”30次次的人数最多 C. 样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D. 样本中当月使用“共享单车”不少于40次的人数不到总人数的 9. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制．各进制表示的数也可以转化，如：十进制数5用二进制可以表示为101，即，则二进制数110010表示的十进制数为（ ） A. 3 B. 50 C. 100 D. 25 10. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_______． 12. 一次函数函数值y随x的增大而减小，则它的图象不经过第_________象限． 13. 关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____． 14. 如图1，风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角形风铃的平面示意图如图2所示，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为________． 15. 玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶________碰到水柱．（填“能”或“不能”） 16. 如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为___________．（结果保留） 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 解不等式组． 20. 1672年，丹麦数学家莫尔在他著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题： 如图，已知，请你用直尺和圆规作圆的内接正方形．（按如下步骤完成，保留作图痕迹） 作法 图形 ①作直径； ②过点A作的垂线； ③作的平分线交于点B； ④以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D； ⑤依次连接，四边形就是所求作正方形 21. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项． （1）假如小红要通过抽签选择其中一项参加，她选到创美文的概率是 ； （2）某班甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 22. 黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点处，三片扇叶两两所成的角为，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点处安放测角仪（测角仪高度米），当扇叶恰好与塔杆重合时，测得扇叶的末端点的仰角为，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据，，，） 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 随着科技发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了名用户的得分（得分用x表示）数据进行整理、描述和分析，共分为四组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据： ，，，，，，，． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 b 乙 a 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若本次调查有名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 25. 如图，在中，，D是上一点，且满足，以为直径的分别与相交于点E，F． （1）求证：直线是的切线． （2）连接，若，，求的长． 26. 如图1，在矩形中，，，点E在边上运动（不与点B和点C重合），将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，过点F作于点M． （1）求证：． （2）当直线恰好经过点E时，求的长． （3）如图2，连接，试探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市2025年九年级毕业会考综合练习 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列各数中，最小的是（ ）． A 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵2，1是正数，，是负数， ∴最小数的是在，里， 又，，且， ∴， ∴最小数的是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则． 2. 某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选C． 3. 如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，直接根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和的应用是解题的关键． 5. 如图，点，，在上，是劣弧中点.若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 利用弧与圆心角的关系求出的度数，在通过弧上中点求出的度数，最后利用圆周角定理即可求出的大小． 【详解】解：， 的度数为， ∵是劣弧的中点， ∴的度数为， ∴， 故选：B． 6. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设人数为x，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为钱，根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为钱，由此列出方程即可． 【详解】解：设人数为x， 由题意得，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 7. 如图，已知正方形，E是对角线上的中点，F是边的中点，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半得出，再根据正方形性质和勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在正方形中，， ∵E是对角线上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵E是对角线上的中点，F是边的中点， ∴， 故选：C． 8. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小张对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（ ） A. 小张一共抽样调查了74人 B. 样本中当月使用“共享单车”30次次的人数最多 C. 样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D. 样本中当月使用“共享单车”不少于40次的人数不到总人数的 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图，将各组人数相加可得总人数，据此判断A；样本中当月使用“共享单车”次的人数最多，据此可判断B；样本中当月使用“共享单车”不足20次的人数有人，据此可判断C；样本中当月使用“共享单车”不少于40次的人数有人，据此可判断D． 【详解】解：A、小张一共抽样调查了（人），故此选项正确，不符合题意； B、样本中当月使用“共享单车”次的人数有20人，次的人数有12人，所以样本中当月使用“共享单车”次的人数最多，故此选项正确，不符合题意； C、样本中当月使用“共享单车”不足20次的人数有（人），故此选项正确，不符合题意； D、样本中当月使用“共享单车”不少于40次的人数有人，，所以此说法错误，符合题意， 故选：D． 9. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制．各进制表示的数也可以转化，如：十进制数5用二进制可以表示为101，即，则二进制数110010表示的十进制数为（ ） A. 3 B. 50 C. 100 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意将二进制化为十进制即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 10. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长为； 故选A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 12. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，则它的图象不经过第_________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的函数值y随x的增大而减小，得，结合，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∵， 则它的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限， 故答案为：三 13. 关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.对于方程（），根的判别式，据一元二次方程根的情况并由根的判别式列出不等式是解题的关键. 由一元二次方程没有实数根可知，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程没有实数根， ， 即， 解得． 故答案为：． 14. 如图1，风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角形风铃的平面示意图如图2所示，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故答案为：． 15. 玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶________碰到水柱．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 根据顶点，得出抛物线的表达式，令，求得的值，与比较即可求解． 【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系， 则抛物线解析式为， 令，则， 故她的头顶不能碰到水柱． 故答案为：不能． 16. 如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 又分别为的中点， 又 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 先进行二次根式的乘法运算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内异分母的分式减法运算法，再进行乘法计算，最后化为最简分式． 【详解】解： ． 19. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式组②，得， 所以不等式组的解集是． 20. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题： 如图，已知，请你用直尺和圆规作圆的内接正方形．（按如下步骤完成，保留作图痕迹） 作法 图形 ①作直径； ②过点A作的垂线； ③作的平分线交于点B； ④以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D； ⑤依次连接，四边形就是所求作的正方形 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据要求作出图形；根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】解：如图，四边形即为所求． （2）理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，正方形的判定，角平分线的定义，圆周角定理，正多边形与圆，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项． （1）假如小红要通过抽签选择其中一项参加，她选到创美文的概率是 ； （2）某班甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、用树状图求概率等知识点，正确画出树状图成为解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）先根据题意画出树状图，然后根据树状图确定所有可能结果数和满足题意的结果数，最后运用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小红的抽签结果共有4种可能结果，期中选到创美文的结果只有一种，则她选到创美文的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种， 所以同时选中甲和乙的概率为． 答：甲、乙两人同时被选中的概率． 22. 黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点处，三片扇叶两两所成的角为，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点处安放测角仪（测角仪高度米），当扇叶恰好与塔杆重合时，测得扇叶的末端点的仰角为，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据，，，） 【答案】点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F， ∵， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， 中，，， ∴， ． ∵， ∴， 中，，， 由，得， ∵， ∴， ∴点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了名用户的得分（得分用x表示）数据进行整理、描述和分析，共分为四组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据： ，，，，，，，． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 b 乙 a 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若本次调查有名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1），， （2）见详解，答案不唯一 （3）这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为人 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； （3）先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数． 【小问1详解】 解：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以乙款得分的中位数为：， 甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：， 组人数， 所以，故， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：从平均数看，两款软件相同；从中位数看，乙款软件的中位数大于甲款软件的中位数，说明乙款软件一半以上用户的评分较高，所以乙款人工智能软件更受用户欢迎．（答案不唯一） 【小问3详解】 解：由（1）可知，乙款人工智能软件非常满意（）的用户数占比为：，则乙款人工智能软件非常满意（）的用户数为：人； 抽取的20名用户中，甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为6人，则甲款人工智能软件非常满意（）的用户数为：人， 所以，这次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为：人． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数的解析式为： （2）14 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8． ∴，， ∴，， ∴， 过点A作轴交于点E，则， ∴， ∴ 25. 如图，在中，，D是上的一点，且满足，以为直径的分别与相交于点E，F． （1）求证：直线是的切线． （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）过点C作于点M，证明，求出，得出，即可证明结论； （2）连接，根据圆周角定理得出，根据余角的性质证明，得出，根据，得出，求出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【小问1详解】 证明：过点C作于点M，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，正切的定义，勾股定理，余角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26. 如图1，在矩形中，，，点E在边上运动（不与点B和点C重合），将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，过点F作于点M． （1）求证：． （2）当直线恰好经过点E时，求的长． （3）如图2，连接，试探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，．从而得出．即．又由可得结论； （2）设，则．在中，由勾股定理列出方程．解得：．最后在中，求出的长即可； （3）过点D作，交直线于点H，设交于点N，先证明．列出比例式再代入数据得．求得，，从而得出．再证明．列出比例式再代入数据得．从而得出，．最后求解即可． 【小问1详解】 证明：由旋转知：，． ∴． 即：． 又， ∴． 【小问2详解】 ∵． ∴，，． 中，． ∴． 如图，当直线恰好经过点E时，， 设，则． 在中，， 即：． 解得：． 在中，． 【小问3详解】 存在最小值，理由如下： 过点D作，交直线于点H，设交于点N， ∵，． ∴． ∴． 即：． ∴，， ∴． 又，． ∴． ∴． 即：． ∴，． ∴． 所以当点F与点H重合时，，使存在最小值． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是学会利用相似三角形的性质与判定解决问题，属于中考压轴题． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【小问1详解】 解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线解析式表达式为； 【小问2详解】 证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $