期末真题重组卷(2)-【培优小状元】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

期末真题重组卷（二） 培优小状元 ● elyou xiao zhuangyuan 时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各式中，是分式的是 的 物 A司 B.x c n 2.下列各组整式中，没有公因式的是 A.ab与b B.a+b与a2+b 翩 C.y与3y D.x与6x2 3.若x>y,且ax<ay,则a的值可能是 A.0 B.-1.5 C.2 D.元 K4.在下列条件：①∠A:∠B:∠C=1:2:3;②∠A-∠B=30°；③AB2=BC+AC;④AB: BC:AC=5:12:13中，能确定△ABC是直角三角形的是 戡 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 5.如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P平移后得到点P',则PP的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 州 -4-3-2-10123 图1 图2 第5题图 第6题图 第7题图 拓 6.选材新情境生活情境依依在餐厅点了一杯果汁，如图1，果汁装在一个底面半径为4cm的圆柱 形玻璃杯中，配有一根长22cm的吸管（粗细忽略不计），如图2是她从正面看到的示意图.已 知四边形ABCD为长方形，吸管与杯子侧壁所形成的夹角∠DAC=30°，则吸管露出杯外部分 的长度为 () 丝 A.14 cm B.6 cm C.(22-85)cm D.(22-8√3)cm 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90,分别以点A,B为圆心，大于号AB的长为半径作弧，两弧分别交于 M,N两点，作直线MN交AB于点D,交AC于点F,连接BF,下列结论不一定成立的是() A.BF-AF B.∠CBF=90°-2∠A C.∠ABF=∠FBC D.△ADF≌△BDF 8.选材新情境生活情境如图是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程 序运行到“判断结果是否大于21”为一次运行.若该程序运行了2次便停止，则x的取值范围是 () A.5<x9 B.5<x<9 C.x≥5 D.x<9 输入 是 乘3 减去6 大于21 停止 否 第8题图 第10题图 9.选材新情境数学文化我国古代著作《四元玉鉴》记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣 人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价 钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽 的价钱，问6210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程为 () A.6210=3 B.6210=3 x-1 C.3(x-1)=6210 D.3(x-1)=6210 x-1 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=2√2，P为BC上任意一点，连接PA, 以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为 A.2 B.√2 C.22 D.4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.分解因式：x3一9x= 12.“x的3倍与y的和是正数”用不等式可表示为 13,如果x=2是方程3”3=4的解，那么实数m的值为 14.如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥AC,交CD 的延长线于点E.若DE=2,OA=4,AE=6,则AB的长为 第14题图 第15题图 15.考试新趋势动点问题如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D,QD=1.5,P,Q分别为 AB,AD上的两个定点且BP=AQ=2,在BD上有一动点E使PE十QE最短，则PE十QE的 最小值为 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(10分)把下列各式因式分解： (1)x2+2xy+y2-c2; (2)b(a-2)+b(2-a). 17.(9分)先化简，再求值：（侵3）·。，其中x为偶数且满足不等式组 -x<3, x-1≤3. 18.(9分)(1)如图1是4×4的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形并涂上颜色，使图中 涂色部分是一个中心对称图形； (2)如图2，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转 后的△AB1C1; (3)如图3，在正方形网格中，A,B,C,O都是格点，作△ABC关于点O的中心对称图 形△A1B1C1. B 0 C 图1 图2 图3 (期末状元卷数学八年级下册 3 19.课标新素养推理能力(9分)先阅读，再因式分解。 x+4=(x+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2-2x十2)(x2十2x十2).按照这种方法 把下列多项式因式分解： (1)x4+64: (2)x4+x2y2+y. 20.(9分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高. (1)求证：AD垂直平分EF; (2)若AB+AC=10,S△ABc=15,∠EAF=60°，求AD的长. (期末状元卷数学八年级下册 21.(9分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=6cm,AD=12cm,EF是△ABD的中位线，G 为BC上一动点，H为CD上一动点，点G以2cm/s的速度从点C向点B运动，同时点H以 1cm/s的速度从点D向点C运动，用t(s)表示时间(0≤t≤6).当t为何值时，四边形EFHG 是平行四边形？ 22.选材新情境生活情境(10分)为了学生的身心健康，全面发展，某学校将课间从10分钟增加 到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光.体育组老师们准备购买一批足球，足球的价格主要集 中在A类和B类两种，且A类比B类的单价贵9元，已知用432元购买的A类足球与用288 元购买的B类足球的数量相等，现准备同时购买A,B两类足球. (1)请问A类，B类足球的单价各是多少元？ (2)若准备同时购进A,B两类足球共计32个，总费用不超过600元，请问有哪些购买方案？ 23.课标新素养应用意识(10分)【课本再现】 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相 平分. 【性质应用】 (1)如图1，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交DC的延长线于点E,连 接BE.若□ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，求CE的长； 形 【拓展提升】 (2)如图2，有一个三角形景观花园ABC,现市政府为进一步提升城市绿化景观品质，决定对 这个三角形花园进行创意性扩建.规划方案为：延长AB边到点D,使得BD=AC,同时延 长AC边到点E,使得CE=AB,最后连接DE,打造出全新的三角形景观区域ADE.在原 三角形花园ABC里，P是BC边的中点，从点A到点P有一条贯穿的小径AP,现需要把 BC,AP,BE这三条路线打造为空中观景步道，方便市民从空中俯瞰花园美景.已知 长 ∠BAC=60°，请探究线段BE与线段AP之间存在怎样的数量关系，并说明理由. 据 D 图1 图2 区 拼 布 為参考答案及部分解析 21.解：(1)设一副乒乓球拍的价格是x元，则一副羽毛球拍的价格是号x元， 由题意得1500_1500=15，解得x=60, 5 期未真题重组卷（一） 2 1.D2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.B 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意， 9.A【解析】连接OC.'∠ACB=90°，AB=10,BC=8,∴.AC=√10-8=6.，O为△ABC三条 答：一副乒乓球拍的价格是60元。…(4分) 角平分线的交点，OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,∴.OD=OE=OF.:S△Bc+SAONC+S△oaB= (2)由(1)可知，一副羽毛球拍的价格是号×60=150（元），设购买m副羽毛球拍. S△c,号×8XOD+号X6×OE+号X10XOF=号X8X6,即40D+30D+50D=24,解得 由题意得150m十60(30-m)≤3600，解得m≤20 OD=2,∴.，点O到三边AB,AC和BC的距离分别是2,2,2.故选A. 答：最多可购买20副羽毛球拍。………………………………………………………(9分) 10.D【解析】，AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE.四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC, 22.(1)证明：如图，延长CE交AB于点G ∠ABC=∠ADC=60°，.∠DAE=∠BEA,.∠BAE=∠BEA,∴.AB=BE=2,.△ABE是等 ,AE⊥CE,.∠AEG=∠AEC=90° 边三角形，.AE=BE=2.BC=4,.EC=2,∴AE=EC,.∠EAC=∠ACE.∠AEB= I∠GAE=∠CAE, ∠EAC+∠ACE=60°，.∠ACE=30°..AD∥BC,∴.∠CAD=∠ACE=30°，故①正确.，BE= 在△AEG和△AEC中，3AE=AE, ∠AEG=∠AEC, EBC,0A=0C,∴0E=2AB=1,0E∥AB.∠E0C=∠BAC=180°-60°-30°=90.0C= .△AEG≌△AEC(ASA),∴.GE=EC. √CE-OE=√3.，四边形ABCD是平行四边形，∴.∠BCD=∠BAD=120°..'∠ACB=30°， BD=CD,.DE为△CGB的中位线， .∠ACD=90°，.OD=√OC+DC=√7，.BD=2OD=2√7，故④正确.∠BAC=90°，. .DE∥AB.又EF∥BC,四边形BDEF是平行四边形.……(5分) SAD=AB·AC,故②正确.OE是△ABC的中位线，OE=AB.AB=之BC,OE= (2)解：BF=合(AB-AC.证明如下： 四边形BDEF是平行四边形，.BF=DE 十BC=子AD,故⑧正确，故选D, D,E分别是BC,GC的中点， 1.2212.413.1514.13 ·BF=DE=号BG.又由(I)得AG=AC, 15.4【解析】如图，作，点A关于BC的对称点A',过，点A'作A'D⊥AB于点 &BF号(ABAG)=号(AB-AC,…m (10分) D,交BC于，点P,连接A'B,此时AP十DP的值最小，且A'D的长度就是 AP十DP的最小值.由对称得BC是AA'的垂直平分线，.AB=A'B, 23.(1)证明：，△ABC是等边三角形，D是BC的中点， AP=A'P.∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴.∠BAC=60°，△AA'B为 ∴ADLBC,且∠BAD=∠BAC=30. 等边三角形.，A'D与BC均为等边三角形AA'B的高，.A'D=BC ,△ADE是等边三角形， 4,.AP+DP=AD=4,.AP+DP的最小值是4. .AD=AE,∠ADE=60°， 16.解：(1)去分母，得x+2-6(x+1)≥6.去括号，得x十2-6x一6≥6.移 .∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°. 项、合并同类项，得一5x≥10.系数化为1，得x≤一2.所以原不等式的解 ,CF∥DE,.∠FCB=∠EDB=30 集为x≤一2.在数轴上表示如图所示：上1上 ∠ACB=60°，.∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，∴.∠ACF=∠BAD=30° -5 -4 -3 -2 -1012 ∠BAD=∠ACF, …………………………………………………………………(5分） 在△ABD和△CAF中， AB=CA. .△ABD≌△CAF(ASA),∴.AD=CF (2)解不等式①，得x>一4，解不等式②，得x≤2，所以原不等式组的解集为一4<x≤2.在数轴 ∠B=∠FAC, AD=DE,.DE=CF.又DE∥CF, 上表示如图所示：上 …(10分) 5-4-3-2-1 01 34 ∴四边形EDCF是平行四边形，∴.EF=CD, …………………………(3分)》 1,(x-1)211-x 1-x十x 1 (2)解：△AEF和△ABC的面积比为1：4.……………(6分) 17.解：原式=1-x‘xx分+2x(x+2x十22(x+②2+2x (3)解：成立. 1-x≠0，x(x十2)≠0，x≠1,0，-2，.x可以取-1. 证明：，ED∥FC,.∠EDB=∠FCB. 1 当x=-1时，原式=一1少十2×（--1.…(9分） ,∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB, .∠AFC=∠BDA. 18.解：(2k十1)2-1能被8整除.理由如下： ∠BDA=∠AFC, (2k十1)2一1=(2k十1十1)(2k十1一1)=2k(2k十2)=4k(k十1)..k为正整数，.k和k+1为两 在△ABD和△CAF中， ∠B=∠FAC, 个相邻的正整数，.其中必有一个偶数，即2的倍数，故4k(k+1)为8的倍数，故(2k十1)2-1能 AB-CA, 被8整除。……………… ……(9分) .△ABD≌△CAF(AAS),AD=CF.又，AD=DE,.DE=CF. 19.解：(1)如图，线段CD和线段EF即为所作.…(2分) 又：DE∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形，EF=CD. …………………(10分) (2)(-a,b-2)……………(4分) 期末真题重组卷（二】 (3)(0,1）… (6分) 1.D2.B3.B4.C5.D6.B7.C8.A9.C (4)6………………………………………(9分) 10.A【解析】设PQ与AC交于点O,作OP'⊥BC于点P 20.解：(1)二 (2分) (2)忽略了a一6=0的情况………(4分) :在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=2E,.AC=2E. (3)a-b=c2a-c2b,.(a2-b2)(a2+b2)=c2(a2-b2), :四边形PAQC是平行四边形，∴0A=OC=号AC=厄，0P=1. ∴.(a2-b2)(a2十b2-c2)=0,.a2-b=0或a2十6=c2, 当，点P与，点P'重合时，OP的值最小，即PQ的值最小，PQ的最小值=2OP=2.故选A .△ABC是等腰三角形或直角三角形.……(9分) 11.x(x+3)(x-3)12.3.x+y>013.3 14.8【解析】，四边形ABCD为平行四边形，∴.AB=CD,AC=2OA=8.,AE⊥AC,∴.∠CAE= 由题意得27m十18(32-m)≤60，解得m≤2号 90°，.CE=/AE十AC=10,∴.CD=CE-DE=8,.AB=CD=8. 15.5【解析】如图，△ABC是等边三角形，.BA=BC.:BD⊥AC,AQ=2, .m为正整数，.m=1,2,.有2种购买方案： QD=1.5,.AD=DC=AQ十QD=3.5.作，点Q关于BD的对称，点Q',连接 ①购进1个A类足球，31个B类足球； PQ交BD于点E,连接QE,此时PE十EQ的值最小.最小值为PE十QE ②购进2个A类足球，30个B类足球 …(10分) PE+EQ'=PQ..'AQ=2,AD=DC=3.5,QD=DQ=1.5...CQ'=BP= 23.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AD=BC,OB 2,AP=AQ=5.:∠A=60°，△APQ是等边三角形，∴PQ=PA=5,B OD.,平行四边形ABCD的周长=2(BC+CD)=28,∴.BC十CD= 14.OE⊥BD,OE垂直平分BD,.DE=BE.△BCE的周长 .PE十QE的最小值为5. 16.解：(1)原式=(x十y)2一c2=(x十y十c)(x十y-c).………….(5分) BC+CE+BE=BC+CE+CE+CD=BC+CD+2CE=14+2CE= 18,.CE=2. ………………(4分》 (2)原式=b2(a一2)-b(a一2)=b(a一2)(b-1).………………(10分) (2)BE=2AP(形式不唯一，正确即可)，理由如下：如图，过点B作 1解：原式=局·十3》- 3 x BH∥AE交DE于点H,连接PH,CH,AH,,∠BAC=60°，∴.∠DBH= ∠BAC=6O°.AB=CE,AC=BD,∴AB十BD=AC+CE,即AD=AE,∴△ADE是等边三角形， 2x-1≤3，②解不等式①，得x心-1，解不等式②，得≤2不等式组的解集为-1<≤2.又 2-x<3,① ∴∠D=60°，DE=DA,.△DBH是等边三角形，.BH=BD=DH,.BH=AC.BH∥AC,.四 ,x(x十3)≠0，且x为偶数，x只能取2， 边形ABHC是平行四边形，AH,BC互相平分.：P为BC的中点，∴A,P,H三点共线， 原式-23=一 ∴.AH=2AP.易证△ADH≌△EDB(SAS),∴.BE=AH,∴.BE=2AP.…(10分) (9分) 期末真题重组卷（三）】 18.解：(1)如图1所示.…………………………(3分) 1.D2.B3.C4.B5.D6.D7.A8.C (2)如图2，△AB1C1即为所求.…(6分) 9.A【解析】.□ABCD的周长为32，.BC+AB=16,OA=OC.'△BCO的周长比△ABO的周长 (3)如图3，△A1B1C即为所求. ……………………………………………………(9分) 多4，∴.(OC+OB+BC)-(OA+OB+AB)=BC-AB=4,.AB=6,BC=10.AC⊥AB, ∴.AC=√BC-AB=√102-6=8，.OA=OC=4,.OB=√AB+OA严=√/62+4=213. 故选A. 10.D【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.故① 正确； ②如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴.∠CAB=60. 图1 图2 图3 又：AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2=合∠CAB=30,∠3= 19.解：(1)原式=x1十16x2+64-16x2=(x2+8)2-(4x)2=(x2+8+4x)(x2十8-4x).…(4分) 90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确； (2)原式=x+2x2y2十y-x2y2=(x2+y2)2-(xy)2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy).… ③：∠1=∠B=30°，.AD=BD,.点D在AB的垂直平分线上.故③正确； ………………………………(9分) ④：在Rt△ACD中，∠2=30°，∴.AD=2CD,.BC=CD+BD=CD+2CD=3CD,SADAC= 20.(1)证明：，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF 在△AD和△AD市，6 2AC,CDSm=合AC,BC=2AC·3CD=2AC.CD, ”.Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF, San:SAc=2AC·CD:号AC·CD=1:3.故④正确。 DE=DF,AD垂直平分EF,……(4分) 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.故选D. (2)解：SAAx=SAAID+SAAD=AB·DE+2AC·DF=号DE·(AB+AC)=15. 11.周长相等的三角形是全等三角形12.(x-2)213.48° 14.160°【解析】.BC=AC,∴.∠ABC=∠A=80°，∴.∠ACB=20°，.∠FCD=160°.∠FCD :AB+AC=10,2X10DE=15,DE=3. ∠E=∠VDG=∠M,∠EFC=∠EDC=∠DNM=∠DGM,∴.四边形FCDE和NMGD均为平 ∠EAF=60°，∠DAF=∠EAD=30°，AD=2DE=6.…(9分) 行四边形，∴.∠FCD十∠EDC=180°，∴.∠EDC=20°，同理得∠DGM=20°，.∠DGH=160. 21.解：若四边形EFHG是平行四边形，则EF=GH,EF∥GH, 160【解析1设轮指在静水中的造度为x如小，根据题意：得=9解得：=30，经检数。 :EF是△ABD的中位线∴EF=号BD,EF∥BD,∴GH=号BD.GH∥BD, x=30是原分式方程的解，且符合题意. 此时点G和点H分别同时运动到BC和DC的中点. 16.解：(1)原式=-3x(4x2十4x十1)=-3.x(2.x十1)2.…(5分) ,四边形ABCD是平行四边形， (2)解不等式3x一1≥x十1，得x≥1，解不等式x十4<4x一2，得x>2,.不等式组的解集为 .'.AD=BC=12 cm,AB=CD=6 cm, x>2.……………………………(们0分) ∴.BC=6cm,2DC=3cm. 原式=告》》肖·器 ·点G运动到BC的中点所需时间为6÷2=3(s), 当x=5时，原式=B3-1-5. (9分) 同理点H运动到DC的中点所需时间为3÷1=3(s), √3 .当t=3时，点G和点H能分别同时运动到BC和DC的中点， 18.解：(1)如图，△A1B1C即为所求.………(3分) .当t=3时，四边形EFHG是平行四边形.………………………(9分) (2)如图，△A2B2C2即为所求.…(6分》 22.解：(1)设A类足球的单价是x元，则B类足球的单价是(x一9)元 (3)如图，线段AD1即为所求. ……………(9分) 由题意得g-2驾解得=7。 19.示例：AC=A'C …(2分) 经检验，x=27是原方程的解，且符合题意，∴x一9=18. 证明：在R△ACD和R△A'C'D'中，AC=AC AD=A'D', 答：A类足球的单价是27元，B类足球的单价是18元。…(4分) .Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL),∴.∠CAD=∠CA'D' (2)设购进A类足球m个，则购进B类足球(32一m)个. 'AD平分∠BAC,A'D'平分∠BA'C, (期末状元卷数学八年级下册 23