精品解析：山东省日照市北京路中学2025-2026学年九年级下学期数学第三次学情自测数学试卷

2026年初中学业水平模拟测试（三） 数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项； 1．本试卷共8页．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，，0，，这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据负数小于和正数，得到最小的数在，然后比较它们的绝对值即可得到答案，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴， ∵负数小于和正数， ∴四个数中最小的数为， 故选：B． 2. 某校为落实“五育并举”促进学生全面发展，开展了多项社团活动．下列社团标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，该选项不符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，该选项符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意． 3. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，截止年月，我国在芯片上的研究成绩喜人，以突破纳米量产、纳米试产技术，并在纳米设备领域实现局部超越，已知，则用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示形式，确定的值时解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 4. 月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构．2024年11月13日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫空间站开展太空暴露试验．图2是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，中间有一条横着的虚线，即看到的图形如下： 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，单项式与单项式的除法，完全平方公式，合并同类项，根据运算法则逐项判断解题即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 6. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上点从左到右排列对应数从小到大，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，数轴上右边的数大于左边的数， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 7. 在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是化学变化的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据化学变化的定义判断出4种图案中属于化学变化的有2种，然后列出所有等可能的结果，找出抽中的2张卡片上的图案都是化学变化的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵镁条燃烧生成氧化镁，面包发霉生成新物质，均属于化学变化；玻璃破碎、钢条折弯只是形状改变，均属于物理变化， ∴4张卡片中，属于化学变化的有2张，属于物理变化的有2张，设2张化学变化的卡片分别为，2张物理变化的卡片分别为 从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果有：共6种，其中抽中的2张卡片上的图案都是化学变化的结果只有这1种， ∴抽中的2张卡片上的图案都是化学变化的概率． 8. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， ∴用30千克木材制作榫的数量为，用30千克木材制作卯的数量为， 又制作卯的数量比制作榫的数量少10个，即制作榫的数量比制作卯的数量多10个， 可列方程为：． 9. 如图，在中，，，．在边上取一点P，使，以P点为圆心，长为半径作圆弧，交边于D点．分别以B，D为圆心，大于的长为半径作圆弧，交于M，N两点，连接，交于E点，交于F点，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，过点作于，利用相似三角形求出的长，进而求出和的长，根据垂直平分线的性质可得，，再利用相似三角形求出的长即可得解.  【详解】解：在中，，，， ， 如图，过点作于， ，， ， ，即， 解得， 由作法可知，，垂直平分， ，，，， ，， ， ，即， 解得， ． 10. 如图1，在中，，，以中点为圆心、长为半径作弧．点从点出发，沿弧及线段向终点运动．记的运动路程为，，关于的函数图象如图所示，图象过点，则下列说法错误的是（ ） A. 点在弧上运动时，的图象为一条线段 B. 当时，点运动到点B C. 的最小值为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先根据题意和图确定为等腰直角三角形、为等腰直角三角形，再根据图进行分类，①当点在上，②当点在线段上，结合等腰直角三角形的性质和弧长的性质、及函数图像的性质判断即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 由题意知，的运动路程为，，点从点出发，沿弧及线段向终点运动， ①当点在上， ∴， ∴为定值，的图象为一条线段，结合图像，，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴； ∴当时，点运动到点，故B选项正确，不符合题意， ②当点在线段上， 如图，过点作交于点 当，即有最小值，重合， ∵，，， ∴最小值，故C选项正确，不符合题意， ∵，，， ∴， ∵从图中，可看出先减小，再增大，由图可得，点与点为对称点， 点即在图中点在点时的坐标，即， ∴点表示图中点在点时的坐标， ∴，故D选项不正确，符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且， ∴且， 故答案为：且． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 13. 已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据边心距求得外接圆的半径，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【详解】解：如下图，过点O作，垂足为G，连接， 六边形是正六边形， 是3个全等的等边三角形， ， 正六边形的边心距为3，即， ， ， ，即， 解得：， 设圆锥的半径为r，根据题意，得：， 解得：． 14. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则点的坐标可以是_________． 【答案】（答案不唯一，点B横坐标满足即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出，结合列不等式求解，得到的取值范围，进而确定点横坐标的范围，写出符合条件的坐标即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ， 移项通分得，即， ， ， 解得， 点的横坐标为， ， 取，代入得，， 则点的坐标可以为． 15. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 连接，判定≌，即可得到，进而得出点F的运动轨迹为直线，依据当时，最短，即可得到的最小值是2． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴，， ∴， 即点F的运动轨迹为直线， ∴当时，最短， 此时， ∴的最小值是2． 故答案为：2． 三、解答题：本题共8题，共75分． 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）本题先分别计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，再合并同类项计算即可得到结果． （2）本题先根据分式的混合运算法则化简原式，再代入计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：       【小问2详解】 解：         当时，原式 17. 随着油价飙升，某汽车4S店积极转型，计划购进A，B两款新能源汽车进行销售，以满足市场需求．据了解，A款新能源汽车的单价比B款新能源汽车的单价低万元，购买A款新能源汽车2台、B款新能源汽车3台共需费用万元． （1）求A，B两款新能源汽车的单价各是多少万元． （2）该汽车4S店计划购买A，B两款新能源汽车共台，且A款新能源汽车的购买数量不超过B款新能源汽车购买数量的倍，购买A款新能源汽车多少台时，采购费用最少?最少采购费用是多少万元? 【答案】（1） A款新能源汽车单价为5万元，B款新能源汽车单价为5.6万元 （2） 购买A款新能源汽车15台时采购费用最少，最少采购费用为103万元 【解析】 【分析】（1）根据A、B单价的关系设未知数，结合购买总费用列方程求解即可得到两款车的单价； （2）设购买A款车的数量为台，根据A数量不超过B数量的3倍列不等式得到自变量的取值范围，再列出总费用关于购买数量的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应的购买数量． 【小问1详解】 解：设A款新能源汽车的单价为万元，则B款新能源汽车的单价为万元.， 由题意得， 解得， 则， 答：A款新能源汽车单价为5万元，B款新能源汽车单价为5.6万元； 【小问2详解】 设购买A款新能源汽车台，采购总费用为万元，则购买B款新能源汽车台 由题意得， 解得； 总费用， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 将代入得（万元）； 答：购买A款新能源汽车15台时采购费用最少，最少采购费用是103万元． 18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM． （1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】 （1）如下图所示，DB、CD为所作； （2）证明：∵AC平分∠BAM， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AM∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA． ∴∠BAC＝∠BCA． ∴AB＝BC， 同理可证：AB＝AD． ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 【解析】 【分析】(1)利用尺规作图的方式(本质为三角形全等)作出∠ABC的角平分线即可； (2)先证明AB＝BC，AB＝AD，则AD＝BC，则可判断四边形ABCD是平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形ABCD是菱形． 【详解】解：(1)略 (2)略 【点睛】本题考查了尺规作图中角平分线的作法，其本质是利用三角形全等的知识来作图；另外本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形判定方法是解决此题的关键. 19. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是_____，组对应扇形的圆心角是_____； 任务3：已知心理健康课后的这名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为，，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【答案】任务1：， 补全频数分布直方图如图： 任务2：，； 任务3：达到“效果显著” 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，频数直方图，加权平均数，求扇形统计图的圆心角；熟练掌握以上知识点是解题的关键； 任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．得出组有人，进而求得组的人数，根据频数直方图求得组的人数，进而补全统计图； 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组，进而求得第，个数据分别为，，即可求得中位数，根据组的人数为人，用其占比乘以，进而求得组对应圆心角的度数； 任务3：根据加权平均数的方法计算心理健康课前测试成绩的平均分，进而求得心理健康课后的平均分比心理健康课前高出的百分比，和比较，即可求解． 【详解】解：任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人 ∴组的人数为人 则组的人数为：人 故答案为：． 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴组的人数为人 ∴从大到小排列，第，个数据分别为， ∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是 组对应扇形的圆心角是 故答案为：，． 任务3：依题意，， ∴达到“效果显著”． 20. 为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图所示．图为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧与地面垂直，踏板的倾斜角为30°，踏板顶端A处到地面的距离为41． （1）当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端处到车厢左侧的距离； （2）该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度．图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面与地面平行，踏板的倾斜角减小至．若公交站台的高度为，求此时踏板顶端A处到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）踏板底端处到车厢左侧的距离约为； （2）此时踏板顶端处到地面的距离约为． 【解析】 【分析】（）过点作地面于点，则，在中，，，，则，再求解即可； （）过点作地面于点，过点作于点，由题意可知踏板长度不变，即，由站台高度，且平行地面，则有，在中，，则，然后再由线段的和与差即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作地面于点，则， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：踏板底端处到车厢左侧的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作地面于点，过点作于点， 由题意可知，踏板长度不变，即， ∵站台高度，且平行地面， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：此时踏板顶端处到地面的距离约为． 21. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所得的圆周角为直角可得，，结合可得； （2）连接，由切线的性质可得，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可得，从而证明，因此，代入数值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． （1）当时，求该函数表达式； （2）若点，都在直线上，求的值； （3）当时，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据当时，点，关于对称轴对称，求出的值，即可求解； （2）先根据点，点都在直线上，求出的关系，得出点坐标，再将点、点代入二次函数即可求解； （3）先根据二次函数的系数，求出二次函数的增减性，在结合题意和数形结合进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，点，关于对称轴对称， ∴， ∴该函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵点，点都在直线上， ∴， 由①②得：，即， ∴点坐标为： 将点，坐标代入函数表达式：， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧，随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ①当时，和在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵， ∴，与矛盾，不成立； ②当时，和在对称轴左侧，随的增大而减小， 在对称轴左侧，当，有，与矛盾，不成立； ③当时，在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 点对称点为， 当，，需要， 解得 23. 综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接．过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形ABCD中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1） （2）解：， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，，， ∴；， ∴； ∴； ∴， ∴， 过点F作于点G，取的中点H，连接， , 根据直角三角形的性质，得， ， 故当F，H，G三点共线时，取得最大值， ，， 四边形是矩形， ， ， 故点F到的距离的最大值为5； （3） 【解析】 【分析】（1）利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明即可； （2）利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明即可，利用垂线段最短求解即可； （3）仿照（2）的解答，利用三角形相似，圆的性质，勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 过点F作于点G，取的中点H，连接， , 根据直角三角形的性质，得， ， 故当F，H，G三点共线时，取得最大值， ，， 四边形是矩形， ， ， 故点F到的距离的最大值为5； 【小问3详解】 解：梯形中，，，，，点E是线段的中点， ，， ， ， ， ， ， 在上截取，过点E作，过点Q作，二线交于点P, 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ∴， ∴； ∴； ∴， ∴， ∴点G在以为直径的圆上，且圆的半径为，记圆心为O， 过点G作于点N，交于点M， ，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 当最大，且时，，此时最小，此时的面积最小， 此时点N与圆心O重合， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟测试（三） 数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项； 1．本试卷共8页．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，，0，，这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 某校为落实“五育并举”促进学生全面发展，开展了多项社团活动．下列社团标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，截止年月，我国在芯片上的研究成绩喜人，以突破纳米量产、纳米试产技术，并在纳米设备领域实现局部超越，已知，则用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构．2024年11月13日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫空间站开展太空暴露试验．图2是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 6. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　） A B. C. D. 7. 在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是化学变化的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．在边上取一点P，使，以P点为圆心，长为半径作圆弧，交边于D点．分别以B，D为圆心，大于的长为半径作圆弧，交于M，N两点，连接，交于E点，交于F点，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 10. 如图1，在中，，，以中点为圆心、长为半径作弧．点从点出发，沿弧及线段向终点运动．记的运动路程为，，关于的函数图象如图所示，图象过点，则下列说法错误的是（ ） A. 点在弧上运动时，的图象为一条线段 B. 当时，点运动到点B C. 的最小值为 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 若关于x方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 13. 已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 14. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则点的坐标可以是_________． 15. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是______． 三、解答题：本题共8题，共75分． 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 随着油价飙升，某汽车4S店积极转型，计划购进A，B两款新能源汽车进行销售，以满足市场需求．据了解，A款新能源汽车的单价比B款新能源汽车的单价低万元，购买A款新能源汽车2台、B款新能源汽车3台共需费用万元． （1）求A，B两款新能源汽车单价各是多少万元． （2）该汽车4S店计划购买A，B两款新能源汽车共台，且A款新能源汽车的购买数量不超过B款新能源汽车购买数量的倍，购买A款新能源汽车多少台时，采购费用最少?最少采购费用是多少万元? 18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM． （1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 19. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是_____，组对应扇形的圆心角是_____； 任务3：已知心理健康课后的这名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为，，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 20. 为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图所示．图为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧与地面垂直，踏板的倾斜角为30°，踏板顶端A处到地面的距离为41． （1）当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端处到车厢左侧的距离； （2）该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度．图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面与地面平行，踏板的倾斜角减小至．若公交站台的高度为，求此时踏板顶端A处到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 21. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． （1）当时，求该函数表达式； （2）若点，都在直线上，求的值； （3）当时，都有，求的取值范围． 23. 综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接．过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形ABCD中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $