2026年江西省南昌市第二中学中考模拟预测数学试题

南昌市第二中学2026届初中学业水平考试 数学祝福卷 说明：亲爱的孩子，在做这份祝福卷之前，请先记住三件事： 1.深呼吸，放轻松。你已经走了很远的路，那些深夜的灯、写空的笔芯、翻旧的课本， 都在为你作证。你比你想象的，更了不起 2.相信过程，也相信自己。每一道题都是你曾征服过的山峰。会的，稳稳拿下：不会 的，从容跳过一不是每一分都要得到，但每一分努力都算数。 3.这是祝福，不是考验。这份卷子没有对错，只有老师想对你说的悄悄话。做完它， 就带着这份勇气，去六月的考场，写你自己的答案。 去吧，少年。所有知识都已在你心里，只等你去唤醒。 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在年小题给出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填图在答题 卡相应位登。错选、多选或未选均不得分。 1.下列各数中，是无理数的是(D ) (看似“无理”，却真实存在，无限延仲。愿你的未来，也如这般，不受束博，没有尽头， 永远值得期待。) A.1.41 B.2 C. 3 D.0 2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(D) （愿你的人生，有对称的平衡之美，也有中心的坚定之力。无论怎么朝转，你都稳稳站在 中央。) M H 3.下列运算结果为a的是（C (每一步化简，都让式子更清晰。愿你的人生算式，删去繁杂，留下本真，最终解出那个 叫“幸福”的答策。) A.a2.a B.a'+a C.a+a D.(a2) 4.如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，若将①号小正方体挪到②号小正方 体的正前方，有关其三视图说法正确的是(（A) (从不同角度看，世界总有不同模样。愿你无论站在哪个方向，都能看见自己的光，也被 这世界温柔服亮。) A.主视图和左视图不变 B.主视图和俯视图不变 C.左视图和俯视图不变 D.三视图都不改变 从正面看 5.某校有800名男生，为了解这些男生的体重指数(BMI)分布情况，从中随机抽取了100 名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2),并按“低体重“正常”“超重“肥胖”四个等 级，整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI <18.5 18.5～23.9 24.0~27.9 228 人数 7 76 14 3 根据以上信息，下列说法合理的是(D)(每一份数据，都在讲远一个故事。愿你收 集一路的温暖与努力，去掉最高分的骄做，去掉最低分的沮丧，平均出属于你的从客。) A.样本容量800 B.众数21.2 C.中位数76 D.该校男生BM等级为“正常的有608人 6.如图1，在△ABC中，∠C=90°，D为边AC的中点.动点E以每秒1个单位长度的速 度从点A出发，沿折线AB-BC匀速运动，到达点C后停止，连结DE.设点E的运动时间 为x(单位：秒)，DE为少，在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示.下 列说法不正确的是（C)(动点千变万化，内 心始终如一。愿你在纷繁进项中，选中最对的那个 自已。顶点不是终点，是飞向更高处的起点。) AD-4 4 m= 5 C.点(12,25)在该函数图象上 m16 图1 图2 Dy的最大值为52 /0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.任写一个使二次根式V2026-x无意义的x值2027 (根号下，是你积着的所有芬力。开出来，便是青春最美的位。永远非负，永远向上，永 远充满希望。) 8.分解因式：x3-16x=X(X-4)(+4) (拆开不是为了分离，是为了看清本质。愿你拆解所有困难，提取最大公因式，剩下的， 全是乘胜追击的喜悦。) 9.如图，AB‖CD,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,∠EFD的 A 平分线与AB交于点G,过点G作GH⊥EF于点H,A=20°，则 ∠2=50度. (即便永不相交，也朝着同一个方向。愿你不偏航，不速路，哪怕独自前行，也知道自己 在靠近光。) 3(+B)+B+/ 10.若cP为方程2x2-3x-1=0的两个实数根，则2a2+5a明+3P的值为3 （节达告诉你：两根之和戴在中，两根之积常数中。愿你的人生之路，和是湿暖，积是况 淀，根根郭是好收成。) 2 2XH≤18 22x-1)-718 11.运算程序如图所示，规定：从“输入一个x值”到“结果是否大于18"为一次程序操作，如 果程序操作恰好进行了2次后停止，那么满足条件的x的最大整数值为9 (每个判断框都是一次进择，每条流程线都通向结果。愿你的人生程序，循环的是芬力， 输出的是无悔，判断之后永远是“是”。) 输入x×2 →-1>8 是，停止 香 ∠ADE=∠ADB=40°-X ∠DEf=90 ∠ADP-4OHX 第11题图 ∠FDE=02 ∠DFE=2第12题图 12.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100,D是BC上的动点，连接AD,将△ABD 沿AD折叠，得到△AED,且点E在直线BC的下方，AF平分∠CAE,交BC于点F,连 接EF.若aDEF是等腰三角形，则∠BAD的度数可以是l0°或4O°或2S” (腰来定，角未知，每一种情况都是一种可能。愿你在人生盆路口，不惧分叉，不怕讨论， 走通每一条通往答策的路。） 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.（1)计算：(r-5)°+V9-2sin30°+-2+(-1)2. (看似为负，其实只是换了一种方式存在。愿你懂得：低谷不是退场，是着力。倒数的力 量，也能批起万丈光芒。) (2)如图，在ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，∠ABE=∠CDF.求证：AE=CF. (无需华丽辅助战，条件$了，自然全普。愿你的人生也如此：踏实积累，静待花开，终 有一天，与梦想究类重合。) 解：原=1+3-2士+2+|1，△ABE6CDF%A)E 二6 AE=CF, (2)▣ABCD 八AB-cD·∠A=∠C B 在△ABE5△c⑦f中 SA=ㄥC AB>CD ABE-LCDH1- x2+x 14.先化简，再求值： x+1x2+2x+1,其中x=V5 (先的去烦恼的公因式，再代入快乐的未知数。愿你的人生分式，分子是热爱，分母是坚 持，化简之后，值为幸福。) 解时=(-名) (X+1)2 (XH) (X+1 X(H) 7 首6吃时点要 15.中国是一个多民族国家，有着悠久的历史，56个民族使用的语言分别属于汉藏、阿尔 泰、南岛、南亚、印欧这五大语系、明明和亮亮准备选择其中一大语系共同进行研究，他们 做了如下游戏方案进行选择：从一副普通的扑克牌中取出四张牌，如图，背面朝上洗匀后， 明明先从中随机抽取一张，记下数字放回并洗匀，亮亮再随机抽取一张.若两人抽取的牌面 数字均为奇数或均为偶数，则以明明的选择为准，若两人抽取的牌面数字为一奇一偶，则以 亮亮的选择为准。 (1)明明抽取的牌面数字为奇数的概率为三： (2)请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率。 (生活不是抽奖，芬力才是最大的概率。愿你用百分百的坚持，去逼见那个注定属于你的、 闪闪发光的未来。) 解2 开名 4vv5vy8w"7v” 97999 明明 4 6 A6AgA0始A /N/八N 亮克4了67 45674674567 井有16种等可影结果有8 种特含像件放奇-偶)=是立 16.图①、图②均是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格 点，其中A、B、C均为格点、只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图， (I)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O: (2)在图②中，点D是圆上一点，出弦DE,使DE∥BC (人生没有现成的刘度，只有心中的准绳。愿你用信任作圆心，以勇气为半径，画出独属 于你的面满。没有尺规，也从不将就。) 图① 图② ()如凰圆02，如图正了 T浙你作： 为所作； 17.在CBA篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起 了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情.某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩 偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价一进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件) 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件： (②)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售.如果技照原价销售，平均每天可售 12件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才 能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ (设好术知数，理清菩量关系，侧下的就是一步步算下去。愿你的人生也一样：找到方向， 列对方粗，解出那个叫“值得”的答策。) 解：b设买A款M件，乃款y件，↓2)沒g价完为X. 刚+y30 (X-ss)02+6×167-x)270 44X+灯Sy=40 X2=60 、SX=0 解得，1=6化 y=10 √为3回及王求 二背售折定为60元时， 购进A软公仔玩偶0件， 使B款公仔原属平种的晦天 购进3税么仔玩很0件； 荫售糊润270知 四、解答厘（本大题共3小题，年小题8分，共24分） 18.如图①，是世界第一高桥-贵州花江峡谷大桥，其主跨径（即两侧立柱之间的距离）为 1420m,是目前世界山区峡谷中跨度最大的钢桁梁悬索桥，同时其桥面距水面垂直高度也刷 新了世界纪录.如图②，立柱AB和CD均垂直于桥面EF,己知EF=1420m,在立柱AB的 桥塔区项部B处设有一个“云端咖啡厅”，是著名的网红打卡点 D M 图① 图② 图③ 根据以上信息，完成下列任务： (1)任务一：如图②，小欢乘坐观光电梯从立柱AB底部A出发，到达“云端咖啡厅“B处后， 测得点F处的俯角∠MBF=7.1°则∠BFE的度数为1°： (2)任务二：根据任务一的条件，求立柱AB高出桥面部分BE的长（精确到0.1m): (3)任务三：如图③，小欢想测量桥面到水面的垂直距高，她在点B处俯视桥面EF的中点O 正下方的水面上点N(其中ON⊥EF),测得俯角∠MBN=48.5°，求桥面EF与水面之间 的距离0N的长（精确到1m).(参考数据：sin7.1°=0.124，cos7.1°=0.992，tan7.1°=0.125， sin48.5°≈0.749，cos48.5°≈0.663，tan48.5°=1.130) (桥跨两岸，你连未来。正弦是高度，余孩是长度，正切是勇气。愿你以三角西数为梯， 稳稳走过每一座通向梦想的桥。) |口BEG为形 解2)由保LBfE=71° 13)球bM,N0厅点，G -六B6=0E=710m, 由E和保ABLEF,NGLEF 'AB⊥EF . OG-BE=EF-tanLBFE, LBEF=0° GN-IEN-Ge tonGBN E0=EF:710m 、EF=/420m 由保：BE=EF tanLBFE ION=GN-OG BE=EF.tonLBFE 1,LBE0ZE095∠E0N=90° =GB·tamLGBN-E下mZBFC ≈77.了m ≈624,8m≈62灯m 柱B高桥福补场BE前长门7m回驰形BE6 祝桥面F水面间的配克W 为Q 的6m,' 19.如图，在平面直角坐标系中，直线以=x+m与双曲线为，-上相交于点4，)、点B, 与x轴相交于点C】 ()求直线与双曲线的表达式： ②点P为双曲线为，=的在一点，若Saoc=4SMoc,求P点坐标： 诺点(1-)，则当%≤⅓时，x的取值范围是-式0%53 (一条是直战向前，一条是曲慢起伏。愿你顺境时如一次函数稳步上升，逆境时如反比例 函数触底反弹，外会相交于成功的那一点。) 1l=4 花验，字-音 解将A点代两凼教.1②设P点为(t,) 野，分9+0， 得，f3tm 1在X中2冲0， }七钱银礼 |六X-20MX?2 4 负解 133 .￡M2 1六C(2,0) 言阽 k:3 Sonc=Exc y= (子，4)式 纤愁列%21 Sep=4Sonoc 双达时为：灵 ocl此 (子，-4) 20.为守护背少年健康成长，我国对于青少年使用手机的规定涵盖合理使用、内容健康、隐 私保护及网络安全等诸多方面，某校开展合理使用手机宣传活动，随机挑选了甲、乙、丙、 丁四名同学进行经验分享，并收集了这四名同学近10天使用手机时长（单位：分钟)的数 据，并进行整理、描述和分析，得到如下信息. a.甲同学10天使用手机时长：12,14,14,14,15,16,19,20,21,25： b.乙、丙同学10天使用手机时长的折线统计图，如图： c.四名同学10天使用手机时长的情况统计分析表： 甲 丙 丁 平均数 7 16 17 16 中位数 15.5 15 n16.了 16.5 方差 15 7.8 1小 7.8 根据以上信息，解答下列问题： 角2)m= 2+x3+6t+/:i7 ()比较大小：1<15（填“><"或“="） /0 (2)求m,n的值： 时长n三 61≥/6S (3)规定：首先比较平均数，平均数较小者优先进行 25 23 分享；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优 9 31 0-乙 先进行分享：若平均数、方差分别相等，则使用手 一一一一丙 机时长小于平均数的次数较多者优先进行分享，该 15 J-Y 校决定按上述方式决定四名同学的分享颇序，则四10位 名同学最先分享的是乙一，最后分享的是 多 ,(均填“甲“乙“丙"或丁") 12345678910数据序号 (平均是实力，中位是底战，众数是档变，方差是初性。愿你的青春敏据：均值高、方遵 小，众数是快乐，中位是心尖。) 6 (老下)，可2形AGH0为口 .AG≥0H 1)3601 SoAcD=CD-AG=4CD.OH=Sopr=4r3=-4( 玉露务头国临格布+： 21.如图，AB是半圆O的直径，点C,D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切 线，与射线AC交于点E,连接AD.(挖下)：3)连CD,也A作AGLDC延的，I"OC=oD (1)判断射线AE与直线DE的位置关系并证明. 世0作0HLCD子H I△6CD等边△， (2)若ED=3,求AC的长： 得：LC0 A-LCOD60° ∠PGH=L0HD=76° o得，S30tS690n元 1∠DCD=60°CoA (3)若弦4C、弦AD与CD所围成的封闭图形的面积是几，则求半圆0的半径长：！， AGllOH 1÷GHIIOA92上 (切线轻轻一碰，是娘分刚好；弧长慢慢走过，是舟春的路；扇形展开，是梦想的形快。 你的人生， 国满如圆，温柔如苏。).，DD∥A泥 1.∠0Af=6o 角解)AE1DE,理由如吓： 1.六LpED+LoPE>180° 10A9E SinLOAF 连0C.0) LAeD=180°-zoE月0'G 2a得，0 D0C0D:g射AE⊥道代DE:7 =23 0A-0D1∠0DE0° 2)止0作0FLAe于F, -风：0元项 ∠CAD=立Lc0D>0°. 由，得：∠C0A=6o° B ∠oDA=L0AD:克∠D0B=30° ∠FEDLED0=0 ∠0fC-0°，ED-3 10昨D=3, 明A张为B元 `∠DDA=∠CAD )':OC-OA 网边形oFED水E形△OCA为勃△，(（彩） 22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b,c为常数)与x轴交于A(-2,0), B(3,0)两点，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m、 (1)求该抛物线的函数关系式，并直接写出顶点坐标： (②)点D是抛物线顶点，当点P在抛物线对称轴右侧时，过点P作PC∥x轴交抛物线对称轴 于点C,连接PD,若an∠PDC=行求m的值： (3)抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，,B两点且点P,B不重合）的最高点与最低点 的纵坐标之差为5-m时，直接写出m的值 (开口向上，低谷是蓄力：开口向下，顶峰不骄做。愿你找到人生的顶点，更楂得：最大 值之外，还有无限延伸的可能。) 解b将A·B纸入幽教得： 1() {0=4-2b+C |,PC=m-王D=m2-m+4 09+3b+C 解保：fb 六CD3P%20m2-mtt3m线 0-6 .、 m )M,=子 ˉ扬物线解折时为 、m=子 13P唯DB2闪B7<m3 步形%-6=（以- 0-(0m2m-6)=5-m (3)1°.P在A左Tm<-2时， m1+柜mE( 莫项点有始受) m2-m-6-()=5-M |4°唯，7m>3 |m2-M-6-0s了-m. (212o,得：P(mm2-m-6） m1:乎()m=-要v 2°P程PA2i问.吼2M≤时，|M,=而()M厅V :PC1X李由，C布附翔华上 0-蓉)5-m 馆上，m:厚术或E ∴C(z,m2m-6)749 ma-v ( 或而 六、解容短（本大题共12.分） 23.解答下列问题： (1)【初步探究】 如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE,连接CE,DB,则∠ACE的度数 为60°： (2)【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接EF,己知∠EAF=45°， BE=2,DF=3,，求正方形ABCD的边长： (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，CD=CB,∠BAD与∠BCD互余，AC,BD为对角线，且满 名-，将△CDA绕点C顺时针旋转到△C98,连接B,若D=3,B=4,求 长. （换个角度，世界就变了。愿你国住时，像图形一样转个身。位置变了，初心还在；绕了 一图，遥见更好的自己。) 角2)恪△AD线A点逆时针转0 至△ABG, 已.得：△ADF坐△AB9,☑f号 C∠ABC=∠D=∠GAF=90°，LEAf5” D ,LG邬A-cD=90°A6Af.GBpf=3 图1 图2 图3 ∠GRG-ZGAF-LenF?nf. ∴∠ABCt+∠AB6=18o° |)审已和得，∠D+4p0:90°， 二、GB.C三点米铁 ADCY△EC,AB4AD3· :在△aAE5△FAE中 ∠A+LEBC=∠AC比ADC SAG-AF 3602∠BAD-BcD270 BGNZGAF BE=AD=3,.AC=CE,CD=B,∠ACD光ECB AE-AE △GAEYSFAE(SAS) LABE=36D°ABLt忆EBc)上90. ∠ACD+∠ACB-LECB+CACB 、EF=EG>EB+BG>了· LBCD∠ECA, i为正方形ABCD也长为A. AC CE 1 CE=BC-BE=Q-2. CD=范 CF=CD-DF-a-3 ,△ACE7△DCB,AE=JnB+BE2= :CE4+CFEFY I、BD-CD AE Ac (a-2)+(a-)- ·0=60,-(房) 八BD:学AE=号 ,,正方形AB命也长为6； ) P ( 南昌市第二中学2026届初中学业水平考试 数学 说明：亲爱的孩子，在做这份祝福卷之前，请先记住三件事： 1．深呼吸，放轻松．你已经走了很远的路，那些深夜的灯、写空的笔芯、翻旧的课本，都在为你作证．你比你想象的，更了不起． 2．相信过程，也相信自己．每一道题都是你曾征服过的山峰．会的，稳稳拿下；不会的，从容跳过——不是每一分都要得到，但每一分努力都算数． 3．这是祝福，不是考验．这份卷子没有对错，只有老师想对你说的悄悄话．做完它，就带着这份勇气，去六月的考场，写你自己的答案． 去吧，少年．所有知识都已在你心里，只等你去唤醒． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题给出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填图在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1．下列各数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体是由个相同的小正方体搭成的，若将①号小正方体挪到②号小正方体的正前方，有关其三视图说法正确的是（ ） A．主视图和左视图不变 B．主视图和俯视图不变 C．左视图和俯视图不变 D．三视图都不改变 5．某校有名男生，为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据（单位：），并按“低体重”“正常”“超重”“肥胖”四个等级，整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 根据以上信息，下列说法合理的是（ ） A．样本容量 B．众数 C．中位数 D．该校男生等级为“正常”的有人 6．如图，在中，，为边的中点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连结．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图所示．下列说法不正确的是（ ） A． B． C．点在该函数图象上 D．的最大值为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．任写一个使二次根式无意义的值________． 8．分解因式：________． 9．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作于点，，则________度． 10．若，为方程的两个实数根，则的值为________． 11．运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为________． 12．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：． （2）如图，在中，点，分别在边，上，．求证：． 14．先化简，再求值：，其中． 15．中国是一个多民族国家，有着悠久的历史，个民族使用的语言分别属于汉藏、阿尔泰、南岛、南亚、印欧这五大语系．明明和亮亮准备选择其中一大语系共同进行研究，他们做了如下游戏方案进行选择：从一副普通的扑克牌中取出四张牌，如图，背面朝上洗匀后，明明先从中随机抽取一张，记下数字放回并洗匀，亮亮再随机抽取一张．若两人抽取的牌面数字均为奇数或均为偶数，则以明明的选择为准，若两人抽取的牌面数字为一奇一偶，则以亮亮的选择为准． （1）明明抽取的牌面数字为奇数的概率为________； （2）请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率． 16．图①、图②均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中、、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画出过点、、的圆的圆心； （2）在图②中，点是圆上一点，画出弦，使 （1）____________________（2）____________________ 17．在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队、两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价−进货价） 类别价格 款公仔玩偶 款公仔玩偶 进货价（元/件） 销售价（元/件） （1）网店用元购进、两款公仔玩偶共件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； （2）为了回报球迷，网店打算把款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售件．经调查发现，每降价元，平均每天可多售件，将销售价定为每件多少元时，才能使款公仔玩偶平均每天销售利润为元？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图①，是世界第一高桥贵州花江峡谷大桥，其主跨径（即两侧立柱之间的距离）为，是目前世界山区峡谷中跨度最大的钢桁梁悬索桥，同时其桥面距水面垂直高度也刷新了世界纪录．如图②，立柱和均垂直于桥面．已知．在立柱的桥塔区顶部处设有一个“云端咖啡厅”，是著名的网红打卡点． 根据以上信息，完成下列任务： （1）任务一：如图②，小欢乘坐观光电梯从立柱底部出发，到达“云端咖啡厅”处后，测得点处的俯角则的度数为________； （2）任务二：根据任务一的条件，求立柱高出桥面部分的长（精确到）； （3）任务三：如图③，小欢想测量桥面到水面的垂直距离，她在点处俯视桥面的中点正下方的水面上点（其中），测得俯角，求桥面与水面之间的距离的长（精确到）．（参考数据：，，，，，） 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． （1）求直线与双曲线的表达式； （2）点为双曲线的任一点，若，求点坐标； （3）若点，则当时，的取值范围是________． 20．为守护青少年健康成长，我国对于青少年使用手机的规定涵盖合理使用、内容健康、隐私保护及网络安全等诸多方面．某校开展合理使用手机宣传活动，随机挑选了甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，并收集了这四名同学近天使用手机时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析，得到如下信息． ．甲同学天使用手机时长：，，，，，，，，，； ．乙、丙同学天使用手机时长的折线统计图，如图； ．四名同学天使用手机时长的情况统计分析表： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）比较大小：________（填“”“”或“”）； （2）求，的值； （3）规定：首先比较平均数，平均数较小者优先进行分享；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优 先进行分享；若平均数、方差分别相等，则使用手机时长小于平均数的次数较多者优先进行分享．该校决定按上述方式决定四名同学的分享顺序，则四名同学最先分享的是________，最后分享的是________．（均填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，是半圆的直径，点，是半圆上的三等分点，过点作半圆的切线，与射线交于点，连接． （1）判断射线与直线的位置关系并证明． （2）若，求的长； （3）若弦、弦与所围成的封闭图形的面积是，则求半圆的半径长； 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于，两点，点是抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的函数关系式，并直接写出顶点坐标； （2）点是抛物线顶点，当点在抛物线对称轴右侧时，过点作轴交抛物线对称轴于点，连接，若，求的值； （3）抛物线在点和点之间的部分（包括，两点且点，不重合）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 六、解答题（本大题共12分） 23．解答下列问题： （1）【初步探究】 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，则的度数为________； （2）【类比探究】 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接，已知，，，求正方形的边长； （3）【拓展延伸】 如图，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足，将绕点顺时针旋转到，连接，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $