新题素养提升卷(1)-【培优小状元】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

新题素养提升卷（一） 培优小状元 elyou xiao zhuangyuan 时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字可以是( 奶 2.已知a>b,c<0,下列判断正确的是 A.a+c<b+c B.a-c<b-c C.ac2>bc2 D.ac>bc 3.把多项式3m(x一y)一2(y-x)2因式分解的结果是 长 A.(x-y)(3m-2x-2y) B.(x-y)(3m-2x+2y) 站 C.(x-y)(3m+2x-2y) D.(y-x)(3m+2.x-2y) 毕 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,添加下列条件后，仍无法判定四边形ABCD是平行四边 形的是 () A.AD∥BC B.AD=BC C.∠ADC=∠ABC D.AB-CD P B B 0 A 州 第4题图 第6题图 第8题图 5.化简2 +1 )的结果为 n m-n m-n 拓 B.in C.十n D.mn m-n m m 6.如图，在△ABC中，∠A=110°，∠1=∠2，∠3=∠4，则x的值为 A.135 B.140 C.145 D.150 原 2x+3>1, 丝 7.若关于x的不等式组 恰有3个正整数解，则实数a的取值范围是 x-a≤0 A.3≤a≤4 B.3≤a<4 C.3<a≤4 D.a≥4 8.如图，∠AOB的平分线上有一点P,过点P作OA的平行线PC,∠CPO=15°，OC=2,则点P 到射线OA的距离为 ( A B.1 C. D.2 9.已知分式女@，6为常效)清足如下表格，根据表格信息.下列结论错误的是 x的取值 2 -2 3 d 分式的值 无意义 0 -6 A.a=-2 B.b=4 C.c=10 D.d=-1 10.如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC,点M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM,N为CD 的中点，连接MN.若AD=12,MN=2,则AB的长为 () B A.12 B.20 C.24 D.30 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若ab=3,a-2b=5,则ab-2ab2= 12.选材新情境生活情境彭罗斯地砖能够以永久不重复的方式铺满无穷平面.如图是某彭罗斯地 砖的一部分，则∠1的度数为 第12题图 第13题图 13.选材新情境生活情境斑马线前“车让人”，不仅体现了一座城市对生命的尊重，也直接反映了城 市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A一B-C横穿双向行驶车道.其中AB=BC=6, 当绿灯亮时，小明共用11s通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍，求小明通 过AB的速度.设小明通过AB的速度是xm/s,根据题意可列方程： 14.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8,BC=10,BD平分∠ABC交AC于点D,则CD的长 为 B B 第14题图 第15题图 15.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠B=30°，AC=√3，D为AB的中点，以AD为一边在边 AB上方作等腰直角△ADE,将△ADE绕着点A逆时针旋转，当△ADE旋转到B,D,E三点 共线时，线段BE的长度为 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(10分)因式分解： (1)m4-2m2n2+n; (2)-4(x-2y)2+9(x+y)2. (2.x-m>1, 17.(9分)已知关于x的不等式组 无解，求实数m的取值范围. 3x-2m<1 18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,3),B(3,1),C(4,4). (每个方格的边长均为1个单位长度) (1)若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1; (2)将△ABC平移，使得顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，此时点A的对应点的坐标为 ,点B的对应点的坐标为 ,点C的对应点的坐标为 ； (3)若A,B,C,D四点组成的四边形是平行四边形，且点D在坐标轴上，则点D的坐标 是 01 (期未状元卷数学八年级下册 11 19(9分洗化同，再求值：（十2）：，英中y消足：一2到十y2y=1 20.(9分)如图，已知AD,AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，且AD=AF,AC=AE. (1)求证：BC=BE; (2)若∠DBF=∠BAC=30°，AC=2,求AD的长. 12 (期末状元卷数学八年级下册 21.(9分)如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E,与AD交于点F,且F 恰好为AD的中点，连接AE. (1)求证：四边形ABDE是平行四边形； (2)若AG⊥BE于点G,BC=6,AG=2,求EF的长. 22.考试新趋势项目式学习(10分)阅读下列素材，完成任务. 如何设计水果的购进方案 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左 素材1 优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1200元购进的“左优红”和用900元 购进的“晨香”一样多 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄 素材2 利润的1.25倍，同样获得60元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的 “左优红”葡萄多3千克 问题解决 任务1 确定进价 求两种葡萄每千克的进价 任务2 确定利润 求两种葡萄每干克的利润 若要使总利润不低于3100元，则最多能购进“左优红”葡 任务3 确定购进方案 萄多少千克 23.课标新素养推理能力(10分)在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1， 点P在等边△ABC内部，且PA=3,PC=4,∠APC=150°，求PB的长. 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法： (1)将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△APB,连接PP',寻找PA,PB,PC三边 之间的数最关系，即可求得PB的长为 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC内一点，∠APC=135°，判断 PA,PB,PC之间的数量关系，并说明理由； 形 (3)如图3，小李家有一块三角形的空地ABC,其中AB=BC,∠ABC=90°，小李家位于空地 旁的P点，通过测量，得PA=30m,PB=10m,∠APB=45°，请直接写出PC的长， 4 刷 长 图1 图2 图3 据 的 拼 布 為(3)正确解法为： 经检验，d=1是原分式方程的解，故D不正确.故选D 去分母，得2(x-1)-3(x十1)=1， 10.B【解析】如图，延长DM交AC于点E.:AM平分∠CAD,AM⊥DM, 去括号，得2x-2-3x-3=1, .∠DAM=∠EAM,∠AMD=∠AME=90°.在△ADM和△AEM中 移项、合并同类项，得一x=6, (∠DAM=∠EAM, 解得x=一6， AM-=AM, .△ADM≌△AEM(ASA), 检验：当x=一6时，(x十1)(x一1)≠0，所以x=一6是原分式方程的解.…(9分) ∠AMD=∠AME, 20.证明：(1)：BD所在的直线垂直平分线段AC, ∴.DM=EM,AE=AD=12,∴.M是DE的中点.N是CD的中点，.MN是△CDE的中位线 .BA=BC,∴∠BAC=∠BCA. ,MN=2,∴.CE=2MN=4,∴.AC=AE+CE=12+4=16,在平行四边形ABCD中，BC=AD .BC∥AF, 12,AC⊥BC,.∠ACB=90°，.AB=/BC+AC=√12+16=20.故选B. .∠CAF=∠BCA,.∠CAF=∠BAC,即AC平分∠EAF,……(4分) 1.1512361+2=111号 6 (2)BD所在的直线垂直平分线段AC,.DA=DC, .∠DAC=∠DCA 15.3+√5或3-√5 :∠DCA是△ACE的一个外角 【解析】.∠BCA=90,∠B=30°，AC=√3， ∴.∠DCA=∠E+∠EAC. ∴.AB=2AC=23,BC=√3AC=3. 又.∠DCA=∠FAD+∠CAF. ∴.∠E十∠EAC=∠FAD+∠CAF. ”D为AB的中点AD=2AB=B. 又.∠CAF=∠EAC, ,△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD=√， ∠FAD=∠E…(9分) 当点D在线段BE上时，如图1， 21.解：(1)设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时， 由旋转的性质知，∠ADE=90°=∠ADB, 由题意得设品解得x=0, AD=5,AB=25, 图1 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，∴.1.5x=1.5×40=60. ∴.BD=/AB2-AD=/(2W5)-(√5)2=3， 答：无人机的配送速度是40千米/时，传统车辆的配送速度是60千米/时.… (5分) ∴.BE=BD+DE=3十√3： (2)设无人机的速度要提高到y千米/时，才能完成此次配送任务， 当点E在线段BD上时，如图2， 由题意得40×8+高≥16，解得y≥70. 此时点C与点D重合，BE=BC-DE=3一√3 C(D) 综上所述，线段BE的长度为3十√或3一√. 图2 答：无人机的速度至少要提高到70千米时，才能完成此次配送任务.……(9分) 22.解：(1)x2-y2十x-y=(x十y)(x-y)十(x-y)=(x-y)(x十y十1).…(3分) 16.解：(1)原式=(m2-n2)2=[(m十n)(-n)]2=(m十n)2(-n)2.…(5分) (2)a-b=3,a十c=-5, (2)原式=(3.x+3y)2-(2x-4y)2=(3x+3y十2x-4y)(3.x+3y-2x+4y)=(5.x-y)(x+7y). ∴.ac-bc十a2-ab=(ac+a2)-(bc十ab)=a(c十a)-b(c+a)=(c+a)(a-b)=-5X3=-15. ……………………………(6分) 17.解：解不等式2x一m>1,得>，解不等式3x-2m<1,得<21 3 (3)原式=x3+x2+5x2+5x+6x十6 =x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1) :不等式组无解，”2中，解得m<.故实数m的取值范图是m<1.…(9分) =(x+1)(x2+5x十6) 18.解：(1)如图，△AB1C即为所求.………………(3分) =(x十1)(x十2)(x十3).… …………(10分) y 23.解：(1)：c=V√a-13+√13-a+10, /a-13≥0， 解得a=13,.c=10,.C(10,0). 113-a≥0， .AB∥OC,A(0,-4),.b=-4, .B(13,-4).………(3分) (D (2)由题意得AP=2t,QO=t,则PB=13-2t,QC=10-t. 当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形， .∴.13-2t=10-t,解得t=3, .当t为3时，四边形PQCB是平行四边形 (6分) (3加为号或1或4或是. (2)(0,2)(2,0)(3,3)…(6分) ………………………………………………（10分) (3)(0,0)…………(9分) 新题素养提升卷（一） 19,解：原式=x十2 2x 2 1.B2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.B x(x-‘十2-y 9.D【解析】：当x=2时分式无意义，即x十Q=0,a=-2,故A正确： 1x-21+y2-2y=-1,x-21+(y-1)2=0, 当x=一2时，原分式值为0，∴.一4十b=0,解得b=4,故B正确； .x-2=0,y-1=0,.x=2,y=1, :原分式为告且当=3时，原分式值为6=2X34-10,故C正瑰： 2 3-2 原式=2=2. :当工=d时，分式的值为-62=-6，解得d=1. 20.(1)证明：：AD,AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，且AC=AE,AD=AF, d-2 .Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),.CD=EF. .AB=AB,AD=AF, (3)如图2，将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P'BC,连接PP .Rt△ABD≌Rt△ABF(HL), 由旋转的性质可知，∠PBP=90°，PB=PB,PA=P'C=30m,∠APB .BD=BF,BD-CD=BF-EF,即BC=BE.…(4分)》 ∠CP'B=45°， (2)解：：AD,AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高， △PBP是等腰直角三角形， 且AD=AF,∴.BA平分∠DBF, .Pp'=√2PB=10√2(m),∠P'PB=∠PP'B=45°， 图2 ∠ABC=号∠DBF=15,∠ACD=∠ABC+∠BAC=45,.AD=CD. 点P在线段AP上，∴∠PP'C=90°，∴△PPC是直角三角形， ∴.PC=√pp+pC=√(10W2)2+302=10√1(m), 在Rt△ACD中，AC=2,AC=AD+CD, .线段PC的长为10/1m.……………………(10分) AD=2.…………(9分） 新题素养提升卷（二）】 21.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 1.B2.C3.D4.C5.B6.B .AB∥CD,∴.∠ABE=∠BEC. a+1<0, :F为边AD的中点，AF=DF. 7.C【解析】由题意得点P在第二象限，所以 又.∠AFB=∠DFE,.△ABF≌△DEF(AAS) -+1>0. ..AB=DE. 解得a<-1.故选C. 又AB∥DE,.四边形ABDE是平行四边形.…………(4分) (2)解：四边形ABCD是平行四边形， 8B【解折】由题意可知，日-士=弓一言：解得=15，经检验=5是原分式方程的解故 ∴.AD∥CB,AD=BC=6,∴∠AFB=∠CBF. 选B. BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE,∴.∠AFB=∠ABF, 9.D【解析】，AD平分∠OAB,DB⊥AB,OD⊥OA,.OD=BD=√3 ..AF=AB. 点B的横坐标为1，BC∥x轴，BC=1. ,AG⊥BE,.FG=BG. 在Rt△BCD中，CD=√BD-BC=√(W3)-1'=√2， AF=DF,AD=6,..AB=AF=3. ∴.OC=OD+DC=√5+√2. :AG=2,AG⊥BE,∴.BG=V3-2=5, 点C在y轴上，.C(0,√3十2).故选D. .BF=2BG=2√5. 10.C【解析】，∠ABC和∠BAC的平分线交于点O, 由(1)知四边形ABDE为平行四边形， ÷CO平分∠ACB,∠AC0=∠BC0=号∠ACB. .EF=BF=2/5,……(9分) 22.解：任务1：设“左优红”葡萄的进价为x元/千克，则“晨香”葡萄的进价为(x一4)元/千克。 :CE平分∠ACG,∴∠ACE=∠GCE=Z∠ACG, 由题意得1200=900 x=-,解得x=16, :∠OCE=∠AC0+∠ACE=号∠ACB+号∠ACG=90, 经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题意，则x一4=16一4=12， 'OD⊥OC,∴∠COD=90°，∴∠COD=∠OCE, 答：“左优红”葡萄的进价为16元/千克，“晨香”葡萄的进价为12元/千克.…(3分) .OD∥CE,故①正确； 任务2：设“晨香”葡萄的利润为a元/千克，则“左优红”葡萄的利润为1.25a元/千克. :∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+号∠ABC,∠ACG=∠BAC+∠ABC,且∠ECG= ∠ACG, 由题意得90=3，解得a=4, ·∠E+号∠ABC=2(∠BAC+∠ABC).∠E=号∠BAC 经检验，a=4是原分式方程的解，且符合题意，则1.25a=1.25×4=5. 答：“左优红”葡萄的利润为5元/千克，“晨香”葡萄的利润为4元/千克.…(6分) :∠ABC+∠BAC≠180，∴∠E≠90°-子∠BAC,故@错误： 任务3：设购进“左优红”葡萄mkg,购进“晨香”葡萄nkg. 由题意得16m十12m=960.n=2400-4m :∠OAB=∠BAC,∠AB0-号∠ABC. 3 若要使利润不低于3100元，则5m十4n≥3100 ÷∠A0B=180-(∠0AB+∠0BA)=180-合（∠BAC+∠ABC)=180-(180 即5m十4×2400-4m≥3100，解得m≤30. 3 ∠ACB)=180-90+∠ACB=90+7∠ACB. ,m,n都是正整数，.是3的倍数，∴.m的最大值为300. :∠BD0=∠D0C+∠BC0=90+号∠ACB, 答：若要使总利润不低于3100元，最多能购进“左优红”葡萄300kg ………（10分) 23.獬：(1)5……………(2分) ∴.∠AOB=∠BDO,故③正确； (2)AP+2PC=PB,理由如下： :∠ACG=∠BAC+∠ABC,∠AOE=∠BAO+∠ABO=∠BAC+∠ABC 如图1，把△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△ACD,连接PD, ∠ACG=2∠AOE,故④正确. 由旋转的性质可知，∠PCD=90°，CD=CP,PB=DA, 综上分析可知，结论正确的是①③④.故选C ∴△PCD是等腰直角三角形， 11.2x十3<7（答案不唯一）12.3(5a-2)(a-2)13.2014.-1 .PD=√2PC,∠CDP=∠CPD=45°..'∠APC=135°，∴.∠APD 15.√3【解析】由旋转的性质可得∠ACQ=∠B=60°， ∠APC-∠CPD=90°. 图1 又.∠ACB=60°，.∠BCQ=120° 在Rt△APD中，AP2十DP2=AD,即AP2十（√2PC)2=PB2, D是AC边的中，点，CD=2. AP2十2PC2=PB2.……(5分) 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ=30°， ∴CQ=2CD=1,∴DQ=√2-1=3， (期末状元卷数学八年级下册 25