精品解析：2024年甘肃省陇南市西和县九年级中考三模数学试题

2024年陇南市中考模拟联考卷（二） 数学试卷 （本试题满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 35 3. 计算：（ ） A B. C. 0 D. 4. 已知反比例函数图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是角平分线，，垂足为D，°，，则（ ） A. B. C. D. 6. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，将一副三角尺叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. “春蕾计划”是在全国妇联领导下，中国儿童少年基金会发起的一项社会公益活动，旨在帮助困境女童顺利完成学业某中学广大教师为此积极捐款献爱心，该校名教师的捐款情况统计如图所示，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A. 元，元 B. 元，元 C. 元，元 D. 元，元 9. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．何人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出八钱，则多了三钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？设共有人，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C D. 10. 如图1，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接，，设为，为，且关于的函数图象如图2所示，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：___________． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 _____． 13. 如果某超市盈利记作“”，那么“亏损”应记作________． 14. 如图，是的直径，点C、D在上，若，则_______度． 15. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是______． 16. 如图，将沿方向平移得，若的周长为，则四边形的周长为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 化简： 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． （1）作，使与关于原点成中心对称． （2）已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 21. 小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转，右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致． （1）请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为____________； （2）若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表方法，求两辆车行驶方向一致的概率． 22. 如图，为了测量湖泊东西方向的距离AB，测绘员在湖泊正东方向的D处（B，A，D在同一直线上）利用无人机升空测量，当无人机恰好在点D的正上方C处时，测得湖泊东岸A的俯角∠ECA为，测得湖泊西岸B的俯角∠ECB为，此时无人机距离地面的高度CD为200m，求湖泊东西方向的距离AB．（，，，，，，结果保留1位小数） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 甘肃某中学2024年1月举行了航空航天知识竞赛，分，两组，各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及以上为优秀，6分及以上为及格）进行整理和分析如下： 两组分析数据表 A组 B组 平均数 7.5 7.5 众数 7 中位数 7.5 及格人数百分比 B组20名学生的测试成绩如下： 10，5，7，9，6，8，5，7，9，6，10，8，10，7，6，6，8，8，7，8 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________， （2）如果B组有500名学生参加测试，估计该组成绩为优秀的学生有多少人？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于点 ，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式． （2）若点 P 为x轴上的一个动点，当的面积是 6时，求点 P 的横坐标． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 在中，，点是边上不与点重合的一动点，将绕点旋转得到，点的对应点落在直线上，与相交于点，连接． （1）如图1，当点与点重合时， ①求证：； ②判断与的位置关系是________； （2）如图2，当点不与点重合，点在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程． 27. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． （1）求二次函数的表达式及点B的坐标； （2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年陇南市中考模拟联考卷（二） 数学试卷 （本试题满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是， 故选：． 2. 若，则（ ） A B. 1 C. D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“若，则”，即得答案． 【详解】， ． 故选D． 3. 计算：（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据单项式乘多项式进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．设反比例函数的解析式为把点代入即可求出的值，然后把代入解析式即可求出的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点代入得，， 故此反比例函数的解析式为， 当，， 故选：． 5. 如图，是的角平分线，，垂足为D，°，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和为以及角平分线的定义．因为是的角平分线，所以，由，得，则，在中，，即可作答； 【详解】因为是的角平分线， ， 由，得， 在中，， 因为在中，， 把代入， 得， 那么， 所以， 故选：B． 6. 方程的解为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解， 故选：B． 7. 如图所示，将一副三角尺叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，由于，那么是等腰直角三角形，可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∴． 故． 故选：D． 8. “春蕾计划”是在全国妇联领导下，中国儿童少年基金会发起的一项社会公益活动，旨在帮助困境女童顺利完成学业某中学广大教师为此积极捐款献爱心，该校名教师的捐款情况统计如图所示，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A. 元，元 B. 元，元 C. 元，元 D. 元，元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据众数和中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：由条形统计图知，出现次数最多， 所以这组数据的众数为， 这组数据的第、个数据均为， 所以这组数据的中位数为， 故选：B 9. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．何人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出八钱，则多了三钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？设共有人，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有人，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设共有人，根据题意得，， 故选：B． 10. 如图1，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接，，设为，为，且关于的函数图象如图2所示，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理．在函数图象中找到当时，时得出，再利用图象的拐点得出，由图象知P到达C时得最长，由勾股定理即可求出其值． 【详解】解：由图知，当时，，即当P在A点时， ∴， 当P在上运动时，慢慢增大，P到D点时，从图中的拐点可知，此时， ∴， 当P在上运动时，先减小再增大，直到P到达C点时，此时最长， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，可以根据平方差公式进行分解．掌握平方差公式是解题的关键． 平方差公式，先将化为，然后按照平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案：． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 13. 如果某超市盈利记作“”，那么“亏损”应记作________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，根据正负数的意义即可求得答案． 【详解】如果某超市盈利记作“”，那么“亏损”应记作． 故答案为： 14. 如图，是的直径，点C、D在上，若，则_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，据此即可求解． 【详解】解：是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 16. 如图，将沿方向平移得，若的周长为，则四边形的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质；由平移的性质得，，即可求解；理解平移的性质“平移前后的图形中，各组应点的连线线段的长度相等．”是解题的关键． 【详解】解：的周长为， ， 由平移得： ， 将沿方向平移得， ， 四边形的周长为： ()； 故答案：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】3． 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查实数的运算，熟练运用运算法则是解题的关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解： ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：． 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先通分括号内，得，再进行除法运算，得，然后化简即可作答． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． （1）作，使与关于原点成中心对称． （2）已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，点 【解析】 【分析】（1）先确定起始点的坐标，再利用原点对称特点确定变化后的坐标，即可求解， （2）连接、，交点即为点，根据中点公式计算，即可求解， 本题考查了，中心对称，确定中心点，中点公式，解题关键是：熟练掌握中心对称的性质． 【小问1详解】 解：如图可得：，，，原点对称得：，，， 画图如下： 即为所求， 【小问2详解】 解：连接、，交点即为点，画图如下： 点即为所求， ∵与关于点成中心对称，且，， 所以对称中心的坐标为，即：， 故答案为：． 21. 小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转，右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致． （1）请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为____________； （2）若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，列表法或画树状图法求概率；运用树状图将所有等可能结果表示出来是解题的关键． （1）根据概率定义计算即可； （2）用树状图工具列举所有等可能结果，共9种，满足要求的有3种，求得概率即可． 【小问1详解】 解：∵汽车可以左转，也可以右转，也可以直行， ∴经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为． 【小问2详解】 解：画出树状图如下： ∵总共有9种等可能结果，其中两辆车行驶方向一致的有3种等可能的情况， ∴两辆车行驶方向一致的概率为． 22. 如图，为了测量湖泊东西方向的距离AB，测绘员在湖泊正东方向的D处（B，A，D在同一直线上）利用无人机升空测量，当无人机恰好在点D的正上方C处时，测得湖泊东岸A的俯角∠ECA为，测得湖泊西岸B的俯角∠ECB为，此时无人机距离地面的高度CD为200m，求湖泊东西方向的距离AB．（，，，，，，结果保留1位小数） 【答案】湖泊东西方向的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．先在中利用正切的定义计算出，然后在中利用正切的定义计算，进一步计算即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， ． ． 答：湖泊东西方向的距离约为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 甘肃某中学2024年1月举行了航空航天知识竞赛，分，两组，各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及以上为优秀，6分及以上为及格）进行整理和分析如下： 两组分析数据表 A组 B组 平均数 7.5 7.5 众数 7 中位数 7.5 及格人数百分比 B组20名学生的测试成绩如下： 10，5，7，9，6，8，5，7，9，6，10，8，10，7，6，6，8，8，7，8 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________， （2）如果B组有500名学生参加测试，估计该组成绩为优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）8；7； （2）即该组成绩为优秀的学生有250人 【解析】 【分析】本题考查求众数，中位数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的定义求出的值，利用及格人数除以总数求出百分比，得到的值； （2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：组数据中8出现的次数最多， ∴， 组中第10个和第11个数据均为7， ∴， ； 故答案为：8；7；； 【小问2详解】 （人）； 答：估计该组成绩为优秀的学生有250人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于点 ，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式． （2）若点 P 为x轴上的一个动点，当的面积是 6时，求点 P 的横坐标． 【答案】（1） （2）点P的横坐标为1或9 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用： （1）将代入，得，即，再把代入，求得，得出，最后把，代入，救出的值即可； （2）由求出点，设点 P 的横坐标为n，分两种情况，依据三角形面积公式列式求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 将代入，解得． 分别将，代入， 得 解得 ∴． 【小问2详解】 解：设点 P 的横坐标为n， 将代入， 解得，， 即 ①当时， 解得． ②当时，同理可求得． 综上，点P的横坐标为1或9． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）BD的长是． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是等角，等腰三角形的性质等等： （1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论； （2）由直径所对的圆周角是等角得到，则由三线合一定理可得． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵ ∴． 26. 在中，，点是边上不与点重合的一动点，将绕点旋转得到，点的对应点落在直线上，与相交于点，连接． （1）如图1，当点与点重合时， ①求证：； ②判断与的位置关系是________； （2）如图2，当点不与点重合，点在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程． 【答案】（1）①证明见解析；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①证明，，即可得到结论；证明，即可得到结论； （2）过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：①，， ， ， 绕点旋转得到， ，， ， ②，， ， 由旋转可知，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：，理由为： 如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， 由旋转可得， 由（1）可得， ， ， 四边形是矩形， ． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判断和性质、矩形的判断和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和矩形的判断与性质是解题的关键． 27. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． （1）求二次函数的表达式及点B的坐标； （2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）满足条件的点D的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合 （1）用待定系数法求二次函数的解析式，另可求出B的坐标； （2）求出点C的坐标，因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， 代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为． 在中， 当时，则， 解得， 【小问2详解】 如图，当点D在x轴上方时，连接，过点D作于点E． ∵当时，， ． 当时，， 当时，， 解得或， ∴点D的坐标为． 当点D在x轴下方时，， 解得或， ∴点D的坐标为或． 综上所述，满足条件的点D的坐标为或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$