精品解析：四川省达州市达州外国语学校2025-2026学年八年级下学期5月阶段自测数学试题

四川省达州市达州外国语学校2025-2026学年八年级下学期5月阶段自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案． 【详解】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心． 2. 已知，下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，特别注意：在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．利用不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、不等式两边同时减去1，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故本选项符合题意； D、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，即；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 等腰三角形的一角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，三角形的内角和，根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和定理，得到钝角只能是顶角，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴的角只能是等腰三角形的顶角， 故顶角的度数为：； 故选C． 4. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案． 【详解】解：A、，变形正确，符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、的分子和分母不能约分，，变形错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为(　　) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质证得△ABE是等边三角形即可得到BE=AB=6. 【详解】由旋转得AE=AB，∠BAE=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=6， 故选：D. 【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握旋转的性质证得△ABE是等边三角形是解题的关键. 6. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知是的平分线，得，由平行四边形的性质得，，即得，得到，即可得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题可得，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：. 8. 如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，先根据勾股定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到，并得到，然后根据的周长为解题即可． 【详解】解：解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵为等腰三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. “x的2倍与7的和不小于6”用不等式表示为：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用x的2倍即为2x，不小于即大于等于进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出不等式是解题关键． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 11. 如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形平移求线段长度的方法是解题的关键． 根据图形移动可求出阴影部分的长和宽，根据几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽， 阴影部分的面积， 故答案为． 12. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 13. 一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为______． 【答案】##114度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角计算，角的平分线的计算，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键； 先计算正多边形的内角，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】∵正五边形的内角为，正六边形的内角为， 、分别平分正八边形与正六边形的内角， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解不等式（或方程） （1）解不等式，并写出满足此不等式的最小整数解． （2）解方程：． 【答案】（1） 不等式的解集为，满足不等式的最小整数解为 （2） 原方程的解为 【解析】 【分析】（）先根据去括号法则去掉括号，再通过移项合并同类项化简不等式，将未知数系数化为1得到不等式的解集，最后在解集范围内找出最小的整数即可； （）先确定分式方程的最简公分母，方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后，将结果代入最简公分母检验，排除增根后即可得到原分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得：， 合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴满足此不等式的最小整数解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘最简公分母去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 15. 先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】 ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 16. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）在平移过程中，线段扫过的面积为_____； （3）点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____． 【答案】（1）见解析 （2）15 （3）或 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）直接求出四边形的面积即可． （3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求． 【小问2详解】 解：在平移过程中，线段扫过的面积为． 故答案为：15． 【小问3详解】 解：或．设点的坐标为， 三角形与三角形面积相等， ， 解得或4， 点的坐标为或． 故答案为：或． 17. 如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． （1）求证：． （2）求的度数． （3）当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）利用等腰三角形性质证明，结合全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，进而求出，再结合四边形内角和得到进行求解，即可解题； （3）设时，是等腰三角形，结合全等三角形性质得到，进而得到，再根据是等腰三角形，分三种情况①当时，②当时，③当时，结合等腰三角形性质讨论求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设时，是等腰三角形， ， ， ， ①当时，有， ， 解得，即； ②当时，有， ， 解得，即； ③当时，有， ， ， 解得，即； 综上所述，或或，是等腰三角形． 18. 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： = ， （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 【答案】（1）6，（或，6） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程等知识．理解题意，熟练掌握完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）由方程 是可分解分式方程，可得 进而可求； （2）由可分解分式方程 的两个解分别为 可得 ，根据代值求解即可； （3）由方程 是可分解分式方程，可得 不妨设 ，则，由可得，可求，由，可得，，进而可得k的值为． 【小问1详解】 解： ∵方程 是可分解分式方程， ∴ 故答案为： 6，． 【小问2详解】 解：∵可分解分式方程 的两个解分别为 ∴， ∴的值为． 【小问3详解】 解：方程 是可分解分式方程， ∴ ∵k为实数，不妨设 ， ， ， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴k的值为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 无论取何值，代数式的值一定是_______． 【答案】 负数 【解析】 【分析】先对原代数式配方变形，再利用平方数的非负性判断代数式的取值范围，即可得到结论． 【详解】解： ， ∵无论取何值，都有， ∴，则， 故该代数式的值一定是负数． 20. 如图，已知平行四边形中，则如图：的值为_______． 【答案】68 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，先根据平行四边形的性质，利用证明，设，，则，然后根据勾股定理表示，然后整体代入计算解题． 【详解】解：过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∴， ∴ ， 故答案为：68． 21. 对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：，则的值为______；若，则a的值为______． 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查新定义运算的含义，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键．运用定义运算代入计算可得，再计算即可；运用定义运算代入得到，求解这个分式方程即可，注意检验． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 的值为． 故答案为：； 22. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数． 【详解】解：方程组的解为 ， ， ， 解得，， 解不等式组， 不等式①的解集是， 不等式②的解集是， ∵不等式组有解， ∴， 解得，， ， ∵a取整数， ， ∴符合条件的整数a有7个． 故答案为：7． 23. 如图，在中，，，点M、N在边上，，，，则____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点B顺时针旋转，得，连接，证明为直角三角形，由勾股定理求出长，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴将绕点B顺时针旋转，得，连接，如图， 则，，，，， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可得，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长． 【小问1详解】 证明：是等边的BC边上的高， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解： ． 为等边三角形， ． ， ， 四边形的周长为． 25. 据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】（1）每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； （2）一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个． 根据题意，得， 解得， ∵y为正整数， ∴y的值可以为48或49或50， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ∵， ∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 26. 【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市达州外国语学校2025-2026学年八年级下学期5月阶段自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的一角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 4. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为(　　) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. 6 C. D. 5 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. “x的2倍与7的和不小于6”用不等式表示为：______． 10. 分解因式：______． 11. 如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 _______． 12. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为_________． 13. 一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解不等式（或方程） （1）解不等式，并写出满足此不等式的最小整数解． （2）解方程：． 15. 先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 16. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）在平移过程中，线段扫过的面积为_____； （3）点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____． 17. 如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． （1）求证：． （2）求的度数． （3）当为多少度时，是等腰三角形？ 18. 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： = ， （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 无论取何值，代数式的值一定是_______． 20. 如图，已知平行四边形中，则如图：的值为_______． 21. 对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：，则的值为______；若，则a的值为______． 22. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为______． 23. 如图，在中，，，点M、N在边上，，，，则____________________ ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 25. 据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 26. 【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $