新题素养提升卷(3)-【培优小状元】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

新题素养提升卷（三） 培优小状元 时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在，是，x2+ a’4元 y之2告a巾，是分式的有 扣 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若□×xy=2x2y十3xy,则□内应填的式子是 翩 A.xy+3 B.x+3 C.2xy+3 D.2x十3 3.已知在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设( A.∠A=∠B B.AB=BC C.∠B=∠C D.∠A=∠C 长 4.若不等式mx十>0的解集是x<号，则关于x的不等式mx一m<0的解集是 蚁 A.x>3 B.x<3 C.x>-3 D.x<-3 g 5.选材新情境生活情境在北京冬奥会开幕式运动员入场仪式中，现场引导员手中的引导牌是一 朵“雪花”，雪花的“花瓣”融人了“中国结”的设计元素，寓意团结吉祥.如图是小明画的引导牌 的一部分，观察发现，图1中的图案可以由图2中的图案经过对称、旋转等变化得到.下列关于 图1和图2的说法中，不正确的是 () A.图1中的图案是轴对称图形 B.图1中的图案是中心对称图形 C.图1中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合 州 D.将图2中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图1中的图案 柄 图1 图2 0 第5题图 第6题图 6.如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动， 原 点C固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 控 ( A.60 B.65° C.75° D.80° 7.选材新情境传统文化在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固 且难以松动.如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作 时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短4cm.已知用总长为5m的圆木制作 的榫构件数量与用总长为6的圆木制作的卯构件数量相同.设制作1个榫构件需要的圆木 为xcm,根据题意可列方程 () A.500=600 B.500=600 C.500=600 D.500=600 xx+4 ·x十4x x-4 "x一4x 榫构件 卯构件 D C 第7题图 第9题图 第10题图 8.已知(x十a)(x十b)=x2十mx一8，若a,b都是整数，则m的值不可能是 A.7 B.-7 C.9 D.-2 9.如图，△ABC的周长为26，点D,E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q, ∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P.若BC=10,则PQ的长为 () A是 B号 C.3 D.4 10.如图，分别以直角三角形ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边三角形ABD和等边三 角形ACE,F为AB的中点，DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°， ∠BAC=30°.给出如下结论：①EF⊥AC;②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG; ④BD=4FH.其中正确的是 () A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1若分式的值为零则x的值为 12.若3m一5x3+m>4是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 13.将点A(x一1，一2)向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点B(2,y),则 √/x+y= 14.跨学科物理如图，物理中用表示F1和F2的有向线段为邻边作平行四边形，则这两条邻边之 间的对角线的大小和方向就表示合力F的大小和方向（力F1,F2的大小分别为对应边的长 度)，这种方法即为平行四边形法则.若∠AOB=120°，∠BOC=30°，F1=5N,则合力F的大 小为 N. 0F, D 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=2,D是AB的中点，E是AC上一点.若DE平分 △ABC的周长，则DE的长为 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 3 16.(10分)1)解方程：2x=2-12 2)解不等式：-2≥2红+3 3 17.(9分)因式分解x2十mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是(x+1)(x十14)，乙看错了n 的值，分解的结果是(x+5)(x十4).求x2十m.x十n分解因式的正确结果. 18.(9分)如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上. (1)在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； (2)在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； (3)在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后得到的三角形 图1 图2 图3 (期末状元卷数学八年级下册 15 19.(9分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD,BE相交于点F. 求证：BF=2EF. 20.课标新素养几何直观(9分)小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张.他 用1张A,1张B和2张C卡片拼出一个新的图形（如图2）.根据图2的面积关系可得等式： a2+2ab+b=(a+b)2,即使用拼图将a2+2ab+b分解因式. bB b C 6 b 图1 图2 图3 (1)若小亮拼成的长方形长是(a+2b),宽是(a+b),则需要B卡片 张，C卡片 张； (2)动手操作，依照小亮的方法，在图3的方框中画出面积为a2十4αb十3b2的长方形拼图，并 利用拼图分解因式a2+4ab十3b. 16 期末状元卷数学八年级下册 21.(9分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,BD⊥AC于点D,CE平分∠ACB,交AB 于点E,交BD于点F.求证： (1)△BEF是等腰三角形； (2)BD-(BC+BF). 22.课标新素养应用意识(10分)小王开设了一家手工艺品店，售卖当地手工艺品.该店卖得最好 的是甲、乙两种手工艺品，甲种手工艺品的进价比乙种手工艺品的进价多4元，花费400元购 进甲种手工艺品和花费240元购进乙种手工艺品的数量相同.小王将甲种手工艺品的售价定 为13元，乙种手工艺品的售价定为8元. (1)甲种手工艺品、乙种手工艺品的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，该店计划初期先花费不超过3000元的资金购进甲、乙两种手工艺品共 400个.假设这400个手工艺品能够全部卖出，求该店获得销售利润最大的进货方案. 23.课标新素养推理能力(10分)在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主 题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折 叠，点D的对应点为D' (1)如图1，∠ABC=60°，当点D恰好落在AB边上时，三角形AD'E的形状为 (2)如图2，当E,F为CD边的三等分点时，连接FD'并延长，交AB边于点G.试判断线段AG 与BG的数量关系，并说明理由； 形 (3)如图3，∠ABC=60°，∠DAE=45°，连接DD并延长，交BC边于点H.若□ABCD的面积 为24，AD=4,求出DH的长. D'B 刷 D D D E 图1 图2 图3 长 期 的 拼 布.DQ的最小值是√3. 答：该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为0.16元.… …(5分) 16.解：(1)去分母，得4(x十1)-12<3(x-1),解得x<5 (2)A地到B的路程为16÷0.16=100（千米）. 在数轴上表示如图所示：十0之34 设从A地行驶至B地用电行驶y千米，则用油行驶(100一y)千米 ………………………………(5分) 由题意得0.16y十0.96(100-y)≤40，解得y≥70， (2)解不等式号(x十1)≤2，得x≤3，解不等式>，得≥0， 答：至少用电行驶70千米。……………(10分) 23.(1)证明：如图1，延长AB交CF于点D,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形 则不等式组的解集为0≤x≤3，故不等式组的所有整数解之和为0十1+2十3=6.…(10分) ∴AB=BC=BD,.B为线段AD的中点 以：原武=（导高）·后动 又：M为线段AF的中点，∴.BM为△ADF的中位线，∴MB∥CF, ........ …(3分) -42·-号 a+1 由题意得a≠一1且a≠2，a只能取0.当a=0时，原式=一1.……(9分) 18.解：(1)如图，△A1B1C即为所求.……(3分) (2)如图，△A2B2C2即为所求 图2 图3 (2)解：如图2，延长AB交CF于点D,则易知△BCD与△ABC均为等腰直角三角形， AB=BC=BD=a,.AC=CD=√2a,B为AD的中点. 又：M为AF的中点，BM=专DF, 分别延长FE与CA交于点G,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴.CE=EF=GE=2a,∴.CG=CF=22a,∴E为FG的中点. 又：M为AF的中点ME=AG. CG=CF=2√2a,CA=CD=√2a,∴.AG=DF=√2a, BM=ME=XEa-号a. ……………(6分) (3)证明：如图3，延长AB交CE于点D,连接DF,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角 形，∴.AB=BC=BD,AC=CD,∴.B为AD的中点. (3)2√E ……(9分) 19.解：设另一个因式为x十a,则2x2十3x-k=(2x-5)(x十a)=2x2十(2a-5)x-5a, 又：M为AF的中点，BM=DF 解得如 延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， k=20. ∴CE=EF=EG,CF=CG,E为FG的中点. 故另一个因式为x十4，k的值为20.……………(9分) 20.解：(1)条件：①∠CAE=18°，②∠C=42°，③∠CBD=27° 又：M为AF的中点ME=2AG 结论：④∠AFB=87°.证明如下： AC=CD, .∠CAE=18°，∠C=42, 在△ACG与△DCF中，∠ACG=∠DCF, ∴∠AEB=∠CAE+∠C=18°+42°=60 CG=CF. ∠CBD=27°，∠AFB=∠CBD十∠AEB=27°+60°=87°.…(5分) ∴.△ACG≌△DCF(SAS),.AG=DF,.MB=ME …(10分) (2):∠BAF=2∠ABF,∠BAF+∠ABF+∠AFB=180°， 新题素养提升卷（三） ∴.2∠ABF+∠ABF+87°=180°，解得∠ABF=31°， 1.C2.D3.C4.D5.D6.D7.A8.C ∠BAF=2∠ABF=62°.… ………………(9分) 9.C【解析】：∠ABC的平分线垂直于AE,.∠ABQ=∠CBQ,∠AQB=∠EQB=90°.又'BQ= 21.(1)证明：，DF∥AC,DE∥AB BQ,∴.△ABQ≌△EBQ,.AQ=EQ,AB=EB.同理可得AP=DP,AC=DC,∴.PQ是△ADE的 .四边形AFDE是平行四边形，.DF=AE AB=AC,.∠B=∠C 中位线，.PQ=DE.△ABC的周长为26，AB+AC+BC=BE+CD+BC=2BC+DE= :DE∥AB,∠EDC=∠B,∠EDC=∠C, 26.BC=10,.DE=6,.PQ=3.故选C. .DE=EC,.DE十DF=EC十AE=AC.…(4分) 10.D【解析】△ACE是等边三角形，.∠EAC=60°，AE=AC.,∠BAC=30°，∴.∠EAF (2)解：DF=AC+DE.理由如下： ∠ACB=90°，.AB=2BC.:F为AB的中，点，∴AB=2AF,BC=AF.在△ABC和△EFA中， ,DF∥AC,DE∥AB, (AC=EA, .四边形AFDE是平行四边形，AE=DF ∠ACB=∠EAF,∴.△ABC≌△EFA(SAS),∴.EF=AB,∠AEF=∠BAC=30°，∴.∠AHE= ,AB∥AC,.∠B=∠ACB. BC=FA, ,DE∥AB,.∠B=∠BDE,∠ACB=∠BDE 180°-∠EAC-∠AEF=90°，.EF⊥AC,故①正确.：△ABC是等边三角形，.∠BAD=60°， ,∠DCE=∠ACB,∴.∠BDE=∠DCE, AB=AD,∴.∠CAD=90°，EF=AD.,AHE=90°，.EF∥AD.四边形ADFE是平行四边形， .DE=CE,∴.AC+DE=AC十CE=AE=DF.………(9分) 22.解：(1)设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的 故②正确.AG=合AF:AF=ABAG=AB.:AD=ABAD=4AG,故③正确. 油费为(x十0.8)元. :EF⊥AC,EA=EC,AH=CH:F是AB的中点，FH是△ABC的中位线，FH=号BC 由题意得88-只，解得x=0,15, 检验，当x=0.16时，x(x十0.8)≠0， :BC=号AB,AB=BD,“BD=4FH,放①正确，综上所述，正确的结论是①②③④.故选D. .x=0.16是原分式方程的解， 11.-412.x<-213./10 26 (期末状元卷数学八年级下册 14.53【解析】由题意知，四边形AOBC为平行四边形，.AC∥OB,AO=5, .BE=BF,即△BEF是等腰三角形. (4分) .∠ACO=∠BOC=30°，∴.∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°， (2)如图，延长AB至点M,使得BM=AB,则BM=BC,连接CM .在Rt△AOC中，AC=2A0=10,∴.0C=√/AC-AO=√102-5=5√5N, 易知D是AC的中点， 15.√3【解析】如图，延长AC至，点M,使CM=CB,连接BM,作CN⊥BM于点V. BD//MC.BD-MC. :DE平分△ABC的周长，D是AB的中点， ..∠BFE=∠MCE. ..AE+AD=CE+CB+BD,AD=BD, 由(I)得∠BEF=∠BFE,BE=BF, ..AE=CECB=CECM=EM, ∴.∠BEF=∠MCE, .DE为△ABM的中位线， .ME=MC, DE=BM. BD=MC=号ME=2(MB+BE)=号(BC+BF).(9分) :∠ACB=60°， 22.解：(1)设甲种手工艺品的进价是x元/个，则乙种手工艺品的进价是(x一4)元/个， .∠BCM=120. ,CM=CB,CN⊥BM, 由题意得929解得x=10, .BN=MN,∠BCN=60°，∠CNB=90°， 经检验，x=10是所列方程的根，且符合题意，∴x一4=10一4=6. ∴.∠CBN=30. 答：甲种手工艺品的进价是10元/个，乙种手工艺品的进价是6元/个. ……………(4分) .BC=2,∴.CN=1,∴.BN=√5， (2)设该店购进甲种手工艺品a个，则购进乙种手工艺品(400-a)个. 由题意，得10a十6(400-a)3000,解得a150. .BM=2√3，.DE=√5. 设销售甲、乙两种手工艺品获得的利润为®元 16.解：1)方程两边同乘(2x-1),得x=22x一1D+3,解得x=-号 由题意，得w=(13-10)a十(8-6)(400-a)=a十800. 检验：当x=一子时，2江一1=一号≠0，x=一弓是原分式方程的解。…(6分) 5 .1>0,.随a的增大而增大. :a≤150，且a为正整数，∴a的最大值是150， (2)去分母，得3(x-1)-12≥2(2x十3)，去括号，得3x-3-12≥4x十6，移项、合并同类项，得 ∴.当a=150时，w取最大值，0的最大值为150十800=950， -x≥21，解得x≤-21.……… ……… …(10分) 此时，400-a=400-150=250. 17.解：甲分解的结果(x十1)(x十14)=x2十15x十14，甲看错m,故n=14: 答：该店购进甲种手工艺品150个，乙种手工艺品250个时，获得的销售利润最大.…(10分) 乙分解的结果(x十5)(x十4)=x2十9x十20，乙看错n,故m=9. 23.解：(1)等边三角形……… …(2分) 则原式为x2十9x十14，分解因式得(x十2)(x十7).………………(9分) (2)BG=2AG.理由如下： 18.解：(1)如图1所示（答案不唯一）.……(3分) ,四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD. (2)如图2所示（答案不唯一）。………………(6分) 又：E,F为CD边的三等分点，∴DE=EF=CF=号DC (3)如图3所示. ……………(9分) 由折叠可知ED=ED',∠AED=∠AED, ED'=EF,.∠EDF=∠EFD', ,∠DED=∠ED'F+∠EFD=∠AED+∠AED', .∠AED'=∠EDF,∴.AE∥GF, .四边形AEFG是平行四边形，.EF=AG 图1 图2 图3 :EF=DC,AB=-CD,AG=号ABBG=号AB, 19.证明：，△ABC为等边三角形，∴.AC=AB=BC,∠ABC=∠BAC=60°. ∴.BG=2AG ………(5分) .AD⊥BC,BE⊥AC, (3)由折叠可知∠DAE=∠D'AE=45°，AD=AD, ∴.∠AEF=90°，∠BAD=∠CAD=∠ABE=30°， ∠DAD'=90°，则△DAD为等腰直角三角形， ..AF=2EF,AF=BF, ∴.∠ADH=∠ADD=45°. .BF=2EF. ………(9分) 延长AD'交BC于点M,则∠MDH=∠ADD=45. 20.解：(1)23 ………………………（4分) .四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC, ∴.∠DHM=∠ADH=45°=∠MD'H,∠AMH=∠DAD=90°， 即AM⊥AD, (2) .MD'=MH bbb .☐ABCD的面积为24，AD=4,即AD·AM=24,.AM=6, a2十4ab十3b2=(a十b)(a十3b).…………………………………(9分) 则MD'=AM-AD=AM-AD=2, 21.证明：(1)在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，∴.∠A=∠ACB=45°. .DH=/MD2+Mf=2√2.………(10分) ,CE平分∠ACB, 新题素养提升卷（四）】 .∠ECB=∠ECA=22.5 1.A2.D3.D4.C5.B6.C7.B8.B BD⊥AC,∴.∠BDC=∠ABC=90°. 9.A【解析】如图，连接AD,EF,则易得EF⊥AD,且EF的长与 .∠BEF=∠A+∠ECA=45°+22.5°=67.5°， 平行四边形纸片ABCD的高相等..：平行四边形纸片ABCD A(C) (B D .∠BFE=∠CFD=180°-90°-22.5°=67.5°，∴.∠BEF=∠BFE 的面积为72cm,AD=12cm,∴SOADCD=EFX AD=72,