上海市大同中学2025-2026学年高一下学期6月第一周周测数学试卷

高一下数学周练2026.06.04 一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分) 1.已知复数z=己则1m(2-习= 2.已知等差数列{an}中，a10=20,a20=10,则a1=一· 3.函数f(x)=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为」 4.已知e,e2为单位向量且夹角为2"，设d=4e+3e2,b=2e,则a在i上的数量投影 为 5.已知a∈(0，m),则方程(sin2u-cos2a)cos(:-a)tan(2a）=0的解集为 6.已知向量d,b满足条件：l=v2,=v3,且a与3b-互相垂直，则与b的夹角的余 弦值为 7.己知首项为a1,公比为q的无穷等比数列{an的各项和为q,则首项a1的取值范围 为 试卷第1页，共7页 8.己知复数z在复平面上所对应的点为点Z,复平面上原点为点O,射线0Z与复平面的实 轴正半轴的夹角为60°，且|z-1是|z和z-2的等比中项，则z=一· 9.已知simx+cosy=3,siny+cosx=}则c0s(x-y)=一 为小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长 1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B,它们在阳光的照射下呈 现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根 杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角6= ·(结果用角度制 表示，精确到0.01°) 阳 杆 光 B 试卷第2页，共7页 11.已知正方形ABCD的边长为1，且入1∈{-1,1(i=1,2,3,4,5,6),记1AB+12BC+ 3CD+4DA+5AC+.BD引的最大值为M,最小值为m,则M+m= 12.已知数列{an}是严格增的无穷数列，{bn}是严格减的无穷数列.有以下四个结论： ①存在数列{an}和{b,n},使得an十an+1=bn+bn+1: ②存在数列{an}和{bn},使得anan+1=bnbnt1i ③对于任意无穷等差数列{cn,总存在{an}和{bn}使得cn=an+bn: ④对于任意无穷等比数列{cn},总存在{an和{bn}使得cm=anbn: 其中，所有正确结论的序号是 二、选择题（本大题共4小题，每题4分，满分16分） 13.复数z是纯虚数的一个充分条件为() A.z=7 B.z+z=0C.lz-1川=z+1D.lz-i+lz-3i训=2 14.已知平面向量6，e,且Il=1.已知向量6与所成的角为60°，且6-t≥6-对任 意实数t恒成立，则26+(1-2)的最小值为(） A. B.9 C. D.1 试卷第3页，共7页 二、选择题（本大题共4小题，每题4分，满分16分） 13.复数z是纯虚数的一个充分条件为() A.z=7 B.z+z=0C.1z-1=|z+1D.Iz-+lz-3=2 14.已知平面向量i,e,且I=1.已知向量b与è所成的角为60°，且b-t≥b-对任 意实数t恒成立，则2b+(1-2)的最小值为() A. B.9 C. D.1 15.已知函数f(x)=sinωx(V3cosωx-sinωx)(w>0),将函数图像向上平移，个单位，然 后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到g(x),若9(x)在区间(g,）)上恰有2个零点， 则ω的取值范围为() A.(Gu(4, B.(,u5, c.(保4)u(, D.(5u l6.己知数列{an}不是常数列，前n项和为Sn,an>0.若对任意正整数n,存在正整数m, 使得Sn-aml<a1,则称数列{an}是“可控数列”.现给出两个命题： ①不存在各项均为正整数的等差数列为“可控数列”； ②若等比数列a,}是“可控数列”，则其公比q∈(0，引 则下列判断正确的是() A.￠与c均为真命题 B.c与c均为假命题 C.￠为假命题，￠为真命题 D.c为真命题，c为假命题 试卷第4页，共7页 三、解答题（本大题共5题，满分48分） 17.(本题满分8分，第一小题满分4分，第二小题满分4分) 己知复数z=(m2+8m+12)+(m2-m-6)i,其中i为虚数单位，m∈R. (1)当m=-3时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根(p,q∈R),求5p-2q 的值： (2)当m=-1时，复数z所对应的平面向量为：当m=3时，复数z所对应的平面向量为 b,若向量d+3b与td-的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 18.(本题满分8分，第一小题满分4分，第二小题满分4分) 在△ABC中，内角AB,G的对边分别为abc,A为钝角，a=13,sin2G=吾cosC. (1)求A: (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ ABC的面积. 条件①：c=13: 条件②：cosC=贵 条件③：bsinA=ZV3. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 试卷第5页，共7页 19.(本题满分8分，第一小题满分4分，第二小题满分4分) 筒车亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于 隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的 山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图.水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设 在水流湍急的岸边.水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中 倾泻入轮旁的水槽而汇流入田.某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6m,筒车直径 为8，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速 圆周运动，筒车转一周需要24s,如图，盛水筒A(视为质点)的初始位置P距水面的距离为 4m(定义盛水筒在水面上时距离为正，在水面下时距离为负). (1)盛水筒A经过ts后距离水面的高度为h(单位：m),求筒车转动一周的过程中，h关于 t的函数h=f(t)的解析式： (2)盛水筒B(视为质点)与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求 盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的t. 20.(本题满分12分，第一小题满分4分，第二小题满分4分，第三小题满分4分) 如图，点P,Q分别是矩形ABCD的边DC,BC上的两点，AB=3,AD=2. p C (1)若DP=DC,C0=CB,0≤1≤1，求AP.A0的范围： (2)若LPAQ=求AP.A0的最小值： (3)若DP=2PC,连接AP交BC的延长线于点T,Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存 在一点H,使得∠THQ最大.若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由. 试卷第6页，共7页 21.(本题满分12分，第一小题满分4分，第二小题满分4分，第三小题满分4分) 若各项均为正数的两个数列a和，满足：对于任意的正整数n,都有a1=龄 成立，就称数列{an}与数列{bn}满足“关系3”. (1)设对于任意的正整数n,都有bn=an,且a1=20260604.若数列{an}与数列{bn}满 足“关系”，求数列{an}的前n项和Sn: (2)已知cn=二对于任意的正整数n成立，且对于任意的正整数n,都有bn+:=1+c, 且b1=a1·若数列{an}与数列{bn}满足“关系文”，求数列{cn}的通项公式，并分析数列{cn} 是否有最小项？若有，指出第几项最小，并给出这一项具体的值：若没有，请说明理由； (3)设对于任意的正整数n,都有bn+1=V2·,且an是等比数列.若数列an}与数列b,} a 满足“关系3”，求a1和b1的值. 试卷第7页，共7页高一下数学周练2026.06.04 一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 1.已知复数z=忌则m(2-习= 答案：2. 2.已知等差数列{an}中，a10=20,a20=10,则a1= 答案：29. 3.函数f(x)=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 答案：2m员 4.已知e,e2为单位向量且夹角为2"，设d=4e+3e2,b=2eg,则a在i上的数量投影 为 答案： 5.己知a∈(0，m),则方程(sin2a-cos2a)cos(红-a)tan(2a)=0的解集为 答案：月 6.已知向量d,b满足条件：l=v2,=v3,且a与3b-互相垂直，则与b的夹角的余 弦值为 答案：号 7.己知首项为a1,公比为q的无穷等比数列{an的各项和为q,则首项a1的取值范围 为 答案：(-2,0)u(0,引 8.己知复数z在复平面上所对应的点为点Z,复平面上原点为点O,射线0Z与复平面的实 试卷第1页，共13页 轴正半轴的夹角为60°，且|z-1是引z和z-2的等比中项，则z= 答案：V2-1 解析：据题意，可设z=a+V3ai=2a(a>0),则有 lz-1|=l(a-1)+V3ai=√(a-1)2+3a2, lz-2|=l(a-2)+V3ai=√a-2)2+3a2 由|z-1是|z和z-2的等比中项，可得 (a-102+3a2=2aa-2+3a÷a=V2-1 2 综上所述，|z=2a=V2-1. 9.己知sinx+cosy=子，siny+cosx=子则cos(x-y)= 答案：号 解析：令t=乃y,则 sinx+snt-号cosx+ost-号 分别和差化积可得 2sinx+t x-t 1 239tam七+t4 .。0S=5,2c。s2c0s= 2-3 又由诱导公式和万能公式可得 x+t cosG-y)=cs(x-(2-t))= in(x+t)=_ 2 tan 2 24 1+(am梦约“ 10.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长 为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B,它们在阳光的照射下呈 现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根 杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角6= ·(结果用角度制 表示，精确到0.01°) 试卷第2页，共13页 平 阳 杆 答案：12.58° 解析：如图，在A处，tanx=二=2.5，在B处满足taniCED=2.5, 0.4 (其中ED/水平面，CE是射过B处杆子最高点的光线，光线交斜面于E), 故设BD=y,则ED= 2.5 由勾股定理，y2+()2=045,解得y≈0098. 于是9=arcsin9≈12.58 0.45 故答案为：12.58° 杆 B 4 C 0.45 Eq 0.4 11.己知正方形ABCD的边长为1，且：∈{-1,1(i=1,2,3,4,5,6),记21AB+2BC+ λ3CD+4DA+λsAC+,BD的最大值为M,最小值为m,则M+m=」 答案：2V5 解析：不妨设A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), 于是AB=(1,0),BC=(0,1),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1) 于是 1AB+12BC+13CD+元4DA+5AC+16BD=I(01-3+15-16,2-14+5+16)川 先计算最大值， 试卷第3页，共13页 要保证最大值，据题意，不难发现入1-3≤2，入2-入4≤2， 且必然有25-16和25+16一个为2，一个为0 于是1(01-13+15-16，λ2-14+λ5+16)1≤2V5 当且仅当(01,12,13,4,15,16)=(1,1，-1，-1,1,1)或(1,1，-1，-1,1，-1)时，等号成立. 其次注意到，当(21,2,3,4,5,6)=(1,1，-1,1，-1,1)时，1（⑦1-13+15-16,2-4+ λs+6)川=0，所以m=0. 综上所述，M+m=2v5. 12.己知数列{a是严格增的无穷数列，{b}是严格减的无穷数列.有以下四个结论： ①存在数列{an}和{bn},使得an+ant1=bm+bn+1: ②存在数列{an和{bn},使得anan+1=bnbn+1 ③对于任意无穷等差数列{cn},总存在{a}和{b使得cn=a,+bn: ④对于任意无穷等比数列{cn},总存在{an}和{bn使得cn=anbn· 其中，所有正确结论的序号是 答案：②③. 解析：对于①：假设存在严格增{an}和严格减bn},使得an+an+1=bn+bn+1； 因{an}严格增，an+an+1严格增；因{bn严格减，bn+bn+1严格减； 严格增序列与严格减序列无法相等，故①错误： 对于②：构造例子：令{a}为正项严格增数列an=n(n正整数)，{b}为负项严格减数列 bm=-n(n为正整数)， 则ana+1=n·(n+1),bnb+1=(-n·(-(m+1)=n·(n+1),满足anan+1=bnbn+1 因此结论②正确； 对于③：设cn=dn+e(d为公差)，令{an}为严格增数列，bn}为严格减数列， an cn +(ldl+1)n=(d+ldl+1)n+e,bn =-(ldl +1)n, 由于d+|d+1>0且-(Id川+1)<0， 所以{an}严格增，bn}严格减，且an+bn=cn,故③正确； 对于④：取等比数列cn=(-1)”, 若存在严格增{an}和严格减bn使得anb=(-1)m,a1b1=-1=a3b3,a2b2=a4b4=1, 故a2>0,b2>0或a2<0,b2<0, 若a2>0,b2>0,因为{an严格增，bn严格减， 试卷第4页，共13页 故a1<0,b1>0,且a3>0,b3<0,a4>0,b4>0,故b4>b3,矛盾， 故此时④错误，同理可证a2<0,b2<0时④错误. 故答案为：②③. 二、选择题（本大题共4小题，每题4分，满分16分） 13.复数z是纯虚数的一个充分条件为() A.z=7 B.z+7=0 C.1z-1=|z+1|D.Iz-+lz-3=2 答案：D. 14.已知平面向量i,e,且I=1.已知向量b与è所成的角为60°，且b-t≥b-对任 意实数t恒成立，则2b+(1-2)的最小值为() A.月 B.9 c. D.1 答案：B. 解析：设AB=b,AE=è，tAE=te=AT, 因6-t≥l6-卦，则A8-AT|=T|≥AB-AE=EB 如下图，T为直线AE上任意一点，因TB引≥EB引，则EB L EA, 又⑥，）=，1=1，则=2,6+(1-2)=6+(1-2)2 2262+(1-2)2e2+21(1-2)alcos5=V42+(1-2)2+2(1-2万= V④-2以+7-40-为)+≥、层=号，当且仅当1-时取等号. 15.已知函数f(x)=sinωx(V3cosωx-sinωx)(ω>0)，将函数图像向上平移个单位，然 后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到gx),若9(x)在区间（低，）上恰有2个零点， 试卷第5页，共13页 则ω的取值范围为() A.(u(劉 B.(任5， c.(,4u(,到 D.(任，5u 答案：B 解折：因f6)=sinx(3 CO5wx--sinwx))=号sin2wx-1上cog2a-sin(2wx+胃)- 2 将其图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到g(x), 则g=sin(@x+),由xe(低，），可令t=ox+ge(后w+,号a+): 因为gx)在区间（(G,)上恰有2个零点， 则h()=sint在区间（后ω+，受w+)恰有2个零点， 所以必然有 .π ω<6k-1 6≥k-1)n w≥6k-7 w>k+星kE7 35 ω∈[6k-7,6k-1) w+名>&+1 2π ,k∈Z→ 3. .53,.111,k∈Z 6 3,,11 ∈(k+4r2+4 2 π ω≤2k+4 3w+6≤(k+2m 若k+￥≤6k-7或k+≥6k-1,即k∈(-∞，u[侣+∞)时，w不存在 所以只有当k=1,2时，ω存在，满足题目要求， 当k=1时，we[-1,5)n(任，]，即we(保， 当k=2时，o∈5,1)n(任，引，即we[5乳 综上所述，ω的取值范围为（任，]u[5,引答案选B 16.己知数列{an}不是常数列，前n项和为Sn,an>0.若对任意正整数n,存在正整数m, 使得Sn一aml<a1,则称数列{an是“可控数列”.现给出两个命题： ①不存在各项均为正整数的等差数列为“可控数列”； ②若等比数列a提“可控数列”，则其公比q∈(0，引 则下列判断正确的是() 试卷第6页，共13页 A.口与口均为真命题 B.·与0均为假命题 C.口为假命题，口为真命题 D.口为真命题，口为假命题 答案：C 解析：对于①：令an=n,则Sn=n+ 21 于是对任意正整数m,存在正整数m=出，使得S-an=-m=0<a=1 2 所以①为假命题； 对于②：若等比数列{an是“可控数列”，由于数列{an不是常数列，an>0,所以公比 q≠1，所以Sn=g”-, q-1 从而。-a<a台-agm-<a台需-gm<1, 则gm-1-1<19”<qm-1+1,m为正整数， 1-g 当q>1时，则gm-1-1<二4”<qm-1+1,m为正整数台q”<1+(g-1)gm-1+1). 1-q 令q”≥1+(q-1)(qm-1+1),则可知当n≥logg[1+(g-1)(qm-1+1)]时，上式不成立； 当0<q<1时，gm-1-1≤0<19显然成立，而对于1g<qm-1+1恒成立， 1-q 1-q 由于f0)=为严格增数列，且m→+时，f侧)=号→司 1-0 所以问题等价于存在正整数m,使得，1<qm-1+1, 1-q 记g(m)=qm-1+1,随着m的增大，g(m)减小，所以g(m)max=g(1)=2, 所以只需g≤2，解得g∈(0，引正确。 综上所述，①为假命题，②为真命题，选C 三、解答题（本大题共5题，满分48分） 17.(本题满分8分，第一小题满分4分，第二小题满分4分) 己知复数z=(m2+8m+12)+(m2-m-6)i,其中i为虚数单位，m∈R. (1)当m=-3时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根(p,q∈R),求5p-2q 的值： （2)当m=-1时，复数z所对应的平面向量为；当m=3时，复数z所对应的平面向量为 ,若向量à+3b与td-的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 试卷第7页，共13页 答案：(1)-60：(2)(m,)u(7》 解：(1)当m=-3时，z=-3+6i,由复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根， 所以z=-3-6i是方程x2+px+q=0的另一个根， 所28，”-日 (q=45’ 所以5p-2q=5×6-2×45=-60:. (2)当m=-1时，z=5-4i,所以复数z所对应的平面向量为=(5，-4)， 当m=3时，z=45,所以复数z所对应的平面向量为b=(45,0), 所以a+36=(5,-4)+3(45,0)=(140,-4),ta-万=t(5,-4)-(45,0)= (5t-45,-4t), 因为向量d+2b与td-的夹角为钝角， 所以(a+2b)·(ta-)<0,且a+2i与td-b不共线， 1575 嘴以146”s t人179 t 所以t∈(-，)u() 18.(本题满分8分，第一小题满分4分，第二小题满分4分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为abc,A为纯角，Q=13,sin2C=吾ceosC.. (1)求A; (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ ABC的面积. 条件①：c=13: 条件②：c0sC=号 条件③：bsinA=V3. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分。 答案：(1)A=,(2)选择①不存在，选择②，、③△ABC面积均为14V3 解：(1)由题意可得2 sinc eosC=吕cosC→品。-2 所以由正弦定理，品=六。=警s血A=号 又A为钝角，所以A=” 3 试卷第8页，共13页 (2)对于①，因为c=13,所以sinC=9 又A为钝角，所以C为锐角，所以C= 此时A十C=π，不合题意，舍去： 对于②，因为C为三角形内角，则sinC= =4 13 则代入品c=,解得c=8, sinB-sin(M+O-sin(传+c）-sn晋cosc+cos等mc-9×昔+(-)×g-沿 则ISAADG=acsin B=×13×8×72=14W3 26 对于③，由bsinA=V3,可得b=7, 又因为c为三角形内角，则snC=1-(借)=智 测5aAac-absinc=x13×7x9-145 19.(本题满分8分，第一小题满分4分，第二小题满分4分) 筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于 隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的 山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图.水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设 在水流湍急的岸边，水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中 倾泻入轮旁的水槽而汇流入田.某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6m,筒车直径 为8m,设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速 圆周运动，筒车转一周需要24s,如图，盛水筒A(视为质点)的初始位置P距水面的距离为 4m(定义盛水筒在水面上时距离为正，在水面下时距离为负). (1)盛水筒A经过ts后距离水面的高度为h(单位：)，求筒车转动一周的过程中，h关于 t的函数h=f(t)的解析式： (2)盛水筒B(视为质点)与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求 试卷第9页，共13页 盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的t. 答案：(1)h=4sin(t+8)+2,te[0,24:(2)8 isinm,t=11.5或t=23.5. 解：(1)以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系， 设h=Asin(wt+p)+C,t∈[0,24，由题意知，2A=8,A+C=6, 所以A=4,C=2,即h=4sin(ωt+p)+2, 当t=0时，h=4sinp+2=4,解得sinp= 结合图像初始位置可知0=吾 又因为T=吾=24，所以ω=是 综上h=4sim(侣t+g)+2,te[o,24, (2)经过s后A距离水面的高度九=4sm(侣t+)+2, 由题意知∠A0B=:=要所以经过ts后B距离水面的高度N=4sim(侣t-)+2, 8 则盛水筒B与盛水筒A的高度差为H=h-h1=4sin(:t+)-sin(:t-)儿 利用和差化积公式，可得H=4sin(臣t+)-sin(侣t-)上8sin引cos(臣t+)儿 当2t+a=kmk∈Z,即t=-是+12k,k∈Z时，H取最大值8sin(m), 又因为t∈[0,24，所以当t=11.5或t=23.5时，H取最大值， 综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为8sinm,此时t=11.5或t=23.5. 20.(本题满分12分，第一小题满分4分，第二小题满分4分，第三小题满分4分) 如图，点P,Q分别是矩形ABCD的边DC,BC上的两点，AB=3,AD=2. 试卷第10页，共13页 B (1)若DP=D元，C0=CB,0≤1≤1，求AP.A0的范围： (2)若LPAQ-于，求A丽，Ad的最小值； (3)若DP=2PC,连接AP交BC的延长线于点T,Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存 在一点H,使得LTHQ最大.若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由. 答案：(1)[4,9]：(2)12V2-12:(3)存在，BH=√3 解：(1)由AB=3,AD=2,故DP|=DC|=31,1cd|=CB=21,则B|=2- 2, AP,A0=(AD+DP)·(AB+BQ)=AD·AB+AD·B0+DP,AB+DP,B0=0+ 2(2-2)+31×3+0=51+4, 由0≤1≤1，故AP·A0∈[4,9]： (2)如图所示，以A点为坐标原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系， D B无 设LQAB=ae[o,月，0≤tana≤子， 则Q(3,3tana), p(2tan(低-a,2 M币.4及=6am(蛋)+6ana=6× 1-tana 12 +6tand-1+tan -+6tan a-6 1+tana 2 -+tana+1) -12≥12 2 1+tana ·(tana+1)-12 =12V2-12, 当且仅当2一=tana+1,即tana=√2-1时，等号成立， 1+tan a 即AP.AQ的最小值为12V2-12: 试卷第11页，共13页 (3)如图所示，以A点为坐标原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系， 由题意可得P(2,2),Q3,1),TC=AD=1,Q(3,1)即T(3,3), 假设存在点H,使得∠THQ最大，由∠THQ∈[0，)，即有tan THQ最大， 设BH=a,当a=0时，角度为0，此时∠THQ不可能最大，故a≠0，则 TB QB tan∠THB-tan LQHB_Bǖ-8ǖ tan∠THQ=tam(uTHB-LQHB)）=1+tan2 THBtan QHB1+8品8n TB QB BH.(TB-QB)a·(3-1)2a2 2 3 3≤3 B1+TB.0B2+3X122+3十a2a 3 当且仅当a=三，即a=V3时，等号成立， 即存在，且BH=V3. D 0 H BY 21.(本题满分12分，第一小题满分4分，第二小题满分4分，第三小题满分4分) 若各项均为正数的两个数列a,和私，满足：对于任意的正整数m,都有0+1=合 成立，就称数列{an)与数列bn}满足“关系”. (1)设对于任意的正整数n,都有b,n=an,且a1=20260604.若数列{an}与数列{bn}满 足“关系”，求数列{an的前n项和Sn: (2)已知cn=2对于任意的正整数n成立，且对于任意的正整数n,都有b+1=1+cn, an 且b1=a1·若数列{an}与数列{b满足“关系3”，求数列{cn的通项公式，并分析数列{cn} 是否有最小项？若有，指出第几项最小，并给出这一项具体的值；若没有，请说明理由： (3)设对于任意的正整数n,都有b+1=V2.血，且{a}是等比数列.若数列{a与数列bn} 满足“关系”，求a1和b1的值. 答案：(1)Sm=V2(n-1)+20260604(2)cm=√m,有，第1项，c1=1 试卷第12页，共13页 (3)a1=b1=V2. 解：(1)因为bn=an,且数列{an与数列bn}满足“关系”，所以 an+bn an+1= an+an=v2 √a晚+b院√a晚+a晚 又a1=20260604,所以a={ (20260604,n=1 V2,n≥2 所以Sm=V2(n-1)+20260604. （2)因为b+1=1+cn,所以an+1=amtL= Jan2+bn2 高：=1+卫 所以(cn+1)2-(cn)2=(V1+(Gn))2-(c)2=1. 又：=a=1,所以c,==1, 所以数列{(c)2)是以首项为1，公差为1的等差数列. 所以(cn)2=n→cn=Vn. 所以数列{cn}为严格增数列，所以数列{cn的最小项为c1,其值为c1=1. (3)因为a>0,bn>0,所以a+nd≤an2+bn2<(a+bn)尺. 2 所以1<a-隐端≤反(） 设等比数列{an}的公比为q,由an>0知q>0,下面用反证法证明q=1 若q>1,则a1=号<a2≤V2,所以当n>log2时，am+1=a92>V2,与(*)矛盾. 若0<q<1,则a:=g>a2>1,所以当n>logg时，a*+1=aq”<1,与（*)矛盾. 所以综上所述，q=1.所以an=a1,所以1<a1≤V2. 又因为bn+1=V2·=三.b,所以b,}是公比是二的等比数列. an al 若a≠v2,则晤>1，于是<b<s 又由a1=隐即a=受得b.-a@ √a好+b娲 a12-1 所以b1,b2,b3中至少有两项相同，与b1<b2<b3矛盾.所以a1=V2. 所以bn= 2+2-(2=V2. (22-1 所以a1=b1=V2. 试卷第13页，共13页