1.3 一元二次方程的应用（知识解读）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦一元二次方程的应用这一核心知识点，系统梳理变化率、传染率、枝干问题、单循环与双循环问题、销售利润、几何面积及动点与几何问题等8类实际情境题型，通过知识点解读、例题及变式构建学习支架，衔接方程解法与实际应用。 该资料以生活实例（如五色糯米饭销量、汉服销售）培养数学眼光，通过题型归纳与推理训练发展数学思维，用方程模型表达现实问题提升数学语言能力。课中助力教师分层教学，课后随堂检测与变式练习帮助学生查漏补缺。

1.3 一元二次方程的应用（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型2 一元二次方程的应用-传染率问题】 4 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 6 【题型4 一元二次方程的应用-单循环问题】 8 【题型5 一元二次方程的应用-双循环问题】 9 【题型6 一元二次方程的应用-销售利润问题】 11 【题型7 一元二次方程的应用-几何面积问题】 15 【题型8 一元二次方程的应用-动点与几何问题】 18 【随堂检测】 22 知识点1 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为 ²=b 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 【例1】五色糯米饭是广西三月三的特色美食之一．它以黑、红、黄、紫、白五色得名，是三月三节日的必备佳肴，象征着吉祥如意、五谷丰登．在三月三期间，某特色美食店主打五色糯米饭，第一天卖出五色糯米饭200份，由于节日氛围浓厚，销量持续上涨，第三天卖出了242份，且第二天、第三天的销量增长率相同． (1)求该店五色糯米饭销量的日平均增长率； (2)若按照这个增长率，请你帮忙预测第四天能卖出多少份五色糯米饭． 【答案】(1)该店五色糯米饭销量的日平均增长率为 (2)第四天能卖出267份五色糯米饭 【分析】（1）设该店五色糯米饭销量的日平均增长率为x，根据题意列方程解决． （2）根据求出的增长率直接计算即可． 【详解】（1）解：设该店五色糯米饭销量的日平均增长率为x． 则， 解得，（不符合题意，舍去） 答：该店五色糯米饭销量的日平均增长率为． （2）解： 份， 答：第四天能卖出267份五色糯米饭． 【变式1-1】某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 【答案】 【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据第1个月和第3个月的净利润建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为． 【变式1-2】2026年天猫618活动正在火热进行中，某美妆品牌在此期间推出多场预售与现货活动．该品牌第二季度的总销售额为662万元，其中4月作为预售启动月，销售额为200万元．设5月、6月随着大促热度攀升，月销售额的平均增长率为．若根据季度总销售额列方程求该平均增长率，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出第二季度每个月的销售额，再根据总销售额列方程即可得到正确结果． 【详解】解：∵4月销售额为200万元，月销售额平均增长率为， ∴5月销售额为， ∵6月销售额在5月基础上增长， ∴6月销售额为， ∵第二季度总销售额为4月、5月、6月销售额之和，总销售额为662万元， ∴列方程得． 【变式1-3】推进教育振兴，改善学校设施．某县2023年投入资金900万元，2025年投入资金1296万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该县改善学校设施投入资金的年平均增长率； (2)2025年该县每所学校设施改善的平均费用为80万元，2026年为提升教育质量，每所学校改善费用增加，如果投入资金年增长率保持不变，求该县在2026年最多可以改善多少所学校？ 【答案】(1) (2)15所 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用等知识． （1）设该县改善学校设施投入资金的年平均增长率为x，根据“2023年投入资金900万元，2025年投入资金1296万元”列方程，求解即可解答； （2）该县在2026年最多可以改善y所学校，根据题意列出不等式，解不等式，取最大整数解即可解答． 【详解】（1）解：设该县改善学校设施投入资金的年平均增长率为x， 根据题意得， 解得，不符合题意，舍去 答：该县改善学校设施投入资金的年平均增长率为． （2）解：设该县在2026年最多可以改善y所学校， 根据题意得：， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最大值为 答：该县在2026年最多可以改善15所学校． 知识点2 传染，枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2 一元二次方程的应用-传染问题】 【例2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人． (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． （2）则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 【变式2-1】某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一人传染了7个人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出数量关系正确列方程是解题关键．设每轮传染中平均一人传染了个人，由题意可知，第一轮患病人数为人，第二轮患病人数为人，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了个人， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每轮传染中平均一人传染了7个人． 【变式2-2】随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时，因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？ 【答案】平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意列方程求解．设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求出x的值，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数． 【详解】解：设平均一人传染了x人， ， 解得（不符合题意，舍去） 经过三轮传染后患上流感的人数为：（人）， 答：平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感． 【变式2-3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被哦感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （3）轮（为正整数）感染后，被感染的电脑有________台． 【答案】（1）8；（2）会；（3）． 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可． （2）根据题意计算出3轮感染后被感染的电脑数，与700进行比较即可． （3）根据题中规律，写出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，依题意得： 解得（舍去） （2） 答：3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． （3）由（1）得每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑 第一轮：被感染的电脑有台； 第二轮：被感染的电脑有台； 第三轮：被感染的电脑有台； 故我们可以得出规律：轮（为正整数）感染后，被感染的电脑有台 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用和归纳总结题，掌握解一元二次方程的方法和找出关于n的函数关系式是解题的关键． 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 【例3】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【答案】9 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是91，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-1】随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 【答案】21 【分析】设平均每人每轮转发给个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设平均每人每轮转发给个人， 根据题意可得，， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：平均每人每轮转发给21个人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 【变式3-2】为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 【答案】 【分析】设邀请了个好友转发倡议书，第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：（舍去），． ∴n的值是 【变式3-3】化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 知识点3 握手比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4 一元二次方程的应用-单循环比赛问题】 【例4】为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 【变式4-1】在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 【答案】这次会议到会的人数为9人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这次会议到会的人数为x人，则每个人都要与人握手一次，且相同两人之间的握手只算作一次，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这次会议到会的人数为9人． 【变式4-2】组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛. 【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得：   ，    解得：，.      不合题意舍去， 答：比赛组织者应邀请8个队参赛. 【点睛】本题是一元二次方程的应用，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解． 【变式4-2】淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 【答案】共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握握手、循环赛问题是解题的关键．设共有支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛，根据“所有参赛队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次）已知联赛计划安排55场比赛”建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设共有x支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛， 根据题意可得：， 整理得：，， 解得：或（舍）． 答：共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛． 【题型5 一元二次方程的应用-双循环比赛问题】 【例5】参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场次为，根据共比赛72场，列出方程即可． 【详解】解：设参加比赛的球队有x支， 依题意得：． 故答案为：． 【变式5-1】国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是列方程的关键．根据“新年互送贺卡一张”得每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每人需送出张贺卡，进而求出全组共送的数量，再根据等量关系“全组共送贺卡张”， 列方程即可． 【详解】解：这个小组共有人，每人需送出张贺卡， 全组共送贺卡张， 全组共送贺卡张， ， 故答案为：． 【变式5-2】在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有x人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 【变式5-3】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送56张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为____． 【答案】x（x-1）=56． 【分析】全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=56． 故答案为：x（x-1）=56． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．读懂题意，找到等量关系是解题关键． 知识点4 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【题型6 一元二次方程-销售利润问题】 【例6】某商店用元购买一批新款书包进行销售． (1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？ (2)根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？ 【答案】(1) 该书包原来每个的进价是元 (2) 每个书包的定价应为元 【分析】（1）利用两次购买书包数量相同的等量关系列分式方程求解，解分式方程后需要检验； （2）利用总利润单个利润销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合要让顾客得到实惠的条件，选择降价更多的定价即可； 【详解】（1） 解：设该书包原来每个的进价是元， 根据题意，可得， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解， 答：该书包原来每个的进价是20元； （2）解：设每个书包降价元， 由（1）可知每个书包进价为20元，此时单个书包利润为元，销售量为个， 根据题意得 ， 解得：，， 因为需要让顾客得到实惠，因此选择更大的降价幅度，即，此时定价为（元）， 答：每个书包的定价应为30元． 【变式6-1】根据以下素材，完成任务． 素材1 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔月份销售个，月份销售个． 素材2 此种头盔的进价为元个，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． 问题解决： (1)任务1：求该品牌头盔销售量从月份到月份的月平均增长率 (2)任务2：为使月销售利润达到元，且尽可能让利给顾客，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)元个 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，由题意，得： ， 解得：，， ∵尽可能让利给顾客，∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【变式6-2】汉服，是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”“礼仪之邦”“锦绣中华”的体现，是中华优秀传统文化的重要载体．某汉服馆销售一款汉服，经过市场调研发现：这款汉服平均每天可销售30件，每件盈利50元，每件汉服每降价1元，日销售量可增加2件．为了尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施． (1)若某天该款汉服降价3元，则该商家当天销售这款汉服______件； (2)这款汉服每件降价多少元时，该商家销售这款汉服日盈利可达到2000元？ 【答案】(1)36 (2)25元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据“每天可售出30件；售价每降低1元，日销售量增加2件”即可求解； （2）结合（1）中的销售额和单件的利润，根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程并求解，结合题意，取符合题意的值即可； 【详解】（1）解：根据题意可得：每天可销售量为（件）， 故答案为：36； （2）解：设每件降价元， 根据题意，得：， 解得：，， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件降价25元． 【变式6-3】今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)若该水果销售店试销草莓获得的利润为2800元，求销售价格． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程的应用是解题关键． （1）设y与x的函数解析式为，将点和点代入计算即可得函数解析式，再根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元可得x的取值范围； （2）根据利润=销售量（销售单价成本单价）建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 将点和点代入得：， 解得， 与的函数解析式为， 由题意可知，， 答：与的函数解析式为，的取值范围为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：销售价格为每千克30元． 知识点5 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7 一元二次方程-几何面积问题】 【例7】如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为米，宽为米． (1)求通道的宽度； (2)某园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是元平方米，超过平方米后，每多出平方米，所有“四季青”的种植单价可降低元，但单价不低于元平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了平方米，支付该园艺公司种植“四季青”的费用为元，求种植“四季青”的面积． 【答案】(1)通道的宽度为米 (2)种植“四季青”的面积为平方米 【分析】本题考查一元二次方程的应用； （1）设通道的宽度为米．由题意，解方程即可； （2）设种植“四季青”的面积为平方米． 【详解】（1）解：设通道的宽度为米． 由题意， 解得或舍去， 答：通道的宽度为米． （2）解：设种植“四季青”的面积为平方米． 由题意：， 解得， 答：种植“四季青”的面积为平方米． 【变式7-1】如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．已知墙长为，矩形苗圃园的面积为，求这个苗圃园垂直于墙的边的长． 【答案】垂直于墙的边长为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的边长为，则边长为，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的边长为，则边长为． 根据题意得：， 解得， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 故垂直于墙的边长为． 【变式7-2】为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米． (1)设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度长是______米（用含x的代数式表示）； (2)求车道的宽． 【答案】(1) (2)3米 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程和代数式是解题的关键． （1）用停车场外围的长减去车道的宽即可得到答案； （2）喷漆面积相当于一个长为米，宽为米的矩形面积，据此根据矩形面积建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：车道的宽为3米． 【变式7-3】某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 【答案】(1) (2)x的值为20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程． （1）根据题意列代数式即可求解； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故x的值为20． 知识点6 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8 一元二次方程-动点与几何问题】 【例8】如图，在中，，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动，点从点出发沿边以的速度向点移动，点、同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动． (1)几秒后，的面积为？ (2)几秒后，的长为？ 【答案】(1)1秒后，的面积为 (2)2秒后，的长为 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设秒后，的面积为，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的长为，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积为， 由题意，，， ∴， ∴，解得或（不合题意，舍去）； 故1秒后，的面积为； （2）由（1）和勾股定理可得：， 解得（舍去）或； 故2秒后，的长为． 【变式8-1】如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒． (1)用含t的式子表示：______，______，______； (2)当t为何值时，的面积等于． 【答案】(1)t；；． (2)2或4 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可。 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）根据三角形的面积公式，得， 即，整理，得． 解得，． 由题意可知，， 故当t的值为2或4时，的面积等于． 【变式8-2】在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方，一元二次方程的应用、勾股定理的应用； （1）根据题意直接列出代数式； （2）根据梯形的面积为，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （3）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为，，； （2）解：∵， ∴， 依题意，， 素 解得： （3）解：设出发秒后、两点间的距离是． 则，，作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：或． 【变式8-3】如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 【答案】(1)； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 随堂检测c 1．某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次．设这两年客流量的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这两年客流量的年平均增长率为x， 由题意得：． 2．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 3．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的长为x步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题意用设出的长表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】∵设这块田地的长为步，宽比长少12步， ∴宽为步， ∵矩形面积长宽，已知矩形面积为864平方步， ∴可得方程 ， 故选：A． 4．某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题思路是根据月平均增长率依次推出3月份的收入表达式，结合已知3月份收入列出方程． 【详解】解：∵1月份收入为万元，月平均增长率为, ∴2月份收入为万元, ∴3月份收入为万元, 又∵已知3月份收入为万元, ∴可列方程为. 5．在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，设每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每组x人，则每个人都要与其他人比赛一场，而相同两人之间的比赛只算作一场，故总场次为场，据此列方程即可． 【详解】解：设每组人， 由题意得，， 故选：B． 6．若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为，则可以列方程：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设较小的一个偶数为x，则相邻的较大偶数为，再根据两数积为528直接列出方程即可求解． 【详解】解：设较小的一个偶数为x，则另一个偶数为， 因此方程为． 故答案为：． 7．某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 【答案】(1) (2)1728元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． （2）根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 8．如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【答案】此时花圃的边的长为米 【分析】本题考查一元二次方程与图形面积有关的应用，先理解题意，设花圃的边的长为米，结合花圃的面积刚好为60平方米,得，解得或，即可作答． 【详解】解：设花圃的边的长为米， 依题意，得， ∵花圃的面积刚好为60平方米， ∴， 解得或， 当时，则（舍去）； 当时，则， ∴此时花圃的边的长为米． 9．《千里江山图》是青绿山水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为原来的2倍．求该画四周装裱上的边衬的宽度． 【答案】该画四周装裱上的边衬的宽度为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设四周装裱上的边衬的宽度为，根据装裱后整幅画的面积为原来的2倍，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设四周装裱上的边衬的宽度为，根据题意得： ， 解得，， ∵， ∴， 答：该画四周装裱上的边衬的宽度为． 10．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)6，4 (2) (3)的长不能等于5，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据路程、速度与时间的关系求解即可得； （2）先求出当点在上时，，，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （3）假设，先求出当运动到上时，，，，再在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∴当点到点时，（秒）； 当点到终点时，（秒）， ∴此时点运动的路程为， 又∵， ∴此时点运动到点， ∴此时的长等于， 故答案为：6，4． （2）解：点从点运动到达点所需时间为秒， ∴当点在上时，，，， ∴，， ∵，且的面积为9， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为1． （3）解：的长不能等于5，理由如下： 假设， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒， ∴当运动到上时，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，，即， 整理得：， 解得或（均不符合题意，舍去）， 所以的长度不能等于5． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 一元二次方程的应用（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型2 一元二次方程的应用-传染率问题】 3 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 4 【题型4 一元二次方程的应用-单循环问题】 5 【题型5 一元二次方程的应用-双循环问题】 6 【题型6 一元二次方程的应用-销售利润问题】 7 【题型7 一元二次方程的应用-几何面积问题】 9 【题型8 一元二次方程的应用-动点与几何问题】 11 【随堂检测】 13 知识点1 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为 ²=b 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 【例1】五色糯米饭是广西三月三的特色美食之一．它以黑、红、黄、紫、白五色得名，是三月三节日的必备佳肴，象征着吉祥如意、五谷丰登．在三月三期间，某特色美食店主打五色糯米饭，第一天卖出五色糯米饭200份，由于节日氛围浓厚，销量持续上涨，第三天卖出了242份，且第二天、第三天的销量增长率相同． (1)求该店五色糯米饭销量的日平均增长率； (2)若按照这个增长率，请你帮忙预测第四天能卖出多少份五色糯米饭． 【变式1-1】某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 【变式1-2】2026年天猫618活动正在火热进行中，某美妆品牌在此期间推出多场预售与现货活动．该品牌第二季度的总销售额为662万元，其中4月作为预售启动月，销售额为200万元．设5月、6月随着大促热度攀升，月销售额的平均增长率为．若根据季度总销售额列方程求该平均增长率，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1-3】推进教育振兴，改善学校设施．某县2023年投入资金900万元，2025年投入资金1296万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该县改善学校设施投入资金的年平均增长率； (2)2025年该县每所学校设施改善的平均费用为80万元，2026年为提升教育质量，每所学校改善费用增加，如果投入资金年增长率保持不变，求该县在2026年最多可以改善多少所学校？ 知识点2 传染，枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2 一元二次方程的应用-传染问题】 【例2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【变式2-1】某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 【变式2-2】随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时，因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？ 【变式2-3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被哦感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （3）轮（为正整数）感染后，被感染的电脑有________台． 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 【例3】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【变式3-1】随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 【变式3-2】为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 【变式3-3】化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 知识点3 握手比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4 一元二次方程的应用-单循环比赛问题】 【例4】为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【变式4-1】在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 【变式4-2】组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【变式4-2】淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 【题型5 一元二次方程的应用-双循环比赛问题】 【例5】参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为_____． 【变式5-1】国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程______． 【变式5-2】在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 【变式5-3】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送56张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为____． 知识点4 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【题型6 一元二次方程-销售利润问题】 【例6】某商店用元购买一批新款书包进行销售． (1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？ (2)根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？ 【变式6-1】根据以下素材，完成任务． 素材1 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔月份销售个，月份销售个． 素材2 此种头盔的进价为元个，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． 问题解决： (1)任务1：求该品牌头盔销售量从月份到月份的月平均增长率 (2)任务2：为使月销售利润达到元，且尽可能让利给顾客，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【变式6-2】汉服，是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”“礼仪之邦”“锦绣中华”的体现，是中华优秀传统文化的重要载体．某汉服馆销售一款汉服，经过市场调研发现：这款汉服平均每天可销售30件，每件盈利50元，每件汉服每降价1元，日销售量可增加2件．为了尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施． (1)若某天该款汉服降价3元，则该商家当天销售这款汉服______件； (2)这款汉服每件降价多少元时，该商家销售这款汉服日盈利可达到2000元？ 【变式6-3】今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)若该水果销售店试销草莓获得的利润为2800元，求销售价格． 知识点5 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7 一元二次方程-几何面积问题】 【例7】如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为米，宽为米． (1)求通道的宽度； (2)某园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是元平方米，超过平方米后，每多出平方米，所有“四季青”的种植单价可降低元，但单价不低于元平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了平方米，支付该园艺公司种植“四季青”的费用为元，求种植“四季青”的面积． 【变式7-1】如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．已知墙长为，矩形苗圃园的面积为，求这个苗圃园垂直于墙的边的长． 【变式7-2】为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米． (1)设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度长是______米（用含x的代数式表示）； (2)求车道的宽． 【变式7-3】某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 知识点6 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8 一元二次方程-动点与几何问题】 【例8】如图，在中，，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动，点从点出发沿边以的速度向点移动，点、同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动． (1)几秒后，的面积为？ (2)几秒后，的长为？ 【变式8-1】如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒． (1)用含t的式子表示：______，______，______； (2)当t为何值时，的面积等于． 【变式8-2】在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 【变式8-3】如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 随堂检测c 1．某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次．设这两年客流量的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的长为x步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，设每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为，则可以列方程：________． 7．某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 8．如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    9．《千里江山图》是青绿山水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为原来的2倍．求该画四周装裱上的边衬的宽度． 10．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $