第14-15讲 等差、等比数列（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第14讲 等差数列(核心考点讲与练) 一、等差数列概念 概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．即等差数列有递推公式：． 二、等差数列的通项公式及推导 1.等差数列的通项公式为：． 2.等差数列的公式的推导：累加法 3.等差数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相加得：，即．由等差数列的通项公式易知：． 三、等差中项 定义：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即 四、等差数列的常用性质 1.在等差数列中，若，则， 若，则； 该性质推广到三项，即，，，，，,． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可． 2.若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为． 3.如果等差数列的公差为，则是递增数列；是递减数列； 是常数列． 4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，．．．．，为等差数列，公差为． 五、等差数列的前项和及推导过程 1.等差数列前项和公式：． 2.等差数列前项和公式的推导： 倒序相加 ， 把项的顺序反过来，可将写成： ， 将这两式相加得： ， 从而得到等差数列的前项和公式，又， 得． 六、等差数列前项和的性质 1.在等差数列的前项和也构成一个等差数列，即，，．．．为等列，公 差为． 2.为等差数列 ①当项数为奇数时，由得，， ②当项数为偶数时，由得， . 3.通项公式是 是一次函数的形式；前项和公式 是不含常数项的二次函数的形式．（注：当时，，） 4.为等差数列，，则也成等差数列 5.等差数列的公差为，分别代表数列奇数项和、偶数项和，如果数列有 项，则 ；如果数列有项，则. 6.若，，此时二次函数开口向下，对称轴在轴的右侧，有最大值，可由不等式组来确定． 若，，此时二次函数开口向上，对称轴在轴的右侧，有最小值，可由不等式组来确定． 七、等差数列的前项和公式与二次函数 1.区别和联系 区别 联系 定义域为 图像是一系列的额孤立点 （1）解析式都是二次式；（2）图像是抛物线上的图像的一系列的点． 定义域为 图像是一条光滑的抛物线 2.观察可得：由和得； 3.特殊性：当，达到最大或最小．而当时，取与最近的正整数即可． 4.由二次函数的性质可得：当时，有最小值，：当时，有最大值． 一、等差数列的概念与公式 【例1】（2022·上海市控江中学高二期末）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（ ）． ① ② ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据等差数列的定义判断． 【详解】 设的公差为， 则，是等差数列， ，是常数列，也是等差数列， 若，则不是等差数列， 故选：C． 【例2】（2020·上海·高二课时练习）若有以下两个命题：命题甲：成等差数列；命题乙：.则命题甲是乙的（ ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】 根据等差中项的性质辨析即可. 【详解】 若成等差数列，根据等差中项的性质可知. 当时，，即成等差数列. 故命题甲是乙的充要条件. 故选：C 【点睛】 本题主要考查了等差中项的性质，同时也考查了充要条件的判定，属于基础题. 【例3】（2020·上海·高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】C 【分析】 根据等差数列的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】 根据等差数列的定义，可得： A中，满足（常数），所以是等差数列； B中，（常数），所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足（常数），所以是等差数列. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了等差数列的定义及其应用，其中解答中熟记等差数列的定义是解答的关键，属于基础题. 【例4】（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________. 【答案】## 【分析】 设公差为d，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式. 【详解】 设等差数列的公差为d，由题意可得：， 解得：， 所以. 故答案为：. 【例5】（2020·上海·高二课时练习）试判断数列为等差数列是（，为常数，且，）的什么条件？并说明理由． 【答案】必要非充分条件，理由见解析 【解析】 根据等差数列的概念，以及等差数列通项公式的函数特征，由充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】 若数列为等差数列， 公差为时，（为常数），不满足（，为常数，且，）； 公差