精品解析：2026年江西省临川第一中学中考全真模拟考试数学

临川一中2025-2026学年下学期初三模拟考试 初三年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. 千问 B. ChatGPT C. Deepseek D. 元宝 3. 《江西日报》2025年1月16日头版发布的数据显示，江西省2024年通过创业担保贷款，直接扶持个人创业14.45万人次．14.45万可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A. B. C. D. 6. 如图，已知锐角三角形，，请添加一个点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是一个轴对称图形，则这样的点D有（） A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 二、填空题 7. 单项式的系数为________． 8. 不等式的解集是______． 9. 如图，该正多边形每个内角的度数为______． 10. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 11. 抚州文昌里历史文化街区开展环境整治工作，安排甲、乙两支保洁队伍清理路面垃圾．已知甲队清理1800平方米路面和乙队清理1500平方米路面所用时间一致，甲队每天比乙队多清理30平方米．设乙队每天清理x平方米，请列出方程________； 12. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点引一条直线交反比例函数的图象于点，同时，该直线与轴交于点，若与相似，则点的纵坐标可能是_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）如图，在中，连接，，．求证：四边形是菱形． 14. 以下是小贤化简分式的过程． 解：原式 ． （1）在化简过程中的横线上依次填入的序号为________． ①；②；③；④． （2）请在1，2，中选择一个合适的数作为x的值，代入化简的结果并求值． 15. 第五届全民阅读大会期间．小林和小丽计划阅读红色经典书籍，现将正面分别写有《红色文化》、《星火燎原》、《井冈山的故事》的三张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小林和小丽通过随机抽取卡片的方式选择要阅读的书，小林先随机抽取一张卡片记下书名后放回并洗匀，小丽再随机抽取一张卡片． （1）事件“小林抽到写有《红色家书》的卡片”是______（填“随机”“不可能”或“必然”）事件． （2）请用画树状图或列表的方法，求小林和小丽中至少有一人抽到写有《井冈山的故事》的卡片的概率． 16. 如图，A，B，C是上的三上点，且四边形是菱形，请用无刻度直尺完成下列作图． （1）如图①，作出线段的垂直平分线； （2）如图②，作出线段的垂直平分线． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 江西米粉是江西标志性特产．某商铺售卖简装、精装两种米粉.某顾客购买2盒简装米粉、3盒精装米粉，共花费41元；购买3盒简装米粉、2盒精装米粉，共花费39元． （1）求每盒简装米粉、精装米粉的售价分别是多少元？ （2）若一次性购买两种米粉共20盒，且简装米粉数量不少于8盒，设购进简装米粉m盒，总花费为w元． ①求w关于m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②求最少总花费． 19. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 20. 赣超比赛的圆形裁判区为，半径，是的直径，弦于点B．球员从点A出发沿赛场直线行进至点D，过点D作的切线交的延长线于点F． 赣超圆形裁判区几何示意图 （1）求证：； （2）若，求线段的长． 21. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 b c 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____；_____ （2）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台、型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 22. 课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 23. 定义：经过抛物线的顶点及其与轴交点的直线叫做抛物线的“相关直线”，抛物线称为该直线的“相关抛物线”．例如：抛物线的“相关直线”是． 【概念理解】 （1）抛物线的“相关直线”为___________；若，均为直线的“相关抛物线”，则_________，_________； （2）已知直线与抛物线及它的“相关直线”的交点分别为点A，B，求的最大值； 【拓展提高】 （3）直线的系列“相关抛物线”为（为正整数，），其顶点从左到右依次为，直线与系列“相关抛物线”位于第一象限的交点依次为，，如图所示． ①请用含的代数式表示，并求的长． ②已知，均为正整数，是否存在与相似？若存在，求出其相似比．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2025-2026学年下学期初三模拟考试 初三年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴ 故选：A 2. 下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. 千问 B. ChatGPT C. Deepseek D. 元宝 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项B：是中心对称图形，符合题意； 对于选项C：不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：不是中心对称图形，不符合题意． 3. 《江西日报》2025年1月16日头版发布的数据显示，江西省2024年通过创业担保贷款，直接扶持个人创业14.45万人次．14.45万可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法．科学记数法的一般形式为，其中，n为原数的整数位数减去1，据此求解即可． 【详解】解：14.45万可用科学记数法表示为， 故选：D． 4. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式： 【详解】解：， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 5. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若是一元二次方程的两根，则，，求出和的值后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 6. 如图，已知锐角三角形，，请添加一个点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是一个轴对称图形，则这样的点D有（） A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】要使点A，B，C，D构成的四边形是轴对称图形，需考虑对称轴的位置，分对称轴经过三角形顶点和对称轴经过三角形边中点两种情况讨论． 【详解】解：要使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形， 对称轴主要有以下两种情形： ①对称轴经过三角形的两个顶点（即三角形的一边所在直线）： 若以所在直线为对称轴，点关于的对称点即为点，这样的点有1个； 同理，以所在直线为对称轴，可得1个点；以所在直线为对称轴，可得1个点； 此种情况共有3个点． ②对称轴经过三角形一边的中点且垂直于该边（即三角形一边的垂直平分线）： 若以的垂直平分线为对称轴，点关于该直线的对称点即为点，这样的点有1个； 同理，以的垂直平分线为对称轴，可得1个点；以的垂直平分线为对称轴，可得1个点； 此种情况共有3个点． ∵， ∴上述6个点互不重合 综上所述，这样的点共有个． 二、填空题 7. 单项式的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单项式中，数字因数为． 【详解】解：单项式的系数为． 8. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法并正确计算是解题的关键． 按解一元一次不等式的步骤移项、合并同类项和系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 故答案为：． 9. 如图，该正多边形每个内角的度数为______． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．先求出正八边形的内角和，再除以正八边形的边数即可得． 【详解】解：由图可知，这个正多边形是正八边形， 则该正多边形每个内角的度数为， 故答案为：． 10. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 11. 抚州文昌里历史文化街区开展环境整治工作，安排甲、乙两支保洁队伍清理路面垃圾．已知甲队清理1800平方米路面和乙队清理1500平方米路面所用时间一致，甲队每天比乙队多清理30平方米．设乙队每天清理x平方米，请列出方程________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题干条件用表示甲队的工作效率．再利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合两队工作时间相等的关系列出方程． 【详解】解：设乙队每天清理平方米，则甲队每天清理平方米，依题意得 ． 12. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点引一条直线交反比例函数的图象于点，同时，该直线与轴交于点，若与相似，则点的纵坐标可能是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数上点的坐标，相似三角形的性质，先得到，然后根据相似可得或，然后分为两种情况：时直接求出点D的坐标，当时，过点作轴于点，根据，求出点D的坐标，额然后根据平行线分线段成比例求出长即可解题 【详解】解：∵点，点在y轴上， ∴， 又∵与相似， ∴或， 当时，如图， 则点D的横坐标为， 这时， ∴， ∴，即点C的纵坐标为， 当，如图，过点作轴于点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点D的坐标为， 则，解得：， ∴点D的坐标为或， 当点D的坐标为时，，即， 解得，这时点C的纵坐标为； 当点D的坐标为时，，即， 解得：，这时点C的纵坐标为； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）如图，在中，连接，，．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） （2）证明：在中，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，等边三角形三角形的判定和性质，菱形的判定定理，熟练掌握运算法则和菱形的判定是解题的关键． （1）先化简二次根式、计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可； （2）由题得到是等边三角形，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： （2）略 14. 以下是小贤化简分式的过程． 解：原式 ． （1）在化简过程中的横线上依次填入的序号为________． ①；②；③；④． （2）请在1，2，中选择一个合适的数作为x的值，代入化简的结果并求值． 【答案】（1） （2），当时，原式 【解析】 【分析】（）利用分式的运算法则进行计算即可求解； （）由分式有意义的条件可得且，再把代入化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了分式的化简求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由分式有意义的条件得，且， ∴且， 把代入得，原式． 15. 第五届全民阅读大会期间．小林和小丽计划阅读红色经典书籍，现将正面分别写有《红色文化》、《星火燎原》、《井冈山的故事》的三张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小林和小丽通过随机抽取卡片的方式选择要阅读的书，小林先随机抽取一张卡片记下书名后放回并洗匀，小丽再随机抽取一张卡片． （1）事件“小林抽到写有《红色家书》的卡片”是______（填“随机”“不可能”或“必然”）事件． （2）请用画树状图或列表的方法，求小林和小丽中至少有一人抽到写有《井冈山的故事》的卡片的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件分类进行求解； （2）根据题意列出表格，再根据概率公式进行计算． 【小问1详解】 解：∵三张卡片中没有《红色家书》这张卡片， ∴事件“小林抽到写有《红色家书》的卡片”是不可能事件； 【小问2详解】 解：用A表示《红色文化》，B表示《星火燎原》，C表示《井冈山的故事》，列表如下： A B C A B C 通过表格可知一共有9种等可能情况，其中符合题意的有5种情况， ∴小林和小丽中至少有一人抽到写有《井冈山的故事》的卡片的概率为：． 16. 如图，A，B，C是上的三上点，且四边形是菱形，请用无刻度直尺完成下列作图． （1）如图①，作出线段的垂直平分线； （2）如图②，作出线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于点E，连接交于M．由是菱形的性质得到，通过证明，得到．连接，得到是等边三角形，即可得到结论； （2）在图（1）的基础上，连接，交于N，作直线交于F，作直线．由是菱形，得到，从而得到，由平行线等分线段定理得到，再由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）延长交于点E，连接交于M．则是的垂直平分线， 理由如下： ∵是菱形， ∴． ∵，∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 连接，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴是的垂直平分线． （2）在图（1）的基础上，连接，交于N，作直线交于F，作直线．则为的垂直平分线． 理由如下： ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为的垂直平分线． 【点睛】本题考查了菱形的性质．圆的基本性质，平行线分线段成比例的应用，通过作出全等图形和线段的中点是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 （2）a的值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ， 解得． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 江西米粉是江西标志性特产．某商铺售卖简装、精装两种米粉.某顾客购买2盒简装米粉、3盒精装米粉，共花费41元；购买3盒简装米粉、2盒精装米粉，共花费39元． （1）求每盒简装米粉、精装米粉的售价分别是多少元？ （2）若一次性购买两种米粉共20盒，且简装米粉数量不少于8盒，设购进简装米粉m盒，总花费为w元． ①求w关于m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②求最少总花费． 【答案】（1）每盒简装米粉的售价为元，每盒精装米粉的售价为元． （2）①，的取值范围是且为整数，②总花费最少为元． 【解析】 【分析】（1）设每盒简装米粉的售价为元，每盒精装米粉的售价为元．根据购买2盒简装米粉、3盒精装米粉，共花费41元；购买3盒简装米粉、2盒精装米粉，共花费39元．列方程组即可求解． （2）①根据购费用等于简装米粉的总费用加上精装米粉的总费用即可求出函数解析式；再结合一次性购进两种米粉共20盒，且简装米粉数量不少于8盒，得出的取值范围； ②根据的．可得的值随着的增大而减小．为了使总花费最少，我们需要让取最大值．由此即可解题． 【小问1详解】 解：设每盒简装米粉的售价为元，每盒精装米粉的售价为元，依题意得： ，解得：， 答：每盒简装米粉的售价为元，每盒精装米粉的售价为元． 【小问2详解】 ①由（1）得，简装米粉每盒元，精装米粉每盒元． ∴ 又∵，为整数 综上所述：关于的函数关系式为，的取值范围是且为整数． ②∵， ∴的值随着的增大而减小． ∴取时，总花费最少． 此时， 答：总花费最少为元． 19. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）符合要求， 过点作交于点，作于点， ， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 点到地面的距离为：，符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）连接，求得，，据此求解即可； （2）过点作交于点，作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ， 由题意得， ， 点到地面的距离为：； 【小问2详解】 略 20. 赣超比赛的圆形裁判区为，半径，是的直径，弦于点B．球员从点A出发沿赛场直线行进至点D，过点D作的切线交的延长线于点F． 赣超圆形裁判区几何示意图 （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，，  是的切线， 即， 可得： ， 又（都是的半径）， ，  是的直径，直径所对圆周角为直角， ，即  ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，得到；因为是直径，所以，结合可得，通过角的和差关系推导两个角相等； （2）因为，根据垂径定理可得，在中用勾股定理计算的长度，得到、的长度； 先在中计算的长度，结合（1）的角相等结论，证明，得到对应边成比例；最后在中利用勾股定理，设，列方程求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵半径， ∴在中： ， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， 在中，由勾股定理，其中，代入得： 整理得， 解得（舍去）， 即． 21. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 b c 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____；_____ （2）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台、型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）20，15，15 （2）3200万件 （3） 解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可） 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可； （2）利用型号的机器人数量乘以每台日均分拣数量加上型号的机器人数量乘以每台日均分拣数量求解即可； （3）可以从众数、平均数、中位数给出合理的建议． 【小问1详解】 解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值， ， 型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件， 中位数为． 而； 【小问2详解】 解：由题意得，（万件）； 答：该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件； 【小问3详解】 略 22. 课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）①证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． ② 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）①先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据矩形的判定即可得证； ②设，则，，根据矩形的性质和勾股定理可得，过点作于点，设与交于点，则四边形都是矩形，再根据等腰三角形的性质可得，然后解直角三角形可得，根据等腰三角形的判定可得，设，则，在中，解直角三角形可得，最后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②由题意，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 23. 定义：经过抛物线的顶点及其与轴交点的直线叫做抛物线的“相关直线”，抛物线称为该直线的“相关抛物线”．例如：抛物线的“相关直线”是． 【概念理解】 （1）抛物线的“相关直线”为___________；若，均为直线的“相关抛物线”，则_________，_________； （2）已知直线与抛物线及它的“相关直线”的交点分别为点A，B，求的最大值； 【拓展提高】 （3）直线的系列“相关抛物线”为（为正整数，），其顶点从左到右依次为，直线与系列“相关抛物线”位于第一象限的交点依次为，，如图所示． ①请用含的代数式表示，并求的长． ②已知，均为正整数，是否存在与相似？若存在，求出其相似比．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；3；1 （2） （3）①；；②存在，相似比为或 【解析】 【分析】（1）先求得抛物线的顶点坐标和轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得“相关直线”的解析式；先表示出的顶点坐标和直线与y轴的交点坐标，代入直线的解析式，即可求得，再把直线与y轴的交点坐标代入抛物线解析式即可求得； （2）根据定义先求得抛物线的“相关直线”的解析式，然后表示出A、B的坐标，根据距离公式和二次函数的性质即可解答； （3）①同（1）中方法，求得，然后总结出规律，即可求得，然后根据抛物线的对称性求得，然后总结出规律，表示出，即可解答； ②由①可知，，，可推出，则，进而总结出规律得到，，从而得到，，然后根据两边对应成比例且夹角相等的三角形是相似三角形，可推出满足时，，最后结合所得规律和k、t的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为；令，则，即抛物线与轴的交点为， 设抛物线的“相关直线”的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴抛物线的“相关直线”为； ∵，均为直线的“相关抛物线”， 的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴把，分别代入直线， 得；； 对于直线，令，则，即直线交y轴于， ∴把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴由（1）可知，该抛物线的“相关直线”为， 抛物线和直线的图象如图所示，当，点在点的上方， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：①∵的顶点坐标为， ∴把分别代入直线，得； 对于直线，令，则，即直线交y轴于， ∴把代入，得，解得； ∴， 同理，，，， ∴， ∴用含的代数式表示； ∵对于，点和点关于对称轴对称， ∴， 同理，，，， ∴； ②存在，相似比为或， 如图，连接， 由①可知，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴，同理可得， 由①可知， ∴对于与有，，，， ∴， ∴要使与相似， 则需要，即， ∴， ∵，均为正整数， ∴当或时满足题意，此时， ∴当时，相似比为； 当时，相似比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $