第04讲 空间向量的应用（5大知识点+7大题型）讲义-2026-2027学年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第04讲 空间向量的应用 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 3 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 4 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 4 知识点四、用向量方法求空间角 5 知识点五、用向量方法求空间距离 6 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：求平面法向量 7 题型 2：向量法研究平行问题 9 题型 3：向量法研究垂直问题 11 题型 4：异面直线所成角 14 题型 5：线面角 17 题型 6：二面角 20 题型 7：空间距离问题 22 04 过关测试 25 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 题型 1：求平面法向量 例1．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    例2．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，你能分别求出平面与平面的一个法向量吗?它们之间的关系如何?    例3．（2026·高二·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    变式1．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量. 变式2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量. 题型 2：向量法研究平行问题 例4．（2026·高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 例5．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    例6．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 变式3．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 变式4．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 变式5．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 题型 3：向量法研究垂直问题 例7．如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 例8．（2026·高二·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 例9．（2026·高二·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 变式6．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 变式7．如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 变式8．如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 变式9．在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 题型 4：异面直线所成角 例10．（2026·高二·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 例11．在四棱锥中，平面，与平面所成的角为，在四边形中，． (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 例12．（2026·高二·甘肃兰州·期中）如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 变式10．（2026·高二·江苏南京·期中）如图所示，在正方体中，分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 变式11．（2026·安徽蚌埠·二模）在五棱锥中，，底面五边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，，求与所成角的余弦值． 变式12．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点． (1)当平面平面时，求证：； (2)当二面角大小为时，求异面直线所成角的余弦值． 题型 5：线面角 例13．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 例14．（2026·高三·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 例15．（2026·高二·江西景德镇·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 变式13．（2026·高三·江苏苏州·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式14．（2026·江西九江·一模）如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式15．（2026·高二·辽宁抚顺·期末）如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型 6：二面角 例16．（2026·河北沧州·二模）如图，四棱锥中，底面是梯形，，. (1)证明:平面平面； (2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 例17．（2026·广东·一模）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 例18．（2026·高二·河北沧州·期末）在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 变式16．（2026·高三·上海·期末）如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，，．    (1)证明：平面； (2)设，当时，求二面角的余弦值． 变式17．（2026·高二·宁夏固原·期末）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面; (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 变式18．（2026·高三·贵州贵阳·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，且，连接． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成锐角的余弦值． 题型 7：空间距离问题 例19．（2026·高二·山东菏泽·期末）在三棱锥中，已知. (1)若与垂直，求； (2)求点到平面的距离. 例20．（2026·高二·山东济南·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 例21．（2026·高二·上海·期中）已知正方体的棱长为2.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 变式19．（2026·高二·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 变式20．如图，已知正方体的棱长为1，MN是异面直线AC与的公垂线段，试确定点M在AC上及点N在上的位置，并求异面直线AC与间的距离． 1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·山东济南·模拟预测）在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 7．（2026·高二·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·河南濮阳·期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 10．（多选题）（2026·高二·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 11．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·期末）如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（    ）    A． B． C． D．与平面所成角的正弦值为 12．在正方体中，点在正方形内（包括边界），则___________. 13．（2026·高二·福建厦门·期中）已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 14．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 15．（2026·高二·湖北宜昌·期末）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，. (1)证明：四棱锥是一个“阳马”； (2)已知点E在线段上，且，若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 16．如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 18．（2026·高二·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 19．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间向量的应用 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 3 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 4 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 4 知识点四、用向量方法求空间角 5 知识点五、用向量方法求空间距离 6 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：求平面法向量 7 题型 2：向量法研究平行问题 11 题型 3：向量法研究垂直问题 16 题型 4：异面直线所成角 24 题型 5：线面角 31 题型 6：二面角 38 题型 7：空间距离问题 45 04 过关测试 51 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 题型 1：求平面法向量 例1．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    【解析】∵⊥底面，底面是直角梯形 且， ∴两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，易知向量是平面的一个法向量． 设为平面的法向量， 则即， 取，则， 所以平面的一个法向量为. 例2．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，你能分别求出平面与平面的一个法向量吗?它们之间的关系如何?    【解析】以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意可得， 于是． 设平面的一个法向量为，则， 于是，取，则， 故平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为，则， 于是，取，则， 故平面的一个法向量为， 因为，所以． 例3．（2026·高二·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    【解析】因为正方体的棱长为3，， 所以，，，则，， 设是平面的法向量，则，， 所以， 取，则，，故， 于是是平面的一个法向量（答案不唯一）． 变式1．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量. 【解析】（1） 由题意，可得, 连接AC，因为底面为正方形，所以, 又因为平面，平面，所以， 且，则AC⊥平面， ∴为平面的一个法向量. (答案不唯一). （2） 设平面的一个法向量为， 则 令，得 ∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一). 变式2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量. 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则P(0，0，1)，C(1，，0)， 所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的一个法向量为＝(x，y，z). 因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1). 则,即令y＝1，则z＝，，则 所以平面PCD的一个法向量为. 题型 2：向量法研究平行问题 例4．（2026·高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【解析】以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，由不在一条直线上， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 例5．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【解析】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以． 例6．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【解析】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 变式3．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【解析】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 变式4．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【解析】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 变式5．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【解析】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 题型 3：向量法研究垂直问题 例7．如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【解析】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 例8．（2026·高二·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【解析】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 例9．（2026·高二·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【解析】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2），，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 变式6．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 变式7．如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【解析】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 变式8．如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【解析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 变式9．在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【解析】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 题型 4：异面直线所成角 例10．（2026·高二·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 例11．在四棱锥中，平面，与平面所成的角为，在四边形中，． (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， 由平面，得为与平面所成的角，． 在中，由，得， ． ． （2）由（1）得， ，设异面直线与所成的角为，为锐角， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值为． 例12．（2026·高二·甘肃兰州·期中）如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【解析】（1）因为F为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以， 所以， 故， 因此异面直线与所成角的大小为. 变式10．（2026·高二·江苏南京·期中）如图所示，在正方体中，分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）方法一：在正方体中，因为平面， 又平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 方法二：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则， ，所以 ， 所以，即. （2）方法一：取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 而，所以， 所以直线与直线的夹角就是直线与所成的角， 设正方体棱长为，设异面直线与所成的角为， 计算得， 所以由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 方法二： 因为分别是棱的中点，所以，所以， 设异面直线与所成的角为， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 变式11．（2026·安徽蚌埠·二模）在五棱锥中，，底面五边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，，求与所成角的余弦值． 【解析】（1）连接 ，取 中点 ，连接 、， 由 ，，知，， 又， 、 平面，因此 平面． 又 平面，故 ． 在底面内，， ，因此， 又，因此四边形为矩形，因此，故    ； （2）（方法一）由（1）知，，， 在 中，由余弦定理，， 所以， 在矩形中，，故， 所以，故， 所以直线 与直线 所成角为或其补角， 在 中，， ， 由余弦定理可得， 所以 与 所成角的余弦值为． （方法二）连接 、 ，设，连接 ，则 为 中点， 由，知 ，同理， 因为， 、 底面，因此底面． 取 中点为 ，以 为原点，、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图的空间直角坐标系． 易知、、、． 则，， 设直线 与直线 所成角为 ，则． 故直线 与直线 所成角的余弦值为. 变式12．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点． (1)当平面平面时，求证：； (2)当二面角大小为时，求异面直线所成角的余弦值． 【解析】（1）因为平面平面 ，是交线， 又，平面 ，故平面， 平面，可得， 又 ，，平面，平面， 平面，又平面，故． （2）以为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向，垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系， 则 设， 因为，即， 设平面法向量 ，， 则，令，则， 又平面 法向量 ， 所以，解得， 由题意可知三棱锥是由平面图形向上翻折所得，点在平面 上方，故，， 所以 设异面直线所成角为， 因为． 所以异面直线所成角的余弦值． 题型 5：线面角 例13．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以 . 又，平面，因此 平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 取中点为，中点为，则 ， . 由（1）知， 平面， 平面，则.又，故. 又 ， 平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､ 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面 的法向量为， 则，即，故可取. 设直线 与平面 所成角为 ， 则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 例14．（2026·高三·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 例15．（2026·高二·江西景德镇·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【解析】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ,设， , 因为，所以. （2）设，因为为棱的中点，所以. ，则,, 设平面的一个法向量为，则, 令，得，即， 设与平面所成夹角为，则, 令，解得或（舍）， 所以棱上存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，此时. 变式13．（2026·高三·江苏苏州·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． （2）因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式14．（2026·江西九江·一模）如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为，所以为中点， 因为侧面是正三角形，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面， 所以 （2）根据题意，如图建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，则 ， 因为， 所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 故可取， 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 变式15．（2026·高二·辽宁抚顺·期末）如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以. （2）在平面中，，，. 设平面的法向量为，则， 即，所以， 令，则，，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型 6：二面角 例16．（2026·河北沧州·二模）如图，四棱锥中，底面是梯形，，. (1)证明:平面平面； (2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：因底面是梯形，，，则， 又，平面，则平面， 又平面，故平面平面. （2）取的中点为，连接，因，则， 由（1）得平面，平面，则， 又平面，则平面. 过点作的平行线，交于点，则，即两两垂直， 故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 因，由，可得， 则，. 设平面的法向量为， 因， 则，故可取， 因平面，故平面的法向量可取为， 则， 设平面与平面所成二面角的平面角为，则， 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 例17．（2026·广东·一模）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）由平面 平面， ，得 平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， 故，， 共面. （2）设，故， 设平面 的法向量为， 由， 得，取，可得； ， 设平面的法向量为， 由， 得，取 ，所以， ， 设平面 与平面夹角为 , 即平面 与平面夹角的余弦值. 例18．（2026·高二·河北沧州·期末）在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. （2）由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. （3）设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 变式16．（2026·高三·上海·期末）如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，，．    (1)证明：平面； (2)设，当时，求二面角的余弦值． 【解析】（1）因为，与无公共点，故， 因为平面，平面，所以平面. 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取. 则， 由图知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为. 变式17．（2026·高二·宁夏固原·期末）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面; (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 【解析】（1）因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以，所以直线平面. （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 又因为，所以直线到平面的距离为. （3）由题意得平面， 所以平面的一个法向量 设平面与平面夹角为，则 则，所以平面与平面夹角的正弦值为. 变式18．（2026·高三·贵州贵阳·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，且，连接． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成锐角的余弦值． 【解析】（1）如图所示，取的中点，连接，， 所以，则四边形是平行四边形，故， 同理，四边形是平行四边形． 又因为，所以四边形是菱形，故， 所以， 又因为平面平面，所以． 又因为平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）如图所示，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则有， 所以， 设平面的法向量为， 则有，故可取， 由（1）可知平面的法向量为， 因为， 所以平面与平面所成锐角的余弦值为． 题型 7：空间距离问题 例19．（2026·高二·山东菏泽·期末）在三棱锥中，已知. (1)若与垂直，求； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）由，得，而， 由与垂直，得，即， 所以. （2）设平面的法向量为，则，取，得， 所以点到平面的距离. 例20．（2026·高二·山东济南·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 【解析】（1）以为原点， ， ，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则； ，则， ， 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为. （2）直线与直线平行 ， 因此直线到直线的距离 ， 即点到直线的距离. ， 则, 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为, 故直线到直线的距离为. （3），设平面的法向量， 则，取 ， 则 ， ， 所以平面的一个法向量为 . 又， 所以， 所以点到平面的距离为. （4）因为， 平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离 . 由 ( 3 ) 可知平面的一个法向量为. 因为，所以. 所以点到平面的距离为， 故直线到平面的距离为. 例21．（2026·高二·上海·期中）已知正方体的棱长为2.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系． 由正方体的棱长为2知， 则，， 因为，所以，所以； （2），， 设平面的法向量为，因为，，所以， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为d，， 则. 变式19．（2026·高二·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【解析】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 变式20．如图，已知正方体的棱长为1，MN是异面直线AC与的公垂线段，试确定点M在AC上及点N在上的位置，并求异面直线AC与间的距离． 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在AC上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段AC上靠近点的一个三等分点，，点N是线段上靠近点的一个三等分点，且异面直线AC与间的距离为. 1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 2．（2026·高二·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，以为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示 设正方体棱长为1，则， ，，， 设平面的法向量为，则， 代入可得，令，则， 所以， 设直线与平面的夹角为，与平面的法向量夹角为， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2026·山东济南·模拟预测）在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为二面角为直二面角，为交线， 故平面平面，平面平面，又，平面， 所以底面， 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为，， 所以为等腰直角三角形， 则，，，, ，, 设与所成的角为， 则. 4．（2026·高一·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 5．（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面． 以为坐标原点，方向为轴正方向，底面内垂直于的方向为轴正方向， 方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标： ，，，． 因为是的中点，所以，则，． 设异面直线与所成角为，，则． 计算得： ，， ， ， 代入得． 6．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【解析】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 7．（2026·高二·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 8．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取底面的中心，连接，则平面，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径，则由题易得高，故， ，由、分别为、的中点，所以， 同理得，故， 所以由向量夹角公式可知. 9．（多选题）（2026·高二·河南濮阳·期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 10．（多选题）（2026·高二·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 【答案】BC 【解析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系. 对于A，，，，，从而，， ，则不与垂直，故A错误； 对于B，，则，从而异面直线EF与所成角余弦值为，故B正确； 对于C，，其中表示到平面距离，由题可得为，从而，故C正确； 对于D，易得平面的法向量可取，则直线EF与平面ABCD所成角正弦值为，故D错误. 11．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·期末）如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（    ）    A． B． C． D．与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】设，，， 由题意知，，则，，， ， ，， 即，选项正确； ，选项错误； ， ，选项错误； 设平面的一个法向量为，则的坐标为，而， 则即即，令，解得，， 所以， ， ， ， ， 设与平面所成角为， ，选项正确. 12．在正方体中，点在正方形内（包括边界），则___________. 【答案】1 【解析】以正方体的顶点为坐标原点，分别以射线的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 设正方体的棱长为，则相关顶点的坐标为： ，，，， 点在正方形内（包括边界），则， 其中满足，. 则，，，， ，. 根据向量夹角公式，则： ， ， ， 则. 13．（2026·高二·福建厦门·期中）已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【解析】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为：. 14．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】/ 【解析】由，，， 可得，， 则，，与同方向的单位向量为， 则点到直线的距离为. 15．（2026·高二·湖北宜昌·期末）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，. (1)证明：四棱锥是一个“阳马”； (2)已知点E在线段上，且，若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 【解析】（1）证明：因为四边形是正方形，所以， 又因，，平面，所以平面， 且平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 且平面，因此. 因为，平面，所以平面， 因此四棱锥是一个“阳马”. （2）由(1)得⊥平面，故， ， 以点D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得， ，，， 设，，， ，， ，， 设平面的法向量是，则，， 令，则， ， 设平面的法向量是， 则，， 令，则，， ， 或.或， ，又因平面，则即为所求角， 所以直线与底面所成角的正切值为. 16．如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 17．已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【解析】（1）如图所示，以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，则平面的一个法向量为. （2）不存在，不存在，理由如下， 由图可知，设， 则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 易知平面的一个法向量为， 当时，，方程无解，所以不存在，使是平面的法向量. 18．（2026·高二·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． 19．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 【解析】（1）因为，为的中点，所以，且． 又因为平面，平面，平面， 所以， ． 故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图： 由题意可得，， ， ，． 因为，即， 所以， 即． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 因 ，． 由，故可取故可取 ． 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则． 所以，即二面角的大小为． （2）存在，点位于线段的延长线上，且满足. 理由如下： 设，则， 设平面的法向量为，，由（1）知， 由，故可取. 因为平面，， 由，可得，解得，即. 因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $