精品解析：浙江杭州市文澜中学2025-2026学年第二学期阶段性学业质量测试初二数学试卷

文澜中学2025学年第二学期阶段性学业质量测试初二数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，如果把一个图形绕一点旋转，图形可以与自身重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键是根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A、把图形绕任何一点旋转，都不能与原图形重合，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、把图形绕中心旋转，图形可以与自身重合，是中心对称图形，故B选项符合题意； C、把图形绕任何一点旋转，都不能与原图形重合，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、把图形绕任何一点旋转，都不能与原图形重合，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，根据二次函数定义：形如的多项式函数，最高次项为二次，逐项判断即可． 【详解】，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意； ，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意； ，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 3. 如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，有最大值3， 故A、B、C说法错误，说法正确， 故选：． 5. 已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设． 【详解】解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 6. 如图，在中，，平分，，则（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质结合垂线的定义可得出，在中，利用勾股定理可求出的长，由结合角平分线的定义可得出，进而可求出的长，再结合即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． 在中，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（ ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A. ①或② B. ①或③或④ C. ②或③ D. ②或③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据已有条件：，结合平行四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：如图，已有条件：， ①添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ③添加，根据可得， 又， ∴， ∴， ∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ④添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； 综上：C符合题意． 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 10. 二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过点，当时，；当时，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性和题干给出的取值范围确定二次函数的顶点位置，再设顶点式代入已知条件求解． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴二次函数开口向上，，函数最小值为． 又∵二次函数经过点， ∴顶点坐标为． 设二次函数解析式为． ∵开口向上的二次函数，对称轴左侧随增大而减小，在对称轴左侧， ∴时，的最小值在处取得，最小值为． 把，代入解析式得：， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数为， 故答案为12． 12. 抛物线经过点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 13. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减，左加右减”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，得到， 再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为：， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，于．若四边形的面积是32，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，证明四边形是矩形，然后证，然后利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可． 【详解】解：在函数中，当时，， 解得（舍去），， 即小强此次成绩为10米， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键． 16. 在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，证明得出，由三角形中位线定理得出，从而得出当时，最小，此时有最小值，过点作于点，此时点和点重合，根据菱形的性质得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别是，的中点， ∴， ∴要使有最小值， 即最小， ∴当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，第17、18、19、20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数的解析式为，将代入解析式进一步求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 18. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形旋转的性质可直接求得答案． （2）对运用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴ 根据图形旋转的性质可知． ∴． 【小问2详解】 解：根据图形旋转的性质可知， ∵ ∴在中，． 19. 如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． （1）若，求的度数； （2）若为的中点，，和互余，求的长度． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且且，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解； （2）先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵分别是的中点， ， ∵分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵和互余， ， ， ∵为的中点，， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ． 20. 已知二次函数（为常数，）． （1）该函数图象的对称轴是直线________； （2）若，当时，求函数值的取值范围； （3）若，求证：该函数的图象与轴有两个交点． 【答案】（1） （2） （3）证明：，且， ，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与x轴有两个公共点． 【解析】 【分析】（1）根据的对称轴为求解，即可解题； （2）将代入函数解析式计算，得到函数解析式，再根据抛物线的增减性和最值求解，即可解题； （3）根据根的判别式，以及不等式性质求解，即可证明该函数的图象与x轴有两个公共点． 【小问1详解】 解：， 该函数图象的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：将代入函数解析式得，， 抛物线的对称轴为直线，开口向上． 当时，随的增大而增大， ， 当时，y最小是2，当时，距离对称轴最远，则y最大是6， ； 【小问3详解】 略 21. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质易证，得出，即可得出结论； （2）由矩形和角平分线的性质得出，则，再推出，证明是等边三角形，求出，求出的长即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，平分， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点及运用数形结合思想是解题的关键． 22. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形． （1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明：根据作图的过程可知：平分 ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作图的过程可知平分，根据平行四边形的性质可得，根据作图可知，得，证明四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形； （2）连接交于点O，根据菱形的性质和，，即可求菱形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接交于点O 四边形是菱形 ，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∵四边形为菱形， ，， ，， ∴，而， ，， 菱形的周长为． 23. 在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． （1）求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． （2）当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 【答案】（1）顶点坐标为，当时，随的增大而增大. （2）的值为或. 【解析】 【分析】（1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）结合开口方向以及函数的对称轴再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大； 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为：，； ∵， ∴当时，则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴， 解得：或，（此时不符合题意，舍去） 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∴函数的最大值与最小值之和为，不符合题意舍去， 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴ ， 解得：或，（此时不符合题意，舍去，） 综上：或. 24. 在正方形中，点，点分别在边，上，满足，点是对角线的中点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若，，直接写出的长为________． （3）如图3，连接，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明即可． （2）如图，连接交于，证明是等边三角形，再进一步求解即可． （3）延长交分别于点，作于点，进一步证明，可得，进一步证明，结合全等三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，延长交分别于点，作于点，如图， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文澜中学2025学年第二学期阶段性学业质量测试初二数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标是 5. 已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分，，则（　　） A. B. C. D. 3 7. 已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（ ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A. ①或② B. ①或③或④ C. ②或③ D. ②或③或④ 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过点，当时，；当时，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 12. 抛物线经过点，则________． 13. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为______． 14. 如图，在四边形中，，，于．若四边形的面积是32，则的长是________． 15. 小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米． 16. 在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点．则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，第17、18、19、20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 18. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 19. 如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． （1）若，求的度数； （2）若为的中点，，和互余，求的长度． 20. 已知二次函数（为常数，）． （1）该函数图象的对称轴是直线________； （2）若，当时，求函数值的取值范围； （3）若，求证：该函数的图象与轴有两个交点． 21. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积． 22. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形． （1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 23. 在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． （1）求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． （2）当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 24. 在正方形中，点，点分别在边，上，满足，点是对角线的中点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若，，直接写出的长为________． （3）如图3，连接，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $