易错点6专项突破：列方程解追及问题-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

**基本信息** 聚焦列方程解追及问题，覆盖直线、环形及复杂变式，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础追及|10题（如2、5、12）|含先行距离、速度差的简单追及|以“路程差=速度差×时间”为核心，建立方程模型| |环形追及|5题（如3、7、23）|环形跑道同向追及，涉及多圈相遇|拓展直线模型至封闭路径，强化周期规律认知| |复杂变式|11题（如4、18、19）|含中途变速、往返运动、多对象追及|综合速度变化、时间分段等变量，提升推理与问题转化能力|

第七单元 用方程解决问题 易错点6专项突破：列方程解追及问题 1．一只野兔跑出85步猎犬才开始追它，野兔跑8步的路程猎犬只需跑3步，猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。问猎犬至少要跑多少步才能追上野兔？ 【答案】204步 【分析】先根据野兔8步的路程等于猎犬3步，设野兔每步路程为3x，猎犬每步路程为8x，结合猎犬跑4步的时间野兔能跑9步，先列式4×8x＝32x算出同时间猎犬路程，列式9×3x＝27x算出同时间野兔路程，再列式32x－27x＝5x得到猎犬每4步缩短的路程，接着列式85×3x＝255x算出野兔提前跑出的总路程差，之后用255x÷5x算出需要的周期数量，最后用周期数×4就是猎犬的总步数。 【详解】解：设野兔一步路程为3x，猎犬一步路程为8x。 猎犬路程：4×8x＝32x 野兔路程：9×3x＝27x 每4步缩短距离：32x－27x＝5x 原有路程差：85×3x＝255x 周期数：255x÷5x＝51 猎犬总步数：51×4＝204（步） 答：猎犬至少要跑204步才能追上野兔。 2．小胖和小丁丁从学校去上海自然博物馆。小胖先跑400米后，小丁丁沿同一路线出发追赶小胖，小丁丁平均每分钟跑160米，4分钟后在途中追上小胖，小胖平均每分钟跑多少米？ 【答案】60米 【分析】根据题意，可以列方程解答追及问题，设小胖平均每分钟跑x米，根据数量关系“小胖先跑的路程＋小胖4分钟跑的路程＝小丁丁4分钟跑的路程”和“速度×时间＝路程”，即可列方程解答。 也可用算术方法解答，先根据“速度×时间＝路程”，求出小丁丁4分钟跑的路程，再减去小胖先跑的路程，求出小胖4分钟跑的路程，再根据“路程÷时间＝速度”，求出小胖的速度。 【详解】方法一： 解：设小胖平均每分钟跑x米。 400＋4x＝160×4 400＋4x＝640 400＋4x－400＝640－400 4x＝240 4x÷4＝240÷4 x＝60 方法二： （160×4－400）÷4 ＝（640－400）÷4 ＝240÷4 ＝60（米） 答：小胖平均每分钟跑60米。 3．小明和小亮在一条400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行。小明每分钟跑215米，小亮每分钟跑183米，经过多少分钟小明第二次追上小亮？ 【答案】25分钟 【分析】两人同时从同一地点出发，同向而行，速度快的人追上速度慢的人一次，就意味着多跑了一圈，第二次追上，说明速度快的人比速度慢的人多跑了两圈。设经过x分钟小明第二次追上小亮，根据“路程差＝速度差×追及时间”，列出方程求解。 【详解】解：设经过x分钟小明第二次追上小亮。 （215－183）x＝400×2 32x＝800 32x÷32＝800÷32 x＝25 答：经过25分钟小明第二次追上小亮。 4．兔子和乌龟同时从甲地去乙地，兔子的速度是乌龟的8倍，途中兔子睡了一觉，耽误了一段时间，这样乌龟到达乙地时，兔子离乙地还有640米，已知兔子睡觉的一段时间内乌龟跑了10580米，求甲乙两地相距多少米？ 【答案】12000米 【分析】解题的关键在于将运动过程分为“兔子睡觉”和“兔子奔跑”两个阶段。 在兔子奔跑的阶段，两者运动时间相同，路程比等于速度比。 已知兔子速度是乌龟的8倍，则在兔子奔跑的时间内，兔子跑的路程是乌龟跑的路程的8倍。 乌龟跑完全程时，比兔子多跑了640米，这640米的路程差是由“兔子睡觉时乌龟跑的路程”与“兔子奔跑时两者路程差”共同构成的。 通过分析路程的组成，利用差倍问题的思路求出兔子奔跑时乌龟跑的路程，进而求出甲乙两地的总距离。 【详解】根据题意，兔子和乌龟的运动过程可以分为两个阶段： 第一阶段：兔子睡觉，乌龟单独跑。此阶段乌龟跑了10580米，兔子跑了0米。 第二阶段：兔子奔跑，乌龟也同时跑。此阶段两者时间相同。 因为兔子的速度是乌龟的8倍，所以在第二阶段，兔子跑的路程是乌龟跑的路程的8倍。 当乌龟到达乙地时，乌龟跑完了全程，兔子离乙地还有640米，说明乌龟跑的全程比兔子跑的总路程多640米。 乌龟跑的全程第一阶段乌龟路程第二阶段乌龟路程 兔子跑的总路程第二阶段兔子路程第二阶段乌龟路程×8 根据路程差关系可得：（第一阶段乌龟路程第二阶段乌龟路程）－第二阶段乌龟路程×8＝640（米） 即：第一阶段乌龟路程－第二阶段乌龟路程×7＝640（米） 所以，第二阶段乌龟跑的路程为：（10580－640）÷（8－1）＝9940÷7＝1420（米） 甲乙两地相距的路程为乌龟跑的全程：10580＋1420＝12000（米） 答：甲乙两地相距12000米。 5．列方程解决问题。小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把一份材料忘在家里了，于是骑车以195米/分的速度去追。妈妈出发后多久能追上小巧？此时小巧离家多少米远？ 【答案】 8分钟；1560米 【分析】由题可知：二人路程相等，路程＝速度×时间，妈妈骑车的时间＋16分钟＝小巧行走的时间，妈妈的速度×妈妈所用时间＝小巧的速度×小巧所用时间；设妈妈出发x分钟后能追上小巧，列出方程求解；妈妈的速度×所用时间＝小巧与家的距离。 【详解】解：设妈妈出发x分钟后能追上小巧。 195x＝65（x＋16） 195x＝65x＋1040 195x－65x＝65x－65x＋1040 130x＝1040 130x÷130＝1040÷130 x＝8 195×8＝1560（米） 答：妈妈出发后8分钟能追上小巧，此时小巧离家1560米远。 6．一列队伍长600米，以每秒钟2米的速度行进。一战士因事要从排尾赶到排头，并立即返回排尾。若他每秒钟走4米，那么往返需要多少时间？往返共行多少米？ 【答案】 400秒；1600米 【分析】本题属于行程问题中的队伍行进问题。战士从排尾赶到排头的过程，相当于追及问题，路程差是队伍的长度，速度差是战士速度与队伍速度的差；战士从排头返回排尾的过程，相当于相遇问题，路程和是队伍的长度，速度和是战士速度与队伍速度的和。先分别求出两个过程的时间，相加得到往返总时间，再根据“路程速度时间”求出战士行走的总路程。 【详解】往返总时间： （秒） 往返总路程：（米） 答：往返需要400秒，往返共行1600米。 7．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是270米/分，乙的速度是230米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】10分钟 【分析】甲、乙两人同时从同一地点出发，同向而行，当甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈，即路程差等于跑道的周长400米。根据数量关系“追及时间＝路程差÷速度差”列式计算。 【详解】400÷（270－230） ＝400÷40 ＝10（分钟） 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 8．甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行进，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？ 【答案】甲157.5分钟；乙140分钟；丙105分钟 【分析】甲和丙的速度和×3＝丙与乙相遇时甲和乙的路程差，丙与乙相遇时甲和乙的路程差÷甲和乙的速度差＝丙与乙相遇的时间，丙和乙的速度和×相遇时间＝总路程，总路程分别除以甲、乙、丙的速度，即可求出甲、乙、丙3人行完全程的用时，据此列式解答。 【详解】（480＋720）×3 ＝1200×3 ＝3600（米） 3600÷（540－480） ＝3600÷60 ＝60（分钟） （540＋720）×60 ＝1260×60 ＝75600（米） 75600÷480＝157.5（分钟） 75600÷540＝140（分钟） 75600÷720＝105（分钟） 答：甲、乙、丙3人行完全程各用157.5分钟、140分钟、105分钟。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系。 9．已知甲车每小时行100千米，乙车每小时行150千米。如果甲、乙两车从同一地点出发，甲车先行驶2小时后乙车出发，乙车需要几小时才能追上甲车？ 【答案】4小时 【分析】设乙车需要x小时才能追上甲车，根据“速度×时间＝路程”，求出甲车2小时行驶的路程，也就是乙车追上甲车的路程，乙车出发后，两车的速度差为150−100＝50千米/时，根据速度差×追及时间＝追及路程列方程解答即可。 【详解】解：设乙车需要x小时才能追上甲车。 （150－100）x＝100×2 50x＝200 x＝200÷50 x＝4 答：乙车需要4小时才能追上甲车。 10．甲、乙从A地出发，丙从B地与甲、乙同时出发相向而行，A、B两地相距8640米，甲、乙、丙的速度分别为64米/分、56米/分、48米/分。请问：出发后多长时间会出现其中一人与另外两人等距？ 【答案】 72分钟、分钟、80分钟、分钟、90分钟 【分析】根据三者的速度大小可知，首先甲会出现在乙和丙的中间，接着甲丙相遇，相遇后，丙出现在甲和乙之间，然后乙丙相遇，相遇后，乙又出现在甲丙之间，因此，共5种情况，分别讨论即可。 【详解】（1）甲在乙、丙中间： 64×2＋48－56 ＝128＋48－56 ＝120（米/分） 8640÷120＝72（分钟） （2）甲与丙相遇： 8640÷（64＋48）＝（分钟） （3）丙在甲、乙中间： （64－56）÷2＝4（米/分） 8640÷（56＋4＋48）＝80（分钟） （4）乙与丙相遇： 8640÷（56＋48）＝（分钟） （5）乙在甲、丙中间： 64－56＝8（米/分） 56－8＝48（米/分） 8640÷（48＋48）＝90（分钟）。 答：出发72分钟、分钟、80分钟、分钟、90分钟后，都会出现其中一人与另外两人等距。 【点睛】此题需注意，其中一人与另外两人等距，满足这个条件的有两种可能，一种是其中一人在另外两人的中间，还有一种是有两人相遇。 11．小军和小可同时从学校出发去图书馆看书，小军的速度是60米/分，小可的速度是70米/分，当小可走了105米时，发现借书卡没带。于是他又回学校拿借书卡，再去图书馆，最后两人同时到达图书馆。学校和图书馆相距多少米？ 【答案】1260米 【分析】由题意得，小军和小可同时从学校出发去图书馆看书，当小可走了105米时，发现借书卡没带。那么小可需要返回学校去拿借书卡，即她需要多走2个105米，可以直接用105乘2算出小可比小军多走了多少米。小军的速度是60米/分，小可的速度是70米/分，即小可的速度比小军的速度快，可以先用70减去60算出小可与小军的速度之差。接着再用两个人走的相差的路程除以速度之差即可算出他们走的时间。最后再用得数乘小军的速度即可算出学校和图书馆相距多少米。 【详解】105×2＝210（米） 210÷（70－60） ＝210÷10 ＝21（分） 21×60＝1260（米） 答：学校和图书馆相距1260米。 12．小巧和小亚沿同一条马路从学校出发去电影院观看电影。小巧先行50米后小亚再出发，小巧平均每分钟走60米，小亚出发10分钟在途中追上小巧。小亚平均每分钟走多少米？（方程解） 【答案】65米 【分析】根据“小亚出发10分钟在途中追上小巧”可知，小亚10分钟行的路程等于小巧行的路程，等量关系：小亚的速度×时间＝小巧先行的50米＋小巧的速度×时间，据此列出方程并求解。 【详解】解：设小亚平均每分钟走x米。 10x＝50＋60×10 10x＝50＋600 10x＝650 x＝650÷10 x＝65 答：小亚平均每分钟走65米。 13．甲乙两辆货车从上海出发运送物资到四川，甲车平均每小时行80千米，乙车平均每小时行72千米，乙车先行0.5小时后甲车出发，甲车开出多少小时后可以追上乙车？ 【答案】4.5小时 【分析】把所求时间设为未知数，乙车先行0.5小时后甲车出发，说明乙车先行驶了（72×0.5）千米，甲车追上乙车的时候它们行驶的路程相等，乙车先行驶的路程＋乙车速度×所求时间＝甲车速度×所求时间，据此列方程解答。 【详解】解：设甲车开出x小时后可以追上乙车。 72×0.5＋72x＝80x 36＋72x＝80x 36＋72x－72x＝80x－72x 36＝8x 8x＝36 8x÷8＝36÷8 x＝4.5 答：甲车开出4.5小时后可以追上乙车。 14．小巧步行去少年宫，她平均每分钟走75米，走了8分钟后，爸爸在家发现小巧忘带了东西，立刻骑车以195米/分的速度追赶。爸爸几分钟后在途中追上小巧？（列方程解决问题） 【答案】5分钟 【分析】速度×时间＝路程，设爸爸x分钟后在途中追上小巧，此时小巧走了（8＋x）分钟，根据小巧的速度×小巧走的时间＝爸爸的速度×追赶的时间，列出方程解答即可。 【详解】解：设爸爸x分钟后在途中追上小巧。 （8＋x）×75＝195x 600＋75x＝195x 600＋75x－75x＝195x－75x 120x＝600 120x÷120＝600÷120 x＝5 答：爸爸5分钟后在途中追上小巧。 15．小胖和小亚先后离开电影院赶回学校。小胖以120米/分的速度走了5分钟后，小亚以150米/分的速度追了上去，照这样的速度，几分钟后小亚才能追上小胖？（列方程解决问题） 【答案】20分钟 【分析】速度×时间＝路程，设x分钟后小亚才能追上小胖，则此时小胖走了（x＋5）分钟，根据小胖的速度×走的时间＝小亚的速度×走的时间，列出方程解答即可。 【详解】解：设x分钟后小亚才能追上小胖。 120（x＋5）＝150x      120x＋600＝150x 120x＋600－120x＝150x－120x 30x＝600       30x÷30＝600÷30 x＝20 答：20分钟后小亚才能追上小胖。 16．师徒两人合作加工一批零件，师傅每小时加工42个，徒弟每小时加工36个，师傅先指导徒弟工作半小时后才开始加工。师傅工作多少小时后与徒弟加工的零件同样多？ 【答案】3小时 【分析】工作效率×工作时间＝工作总量，徒弟每小时加工个数×师傅指导徒弟的时间＝师傅指导徒弟加工个数，师傅每小时比徒弟多加工（42－36）个，根据追及问题的解题思路，师傅指导徒弟加工个数÷师傅每小时比徒弟多加工的个数＝师傅追上徒弟的时间，据此列式解答。 【详解】36×0.5÷（42－36） ＝36×0.5÷6 ＝18÷6 ＝3（小时） 答：师傅工作3小时后与徒弟加工的零件同样多。 17．一列火车从甲地开往乙地每小时50千米，一小时后另一列火车也从甲地开往乙地每小时行60千米，结果两列火车同时到达乙地，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】300千米 【分析】设第一列火车行驶的时间为小时，由于另一列火车比第一列火车晚出发1小时，即行驶了小时，结合两列火车都行驶了一个全程，建立方程，即可得出答案。 【详解】解：设第一列火车行驶的时间为小时，则另一列火车行驶了小时。 6×50＝300（千米） 答：甲乙两地相距300千米。 18．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始时的旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 【答案】5次 【分析】根据题意，可以设每两面旗子间距离为1，圆形跑道插了2015面旗子，则跑道周长为2015； 已知与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，那么时间相同时，两人的速度比等于路程比，即V甲∶V乙＝23∶13，可以设V甲＝23x，V乙＝13x； 设甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t；根据追及问题“速度差×时间＝追及的路程”，由此列出方程（23x－13x）t＝2015n，得出追及时间t＝； 然后根据“速度×时间＝路程”，用甲的速度乘追上乙的时间，求出甲追上乙的路程为；因为甲要正好在旗子位置追上乙，则甲的路程一定为整数；由此确定n是小于等于10的偶数，进而得出甲追上乙，需比乙多跑的圈数，也就是甲正好在旗子位置追上乙的次数。 【详解】设每两面旗子间距离为1，则跑道周长为2015。 因为V甲∶V乙＝23∶13，设V甲＝23x，V乙＝13x； 设甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t； （23x－13x）t＝2015n              10x×t＝2015n t＝ 则甲追上乙时，所跑路程为： 23x×＝ 甲要正好在旗子位置追上乙，则所跑路程一定为整数； 即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑23－13＝10圈）； 甲追上乙则需比乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上。 综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次。 答：甲正好在旗子位置追上乙5次。 【点睛】本题考查复杂的环形跑道追及问题，关系是把未知的量用未知数表示出来，然后根据追及距离、追及时间和速度差，以及数的奇偶性解决问题。 19．小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间。一天早上，小江和妈妈一起从家出发，小江向东去学校，妈妈向西去单位上班，妈妈的速度是小江的2.5倍。出发10分钟后妈妈距单位还有500米，此时发现小江的眼镜在包里，妈妈立即掉头加速20%去追小江，在离学校250米处追上小江后，又以原速度返回单位上班，当小江到学校时，妈妈离单位还有多远？ 【答案】5125米 【分析】首先，设小江的速度为每分钟x米，则妈妈的速度为每分钟2.5x米；出发10分钟，妈妈走了（2.5x×10）＝25x米，据此妈妈距离单位还有500米；所以妈妈单位到家的距离为（25x＋500）米，妈妈掉头加速20%，则速度为2.5x×（1＋20%）＝3x米；妈妈从家出来到追上小江用的时间与小江从家到距离学校250米的时间相等；小江走了（25x＋500－250）米；妈妈走了（25x＋25x＋500－250）米，根据时间＝路程÷速度；小江用的时间等于妈妈用的时间；列方程：（25x＋500－250）÷x＝10＋（25x＋25x＋500－250）÷3x；解方程，求出x的值；进而求出家到学校的距离，再根据时间＝路程÷速度，用小江走250米的路程÷小江的速度，求出250米小江用的时间；再用妈妈速度×小江走250米用的时间，求出追到小江后妈妈走的路程；再用学校到妈妈单位的路程－250米，再减去追到小江后妈妈走的路程，即可解答。 【详解】解：设小江的速度为x米，则妈妈的速度为2.5x米； 妈妈掉头的速度为： 2.5x×（1＋20%） ＝2.5x×1.2 ＝3x（米） （25x＋500－250）÷x＝10＋（25x＋25x＋500－250）÷3x （25x＋250）÷x×3x＝10×3x＋（50x＋250）÷3x×3x 25x×3＋250×3＝30x＋50x＋250 75x＋750＝80x＋250 80x－75x＝750－250 5x＝500 x＝500÷5 x＝100 学校到家的距离： 25×100＋500 ＝2500＋500 ＝3000（米） 学校到妈妈单位的距离：3000×2＝6000（米） 小江250米用的时间：250÷100＝2.5（分） 妈妈距离单位： 6000－250－2.5×100×2.5 ＝6000－250－250×2.5 ＝6000－250－625 ＝5750－625 ＝5125（米） 答：妈妈离单位还有5125米。 【点睛】明确妈妈追上小江所用的时间与小江从家到距离学校250米所用的时间相等，是解答本题的关键。 20．某小学足球场是一个长方形，其长是105米，宽是65米，小睿和小芳绕着足球进行快走锻炼，他们同时从同一地点同向匀速行走，850秒后小睿从后面追上小芳。已知小睿的速度是1.5米/秒，则小芳的速度是多少？ 【答案】1.1米/秒 【分析】小睿和小芳同时同地同向行走，小睿从后面追上小芳时，小睿比小芳多走的路程就是足球场的周长；根据长方形周长公式可算出足球场周长；设小芳的速度是x米/秒，在850秒的时间里，小睿走的路程为850×1.5米，小芳走的路程为850x米，那么等量关系为：小睿走的路程－小芳走的路程＝足球场的周长；根据上述等量关系可列方程：850×1.5－850x＝（105＋65）×2，先计算方程中1.5×850和（105＋65）×2，原方程变为1275－850x ＝ 340，方程两边同时加上850x，左右两边交换位置，再将方程两边同时减去340，最后方程两边同时除以850求解出x。 【详解】解：设小芳的速度是x米/秒。 850×1.5－850x＝（105＋65）×2 1275－850x＝170×2 1275－850x＝340 1275－850x＋850x＝340＋850x 1275＝340＋850x 340＋850x＝1275 340＋850x－340＝1275－340 850x＝935 850x÷850＝935÷850 x＝1.1 答：小芳的速度是1.1米/秒。 21．小红每分钟走70米，爸爸每分钟走100米，他们同时从同一地点背向走3分钟，然后爸爸掉头去追小红。从爸爸开始追小红到追上小红需要多长时间？ 【答案】17分钟 【分析】根据路程＝速度×时间，先求出小红和爸爸各自从同一地点背向走3分钟的路程，再把两人3分钟各自走的路程相加，求出爸爸追小红前两人相差的路程，也就是爸爸要追小红的路程，再根据追及时间＝路程差÷速度差，代入数据计算，即可求出从爸爸开始追小红到追上小红需要的时间，据此解答。 【详解】（70＋100）×3÷（100－70） ＝170×3÷30 ＝510÷30 ＝17（分钟） 答：从爸爸开始追小红到追上小红需要17分钟。 22．一辆轿车和一辆货车都从甲城开往乙城，轿车平均每时行90千米，货车平均每时行60千米。货车开出2时后，轿车才出发。轿车开出几时后才能追上货车？ 【答案】4时 【分析】依据题意可知，货车2小时行驶的路程＋货车行驶速度×两车共同行驶时间＝轿车速度×两车共同行驶时间，由此计算两车共同行驶时间，两车共同行驶时间就是轿车追上货车的时间。 【详解】60×2÷（90－60） ＝60×2÷30 ＝120÷30 ＝4（时） 答：轿车开出4时后才能追上货车。 23．在一个600米长的环形跑道上，兄弟两人如果同时从同一起点按顺时针方向跑步，哥哥比弟弟跑得快，每隔12分钟相遇一次；如果两人同时从同一起点反方向跑步，每隔4分钟相遇一次。兄弟两人跑一圈各要几分钟？ 【答案】6分；12分 【分析】从题意可知，如果兄弟俩同向而行，每隔12分钟相遇一次，这是追及问题，即当哥哥比弟弟多跑一圈（600米）时，哥哥追上弟弟，两人相遇，兄弟两人的速度差为600÷12＝50（米/分）；如果相背而行，每隔4分钟相遇一次，这是相遇问题，当兄弟两人跑一圈（600米）时两人相遇，可以求出兄弟两人速度和为600÷4＝150（米/分）；根据（和＋差）÷2＝较大数，（和－差）÷2＝较小数，代入速度和与速度差计算，即可分别求出两人的速度，再根据路程÷速度＝时间，分别用600米除以两人的速度，进而求出两人跑一圈各自所用的时间。据此解答。 【详解】兄弟两人速度差：600÷12＝50（米/分） 兄弟两人速度和：600÷4＝150（米/分） 哥哥速度： （50＋150）÷2 ＝200÷2 ＝100（米/分） 弟弟速度： （150－50）÷2 ＝100÷2 ＝50（米/分） 哥哥跑一圈所用时间：600÷100＝6（分） 弟弟跑一圈所用时间：600÷50＝12（分） 答：哥哥跑一圈要6分，弟弟跑一圈要12分。 【点睛】理解同向跑为追及问题，相背跑为相遇问题是解此题的关键。 24．兄弟两人同时从甲、乙两地出发，向同一方向前进。弟弟在前，每小时行40千米，哥哥在后，每小时行80千米，经过4小时，哥哥还未追上弟弟，但距离弟弟仅10千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】170千米 【分析】根据距离差＝速度差×追及时间，用哥哥每小时行驶的速度减去弟弟每小时行驶的速度，求出二者的速度差，然后用速度差乘4，即可求出二者之间的距离差，二者之间的距离差再加上10千米就是甲乙两地间的距离，据此解答即可。 【详解】距离差： （80－40）×4 ＝40×4 ＝160（千米） 甲、乙两地相距： 160＋10＝170（千米） 答：甲、乙两地相距170千米。 25．小明和小刚沿大龙湖环湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是160米/分，小刚的速度是140米/分，25分钟后两人第一次相遇。如果相遇后两人改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距400米？ 【答案】20分钟 【分析】因为两人在环形跑道上同向而行，根据路程差÷速度差＝时间，据此求出多少分钟后小刚和小明相距400米。 【详解】400÷（160－140） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：20分钟后小刚和小明相距400米。 26．《九章算术》第六章“均输”：今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？ 译释：在相同时间内，甲走了一百步，乙走了六十步。现在乙先走一百步，甲开始追他。甲多少步能追上乙？ 解答： 【答案】250步 【分析】假设1分钟内，甲走了一百步，乙走了六十步，所以甲的速度是每分钟一百步，乙每分钟六十步，现在乙和甲相差一百步，根据路程差÷速度差＝追及时间，用100÷（100－60）即可求出追及的时间，再根据速度×时间＝路程，用追及的时间乘甲的速度，即可求出甲走的路程。 【详解】假设1分钟内，甲走了一百步，乙走了六十步， 100÷（100－60） ＝100÷40 ＝2.5（分钟） 2.5×100＝250（步） 答：甲250步能追上乙。 27．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车，乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【答案】11分钟 【分析】假设甲、乙在同一起点遇到一辆电车时开始步行，10分钟后甲、乙之间的距离为他们的速度差乘步行的时间，此时甲遇到迎面开来的电车，这辆电车还要经过15秒再与乙相遇，据此用路程除以相遇时间可以求出乙与电车的速度和，进而求出电车的速度；甲在遇到第一辆电车后，经过10分钟遇到第二辆电车，由此可知，两辆电车相距甲、电车共行10分钟的路程，用这个路程除以电车的速度，即是两辆电车发车相隔的时间。 【详解】10分15秒＝10.25分 （82－60）×10÷（10.25－10）－60 ＝22×10÷0.25－60 ＝220÷0.25－60 ＝880－60 ＝820（米） （82＋820）×10÷820 ＝9020÷820 ＝11（分） 答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车。 【点睛】此题主要考查解决追及问题、相遇问题的能力，解答时读懂题意，理解各数量之间的关系是解题的关键。 28．客、货两车从甲城去乙城，客车每小时行85千米，货车每小时行68千米，货车先行半小时，客车出发多少小时后可追上货车？ 【答案】2小时 【分析】设客车出发x小时后可追上货车；客车每小时行85千米，x小时行85x千米；货车每小时行68千米；货车先行半小时，用货车行驶的速度×0.5小时，求出货车半小时行驶的路程，再求出x小时行驶的路程，即68x千米，先行半小时的路程＋货车x小时行驶的路程＝客车x小时行驶的路程，列方程：68×0.5＋68x＝85x，解方程，即可解答。 【详解】解：设客车出发x小时后可追上货车。 68×0.5＋68x＝85x 34＋68x＝85x 85x－68x＝34 17x＝34 x＝34÷17 x＝2 答：客车出发2小时后可追上货车。 【点睛】本题考察方程的实际应用，根据路程、速度、时间三者的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 29．小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 【答案】4分钟 【分析】设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解。 【详解】解：设爸爸追上小明用了x分钟。 180x－80x＝80×5 100x＝400 x＝4 答：爸爸追上小明用了4分钟。 【点睛】关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解。 30．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【答案】270米 【分析】根据题意，设明明每分钟走x米。根据路程差÷速度差＝追及时间，路程差也是甲、乙两地距离，速度和×相遇时间＝总路程，列方程解答。 【详解】解：设明明每分钟走x米。 18（x－60）＝2（x＋60） 18x－1080＝2x＋120 18x－2x＝120＋1080 16x＝1200 x＝75 （75＋60）×2 ＝135×2 ＝270（米） 答：甲、乙两地相距270米。 【点睛】解答此题的关键是找到追及路程中的路程差和相遇路程中的总路程相等。 31．甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米。行30分钟后，甲因有事往回走，返回原地后耽搁了30分钟，再回头追乙，甲还要经过几小时才追上乙？ 【答案】3小时 【分析】由题意可知，在甲追乙之前，乙共行了：30× 3＝90（分钟），即1 .5小时，也就是甲乙距离差是：1.5×10＝15（千米），甲每小时行15千米，乙每小时行10千米，则两人的速度差是每小时（15－10）千米，根据“路程差÷速度差＝追及时间”可得：甲要追上乙的时间为[15÷ （15－10） ]小时。 【详解】30×3＝90（分钟） 90分钟＝1.5小时 1.5×10＝15（千米） 15÷（15﹣10） ＝15÷5 ＝3（小时） 答：甲还要经过3小时才追上乙。 【点睛】本题体现了追及问题的基本关系式：路程差÷速度差＝追及时间。 32．小明、小峰和小光三人都从甲地到乙地，早上6时小明、小峰两人一起从甲地出发，小明每小时走5千米，小峰每小时走4千米，小光上午8时从甲地出发，傍晚6时，小光、小明同时到达乙地。小光什么时候追上小峰？ 【答案】中午12时 【分析】从甲地到乙地，小明用了12小时，小明每小时走5千米，那么甲乙两地的距离是60千米；小光从甲地到乙地用了10小时，那么他的速度是每小时6千米；当小光出发时，小峰已经走了8千米，小光追上小峰时，路程差8千米，速度差2千米/小时，时间4小时，正好是12点。 【详解】（小时） （小时） （千米） （千米/小时） （小时） 时 答：小光中午12时追上小峰。 【点睛】在追及问题中，，对于基础的问题，可直接套公式求解。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 用方程解决问题 易错点6专项突破：列方程解追及问题 1．一只野兔跑出85步猎犬才开始追它，野兔跑8步的路程猎犬只需跑3步，猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。问猎犬至少要跑多少步才能追上野兔？ 2．小胖和小丁丁从学校去上海自然博物馆。小胖先跑400米后，小丁丁沿同一路线出发追赶小胖，小丁丁平均每分钟跑160米，4分钟后在途中追上小胖，小胖平均每分钟跑多少米？ 3．小明和小亮在一条400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行。小明每分钟跑215米，小亮每分钟跑183米，经过多少分钟小明第二次追上小亮？ 4．兔子和乌龟同时从甲地去乙地，兔子的速度是乌龟的8倍，途中兔子睡了一觉，耽误了一段时间，这样乌龟到达乙地时，兔子离乙地还有640米，已知兔子睡觉的一段时间内乌龟跑了10580米，求甲乙两地相距多少米？ 5．列方程解决问题。小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把一份材料忘在家里了，于是骑车以195米/分的速度去追。妈妈出发后多久能追上小巧？此时小巧离家多少米远？ 6．一列队伍长600米，以每秒钟2米的速度行进。一战士因事要从排尾赶到排头，并立即返回排尾。若他每秒钟走4米，那么往返需要多少时间？往返共行多少米？ 7．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是270米/分，乙的速度是230米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 8．甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行进，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？ 9．已知甲车每小时行100千米，乙车每小时行150千米。如果甲、乙两车从同一地点出发，甲车先行驶2小时后乙车出发，乙车需要几小时才能追上甲车？ 10．甲、乙从A地出发，丙从B地与甲、乙同时出发相向而行，A、B两地相距8640米，甲、乙、丙的速度分别为64米/分、56米/分、48米/分。请问：出发后多长时间会出现其中一人与另外两人等距？ 11．小军和小可同时从学校出发去图书馆看书，小军的速度是60米/分，小可的速度是70米/分，当小可走了105米时，发现借书卡没带。于是他又回学校拿借书卡，再去图书馆，最后两人同时到达图书馆。学校和图书馆相距多少米？ 12．小巧和小亚沿同一条马路从学校出发去电影院观看电影。小巧先行50米后小亚再出发，小巧平均每分钟走60米，小亚出发10分钟在途中追上小巧。小亚平均每分钟走多少米？（方程解） 13．甲乙两辆货车从上海出发运送物资到四川，甲车平均每小时行80千米，乙车平均每小时行72千米，乙车先行0.5小时后甲车出发，甲车开出多少小时后可以追上乙车？ 14．小巧步行去少年宫，她平均每分钟走75米，走了8分钟后，爸爸在家发现小巧忘带了东西，立刻骑车以195米/分的速度追赶。爸爸几分钟后在途中追上小巧？（列方程解决问题） 15．小胖和小亚先后离开电影院赶回学校。小胖以120米/分的速度走了5分钟后，小亚以150米/分的速度追了上去，照这样的速度，几分钟后小亚才能追上小胖？（列方程解决问题） 16．师徒两人合作加工一批零件，师傅每小时加工42个，徒弟每小时加工36个，师傅先指导徒弟工作半小时后才开始加工。师傅工作多少小时后与徒弟加工的零件同样多？ 17．一列火车从甲地开往乙地每小时50千米，一小时后另一列火车也从甲地开往乙地每小时行60千米，结果两列火车同时到达乙地，甲、乙两地相距多少千米？ 18．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始时的旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 19．小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间。一天早上，小江和妈妈一起从家出发，小江向东去学校，妈妈向西去单位上班，妈妈的速度是小江的2.5倍。出发10分钟后妈妈距单位还有500米，此时发现小江的眼镜在包里，妈妈立即掉头加速20%去追小江，在离学校250米处追上小江后，又以原速度返回单位上班，当小江到学校时，妈妈离单位还有多远？ 20．某小学足球场是一个长方形，其长是105米，宽是65米，小睿和小芳绕着足球进行快走锻炼，他们同时从同一地点同向匀速行走，850秒后小睿从后面追上小芳。已知小睿的速度是1.5米/秒，则小芳的速度是多少？ 21．小红每分钟走70米，爸爸每分钟走100米，他们同时从同一地点背向走3分钟，然后爸爸掉头去追小红。从爸爸开始追小红到追上小红需要多长时间？ 22．一辆轿车和一辆货车都从甲城开往乙城，轿车平均每时行90千米，货车平均每时行60千米。货车开出2时后，轿车才出发。轿车开出几时后才能追上货车？ 23．在一个600米长的环形跑道上，兄弟两人如果同时从同一起点按顺时针方向跑步，哥哥比弟弟跑得快，每隔12分钟相遇一次；如果两人同时从同一起点反方向跑步，每隔4分钟相遇一次。兄弟两人跑一圈各要几分钟？ 24．兄弟两人同时从甲、乙两地出发，向同一方向前进。弟弟在前，每小时行40千米，哥哥在后，每小时行80千米，经过4小时，哥哥还未追上弟弟，但距离弟弟仅10千米。甲、乙两地相距多少千米？ 25．小明和小刚沿大龙湖环湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是160米/分，小刚的速度是140米/分，25分钟后两人第一次相遇。如果相遇后两人改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距400米？ 26．《九章算术》第六章“均输”：今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？ 译释：在相同时间内，甲走了一百步，乙走了六十步。现在乙先走一百步，甲开始追他。甲多少步能追上乙？ 解答： 27．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车，乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 28．客、货两车从甲城去乙城，客车每小时行85千米，货车每小时行68千米，货车先行半小时，客车出发多少小时后可追上货车？ 29．小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 30．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 31．甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米。行30分钟后，甲因有事往回走，返回原地后耽搁了30分钟，再回头追乙，甲还要经过几小时才追上乙？ 32．小明、小峰和小光三人都从甲地到乙地，早上6时小明、小峰两人一起从甲地出发，小明每小时走5千米，小峰每小时走4千米，小光上午8时从甲地出发，傍晚6时，小光、小明同时到达乙地。小光什么时候追上小峰？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $